KHẢO sát hàm số và các câu hỏi phụ liên quan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.96 MB, 223 trang )
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
1
Thư viện tài liệu trực tuyến
All-lovebooks
Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG(chủ biên)
CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
2
LỜI NÓI ĐẦU
Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ
Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu
“Chuyên đề luyện thi phần khảo sát hàm số và các bài toán liên quan” dùng
cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở
trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường
phổ thông.
Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua,
bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt
trong quá trình tư duy các môn học tương đương.
Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý
thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải
vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý
thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học
sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn.
Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao
gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc
Mạnh. Th.S Hà Thị Thúy Hằng phụ trách phần lý thuyết và cơ sở bài tập,
Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh phụ trách viết phần bài tập và lời giải.
Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều
đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT.
Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản
thảo và đóng góp ý kiến xác đáng.
Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang
all-lovebooks.blogspot.com đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc
phát hành tài liệu này.
Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của
bạn đọc đối với bộ tài liệu này.
Các tác giả
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
3
CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. HÀM ĐA THỨC:
* Hàm số bậc ba:
32
0y f x ax bx cx d a
* Hàm trùng phương:
42
0y f x ax bx c a
1. Tập xác định: D=R
2. Sự biến thiên:
a) Giới hạn tại vô cực:
32
0y f x ax bx cx d a
42
0y f x ax bx c a
a >0
a <0
a >0
a <0
lim ( )
x
fx
lim ( )
x
fx
lim ( )
x
fx
lim ( )
x
fx
lim ( )
x
fx
lim ( )
x
fx
lim ( )
x
fx
lim ( )
x
fx
(Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)
b) Chiều biến thiên:
+ Tính y’=?
Cho
y' 0 x ?
+ Bảng biến thiên:
x
-
? +
y'
?
y
?
(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết)
Kết luận về chiều biến thiên của hàm số.
Kết luận về cực trị của hàm số.
3. Đồ thị:
A) Điểm đặc biệt:
+ Giao điểm với Oy: Cho
x 0 y ?
+ Giao điểm với Ox (nếu có): Cho
y 0 x ?
+ Điểm cho thêm ( một số điểm thuộc đồ thị)
B) Vẽ đồ thị:
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
4
x
y
O
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số:
32
34y x x
Nội dung Bài giải
Giải thích –chỉ cách ghi
nhớ cho HS
1. Tập xác định:
D
Bước 1: Tìm tập xác định
của hàm số
2. Sự biến thiên:
a. Giới hạn:
lim
x
y
;
lim
x
y
Bước 2: Chỉ cần tìm giới
hạn của số hạng có mũ cao
nhất, ở đây là tìm
3
lim ??
x
x
b. Chiều biến thiên:
y’ = 3x
2
+ 6x
y’ = 0 3x
2
+ 6x = 0 x(3x + 6) = 0 x
= 0; x = - 2
Bước 3: Tìm y’ và lập
phương trình y’ = 0 tìm
nghiệm (nếu có thì ghi ra
nếu vô nghiệm thì nêu vô
nghiệm) – vì chủ yếu là để
Tìm dấu của y’ sử dụng
trong bảng biến thiên
c. Bảng biến thiên:
x
-∞ -2 0
+∞
y'
+ 0 - 0 +
y
0
+∞
-∞ - 4
Bước 4: BBT luôn gồm có
“ 3 dòng”: dành cho x, y’
và y.
- Dòng 1: Ghi nghiệm của
đạo hàm (nếu có).
- Dòng 2: Xét dấu của đạo
hàm.
- Dòng 3: Ghi chiều bt, cực
trị, giới hạn
Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0. Điểm cực tiểu:
x = 0; y = -4
Hàm số đồng biến trên các khoảng
;2 à 0;v
, nghịch biến trên khoảng
Bước 5: Phải nêu điểm cực
đại; điểm cực tiểu; (nếu
không có thì không nêu
ra); các khoảng đơn điệu
CĐ
CT
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
5
2;0
.
của hàm số.
3. Đồ thị hàm
số:
Giao điểm với
Ox:
y = 0 x = -
2; x = 1
Giao điểm với
Oy:
x = 0 y = - 4
Bước 6: Vẽ đồ thị cần thực
hiện theo thứ tự gợi ý sau:
1. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
2. Xác định các điểm cực
đại, cực tiểu, giao điểm với
Ox, Oy
3. Nhận xét hàm số có bao
nhiêu dạng đồ thị và áp
dụng dạng đồ thị phù hợp
cho bài toán của mình
(tham khảo các dạng đồ
thị ở sau mỗi dạng hàm
số)
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
2
31y x x
.
Giải
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
2
31y x x
.
2,00
1. TXĐ:
D
0,25
2. Sự biến thiên và cực trị của hàm số.
a) Sự biến thiên
Ta có:
2
' 3 6y x x
; Cho
2
01
' 0 3 6 0
23
xy
y x x
xy
0,50
b) Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
0,25
c) Bảng biến thiên
d)
x
0 2
y’
+ 0 – 0 +
0,25
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
6
4
2
-2
5
(C)
d: y=m-1
y
3
-1
* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
;0 à 2;v
,
đồng biến trên khoảng
0;2
.
* Hàm số đạt cực đại tại
2 3,
CD
xy
Hàm số đạt cực
tiểu tại
0 1.
CD
xy
0,25
3. Đồ thị: +Đúng dạng (0,25), +Đúng cực trị
(0,25)
* Giao của (C) với trục tung:
0; 1
, trục
hoành:
2
3 1 0.xx
* Điểm thuộc đồ thị:
1;2 , 3; 1 .
0,50
(HS cần nghiên cứu thêm các dạng còn lại của hàm số)
Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3
Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
42
22y x x
Nội dung Bài giải
Giải thích –chỉ cách ghi
nhớ cho HS
1. Tập xác định
D
Bước 1: Tìm tập xác định
của hàm số
2. Sự biến thiên:
a. Giới hạn:
lim
x
y
;
lim
x
y
Bước 2: Chỉ cần tìm giới
hạn của số hạng có mũ cao
nhất, ở đây là tìm
x
y
O
I
x
y
O
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị
?
x
y
O
I
x
y
O
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ?
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
7
4
lim ??
x
x
b. Chiều biến thiên:
y’ = 4x
3
- 4x
y’ = 0 4x
3
- 4x = 0 x(4x
2
– 4) = 0 x =
0; x = 1; x = - 1
Bước 3: Tìm y’ và lập
phương trình y’ = 0 tìm
nghiệm (nếu có thì ghi ra
nếu vô nghiệm thì nêu vô
nghiệm) – vì chủ yếu là để
Tìm dấu của y’ sử dụng
trong bảng biến thiên
c. Bảng biến thiên:
x
-∞ -1 0 1
+∞
y'
- 0 + 0 - 0
+
y
+∞ -3
+∞
-4 -4
Bước 4: BBT luôn gồm có
“ 3 dòng”: dành cho x, y’
và y.
- Dòng 1: Ghi nghiệm của
đạo hàm (nếu có).
- Dòng 2: Xét dấu của đạo
hàm.
- Dòng 3: Ghi chiều bt, cực
trị, giới hạn
Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3
Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4; x = 1; y = -
4
Khoảng đơn điệu của hàm số.
Bước 5: Phải nêu điểm cực
đại; điểm cực tiểu; (nếu
không có thì không nêu
ra); các khoảng đơn điệu
của hàm số.
3. Đồ thị hàm
số:
Giao điểm với
Ox:
x = ; y = 0
x = - ; y = 0
Giao điểm với
Oy:
x = 0 ; y = - 3
Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực
hiện theo thứ tự gợi ý sau:
1. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
2. Xác định các điểm cực
đại, cực tiểu, giao điểm với
Ox, Oy
3. Dựa vào BBT và dạng
đồ thị để vẽ đúng dạng
(tham khảo các dạng đồ
thị ở sau đây)
CĐ
CT
CT
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
8
Ví dụ 4: Cho hàm số:
42
64 y x x
có đồ thị (C). Khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Giải
Cho hàm số:
42
64 y x x
có đồ thị (C). Khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2,00
1. TXĐ:
D
0,25
2. Sự biến thiên và cực trị của hàm số.
e) Sự biến thiên: Ta có:
3
' 4 12y x x
;
04
'0
35
xy
y
xy
0,50
f) Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
0,25
g) Bảng biến thiên
x
3
0
3
y’
– 0 + 0 – 0 +
y
4
CT CĐ CT
-5 -5
0,25
* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
;3à 0; 3v
,
đồng biến trên khoảng
3;0 à 3; .v
* Hàm số đạt cực đại tại
0 4,
CD
xy
hàm số đạt cực
tiểu tại
3 5.
CD
xy
0,25
3. Đồ thị:
* Giao của (C) với trục tung:
04xy
, trục hoành:
42
6 4 0 xx
* Điểm thuộc đồ thị:
2; 4 ; 2; 4 .
0,50
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
9
(
C
)
(
d
)
:
y
=
m
+2
4
-5
3
-
3
O
y
x
+Đúng dạng (0,25), +Đúng cực trị (0,25)
Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương
BÀI TẬP: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
1.
32
2 3 1y x x
2.
32
3 5 2y x x x
3.
42
21y x x
4.
42
1
2
4
y x x
5.
2
12y x x
6.
3
3y x x
7.
42
41y x x
8.
24
12y x x
II. HÀM NHẤT BIẾN:
ax b
y f x
cx d
, (c 0; ad–bc 0)
1) Tập xác định:
d
D\
c
2) Sự biến thiên:
a) Giới hạn:
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 1 cực trị pt y’ = 0 có 1
nghiệm duy nhất x = 0
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị pt y’ = 0 có 3 nghiệm
phân biệt
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
10
+
dd
xx
cc
d
lim y ? vaø lim y ? x
c
là tiệm cận đứng
+
xx
a a a
lim y vaø lim y y
c c c
là tiệm cận ngang
(Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)
b) Chiều biến thiên:
+
2
ad bc
y'
cx d
. Kết luận
y' 0
hoặc
y' 0
với mọi
d
x
c
+ Bảng biến thiên:
x
–
d
c
+
y'
? ?
y
? ?
(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết)
. Kết luận về chiều biến thiên của hàm số.
. Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị :
a) Điểm đặc biệt:
+ Giao điểm với Oy: Cho
x 0 y ?
+ Giao điểm với Ox: Cho
y 0 x ?
+ Điểm cho thêm
b) Vẽ đồ thị:
x
y
O
Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng qua giao điểm I(?;?) của 2 đường tiệm
cận.
Ví dụ 5: Khảo sát hàm số
2
1
x
y
x
.
Nội dung Bài giải
Giải thích – ghi nhớ cho
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
11
HS
1. Tập xác định D = \{-1}
Bước 1: Tìm tập xác
định của hàm số
2. Sự biến thiên:
a. Giới hạn và tiệm cận:
Tiệm cận đứng x = - 1 vì
1
lim
x
y
;
1
lim
x
y
Tiệm cận ngang: y = - 1 vì
lim 1
x
y
lim 1
x
y
Bước 2: Hàm số luôn có
2 tiêm cận là tiệm cân
đứng và tiệm cận ngang
b. Chiều biến thiên:
y’ =
2
3
( 1)x
< 0 xD.
Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác
định
Bước 3: Tìm y’ và dựa
vào tử số để khẳng định
luôn luôn âm (hay luôn
luôn dương) từ đó suy ra:
Hàm số luôn luôn giảm
(hay luôn luôn tăng ).
c. Bảng biến thiên:
x
-∞ -1
+∞
y'
- -
y
-1 +∞
-∞ -1
Bước 4: BBT luôn gồm
có “ 3 dòng”:
Hàm số không có cực trị
Bước 5: HS luôn không
có cực trị
3. Đồ thị hàm số:
+Giao điểm với Ox:
y = 0 x = 2
Giao điểm với Oy:
x = 0 y = 2
+Cho thêm một số điểm đặc biệt.
Bước 6:Vẽ đồ thị cần
thực hiện theo thứ tự gợi
ý sau:
1. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
và xác định giao điểm
với Ox, Oy.
2. Vẽ 2 đường tiệm cận
đứng và ngang. Sau đó
vẽ chính xác đồ thị qua
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
12
các điểm đặc biệt.
3. Nhận xét hàm số có
bao nhiêu dạng đồ thị và
áp dụng dạng đồ thị phù
hợp cho bài toán của
mình
(tham khảo các dạng đồ
thị ở sau mỗi dạng hàm
số)
Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến
BÀI TẬP: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
21
2
x
y
x
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1.
1
1
x
y
x
2.
1
x
y
x
3.
1
2
3
y
x
4.
21x
y
x
5.
2
21
x
y
x
Chủ đề 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Câu 1. Cho hàm số
y m x mx m x
32
1
( 1) (3 2)
3
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
m 2
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập
xác định của nó.
Tập xác định: D = R.
y m x mx m
2
( 1) 2 3 2
.
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch
biến(y’<0)
Dạng 1: hsố đồng biến
(y’>0)
x
O
I
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
13
(1) đồng biến trên R
yx0,
m 2
Câu 2. Cho hàm số
y x x mx
32
34
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 0
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên
khoảng
( ;0)
.
m 3
Câu 3. Cho hàm số
y x m x m m x
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
có đồ thị
(C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(2; )
y x m x m m
2
' 6 6(2 1) 6 ( 1)
có
m m m
22
(2 1) 4( ) 1 0
xm
y
xm
'0
1
. Hàm số đồng biến trên các khoảng
mm( ; ), ( 1; )
Do đó: hàm số đồng biến trên
(2; )
m 12
m 1
Câu 4. Cho hàm số
32
(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên
0;
.
Hàm đồng biến trên
(0; )
y x m x m
2
3 (1 2 ) (22 )0
với
x 0)( ;
x
f x m
x
x
2
23
()
41
2
với
x 0)( ;
Ta có:
x
f x x
x
xx
x
2
2
2
2(6
( ) 0
3) 1 73
36
(4 1
0
12
)
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
14
Lập bảng biến thiên của hàm
fx()
trên
(0; )
, từ đó ta đi đến kết
luận:
f m m
1 73 3 73
12 8
Câu 5. Cho hàm số
42
2 3 1y x mx m
(1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
Ta có
32
' 4 4 4 ( )y x mx x x m
+
0m
,
0,
yx
0m
thoả mãn.
+
0m
,
0
y
có 3 nghiệm phân biệt:
, 0, mm
.
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi
1 0 1 mm
.
Vậy
;1m
.
Câu 6. Cho hàm số
mx
y
xm
4
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 1
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên
khoảng
( ;1)
.
Tập xác định: D = R \ {–m}.
m
y
xm
2
2
4
()
.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
ym0 2 2
(1)
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
( ;1)
thì ta phải có
mm11
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:
m21
.
CHỦ ĐỀ 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
15
Câu 7. Cho hàm số
y x x mx m
32
3 –2
(m là tham số) có đồ thị
là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía
đối với trục hoành.
PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:
x x mx m
32
3 –2 0 (1)
x
g x x x m
2
1
( ) 2 2 0 (2)
(C
m
) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x
PT (1) có 3
nghiệm phân biệt
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1
m
gm
30
( 1) 3 0
m 3
Câu 8. Cho hàm số
y x m x m m x
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
(m là
tham số) có đồ thị là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía
của trục tung.
y x m x m m
22
3 2(2 1) ( 3 2)
.
(C
m
) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung
PT
y 0
có 2 nghiệm trái dấu
mm
2
3( 3 2) 0
m12
.
Câu 9. Cho hàm số
32
1
(2 1) 3
3
y x mx m x
(m là tham số) có đồ
thị là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một
phía đối với trục tung.
TXĐ: D = R ;
y x mx m
2
–2 2 –1
.
Đồ thị (C
m
) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
16
y 0
có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
2
2 1 0
2 1 0
mm
m
1
1
2
m
m
Câu 10. Cho hàm số
32
32y x x mx
(m là tham số) có đồ thị là
(C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều
đường thẳng
yx1
.
Ta có:
2
' 3 6 y x x m
.
Hàm số có CĐ, CT
2
' 3 6 0y x x m
có 2 nghiệm phân biệt
12
;xx
' 9 3 0 3mm
(*)
Gọi hai điểm cực trị là
1212
; ; ;A B xyyx
Thực hiện phép chia y cho y
ta được:
1 1 2
' 2 2
3 3 3 3
mm
y x y x
11 1222
22
2 2 ; 2 2
3 3 3 3
y y x y y
m
x
m m m
xx
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
:
2
22
33
mm
yx
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng
yx1
xảy ra 1 trong 2
trường hợp:
TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với
đường thẳng
yx1
23
21
32
m
m
(thỏa
mãn)
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng
yx1
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
17
2
1 2 1
1 2 1
2
2
2211
22
22
33
22
3 .2 6 0
33
II
x
mm
x x x x
x
mm
y
y
m
y
x
Vậy các giá trị cần tìm của m là:
3
0;
2
m
Câu 11. Cho hàm số
y x mx m
3 2 3
34
(m là tham số) có đồ thị là
(C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau
qua đường thẳng y = x.
Ta có:
y x mx
2
36
;
x
y
xm
0
0
2
. Để hàm số có cực đại
và cực tiểu thì m
0.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m
3
), B(2m; 0)
AB m m
3
(2 ; 4 )
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m
3
)
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x
AB d
Id
mm
mm
3
3
2 4 0
2
m
2
2
Câu 12. Cho hàm số
y x mx m
32
3 3 1
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực
tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d:
xy8 74 0
.
y x mx
2
36
;
y x x m0 0 2
.
Hàm số có CĐ, CT
PT
y 0
có 2 nghiệm phân biệt
m 0
.
Khi đó 2 điểm cực trị là:
A m B m m m
3
(0; 3 1), (2 ;4 3 1)
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
18
AB m m
3
(2 ;4 )
Trung điểm I của AB có toạ độ:
I m m m
3
( ;2 3 1)
Đường thẳng d:
xy8 74 0
có một VTCP
(8; 1)u
.
A và B đối xứng với nhau qua d
Id
AB d
3
8(2 3 1) 74 0
.0
m m m
ABu
m 2
Câu 13. Cho hàm số
y x x mx
32
3
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và
điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d:
xy–2 –5 0
.
Ta có
y x x mx y x x m
3 2 2
3 ' 3 6
Hàm số có cực đại, cực tiểu
y 0
có hai nghiệm phân biệt
mm9 3 0 3
Ta có:
y x y m x m
1 1 2 1
2
3 3 3 3
Tại các điểm cực trị thì
y 0
, do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn
phương trình:
y m x m
21
2
33
Như vậy đường thẳng
đi qua các điểm cực trị có phương trình
y m x m
21
2
33
nên
có hệ số góc
km
1
2
2
3
.
d:
xy–2 –5 0
yx
15
22
d có hệ số góc
k
2
1
2
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
19
Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d
k k m m
12
12
1 2 1 0
23
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung
điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I
d, do đó hai điểm cực trị đối
xứng với nhau qua d.
Vậy: m = 0
Câu 14. Cho hàm số
y x m x x m
32
3( 1) 9 2
(1) có đồ thị là
(C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực
tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d:
yx
1
2
.
y x m x
2
' 3 6( 1) 9
Hàm số có CĐ, CT
m
2
' 9( 1) 3.9 0
m ( ; 1 3) ( 1 3; )
Ta có
m
y x y m m x m
2
11
2( 2 2) 4 1
33
Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là
A x y B x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
, I là trung
điểm của AB.
y m m x m
2
11
2( 2 2) 4 1
;
y m m x m
2
22
2( 2 2) 4 1
và:
x x m
xx
12
12
2( 1)
.3
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
y m m x m
2
2( 2 2) 4 1
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
20
A, B đối xứng qua (d):
yx
1
2
AB d
Id
m 1
.
Câu 15. Cho hàm số
mxxmxy 9)1(3
23
, với
m
là tham số
thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1m
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21
,xx
sao cho
2
21
xx
.
Ta có
.9)1(63'
2
xmxy
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx
PT
0'y
có hai nghiệm
phân biệt
21
, xx
PT
03)1(2
2
xmx
có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx
.
31
31
03)1('
2
m
m
m
)1(
+ Theo định lý Viet ta có
.3);1(2
2121
xxmxx
Khi đó:
41214442
2
21
2
2121
mxxxxxx
mm
2
( 1) 4 3 1
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là
313 m
và
.131 m
Câu 16. Cho hàm số
y x m x m x m
32
(1 2 ) (2 ) 2
, với
m
là
tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1m
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho
xx
12
1
3
.
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
21
Ta có:
y x m x m
2
' 3 (1 2 22 ) ( )
Hàm số có CĐ, CT
y'0
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
(giả sử
xx
12
)
m
m m m m
m
22
5
' (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0
4
1
(*)
Hàm số đạt cực trị tại các điểm
xx
12
,
. Khi đó ta có:
m
xx
m
xx
12
12
(1 2 )
3
2
2
3
x x x x x x x x
2
12 122 21
2
1
1
3
1
4
9
m m m m m m
22
3 29 3 29
4(1 2 ) 4(2 ) 1 16 12 5 0
88
Kết hợp (*), ta suy ra
mm
3 29
1
8
Câu 17. Cho hàm số
y x m x m x
32
11
( 1) 3( 2)
33
, với
m
là
tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m 2
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho
xx
12
21
.
Ta có:
y x m x m
2
2( 1) 3( 2)
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
22
Hàm số có cực đại và cực tiểu
y 0
có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,
mm
2
0 5 7 0
(luôn đúng với
m)
Khi đó ta có:
x x m
x x m
12
12
2( 1)
3( 2)
xm
x x m
2
22
32
1 2 3( 2)
m m m
2
4 34
8 16 9 0
4
.
Câu 18. Cho hàm số
y x mx x
32
4 –3
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
xx
12
,
thỏa
xx
12
4
.
y x mx
2
12 2 –3
. Ta có:
mm
2
36 0,
hàm số
luôn có 2 cực trị
xx
12
,
.
Khi đó:
12
12
12
4
6
1
4
xx
m
xx
xx
9
2
m
Câu hỏi tương tự:
a)
y x x mx
32
31
;
xx
12
2 3
ĐS:
m 105
.
Câu 19. Cho hàm số
y m x x mx
32
( 2) 3 5
, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
đã cho có hoành độ là các số dương.
Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là
các số dương
PT
y m x x m =
2
' 3( 2) 6 0
có 2 nghiệm dương phân biệt
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
23
am
mm
m m m
m
m m m
P
m
mm
S
m
2
( 2) 0
' 9 3 ( 2) 0
' 2 3 0 3 1
0 0 3 2
0
3( 2)
2 0 2
3
0
2
.
Câu 20. Cho hàm số
y x x
32
–3 2
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d:
yx32
sao tổng khoảng cách
từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
Xét biểu thức
g x y x y( , ) 3 2
ta có:
A A A A B B B B
g x y x y g x y x y( , ) 3 2 4 0; ( , ) 3 2 6 0
2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d:
yx32
.
Do đó MA + MB nhỏ nhất
3 điểm A, M, B thẳng hàng
M là giao
điểm của d và AB.
Phương trình đường thẳng AB:
yx22
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
4
32
5
2 2 2
5
x
yx
yx
y
42
;
55
M
.
Câu 21. Cho hàm số
y x m x m x m
32
(1–2 ) (2– ) 2
(m là tham
số) (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực
tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
y x m x m g x
2
3 2(1 2 ) 2 ( )
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
24
YCBT
phương trình
y 0
có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,
thỏa
mãn:
xx
12
1
.
mm
gm
Sm
2
4 5 0
(1) 5 7 0
21
1
23
m
57
45
.
Câu 22. Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực
đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ
điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
Ta có
22
3 6 3( 1)
y x mx m
Hàm số (1) có cực trị thì PT
0
y
có 2 nghiệm phân biệt
22
2 1 0x mx m
có 2 nhiệm phân biệt
1 0, m
Khi đó: điểm cực đại
A m m( 1;2 2 )
và điểm cực tiểu
B m m( 1; 2 2 )
Ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m
.
Câu 23. Cho hàm số
y x mx m x m m
3 2 2 3 2
3 3(1 )
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 1
.
2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số (1).
y x mx m
22
3 6 3(1 )
.
PT
y 0
có
m1 0,
Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực
trị
x y x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
.
Chia y cho y
ta được:
m
y x y x m m
2
1
2
33
All-lovebooks – Chuyên đề luyện thi Đại học: KSHS và câu hỏi phụ
Cung cấp bởi All-lovebooks
25
Khi đó:
y x m m
2
11
2
;
y x m m
2
22
2
PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là
y x m m
2
2
.
Câu 24. Cho hàm số
32
32y x x mx
có đồ thị là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua
các điểm cực trị song song với đường thẳng d:
yx43
.
Ta có:
2
' 3 6 y x x m
.
Hàm số có CĐ, CT
2
' 3 6 0y x x m
có 2 nghiệm phân biệt
12
;xx
' 9 3 0 3mm
(*)
Gọi hai điểm cực trị là
1212
; ; ;A B xyyx
Thực hiện phép chia y cho y
ta được:
1 1 2
' 2 2
3 3 3 3
mm
y x y x
11 1222
22
2 2 ; 2 2
3 3 3 3
y y x y y
m
x
m m m
xx
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
d:
2
22
33
mm
yx
Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d:
yx43
2
24
3
3
23
3
m
m
m
(thỏa mãn).
Câu 25. Cho hàm số
32
32y x x mx
có đồ thị là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua
