Báo cáo sáng kiến Kỹ năng vẽ hình phụ để giải các bài tập trong chương II Đường tròn-hình học 9

PHÒNG GD & ĐT BẢO THẲNG
TRƯỜNG THCS SƠN HÀ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Sơn Hà, ngày 05 tháng 01 năm 2012
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp cơ sở
Tên tôi là: Nguyễn Thị Kim Thúy
Sinh ngày 19 tháng 10 năm 1980
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Sơn Hà
Trình độ chuyên môn: Cao đẳng sư phạm
Chuyên ngành: Toán - Lý
Các điều kiện chủ yếu công nhận sáng kiến:
Chuyên đề “Kĩ năng vẽ hình phụ để giải các bài tập trong
chương II: Đường tròn - hình học lớp 9”
A- M« t¶ gi¶i ph¸p
Trong khi tìm phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc vẽ thêm
các yếu tố phụ làm cho việc giải bài toán trở lên dễ ràng hơn, thuận lợi hơn.
Thậm chí có những bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra được lời giải của
bài toán. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải
ngắn gọn và đây là vấn đề khiến chúng ta phải đầu tư suy nghĩ.
Thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu
tố phụ khi giải các bài toán hình học. Tùy từng bài toán cụ thể, chúng ta có
những cách vẽ thêm các đường phụ hợp lý để có thể đưa đến những cách giải
hay và độc đáo. Song công việc này không thể tùy tiện, việc vẽ thêm các đường
phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựng hình cơ bản mà chúng ta đã biết,
đồng thời phải dựa vào sự tư duy của từng người với mỗi bài toán cụ thể.
Đối với học sinh đại trà việc vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh bài toán là
một việc tương đối khó khăn, tuy nhiên thầy cô giáo cũng phải hình thành dần,
rèn luyện dần tư duy, kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ cho học sinh. Muốn vậy học
sinh phải nắm vững những kiến thức đã học, xác định rõ yêu cầu của đề bài để

từ đó đưa ra cách vẽ cho phù hợp.
1
Trong chương trình hình học lớp 9 đặc biệt là chương II: Đường tròn, việc
rèn luyện tư duy và kĩ năng vẽ yếu tố phụ cho học sinh là cực kỳ quan trọng và
cần thiết. Trong quá trình dạy học chương này, đối với mỗi phần kiến thức tôi đã
hướng dẫn học sinh tìm ra được một số cách chung để vẽ yếu tố phụ cho những
bài toán cùng loại như sau:
- Khi học sinh học song Tiết 20 - Bài đường kính và dây của đường tròn
giáo viên đưa ra hai ví dụ:
Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O có I là trung điểm
của dây CD (dây CD không phải là đường kính). Ta nối
O với I thì OI
⊥
CD = {I} (Theo định lý trong một đường
tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi
qua tâm thì vuông góc với dây ấy).
=> Giáo viên giới thiệu kĩ năng vẽ hình phụ 1a: Trong một đường tròn
nếu có trung điểm của một dây cung thì lưu ý nối trung điểm đó với tâm.
Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O có dây CD không
phải là đường kính. Ta kẻ OI
⊥
CD = {I} thì I là trung
điểm của CD (Theo định lý trong một đường tròn, đường
kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của
dây ấy).
=> Giáo viên giới thiệu kĩ năng vẽ hình phụ 1b: Trong một đường tròn
muốn có trung điểm của một dây, ta cần chú ý hạ đường vuông góc từ tâm đến
dây ấy.
- Sau khi học sinh phát biểu được định lý “Nếu một đường thẳng là tiếp
tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm” của

Tiết 24 - Bài vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn giáo viên đưa ra ví
dụ: Cho đường thẳng a là tiếp tuyến của
đường tròn tâm O tại C. Nếu ta nối tâm O với
tiếp điểm C thì khi đó ta có OC
⊥
a = {C}
=> Giáo viên giới thiệu kĩ năng vẽ hình phụ 2a: Những bài tập có tiếp
tuyến với đường tròn ta chú ý nối tâm với tiếp điểm.
2
g
O
C
D
I
g
O
C
D
I
g
O
a
C
- Học sinh làm được bài tập 26 phần a(SGK Toán 9 tập 1 trang 115) trong
tiết 27 - Bài Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì giáo viên giới thiệu kĩ
năng vẽ hình phụ 2b: Bài toán có hai tiếp tuyến giao nhau ta chú ý nối giao
điểm của hai tiếp tuyến đó với tâm hoặc nối hai tiếp điểm.
- Kỹ năng vẽ hình phụ 3: Bài toán có hai đường tròn cắt nhau ta chú ý
nối tâm và vẽ thêm đường dây chung của chúng được giới thiệu sau khi học sinh
làm song ?3 trong tiết 29 - Bài Vị trí tương đối của hai đường tròn.

- Sau khi học sinh học song tiết 30: Bài Vị trí tương đối của hai đường
tròn (tiếp theo) giáo viên giới thiệu kĩ năng 4 như sau:
a) Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nhau ta chú ý vẽ đường nối tâm.
b) Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc ngoài chú ý kẻ thêm tiếp tuyến
chung trong hoặc kẻ thêm đường nối tâm.
Tóm lại, trong quá trình giảng dạy tôi đã hướng dẫn học sinh tìm ra được
bốn kĩ năng cơ bản về “Vẽ hình phụ để giải các bài tập trong chương II:
Đường tròn - hình học lớp 9” như sau:
*Kĩ năng 1
a) Trong một đường tròn nếu có trung điểm của một dây cung thì lưu ý
nối trung điểm đó với tâm.
b) Trong một đường tròn muốn có trung điểm của một dây, ta cần chú ý
hạ đường vuông góc từ tâm đến dây ấy.
*Kĩ năng 2
a) Những bài tập có tiếp tuyến với đường tròn ta chú ý nối tâm với tiếp
điểm.
b) Bài toán có hai tiếp tuyến giao nhau ta chú ý nối giao điểm của hai tiếp
tuyến đó với tâm hoặc nối hai tiếp điểm.
*Kĩ năng 3
Bài toán có hai đường tròn cắt nhau ta chú ý nối tâm và vẽ thêm đường
dây chung của chúng.
*Kĩ năng 4
a) Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nhau ta chú ý vẽ đường nối tâm.
3
b) bài toán có hai đường tròn tiếp xúc ngoài chú ý kẻ thêm tiếp tuyến
chung trong hoặc kẻ thêm đường nối tâm.
Sau đây tôi xin giới thiệu một số bài tập áp dụng có vận dụng kĩ năng vẽ
hình phụ như đã triển khai ở trên:
1. Bài tập 1: Bài 11 (SGK Toán 9 tập 1 trang 104)
*Đề bài: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD không cắt

đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và
B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK.
*Bài giải:
GT
(O;
2
AB
) có CD < AB
CD
∩
AB =
∅

AH ⊥ CD = {H}
BK ⊥ CD = {K}
KL CH = DK
Ch ứng minh
Áp dụng kĩ năng 1b ta kẻ OM
⊥
CD = {M} thì M là trung điểm của đoạn
thẳng CD nên ta có MC = MD (1)
Ta lại có AH // BK (vì AH và BK cùng vuông góc với CD) nên tứ giác
AHKB là hình thang.
Mà trong hình thang AHKB có OA = OB (vì cùng bằng bán kính của
đường tròn tâm O) và OM // AH // BK nên M là trung điểm của đoạn thẳng HK,
suy ra MH = MK (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH = DK.
*Khai thác bài toán:
a) Bài toán 1: Trường hợp CD cắt AB

Áp dụng kĩ năng 1b ta kẻ OM
⊥
CD = {M} thì M
là trung điểm của CD nên MC = MD (1)
Nối H với B và giả sử OM cắt HB tại giao điểm E.
Xét
∆
AHB có OA = OB; OE // AH nên EH = EB
4
A
B
C
D
H
K
M
O
E
g
O
A
B
H
C
D
K
M
g
Xét
∆

HBK có EH = EB (chứng minh trên); EM // BK (vì cùng vuông góc
với CD), nên suy ra MH = MK (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH = DK
b) Bài toán 2: Trường hợp từ C và D kẻ đường vuông góc kẻ đường
vuông góc với CD cắt AB tại M, N. Chứng minh AM = BN.
Áp dụng kĩ năng 1b ta kẻ OI
⊥
CD = {I} thì I
là trung điểm của CD nên IC = ID
Xét tứ giác MNDC có MC //ND (vì cùng vuông
góc với CD) nên tứ giác MNDC là hình thang.
Trong hình thang MNDC có IC = ID (theo chứng minh trên) và
OI // MC // ND (vì cùng vuông góc với CD) nên suy ra OM = ON (1)
Mà OA = OB (vì cùng bằng bán kính của đường tròn tâm O) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM = BN.
2. Bài tập 2:
*Đề bài: Cho đường tròn tâm O đường AB. Dây cung MN đi qua trung
điểm H của OB. Kẻ AD vuông góc với MN tại K (D thuộc đường tròn tâm O).
Gọi I là trung điểm của MN, tia BI cắt AD tại C. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BNCM là hình bình hành.
b) C là trung điểm của đoạn thẳng AD.
*Bài giải:
GT
(O;
2
AB
), HB = HO
MN
∩
OB = {H}, AD

⊥
MN = {K}
IM = IN; BI
∩
AD = {C}
KL
a) Tứ giác BNCM là hình bình hành
b) C là trung điểm của đoạn thẳng AD
Chứng minh
a) Áp dụng kĩ năng 1a ta nối O với trung điểm I của đoạn thẳng MN thì
ta có OI
⊥
MN = {I}
Mà OI // AD (vì cùng vuông góc với MN) nên suy ra OI // AC
5
g
A
B
O
M
C
D
N
K
I
H
O
A
B
C

M
I
D
N
•
Xét
∆
ABC có OA = OB (vì cùng bằng bán kính) và OI //AC (chứng minh
trên) nên I là trung điểm của CB, suy ra IC = IB
Tứ giác BNCM có MN
∩
CD = {I}; IM = IN (theo giả thiết); IC = IB
(theo chứng minh trên) nên tứ giác BNCM là hình bình hành.
b) Nối O với C. Xét
∆
OBC có HO = HB, IC = IB nên HI là đường trung
bình của
∆
OBC, do đó ta có HI //OC (1)
Mà HI
⊥
AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra OC
⊥
AD = {C} nên C là trung điểm của đoạn
thẳng AD.
3. Bài tập 3: Bài 30 (SGK Toán 9 tập 1 trang 116)
*Đề bài: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB (đường kính của một
đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia
vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng

bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với
nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a)
·
COD
= 90
0
b) CD = AC + BD
c) Tích AC . BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
*Bài giải:
GT
Nöa (O;
2
AB
) có
Ax ⊥ AB = {A}; By ⊥ AB = {B }
M ∈ nöa (O;
2
AB
); M ≠ A, B
TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t Ax t¹i C, By t¹i D
K
L
a)
·
COD
= 90
0
b) CD = AC + BD
c) AC. BD kh«ng ®æi khi M di chuyÓn trªn

nöa (O;
2
AB
)
Chøng minh:
6
g
A
B
M
C
D
y
x
O
a) Áp dụng kĩ năng 2a ta nối tâm O với tiếp điểm M thì ta có OM
⊥
CD = {M}
Vì tiếp tuyến CA cắt tiếp tuyến CM tại giao điểm C nên OC là tia phân
giác của
·
AOM
(1)
Và tiếp tuyến DM cắt tiếp tuyến DB tại giao điểm D nên OD là tia phân
giác của
·
BOM
(2)
Mà
·

AOM
và
·
BOM
là hai góc kề bù (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
·
COD
= 90
0
.
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì ta có MC = AC và
MD = BD (1)
Mà CD = MC + MD (2)
Từ (1) và (2) suy ra CD = AC + BD
c) Ta có AC . BD = MC . MD (1)
Xét
∆
COD vuông tại O có OM
⊥
CD = {M} nên MC . MD = OM
2
(trong
đó OM là bán kính của đường tròn tâm O) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AC . BD = OM
2

Vậy tích AC . BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường
tròn (O;
2

AB
).
4. Bài tập 4: Bài 61 (SBT Toán 9 tập 1 trang 136)
*Đề bài: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến
Ax, By (Ax và By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB).
Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By
theo thứ tự C, D.
a) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.
c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm,
biết AB = 4cm.
*Bài giải:
a) Áp dụng kĩ năng 2a ta nối tâm O với tiếp điểm M
7
O
g
A
B
M
C
D
y
x
I
Áp dụng kĩ năng 2b ta nối C với tâm O, D với tâm O
Ta có tia OC, OD lần lượt là tia phân giác của hai góc
kề bù
·
AOM
và

·
BOM
nên
·
COD
= 90
0
, do đó
∆
COD vuông tại O.
Gọi I là trung điểm của CD
Tam giác COD vuông tại O có trung tuyến
CDIO
2
1
=
nên IO = IC = ID,
do đó ta có đường tròn đường kính CD có tâm I, bán kính IO =
2
CD
(1)
Hình thang ABDC có OA = OB, IC = ID nên OI là đường trung bình của
hình thang ABDC, do đó IO // DB, mà DB
⊥
AB nên IO
⊥
AB = {O} (2)
Từ (1) và (2) suy ra







2
;
CD
I
tiếp xúc với AB tại O.
b) Chu vi của hình thang ABDC là AB + AC + BD + CD (1)
Mà AC + BD = CM + MD = CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra chu vi của hình thang ABDC bằng AB + 2CD
Ta có AB không đổi nên chu vi của hinh thang ABDC nhỏ nhất khi và chỉ
khi CD nhỏ nhất .
CD nhỏ nhất
⇔
CD = AB
⇔
CD // AB
⇔
OM
⊥
AB
Vậy khi OM
⊥
AB thì chu vi hình thang ABDC nhỏ nhất và bằng 3AB.
c) Đặt AC = x, BD = y
Chu vi hình thang ABDC bằng AB + 2CD = 4 + 2(x+y)
Do chu vi của hình thang ABDC bằng 14 nên ta có
4 + 2(x + y) = 14 hay x + y = 5 (1)

Ta lại có x.y = MC . MD = OM
2
(hệ thức lượng trong tam giác vuông
COD), nên x.y = 2
2
= 4 =>
4
y
x
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

2 2
1
4
5 4 5 5 4 0 ( 1)( 4) 0
4
x
x x x x x x x
x
x
=

+ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔

=


Như vậy, nếu điểm C (thuộc tia Ax) cách điểm A là 1cm hoặc 4cm thì chu

vi của hình thang ABDC bằng 14cm.
8
5. Bài tập 5: Bài 73 (SBT Toán 9 tập 1 trang 139)
*Đề bài: Cho hai đường tròn tâm O và tâm O
’
tiếp xúc ngoài tại A. Gọi
CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn {C
∈
(O) và D
∈
(O
’
)}
a) Tính số đo góc CAD.
b) Tính độ dài CD biết OA = 4,5 cm và OA
’
= 2cm.
*Bài giải:
a) Áp dụng kĩ năng 4b ta kẻ tiếp tuyến trung trong AM cắt CD tại M
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có MA = MC = MD nên
CDMA
2
1
=
=>
∆
ACD vuông tại A =>
·
CAD
= 90

0
b) Áp dụng kĩ năng 2a ta nối tâm O với tiếp điểm C, tâm O
’
với tiếp điểm D
Áp dụng kĩ năng 2b ta nối M với O, M với O
’
Ta có MO, MO
’
lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù
·
CMA
và
·
DMA

nên
·
'
OMO
= 90
0
, do đó
∆
OMO
’
vuông tại M.
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao vào tam giác vuông OMO
’
có
MA

⊥
OO
’
, thì ta có MA
2
= OA.O
’
A = 4,5.2 = 9 => MA = 3cm
Mà
CDMA
2
1
=
=> CD = 2.MA = 2.3 = 6cm
6. Bài tập 6: Bài 74 (SBT Toán 9 tập 1 trang 139)
*Đề bài: Cho hai đường tròn đồng tâm O. Một đường tròn tâm O
’
cắt
đường tròn đồng tâm O tại A, B và cắt đường tròn đồng tâm còn lại tại C, D.
Chứng minh rằng AB // CD.
*Bài giải:
Áp dụng kĩ năng 3: Ta nối tâm O
với tâm O
’
và nối A với B, nối C với D.
Đường tròn (O
’
) cắt đường tròn (O, OA)
9
g

g
O
O
’
A
C
M
D
g
g
O
O
’
A
B
C
D
tại A và B nên OO
’
⊥
AB (1)
Đường tròn (O
’
) cắt đường tròn (O, OC)
tại C và D nên OO
’
⊥
CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB // CD
B -TÍNH MỚI CỦA GIẢI PHÁP

Tính mới của giải pháp này là học sinh có thể chủ động, tự bản thân giải được
các bài toán hình hoc trong chương II: Đường tròn mà không cần có sự hỗ trợ
của giáo viên. Chính vì thế, mà trong quá trình giảng dạy chương này tôi luôn
chú ý rèn luyện cho học sinh tư duy và kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ khi chứng
minh các bài toán, điều đó đã giúp các em có kiến thức sâu hơn, ý thức ngại học
môn hình vì thế cũng đã giảm đi, ý thức tự học tự nghiên cứu được hình thành
và hoàn thiện dần làm cho học sinh ngày càng yêu thích hơn đối với môn
hình học.
C - HỮU ÍCH CỦA GIẢI PHÁP
Sau khi nghiên cứu, triển khai và thực hiện chuyên đề “Kĩ năng vẽ hình phụ
để giải các bài tập trong chương II: Đường tròn - hình học lớp 9” tôi thấy
trong quả trình giảng dạy giáo viên hướng dẫn cho học sinh khai thác lý thuyết
hoặc bài tập sao cho phù hợp với đối tượng học sinh để tìm ra được bốn kĩ năng
vẽ hình phụ là cực kì quan trọng và yêu cầu học sinh phải nắm chắc bốn kĩ năng
vẽ hình phụ đó, rồi cho học sinh làm một số bài tập áp dụng có vận dụng kĩ năng
vẽ hình phụ thì tôi thấy khả năng phân tích bài toán, kỹ năng vẽ thêm các yếu tố
phụ trước khi chứng minh của học sinh đã được nâng lên, đặc biệt học sinh có
thể tự tin trình bày ngay được lời giải bài toán hình học. Chính vì thế mà chất
lượng học tập của học sinh được nâng lên, tính từ tháng 8/2010 đến tháng
1/2011 có kết quả khảo sát như sau:
Năm học
Khối
¬
Tổng
số HS
Phân
loại
Kết quả khảo sát
đầu năm học
Kết quả khảo sát

sau khi thực hiện
chuyên đề
10
2010-2011 9 62
Giỏi 2
3,2% 11 17,7%
Khá
6 9,7% 21 33,9%
TB
22 35,5%
24 38,7%
Yếu
20
32,2%
6
9,7%
Kém 12 19,4%
[
0
0%
Năm học 2011-2012 tôi không trưc tiếp giảng dạy môn Toán lớp 9 nhưng
tôi đã cùng đồng chí Cao Kim Oanh phối hợp thực hiện. Sau khi dự giờ lớp 9B
(học kì I) tôi khảo sát chất lượng với tổng số 28 học sinh và kết quả đạt
được như sau:
Năm học
Khối
¬
Tổng
số HS
Phân

loại
Kết quả khảo sát
đầu năm học
Kết quả khảo sát
sau khi thực hiện
chuyên đề
2011-2012 9 28
Giỏi
0 0% 3 10,7%
Khá
2 7,1% 8 28,6%
TB
13 46,5% 14 50,0%
Yếu
7 25,0% 3 10,7%
Kém
6 21,4% 0 0%
D - KHẢ NĂNG PHỔ BIẾN NHÂN RỘNG
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi khi dạy chương II: Đường
tròn - hình học 9 và tôi nhận thấy kết quả đạt được:
Về phía giáo viên: Đạt được mục đích dạy học đề ra vì đã hướng dẫn và
rèn được cho học sinh nắm chắc bốn kĩ năng vẽ thêm hình phụ để áp dụng giải
các bài tập trong chương II: Đường tròn.
Về phía học sinh: Tiếp thu kiến thức một cách chủ động, tích cực, độc lập,
sáng tạo. Hình thành được các kĩ năng vẽ thêm hình phụ để áp dụng giải các bài
tập trong chương II: Đường tròn.
Có lẽ chuyên đề “Kĩ năng vẽ hình phụ để giải các bài tập trong
chương II: Đường tròn - hình học lớp 9” phần nào cũng có hiệu quả trong
công tác giảng dạy thực tế tại trường THCS Sơn Hà. Vì thực nghiệm giảng dạy
còn ít, do đó không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tôi rất mong được

sự nhận xét, góp ý của các cấp lãnh đạo, các nhà chuyên môn và đặc biệt là các
bạn đồng nghiệp.
11
Tôi xin chân thành cảm ơn
Người viết


Nguyễn Thị Kim Thúy

Nhận xét, xếp loại của tổ chuyên môn








Nhận xét, xếp loại của BGH









Xác nhận của cơ quan cấp trên

12






13