Chuyên đề về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Mục lục
I. Lời mở đầu
II. Kiến thức cần nhớ
III. Kiến thức bổ sung
IV. Các dạng bài tập và phơng pháp chung

Dạng 1. Bài tập chứng minh tỉ lệ
thức
1.1. Phơng pháp chung
1.2. Một số ví dụ
1.3. Tiểu kết
1.4. Bài tập tơng tự

Dạng 2. Tìm số cha biết trong dãy tỉ số bằng nhau
2.1. Phơng pháp chung
2.2. Một số ví dụ
2.3. Tiểu kết
2.4. Bài tập tơng tự

Dạng 3. Tính giá trị biểu thức
3.1. Phơng pháp chung
3.2. Một số ví dụ
3.3. Tiểu kết
3.4. Bài tập tơng tự

Dạng 4. Toán đố
4.1. Phơng pháp chung
4.2. Một số ví dụ
4.3. Tiểu kết
4.4. Bài tập tơng tự

V. Kết quả
VI. Vấn đề còn hạn chế
VII. Điều kiện áp dụng
VIII. Kết luận
IX.Tài liệu tham khảo
2
3
3
4
4
4
4
8
9
10
10
11
17
17
20
20
21
23
23
23
23
24
30
30
34

34
34
35
36


I. Lời Mở Đầu
ã từng lang thang qua nhiều hiệu sách, văn phòng phẩm, cửa hàng sách cũ và
cũng đã từng đọc khá nhiều loại sách tham khảo Tôi thấy thị trờng sách
tham khảo cho các môn học rất rộng rãi, phong phú và đa dạng, có đủ tất cả
các loại Nhng những bài tập của một mảng kiến thức thì lại nằm dải rác đâu đó
trong mỗi phần của từng cuốn sách. Tôi thiết nghĩ, tại sao chúng không đợc sắp xếp
theo một trật tự nhất định nào đó? Đặc biệt là kiến thức của bộ môn Toán, một môn
khoa học tự nhiên chứa đựng vô cùng nhiều điều bí ẩn thú vị-nó xuất hiện cùng với
loài ngời và không ngừng phát triển theo trí tuệ của con ngời, và chính con ngời lại
Đ
1
không ngừng khám phá, chinh phục nó. Toán học cuốn hút con ngời ngay từ khi
học đếm . Nhng sự học là vô tận, biết đến toán học và hiểu đợc nó là cả một quá
trình phức tạp đi từ không đến có. Vậy thì làm thế nào để học tốt bộ môn này? Nếu
trả lời đợc câu hỏi đó thì bạn đã học toán rất tốt rồi còn gì? Nếu cha trả lời đợc thì
khi đọc xong cuốn sách này bạn đã có trong tay một phơng pháp hữu hiệu để học
bộ môn toán một cách ngon lành. Đó là cách gì vậy? Hệ thống kiến thức theo từng
mảng-xắp xếp theo một trật tự nhất định, hợp lí.
Giúp ngời học rèn luyện các thao tác t duy, phơng pháp suy luận và khả năng
sáng tạo trong quá trình học tập để đạt đợc kết quả tốt. Nung nấu ý định đó trong
xuốt quá trình giảng dạy, Tôi đã quyết định viết về một số mảng kiến thức, trong đó
có : Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau theo tiêu chí trên; Mỗi dạng bài tập đều có
phơng pháp chung, một số ví dụ đã chọn lọc cách giải hợp lí và một số bài tập tơng
tự-Tất cả đều đợc xắp xếp theo một hệ thống trình tự từ dễ tới khó phù hợp cho mọi

đối tợng, với mong muốn giúp ngời đọc, ngời học dễ dàng hơn trong việc tìm hiểu
cũng nh việc học và muốn nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này một cách
hiệu quả nhất. Tuy đây chỉ là một mảng kiến thức nhỏ đợc giới thiệu qua một tiết lí
thuyết ở sách giáo khoa lớp 7 nhng đằng sau đó là cả một chuỗi bài tập, ứng dụng
rất nhiều. Với hệ thống bài tập đợc sắp xếp từ dễ đến khó sẽ giúp ngời học kích
thích tính t duy, suy luận logic, óc sáng tạo và tận hởng đợc cảm giác vui sớng khi
tự mình tìm tòi, khám phá ra đáp án cho từng bài toán. Mong muốn chiếm lĩnh đợc
tri thức là mong muốn của rất nhiều ngời, đặc biệt là học sinh sinh viên, nhng
làm sao, làm nh thế nào để chiếm lĩnh đợc những thứ quí báu đó thì lại là điều băn
khoăn, trăn trở của tất cả chúng ta.
Vi lng kin thc ca hc sinh mi vo lp 7, cỏc em ó cú trong tay mt
s k nng gii toỏn nh bin i cỏc phộp toỏn: cng, tr, nhõn, chia, nõng lờn lu
tha. Nhng rt nhiu khú khn m cỏc em s gp phi khi hc v lm bi tp phn
ny, đặc biệt là những bài toán phức tạp, yêu cầu cần phân tích kĩ đầu bài để hiểu
phải sử dụng những điều đã cho nh thế nào, biến đổi ra sao để đạt đợc mục đích,
tìm ra đợc đáp án cho bài toán. Nh vậy, rất cần thiết phải đợc trang bị tri thức phơng
pháp cho các em để khi làm bài không cảm thấy lúng túng, sợ, ngại những bài toán
phức tạp. Với tất cả những gì vừa nêu đã thúc đẩy Tôi thực hiện chuyên đề này.

II. Kiến thức cần nhớ
1. Tỉ lệ thức.
1.1. Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số
a c
b d
=
Trong đó: a, b, c, d là các số hạng.
a, d là ngoại tỉ.
b, c là trung tỉ.
1.2. Tính chất của tỉ lệ thức:
* Nếu

a c
b d
=
Thì
. .a d b c=
* Nếu
. .a d b c=
và a, b, c, d

0 thì ta có:

a c
b d
=
;
a b
c d
=
;
d c
b a
=
;
d b
c a
=
2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
2.1. Tính chất:
Từ dãy tỉ số bằng nhau
a b c

x y z
= =
ta suy ra:

a b c a b c a b c a b c
x y z x y z x y z x y z
+ + +
= = = = =
+ + +
2
(Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
2.2. Chú ý:
Khi có dãy tỉ số
a b c
x y z
= =
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số x, y, z; Ta
còn viết a : b : c = x : y : z.
III. Kiến thức bổ sung
1. Luỹ thừa của một thơng:

n
n
n
x x
y y

=
ữ

Với n

N, x

0 và x, y

Q.
2. Một số tính chất cơ bản:
*
.
.
a a m
b b m
=
Với m

0.
*
. .
a c a c
b d b n d n
= =
Với n

0.
*
n n
a c a c
b d b d

= =
ữ ữ

Với n

N.
IV. Các dạng bài tập và phơng pháp chung
Bài tập về Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau khá phong phú và đa dạng ở
từng mức độ khác nhau nhng theo ý kiến chủ quan của bản thân Tôi thì có thể chia
làm 4 dạng cơ bản gắn liền với phơng pháp chung (của mỗi dạng). Các cách làm đ-
ợc trình bày theo mạch t duy suy luận logic của học sinh nhằm hình thành và phát
triển cách nghĩ, cách làm, cách trình bày và có thể tự tìm đợc con đờng đi của riêng
mình cho học sinh.
Dạng 1. Bài tập chứng minh tỉ lệ thức.
1.1. Phơng pháp chung:
+) Thờng thì ở dạng bài tập này, bài sẽ cho sẵn một số điều kiện nào đó
và yêu cầu chứng minh tỉ lệ thức.
+) Để làm xuất hiện tỉ lệ thức đã cần chứng minh thì chúng ta có thể biến
đổi từ tỉ lệ thức bài cho hoặc từ điều kiện bài cho. Với tính chất các phép toán và
tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chúng ta có thể
biến đổi linh hoạt điều đã cho thành điều cần có.
+) Có nhiều con đờng để đi đến một cái đích, hãy lựa chọn phơng pháp
phù hợp, hợp lí nhất trong khi chứng minh.
+) Lu ý: Trong quá trình biến đổi chứng minh nên luôn nhìn về biểu thức
cần chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vô ích.
1.2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1 . Cho
1
a c
b d

=
Với a, b, c, d

0.
Chứng minh rằng:
a c
a b c d
=

Đây không phải là bài toán khó đối với đa số học sinh, nhng các em sẽ
lúng túng khi lựa chọn cách làm bài toán này. Có rất nhiều cách để làm bài
toán cơ bản này; tuy nhiên, ở đây Tôi xin đợc trình bày một số cách mà học sinh
thờng nghĩ tới và sử dụng trong quá trình chứng minh.
3
Lêi gi¶i:
C¸ch 1.
Cã:
a c a b
b d c d
= ⇒ = ⇒

a b a b a a b
c d c d c c d
− −
= = ⇔ =
− −
Hay
a c
a b c d
=

− −
(§pcm).
4
C¸ch 2.
Cã:
. .
a c
a d b c ac ad ac bc
b d
= ⇔ = ⇒ − = −

( ) ( )
a c d c a b− = −

a c
a b c d
=
− −
(§pcm).
C¸ch 3.
Cã:
;
a c
m a mb c md
b d
= = ⇒ = =
Khi ®ã:
( )
1 1
a mb mb m

a b mb b b m m
= = =
− − − −
( )
1 1
c md md m
c d md d d m m
= = =
− − − −
Do ®ã:
a c
a b c d
=
− −
(§pcm).
C¸ch 4.
Cã:
a c
a b c d
=
− −

( ) ( )
a c d c a b⇔ − = −

ac ad ac bc− = −

. .a d b c=

a c

b d
=
lµ ®¼ng thøc ®óng
nªn
a c
a b c d
=
− −
lµ d¼ng thøc thøc ®óng.
C¸ch 5.
Cã:
1 1
a c b d b d
b d a c a c
= ⇒ = ⇒ − = −

⇔

a b c d
a d
− −
=

Suy ra:
a c
a b c d
=
− −
(§pcm)
C¸ch 6.

Cã:
a c
ad bc
b d
= ⇒ =
Do ®ã:
( ) ( )
a ad ad bc bc c
a b d a b ad bd bc bd b c d c d
= = = = =
− − − − − −
VËy:
a c
a b c d
=
− −
(§pcm).
C¸ch 7.
Cã:
a c b d
b d a c
= ⇒ =
5
Khi đó:
1
a b a b d c d
a a a c c

= = =
Suy ra:

a c
a b c d
=

(Đpcm).
Ví dụ 2. Cho
a c
b d
=
. Chứng minh rằng:
5 3 5 3
5 3 5 3
a b a b
c d c d
+
=
+

Học sinh quan sát kĩ đầu bài sẽ phát hiện ra ngay cách làm; Có thể sử dụng
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, nhng phải biến đổi một chút đã:
Lời giải:
Có:
5 3 5 3 5 3
5 3 5 3 5 3
a c a b a b a b a b
b d c d c d c d c d
+
= = = = =
+

Vậy:
5 3 5 3
5 3 5 3
a b a b
c d c d
+
=
+
(Đpcm).
Ví dụ 3. Cho
a c
b d
=
. Chứng minh:
2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
.
Bài này có khó hơn một chút. Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện đ-
ợc a
2
và b
2
; Nhng bù lại thì các em biết tạo ra
ab
cd

từ tỉ lệ thức bài cho. Chỉ cần
gợi ý một chút xíu nữa là các em làm đợc ngay thôi! Em hãy so sánh:
. ; .
a a b b
c c d d
và
ab
cd
?
Bây giờ thì các em đã biết phải làm nh thế nào rồi!
Lời giải:
Có:
2 2 2 2
2 2 2 2
a c a b a b ab a b
b d c d c d cd c d
+
= = = = =
+
Vậy:
2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
(Đpcm).
Với cách t duy trên, dễ dàng nghĩ ngay ra con đờng đi cho bài tập không dễ
sau:

Ví dụ 4. Cho
1
a c
b d
=
và c

0. Chứng minh rằng:
a)
( )
( )
2
2
a b
ab
cd
c d

=

b)
3
3 3
3 3
a b a b
c d c d
+

=
ữ

+

Đã có bài tập ở ví dụ 3 thì học sinh không mấy khó khăn khi làm xuất hiện
điều phải chứng minh.
Lời giải:
a) Có:
a c
b d
=



a b a b
c d c d

= =

Suy ra:
. .
a b a b a b
c d c d c d

=


Hay:
( )
( )
2
2

a b
ab
cd
c d

=

(Đpcm).
b) Có:
a c
b d
=



a b a b
c d c d
+
= =
+
6
Suy ra:
3 3 3
a b a b
c c c d
+

= =
ữ ữ ữ
+

Do đó:
3
3 3 3 3
3 3 3 3
a b a b a b
c d c d c d
+

= = =
ữ
+


Vậy:
3
3 3
3 3
a b a b
c d c d
+

=
ữ
+

(Đpcm).
Ngợc lại với cách làm những bài tập trên, từ một đẳng thức phức tạp phải
chứng minh đẳng thức đơn giản hơn thì các em tỏ ra bối rối khi làm bài.

Ví dụ 5.
Cho = . Chứng minh rằng: = .
Không mấy khó khăn để đơn giản biểu thức đã cho. Nhìn về điều phải chứng
minh thì đa a lên tử, đa b xuống mẫu và làm biến mất những gì không cần
thiết trong nháy mắt.
Lời giải:
Có: = suy ra: = = =
Hay: = (Đpcm).
Ví dụ 6.
Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z). Chứng minh rằng: = .
Hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau trớc đã.
Từ 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) đa về dãy tỉ số bằng nhau nh thế nào?
Lời giải:
Có: 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z)
Suy ra: = =

= =
+) = = = (1)
+) = = = (2)
Từ (1) và (2) ta có = (Đpcm).
Ví dụ 7 . Cho
2 2
2 2
a b
c d
+
+

= với a, b, c, d 0 và c d.
Chứng minh rằng: = hoặc = .

Đầu bài khó thật, nhng các em sẽ phát hiện ra ngay đây là bài toán ngợc của
ví dụ 3. Làm theo quy trình ngợc lại ? Điều đó không đa các em đến đợc với
điều phải chứng minh. Vậy thì phải biến đổi nh thế nào? Lúc này giáo viên vào
cuộc bằng một gợi ý nhỏ: có thể biến đổi điều đã cho về hằng đẳng thức không?
Lời giải:


2 2
2 2
a b
c d
+
+
= = = =



( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
a b a b
c d c d
+
=
+

( )
2
= ( )
2
Suy ra: = hoặc = - .
+) Nếu = thì = = =
=

= (1)
+) Nếu = - thì = - = =
=

= (2)
Từ (1) và (2) ta có: = hoặc = .
1.3. Tiểu kết:
Với dạng bài tập này, các em phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo ra
dãy tỉ số bằng nhau hợp lí, có thể kết hợp với mối quan hệ khác mà bài cho để đi
đến điều phải chứng minh. Lu ý học sinh khi sử dụng tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau phải nhớ đặt dấu ngoặc, tránh nhầm dấu. Có nhiều cách để chứng
minh một tỉ lệ thức nhng cần lựa chọn cách nào phù hợp với khả năng và mức
độ nhận thức của ngời học sao cho đơn giản mà lại dễ hiểu, dễ làm, dễ trình
bày. Mặt khác, trong quá trình chứng minh phải luôn hớng về điều phải chứng
7
minh nhằm tránh lạc đờng, dài dòng không cần thiết, có khi lại không tới đ-
ợc đích cần đến.
Còn bây giờ là lúc các em đã tự tin làm bài tập tơng tự.
8
1.4. Bài tập tơng tự:

Bài 1. Cho b
2
= ac. Chứng minh:
2 2
2 2
a b a
b c c
+
=
+
Bài 2. Cho b
2
= ac ; c
2
= bd với b, c, d 0; b+c 0; b
3
+c
3
d
3
. Chứng minh
rằng: a)

3
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c d b c d
+ +

=
ữ
+ +


b)
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
Bài 3. Cho = với a, b, c 0. Chứng minh rằng từ ba số a, b, c (có một số sử
dụng 2 lần) có thể lập thành một tỉ lệ thức.
Bài 4. Cho = với a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
a)
2 3 2 3
2 3 2 3
a b c d
a b c d

=
+ +
b)
( )
( )
2
2
a b

ab
cd
c d

=


c)
2 2
2 2 2 2
7 3 7 3
11 8 11 8
a ab c cd
a b c d
+ +
=

d)
2 2 2 2
2 2 2 2
3 10 17 3 10
7 5 7 5
a b ab c d cd
a b ab c d cd
+ +
=
+ + + +

Bài 5. (Mở rộng) Cho = . Chứng minh:
a) = b) =

c) = d) =
e) =
f) =
Bài 6. Cho = = . Chứng minh rằng:
a) ( )
3
= b)
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
Bài 7. Cho = = . Chứng minh: = = .
Bài 8. Cho a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) với a b c và a, b, c 0. Chứng minh
rằng: = = .
Bài 9. Chứng minh rằng: Nếu a+c = 2b & 2bd = c(b+d) thì = với b, d 0.
Bài 10. Chứng minh rằng: Nếu a
2
= bc thì = .
Điều đảo lại có đúng không?
Bài 11. Cho bốn số khác 0 là: a
1
, a
2
, a
3
, a
4

thoả mãn a
2
2
= a
1
.a
3
và a
3
2
= a
2
.a
4
Chứng minh rằng:
3 3 3
1 2 3
1
3 3 3
2 3 4 4
a a a
a
a a a a
+ +
=
+ +
Bài 12. Chứng minh rằng: Nếu = thì
n n n n
n n n n
a b a b

c d c d
+
=
+
với n N.
Bài 13. Chứng minh rằng: Nếu
2 2 2 2
2 2 2 2
k k k k
k k k k
a b a b
c d c d
+
=
+
thì = .
Bài 14. Từ ( )
n
=
n n
n n
a b
c d
+
+

với n N suy ra: = nếu n là số tự nhiên lẻ
& = nếu n là số tự nhiên chẵn.
Bài 15. Chứng minh rằng:
=

(

)
2008
biết
= = = = .
Bài 16. Chứng minh rằng: Nếu
2 2
2 2
a b
c d
+
+
=

thì = .
Bài 17. Cho k, m, n N
*
. Chứng minh rằng: Nếu k
2
= m.n thì = .
Bài 18. Cho = . Hãy chứng minh:
a) = =
b) (a+2c).(b+d) = (a+c).(b+2d)
c) ( )
4
=
4 4
4 4
a b

c d
+
+
Bài 19. Chứng minh: = biết rằng (a+b+c+d).(a-b-c+d) = (a-b+c-d).(a+b-c-d)
Bài 20. Chứng minh: = (Đây là cách rút gọn hỗn số)
HD: = = = .
9
Dạng 2. Tìm số cha biết trong dãy tỉ số bằng nhau.
2.1. Phơng pháp chung:
+) Dạng bài tập này các em gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa dạng.
Bài thờng cho 2 dữ kiện, cũng có khi chỉ cho 1 dữ kiện. Từ những mối quan hệ
đó ta có thể tìm đợc đáp án của bài, nhng cũng có thể phải biến đổi rồi mới sử
dụng đợc.
+) Có thể sử dụng phơng pháp ở dạng 1.
+) Lu ý đến dấu của số cần tìm trong trờng hợp có số mũ chẵn hoặc tích
của 2 số, để tránh tìm ra số không thoả mãn yêu cầu của bài. Cũng lu ý các tr-
ờng hợp có thể xảy ra để không bỏ xót những giá trị cần tìm.

10
2.2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1 . Tìm x, y khác 0 biết:
a) = và 2x + 5y = 10
b) = - và 2x + 3y = 7
c) 21.x = 19.y và x y = 4
d) = và x.y = 84
Bài này tơng đối dễ, chỉ cần áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là
tìm đợc ngay đáp số của bài; Nhng trớc tiên phải biến đổi tỉ lệ thức của bài một
chút cho phù hợp với mối quan hệ còn lại.
Lời giải:
a) Có = = = =

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
= = = =
Do đó: +) = suy ra x = =
+) = suy ra y = =
Vậy: x = và y =
b) Có = - =
Do đó: = = =
Hay: +) = suy ra: 2x = x = -
+) = suy ra: y =
Vậy: x = - và y =
c) 21.x = 19. y =
Do đó: = = = = -2
Hay: +) = -2 x = -2.19 = -38
+) = -2 y = -2.21 = -42
Vậy: x = - 38 và y = - 42
d) =

=

= = = 4
Hay: +)

= 4 x
2
= 36 x = 6
+)

= 4 y
2
= 196 y = 14

Vậy: x = 6 và y = 14 hoặc x = - 6 và y = -14
* Cũng có em làm cách khác:
Có = =
mà xy = 84 ( x và y cùng dấu)
nên . xy = . 84 x
2
= 36 x = 6
và xy: = 84: y
2
= 196 y = 14
Ví dụ 2. Tìm x, y, z biết:
a) = ; = và 2x + 3y z = 186
b) x : y : z = 3 : 5 (- 2) và 5x y + 3z = 124
c) = = =
Lời giải:
a) Chắc chắn là phải sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nhng lại cha
có, hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau.
Có: = =
= =
Do đó: = = = = = = = 3
Hay: +) = 3 x = 3.15 = 45
+) = 3 y = 3.20 = 60
+) = 3 z = 3.28 = 84
Vậy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84
b) Tơng tự nh câu a): Có x : y : z = 3 :5 : (- 2) = =
Do đó, ta có: = = = = = = = 31
Hay: +) = 31 x = 31.3 = 93
11
+) = 31 y = 31.5 = 155
+) = 31 z = 31.(-2) = -62

Vậy: x = 93 ; y = 155 ; z = -62.
c) Bài chỉ cho dãy tỉ số bằng nhau chứ không cho thêm mối quan hệ khác
nh những bài trớc. Khác những bài trớc, học sinh thấy mới lạ. Vậy thì làm thế
nào? Liệu có làm xuất hiện mối quan hệ khác từ dãy tỉ số bằng nhau không?
Có: = = = = = 2
Suy ra: x+y+z = .
Khi đó: y+z = - x ; x+z = - y ; x+y = - z
Do đó: +) = 2 = 2 x =
+) = 2 = 2 y =
+) = 2 = 2 z = -
Vậy: x = ; y = ; z = - .
Ví dụ 3. Tìm các số x, y, z biết: = = và 5z 3x 4y = 50
Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn: Tạo ra 5z, 3x, 4y bằng
cách nào đây? Vì x còn vớng -1, y vớng 3 và z vớng -5. Cứ bình tĩnh và làm nh
bình thờng xem sao?
Lời giải:
Có: = = & 5z 3x 4y = 50
= = & 5z 3x 4y = 50
= = = = = 2
Hay: +) = 2 x 1 = 4 x = 5
+) = 2 y + 3 = 8 y = 5
+) = 2 z 5 = 12 z = 17
Vậy: x = y = 5 ; z = 17
Ví dụ 4. Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a b + c = 35
Đã có dãy tỉ số bằng nhau cha? Làm thế nào để có dãy tỉ số bằng nhau?
Lời giải:
Có: 2a = 3b = 4c = = = = =
Khi đó: = = = = = 7
Hay: +) = 7 a = 7.6 = 42
+) = 7 b = 7.4 = 28

+) = 7 c = 7.3 = 21
Vậy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21
Ví dụ 5. Tìm x biết: =
Đầu bài thật đơn giản, nhng làm nh thế nào? Chỉ có mỗi một mối quan hệ,
có thể làm triệt tiêu x đợc không?
Lời giải:
Có: = = = = 4
Hay: = 4 x 12 = 20
x = 20 + 12
x = 32
Vậy: x = 32.
Ví dụ 6. Tìm a, b biết rằng:
a) = và a
2
b
2
= 36
b) = và ab = 48
Muốn sử dụng đợc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì phải qua bớc biến
đổi đã: Phải làm xuất hiện đợc a
2
, b
2
ở câu a và tích ab ở câu b. Làm đợc điều đó
thì coi nh bài toán đã đợc hoàn thành 90%.
Lời giải:
a) Có: = (a, b cùng dấu)
Suy ra:

=

=

= = 4
Hay:

= 4 a
2
= 100 a = 10
12


= 4 b
2
= 64 b = 8
Vậy: a = 10 và b = 8 hoặc a = - 10 và b = - 8.
b) Có: =
Suy ra:

=

= = = 4
Hay:

= 4 a
2
= 36 a = 6


= 4 b

2
= 64 b = 8
Vậy: a = 6 và b = 8 hoặc a = - 6 và b = - 8.
Ví dụ 7. Tìm x
1
, x
2
, x
3
, , x
9
biết rằng:
= = = = và x
1
+ x
2
+ x
3
+ + x
9
= 90
Nhìn có vẻ khó vì nhiều số cha biết phải tìm quá. Không vấn đề gì, đã có tính
chất cuă dãy tỉ số bằng nhau đây rồi.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
= = = = =
=
( ) ( )
1 2 9
1 2 9
9 8 1

x x x+ + + + + +
+ + +

=
90 45
45

= 1
+) = 1 x
1
= 9 + 1 = 10
+) = 1 x
2
= 8 + 2 = 10
+) = 1 x
3
= 7 + 3 = 10

+) = 1 x
9
= 1 + 9 = 10
Vậy: x
1
= x
2
= x
3
= = x
9
= 10.

Ví dụ 8.
a) Tìm phân số có dạng tối giản biết = với a, b Z và b 0.
b) Cho phân số . Tìm các số nguyên x, y sao cho = .
Lời giải:
a) =
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
= = = =
Phân số cần tìm có dạng tối giản = nên phân số cần tìm có dạng
với k Z và k 0.
b) Tơng tự nh câu a, nhng tổng quát hơn.
Có: = = =
Với = thì ta có thể tìm đợc vô số các số nguyên x, y thoả mãn.

Ví dụ 9. Tìm x, y biết:
a) = & x
4
y
4
= 16
b)

=

& x
10
y
10
= 1024
c) = =
Bài này khó đây, số mũ to, có 2 số cha biết mà chỉ có 1 mối quan hệ. Làm

bằng cách nào, làm nh thế nào?
Lời giải:
a) Có thể đa về số mũ nhỏ hơn không? Đa về bài toán đã biết cách làm có đợc
không? Còn chần chừ gì nữa, cứ thử xem?
Từ = suy ra:

=

= và x, y cùng dấu (1)
Với x
4
y
4
= 16 xy = 2 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

=

= = =
Hay: +)

= x
2
= 1 x = 1
+) = y
2
= 4 y = 2
Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = - 1 và y = - 2
13

b) Có sử dụng đợc cách làm nh ở câu a không? Tại sao lại không thử xem? Chú
ý đến dấu của x, y vì rất dễ kết luận thiếu giá trị cần tìm.
Có:

= = =


=

= x
2

x =
Khi đó: x
10
y
10
= ( )
10
.y
10
= 1024 y
20
= 2
10
.1024

y
20
= 2

20

y = 2
Do đó: x = 1
Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = 1 và y = 2
hoặc x = 1 và y = 2 hoặc x = 1 và y = 2
c) Câu này làm học sinh hoang mang bởi vị trí của x. Nhng chính điều đó lại
là chìa khoá để mở cửa căn phòng chứa đáp án của bài.
Hãy gợi ý các em nhận về mối quan hệ giữa 2x +1, 3y 2 và 2x + 3y 1. Bây
giờ thì bài lại trở thành quá đơn giản với những gì có trong hành trang của các
em.
= = (1)
= = = (2)
Từ (1), (2) ta có: 6x = 12 x = 2 thay vào (1) thì y = 3
Vậy: x = 2 và y = 3.
Ví dụ 10. Tìm ba số x, y, z biết

=

=

(1) và x
2
+ y
2
+ z
2
= 14
Làm thế nào đây khi vừa có mũ 3 lại có cả mũ 2? Thờng thì hạ bậc xuống
thấp cho dễ tính, làm điều đó với bậc 2 ở đây là không thể, còn bậc 3 thì sao?

(1) = =
Suy ra:

=

=

=

= =
Hay: +)

= x
2
= 1 x = 1
+)

= y
2
= 4 y = 2
+)

= z
2
= 9 z = 3
Mà theo (1) thì x, y, z cùng dấu
Nên: x = 1; y = 2; z = 3 hoặc x = 1; y = 2; z = 3.

2.3. Tiểu kết:
Dạng bài tập này tơng đối phức tạp, nếu không làm và trình bày cẩn thận

thì rất dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì không phải là quá khó nhng rất cần đến
khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi. Cũng cần đến sự khéo léo đa bài toán về
dạng quen thuộc đã biết cách làm ở dạng 1.
2.4. Bài tập tơng tự:
Bài 1. Tìm các số a, b, c, d biết:
a) a : b : c : d = 15 : 7 : 3 : 1 và a b + c d
b) 2a = 3b ; 5b = 7c và 3a + 5c 7b = 30
c) 3a = 4b & b a = 5
Bài 2. Tìm x
1
, x
2
, , x
n1
, x
n
biết:

= = = =
và x
1
+x
2
+ +x
n1
+x
n
= c

(Với a

1
, a
2
, ,a
n1
, a
n
khác 0 và a
1
+a
2
+ +a
n1
+a
n
0)

Bài 3. Tìm a, b, c, d biết:
a) = = = & a + b + c + d = 12.
b) = = & a 2b + 3c = 35.
14
c) = ; = & a + b – c = 69.
d) a = b = c & a – b = 15.
e) = = & 2a + 3b – c = 95
Bµi 4. T×m x, y, z biÕt:
a)
2 3
x y
=
vµ xy = 54

b)
5 3
x y
=
; x
2
– y
2
= 4 víi x, y > 0
c)
2 3
x y
=
;
5 7
y z
=
vµ x + y + z = 92
d) 2x = 3y = 5z vµ x + y – z = 95
e)
1 1 2
x y z
x y z
y z x z x y
= = = + +
+ + + + + −
g)
2 3
y z
x = =

vµ 4x – 3y + 2z 36
h)
1 2 3
2 3 4
x y z− − −
= =
vµ x – 2y + 3z = 14
i)
4 2 3
1 2 2x y z
= =
+ − +
vµ xyz = 12
k)
2 2
9 16
x y
=
vµ x
2
+ y
2
= 100
l)
2
3
x
y
=
;

3
5
x
z
=
vµ x
2
+ y
2
+ z
2
= 217
m)
16 25 9
9 16 25
x y z+ − +
= =
vµ 2x
3
– 1 = 1
n)
5 4
x y
=
; x
2
– y
2
= 81 víi x, y > 0
p)

2
3
x
y
=
vµ x
2
+ y
2
= 208
Bµi 5. T×m x biÕt:
a)
2 4
1 7
x x
x x
− +
=
− +
b)
3 5
5 7
x
x
−
=
+
c)
1 2
2 3

x x
x x
− −
=
+ +
d)
18 17
4 16
x x
x x
− −
=
+ +
e)
72 3
18 5
x
x
−
=
−
15
Bài 6. Tìm a, b, c biết
a)
3 8 5
a b c
= =
và 3a + b 2c = 14
b)
1 2 2

5 3 2
a b c
= =
và a + 2b c = 6
c)
10 6 21
a b c
= =
và 5a + b 2c = 28
d)
1 2 3
2 3 4
a b c
= =
và 2a + 3b c = 50
e)
12 15 20 12 15 20
7 9 11
a b c a b c
= =
và a + b + c = 48
f)
2 3 4
3 4 5
a b c
= =
và a + b +c = 49
g)
2 3 5
a b c

= =
và abc = 810
h)
6 9 18
11 2 5
a b c= =
và a + b + c = 120
i)
;
3 4 5 7
a b b c
= =
và 2a + 3b c = 186
k)
;
3 4 3 5
a b b c
= =
và 2a 3b + c = 6
l)
10 3
;
9 4
a b
b c
= =
và a b + c = 78
m)
7 5
;

20 8
a b
b c
= =
và 2a + 5b 2c = 100
n)
2 1
;
3 2
a a
b c
= =
và a
3
+ b
3
+ c
3
= 99
p) 3a = 2b ; 7b = 5c và a b + c = 32
q) 5a = 8b = 20c và a b c = 3
Dạng 3. Tính giá trị biểu thức.
3.1. Phơng pháp chung:
+) Đây là loại bài tập khó, đòi hỏi học sinh phải huy động nhiều kiến thức
và kĩ năng cũng nh biết tổng hợp tri thức phơng pháp đã học. Khả năng quan
16
sát và dự đoán đợc sử dụng nhiều, liên tục, đồng thời với sự suy luận logic, sáng
tạo
+) Làm dạng bài tập này, học sinh rất cần đến sự xúc tác của giáo viên
mỗi khi các em gặp bế tắc. Những lúc đó thì giáo viên chỉ cần gợi mở hớng đi

cho học sinh bằng những câu hỏi mở
17
3.2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Cho x, y, z thoả mãn:
2 5 7
x y z
= =
với x, y, z khác 0.
Tính: P =
2
x y z
x y z
+
+
Bài này tơng đối khó khi thoạt nhìn, vì học sinh chẳng biết làm thế nào để
tính đợc P đây? Cứ bình tĩnh quan sát đặc điểm của biểu thức P để tìm mối liên
hệ giữa P và dãy tỉ số bằng nhau đã cho thì các em không chỉ tìm đợc một cách
làm.
* Đặt
2 5 7
x y z
= =
= k (k khác 0) thì x = 2k , y = 5k , z = 7k
Khi đó: P =
2 5 7 4 4
2 10 7 5 5
k k k k
k k k k
+
= =

+
Vậy: P =
4
5
* Hoặc cách khác:
Ta có:
2 5 7 2 5 7 4
x y z x y z x y z + +
= = = =
+
suy ra x y + z = 2x
Lại có:
2 2 2
2 10 7 2 10 7 5
x y z x y z x y z+ +
= = = =
+
suy ra x + 2y z =
5
2
x
Do đó: P =
2 4 4
5
5 5
2
x x
x
x
= =

Vậy: P =
4
5
Ví dụ 2 . Cho 3 tỉ số bằng nhau
a
b c+
;
b
c a+
;
c
a b+
.
Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.
Với bài này các em dễ dàng tìm ra đáp án:
a
b c+
=
b
c a+
=
c
a b+
=
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
+ +
+ + + + +
=

1
2

Và kết luận: Giá trị của mỗi tỉ số đã cho là
1
2
.
18
Nhng chỉ có thế thì lời giải bài toán cha đợc hoàn thiện. Mà phải trình bày đợc
nh sau:
Có:
a
b c+
=
b
c a+
=
c
a b+
=
( ) ( ) ( ) 2( )
a b c a b c
b c c a a b a b c
+ + + +
=
+ + + + + + +
(*)
+) Nếu a + b +c 0 thì
a
b c+

=
b
c a+
=
c
a b+
=
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
+ +
+ + + + +
=
1
2

+) Nếu a + b +c = 0 thì b + c = a ; c + a = b ; a + b = c.
Khi đó:
a
b c+
=
1
a
a
=

;
1
b b
c a b

= =
+
;
1
c c
a b c
= =
+
Hoặc:
a
b c+
=
b
c a+
=
c
a b+
=
1
c
c
=


Vậy: +) Nếu a + b +c 0 thì
a
b c+
=
b
c a+

=
c
a b+
=
1
2

+) Nếu a + b +c = 0 thì
a
b c+
=
b
c a+
=
c
a b+
=
1
Ví dụ 3. Cho biểu thức: P =
x y y z z t t x
z t t x x y y z
+ + + +
+ + +
+ + + +

Tìm giá trị của biểu thức P biết:
x y z t
y z t z t x t x y x y z
= = =
+ + + + + + + +

(*)
Chỉ cần nhìn đầu bài thôi đã thấy sợ rồi. Làm thế nào để tính đợc giá trị
của biểu thức P? Có thể thấy dãy tỉ số bằng nhau (*) khá quen thuộc, nhng P thì
không.
Liệu có thể sử dụng các cách đã làm không? Sử lí (*) nh thế nào đây?
Lời giải:
Có:
1 1 1 1
x y z t
y z t z t x t x y x y z
+ = + = + = +
+ + + + + + + +
Hay:
x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x t x y x y z
+ + + + + + + + + + + +
= = =
+ + + + + + + +
+) Nếu x + y + z + t 0 thì y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z

x = y = z = t khi đó: P = 1 + 1 + 1 +1 = 4
+) Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = (z + t) ; y + z = (z + t)
Khi đó: P = ( 1) + ( 1) + ( 1) +( 1) = 4
Vậy: +) P = 4 khi x + y + z + t 0
19
+) P = 4 khi x + y + z + t = 0
3.3. Tiểu kết:
Dạng bài tập này gây tơng đối nhiều khó khăn cho học sinh bởi sự suy
luận logic và tính phức tạp của nó. Nhng với vai trò gợi mở của giáo viên thì
học sinh có đợc cảm giác của ngời khám phá ra điều thú vị, cảm xúc của ngời

chiến thắng. Điều đó chính là động lực kích thích các em, gây hứng khởi cho
các em tiếp tục chinh phục những bài tiếp theo.
3.4. Bài tập tơng tự:
Bài 1. Cho A =
2 3
2 3
x y z
x y z
+
+
. Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3.
Bài 2. Cho các số A, B, C tỉ lệ với a, b, c.
Tính giá trị biểu thức : Q =
Ax By C
ax by c
+ +
+ +
Bài 3. Cho 4 tỉ số bằng nhau:

a b c
d
+ +
;
b c d
a
+ +
;
c d a
b
+ +

;
d a b
c
+ +
Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên.
Bài 4. Cho dãy:
2 2 2 2a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
= = =
Tìm giá trị của biểu thức: M =
a b b c c d d a
c d d a a b b c
+ + + +
+ + +
+ + + +
Dạng 4. Toán đố:
4.1. Phơng pháp chung:
+) Loại bài tập này đầu bài đợc cho dới dạng lời văn, sẽ khó khăn khi
các em chuyển lời văn thành biểu thức đại số để tính toán.
+) Khi thể hiện đầu bài bằng bểu thức đại số đợc rồi thì việc tìm ra đáp
án cho bài toán là đơn giản vì các em đã làm thành thạo từ các dạng trớc,
nhng đa số học sinh quên không trả lời cho bài toán theo ngôn ngữ lời văn
của đầu bài. Phải luôn nhớ rằng: Bài hỏi gì thì ta kết luận đấy!
+) Lu ý: Khi gọi kí hiệu nào đó là dữ liệu cha biết thì học sinh phải đặt
điều kiện và đơn vị cho kí hiệu đó - dựa vào đại lợng cần đặt kí hiệu. Và kết
quả tìm đợc của kí hiệu đó phải đợc đối chiếu với điều kiện ban đầu xem có
thoả mãn hay không. Nếu không thoả mãn thì ta loại đi, nếu có thoả mãn
thì ta trả lời cho bài toán.
4.2. Một số ví dụ:

Ví dụ 1. Tìm phân số
a
b
biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và
vào mẫu của phân số thì giá trị phân số đó không đổi.
Dựa vào yếu tố bài cho để lập dãy tỉ số bằng nhau.
Lời giải:
Theo bài: Nếu ta cộng thêm cùng một số x

0 vào tử và vào mẫu của phân số
thì giá trị phân số không đổi .
Ta có:
a
b
=
a x
b x
+
+



a
b
=
a x
b x
+
+
=

a x a
b x b
+
+
=
x
x
= 1
Vậy:
a
b
= 1.
Ví dụ 2. Tìm hai phân số tối giản. Biết hiệu của chúng là:
3
196
và các tử tỉ lệ
với 3; 5 và các mẫu tỉ lệ với 4; 7.
Thật không đơn giản chút nào. Học sinh đọc bài xong thấy các dữ kiện
bài cho cứ rối tung lên, phải làm sao đây?
20
Giáo viên có thể gỡ rối cho các em bằng gợi ý nhỏ: Các tử tỉ lệ với 3; 5
còn các mẫu tơng ứng tỉ lệ với 4; 7 thì hai phân số tỉ lệ với:
3
4
và
5
7
.
Nh vậy, học sinh sẽ giải quyết bài toán ngay thôi !
Lời giải:

Gọi hai phân số tối giản cần tìm là: x, y.
Theo bài toán, ta có : x : y =
3
4
:
5
7
và x y =
3
196
.



x
y
=
21
20
và x y =
3
196
Hay :
21
x
=
20
y
và x y =
3

196
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

21
x
=
20
y
=
21 20
x y

=
3
196
1
=
3
196
+)
21
x
=
3
196


x =
3
196

.21 =
9
28
.
+)
20
y
=
3
196


y =
3
196
.20 =
15
49
Vậy: hai phân số tối giản cần tìm là:
9
28
và
15
49
.
Ví dụ 3. Tìm 1 số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số
của nó tỉ lệ với 1; 2; 3.
Đọc đầu bài thì các em thấy ngắn, đơn giản, nhng khi bắt tay vào tìm
lời giải cho bài toán thì các em mới thấy sự phức tạp và khó khăn. Vì để tìm
đợc đáp án cho bài toán này thì phải sử dụng linh hoạt kiến thức một cách

hợp lí, lập luận logic từ những dữ kiện đầu bài cho và mối quan hệ giữa các
yếu tố đó để tìm ra đáp án cho bài toán.
Lời giải:
* Gọi 3 chữ số của số cần tìm là: a, b, c (đ/k: a, b, c

N; 0

a, b, c

9 và a,
b, c không đồng thời bằng 0)
Ta có 1

a+b+c

27.
Vì số cần tìm
M
18 = 2.9 mà (2;9)=1
Nên a+b+c có thể bằng 9; 18; 27 (1).
Ta có:
1
a
=
2
b
=
3
c
=

1 2 3
a b c+ +
+ +


a =
6
a b c+ +
Vì a

N
*
nên a + b + c
M
6 (2).
Từ (1) và (2) suy ra: a + b + c = 18
Khi đó:
1
a
=
2
b
=
3
c
=
1 2 3
a b c+ +
+ +
=

18
6
= 3
+)
1
a
= 3

a = 3.1 = 3
+)
2
b
= 3

b = 3.2 = 6
21
+)
3
c
= 3

c = 3.3 = 9
Mà số cần tìm
M
18 nên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số 6 .
Vậy: số cần tìm là : 396 hoặc 936 .
Ví dụ 4.
Một cửa hàng có 3 tấm vải, dài tổng cộng 126m. Sau khi họ bán đi
1
2

tấm
vải thứ nhất,
2
3
tấm vải thứ hai và
3
4
tấm vải thứ ba, thì số vải còn lại ở ba tấm
bằng nhau. Hãy tính chiều dài của ba tấm vải lúc ban đầu .
Bài cho rất rõ ràng, dễ hiểu. Chỉ cần học sinh biểu diễn đợc số vải còn lại
ở mỗi tấm sau khi bán thì bài toán trở nên đơn giản và rất dễ dàng.
Lời giải:
Gọi số mét vải của ba tấm vải lần lợt là a, b, c (m)(a ,b, c > 0)
Số mét vải còn lại ở tấm thứ nhất:
1
2
a (m)
Số mét vải còn lại ở tấm thứ hai:
2
3
b (m)
Số mét vải còn lại ở tấm thứ ba:
3
4
c (m)
Theo đề bài, ta có: a + b + c = 126 và
1
2
a =
1

3
b =
1
4
c .
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

2
a
=
3
b
=
4
c
=
2 3 4
a b c+ +
+ +
=
126
9
=14
+)
2
a
=14

a = 14.3 = 28
+)

3
b
=14

b = 14.3 = 42
+)
4
c
=14

c = 14.4 = 56
Vậy: chiều dài của mỗi tấm vải lúc đầu lần lợt là: 28m, 42m, 56m.
Ví dụ 5.
Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách. Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ thứ
nhất sang tủ thứ 3 thì số sách ở tủ thứ 1, thứ 2, thứ 3 tỉ lệ với 16;15;14. Hỏi trớc
khi chuyển thì mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách ?
Bài này khá phức tạp ở chỗ: số lợng sách trong mỗi tủ trớc và sau khi
chuyển.
Lời giải:
* Gọi số quyển sách của tủ 1, tủ 2, tủ 3 lúc đầu là: a, b, c (quyển) (a, b, c
*
N

và a, b, c < 2250). Thì sau khi chuyển ,ta có:
Tủ 1: a 100 (quyển)
Tủ 2: b (quyển)
Tủ 3: c + 100 (quyển)
Theo đề bài ta có :
100
16

a
=
15
b
=
100
14
c +
và a + b + c = 2250.


100
16
a
=
15
b
=
100
14
c +
=
100 100
16 15 14
a b c + + +
+ +
=
2250
45
=50

+)
100
16
a
=50

a 100 = 50.16

a = 800 + 100 = 900 (t/m)
22
+)
15
b
=50

b = 50.15 = 750 (t/m)
+)
100
14
c +
=50

c + 100 = 50.14

c = 700 100 = 600 (t/m)
Vậy: Trớc khi chuyển thì: Tủ 1 có : 900 quyển sách
Tủ 2 có : 750 quyển sách
Tủ 3 có : 600 quyển sách.
Ví dụ 6.
Cho tam giác ABC có Â và

B
tỉ lệ với 3 và 15,

C
= 4

A
. Tính các góc của
tam giác ABC.
Đây là bài toán có nội dung hình học nhng lại đợc giải bằng phơng pháp
đại số, thật đơn giản khi nhớ đợc dữ kiện cho dới dạng ẩn là tổng các góc
trong một tam giác bằng 180
0
Lời giải:
* Theo bài ta có

3
A
=

15
B
và

4
C
=

1

A
Hay :

3
A
=

15
B
=

12
C
mà Â +

B
+

C
=
0
180
(Tổng 3 góc trong một tam giác)
Nên theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

3
A
=

15

B
=

12
C
=


3 15 12
A B C+ +
+ +
=
0
180
30
=
0
6
+)

3
A
=
0
6


 =
0
6

.3 =
0
18
+)

15
B
=
0
6



B
=
0
6
.15 =
0
90
+)

12
C
=
0
6

C
=
0
6
.12 =
0
72
Vậy các góc của tam giác ABC là : Â =
0
18
,

B
=
0
90
,

C
=
0
72
.
Ví dụ7.
Một khu vờn hình chữ nhật có diện tích 300 m
2
, có hai cạnh tỉ lệ với 4
và 3. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vờn.
Quá dễ khi bài toán này đợc viết dới dạng biểu thức. Nhng để lập đợc
biểu thức thể hiện mối quan hệ theo đầu bài thì lại là cả một quá trình không

đơn giản chút nào.
Với lợng kiến thức và vốn hiểu biết còn hạn chế của học sinh mới bớc
vào lớp 7 thì giáo viên cần tỉ mỉ dẫn dắt các em từng bớc nhỏ để làm xuất
hiện kiến thức quen thuộc mà các em đã biết.
(?) Bài toán yêu cầu tìm những yếu tố nào?
* Chiều dài và chiều rộng của khu vờn.
(?) Em hãy gọi những yếu tố cha biết ấy bằng kí hiệu?
* Gọi chiều dài khu vờn là x và chiều rộng khu vờn là y.
(?) Đơn vị và điều kiện của x, y là gì ?
* x (m) & y (m) (x > y > 0)
(?) Theo đề bài: Hãy biểu diễn diện tích của vờn theo x, y và hai cạnh tỉ lệ với
4 & 3 đợc viết nh thế nào ?
* x.y=300 ;
4
x
=
3
y
23
Rất nhiều học sinh không để ý đến sự tơng ứng giữa x & y với 4 & 3 nên có
tỉ lệ thức:
3
x
=
4
y
. Giáo viên cần lu ý đến điều đó!
(?) Tìm x,y.
Đến đây đã trở thành bài toán quen thuộc đối với các em, dễ dàng tìm ra kết
quả:

x = 20(m) (t/m)
y = 15(m) (t/m)
Vậy: chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó là 20m và 15m.

Ví dụ 8.
Một ô tô đi từ A

B mỗi giờ đi đơc 60,9 km. Hai giờ sau, một ô tô thứ
hai cũng đi từ A

B với vận tốc 40,6 km. Hỏi ô tô thứ nhất đi từ A

B mất
mấy giờ. Biết rằng xe ô tô thứ hai đến muộn hơn ô tô thứ nhất là 7 giờ.
Với bài toán này, học sinh phải nhớ đợc mối quan hệ giữa ba đại lợng
trong chuyển động: Quãng đờng = Vận tốc.Thời gian
Nhng nhớ đợc công thức rồi mà đầu bài cho rắc rối quá. Giáo viên giúp
học sinh nhận ra mối quan hệ về thời gian đi từ A

B của hai xe ô tô.
Lời giải:
* Gọi thời gian ô tô thứ 1 đi từ A

B là : x (h) (Đ/k x>0)
ô tô thứ 2 xuất phát sau 2h nhng lại tới B muộn hơn 7h nên thời gian ô tô thứ 2
đi từ A

B là : x 2 + 7 = x + 5 (h)
Vì cùng là quãng đờng đi từ A

B nên ta có: 60,9.x = 40,6.(x + 5)



40,6
x
=
5
60,9
x +



40,6
x
=
5
60,9
x +
=
5
60,9 40,6
x x+

=
5
20,3
=
50
203

40,6
x
=
50
203


x =
50
203
.40,6 =
50
203
.
406
10
= 10 (t/m)
Vậy ô tô thứ nhất đi từ A

B mất 10 giờ.
Ví dụ 9.
Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cây cầu hết 38 triệu đồng. Xí
nghiệp I có 40 xe ở cách cầu 1,5 km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3 km, xí
nghiệp III có 30 xe ở cách cầu 1 km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây
dựng cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ
nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu?
Chắc chắn nhiều học sinh không làm đợc bài toán này vì đầu bài rắc rối

quá, vừa tỉ lệ thuận lại vừa tỉ lệ nghịch thì làm nh thế nào? Thật đơn giản,
cứ làm bình thờng thôi:

24
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
g nhau
Lời giải:
Gọi số tiền mỗi xí nghiệp I, II, III phải trả lần lợt là a, b, c (triệu đồng)
với
0 < a, b, c < 38.
Theo bài ta có: a + b + c = 38 và a : b : c =
40 20 30
: 8: 2 :9
1,5 3 1
= =
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

38
2
8 2 9 8 2 9 19
a b c a b c+ +
= = = = =
+ +
+)
2 2.8 16
8
a
a= = =
(t/m)
+)

2 2.2 4
2
b
b= = =
(t/m)
+)
2 2.9 18
9
c
c= = =
(t/m)
Vậy: Mỗi xí nghiệp I, II, III theo thứ tự phải trả: 16 triệu đồng, 4 triệu
đồng, 18 triệu đồng.
Ví dụ 10.
Một bài toán cổ có tên chia dê đã làm đau đầu không ít ngời muốn
tìm ra đáp số, nhng với tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì bài toán trở nên đơn
giản.
Một ngời dân Arập sinh đợc 3 ngời con trai, lúc lâm chung ngời cha
nói rằng : sau khi ta mất đi, còn lại 17 con dê, cha dành
1
2
cho con cả,
1
3
cho con thứ và
1
9
cho con út. Các con chia thế nào mà các con đê đều là dê
sống, không đợc bán dê để chia tiền, cũng không đợc giết thịt để chia thịt.
Sau khi ngời cha qua đời, các con tìm hết cách cũng không làm theo đ-

ợc lời trăn trối của cha.
Em hãy giúp các ngời con của ông cụ.
Dễ thôi, chỉ cần giải quyết một vấn đề: Làm thế nào để chia đợc 17
con dê cho 3 anh em họ mà số con dê chia đợc phải còn nguyên vẹn,
trong khi
1
2
của 17,
1
3
của 17 và
1
9
của 17 đều không phải là số tự
nhiên?
Với tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta giải quyết nh sau:
Lời giải:
Gọi số con dê mà 3 anh em họ đợc chia lần lợt là: a, b, c (con)
(a, b, c

N
*
và a, b, c < 17)
Khi đó, theo bài ra ta có:
1 1 1
2 3 9
a b c
= =
và a + b + c = 17
Suy ra:

17
18
1 1 1 1 1 1 17
2 3 9 2 3 9 18
a b c a b c+ +
= = = = =
+ +
+)
1
18 18. 9
1
2
2
a
a= = =
(t/m)
Giáo viên: Hoàng D ơng-Trờng THCS Phùng Hng
1