Phân tích phi tuyến động lực của vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (bản đầy đủ )

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ HOÀI NAM

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ
LÀM BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ HOÀI NAM

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ
LÀM BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã Số:

62 44 01 07

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS ĐÀO VĂN DŨNG

HÀ NỘI - 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực, đáng tin cậy và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả

Vũ Hoài Nam

i


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thày hướng dẫn là PGS.TS Đào Văn
Dũng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên
động viên để tác giả hoàn thành luận án này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Đào Huy Bích đã
luôn quan tâm, giúp đỡ và có những định hướng khoa học quý báu trong quá trình
tác giả thực hiện luận án này.
Tác giả trân trọng cảm ơn tập thể các thày cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại
học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN và các thày cô trong Ban chủ nhiệm Khoa
Toán - Cơ - Tin học đã luôn quan tâm, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong
suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Bộ môn.
Tác giả xin cảm ơn tập thể các thày cô giáo, các cán bộ Phòng Sau Đại học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên và Khoa Sau Đại học - ĐHQGHN đã tạo điều
kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu của tác giả.
Tác giả trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Công nghệ Giao
thông Vận tải đã luôn quan tâm, giúp đỡ và động viên để tác giả hoàn thành luận án.

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, các bạn bè thân thiết và đồng nghiệp
của tác giả, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn
thành luận án này.

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................... ii
MỤC LỤC .............................................................................................................. 1
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ............................................... 4
DANH MỤC CÁC BẢNG ...................................................................................... 5
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .................................................................. 8
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 15
1. Tính cấp thiết của đề tài ................................................................................. 15
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án.................................................................... 15
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu của luận án ................................................... 16
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 16
5. Cấu trúc của luận án ...................................................................................... 16
Chương 1: TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ............................................. 18
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally graded material) ........................... 18
1.2. Các nghiên cứu về dao động và ổn định phi tuyến của kết cấu FGM ........... 20
1.2.1. Tấm và vỏ FGM không gia cường ........................................................ 20
1.2.2. Tấm và vỏ FGM có gia cường (ES-FGM) ............................................ 26
1.2.3. Một số nghiên cứu về ứng xử của vỏ bằng phương pháp số.................. 28
1.3. Những kết quả đã đạt được trong nước và quốc tế....................................... 29
1.4. Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu ........................................................ 29
Chương 2: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ THOẢI HAI ĐỘ
CONG FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG LỆCH TÂM ............................................... 31

2.1. Đặt vấn đề................................................................................................... 32
2.2. Các phương trình cơ bản ............................................................................. 33
2.3. Điều kiện biên và phương pháp giải ............................................................ 38
2.3.1. Phân tích dao động phi tuyến ............................................................... 39
2.3.2. Phân tích ổn định động phi tuyến ......................................................... 41
2.3.2.1. Tiêu chuẩn ổn định động Budiansky-Roth ..................................... 41

1


2.3.2.2. Ổn định động phi tuyến của vỏ thoải ES-FGM chịu áp lực ngoài và
lực nén trước dọc trục ................................................................................ 41
2.3.2.3. Ổn định động phi tuyến của panel trụ ES-FGM chịu lực nén dọc trục
.................................................................................................................. 44
2.4. Kết quả số và thảo luận ............................................................................... 45
2.4.1. Kiểm tra độ tin cậy ............................................................................... 45
2.4.2. Tần số dao động tự do tuyến tính ......................................................... 47
2.4.3. Quan hệ biên độ - tần số ....................................................................... 51
2.4.4. Đáp ứng động phi tuyến thời gian – biên độ độ võng ........................... 55
2.4.5. Ổn định động phi tuyến ........................................................................ 58
2.4.5.1. Ổn định động phi tuyến của panel trụ chịu nén dọc trục ................ 58
2.4.5.2. Ổn định động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong chịu áp lực ngoài
tăng tuyến tính theo thời gian và lực nén trước dọc trục ............................. 61
2.5. Kết luận chương 2....................................................................................... 64
Chương 3: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ TRỤ TRÒN VÀ VỎ
TRỐNG FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG LỆCH TÂM ............................................ 67
3.1. Đặt vấn đề................................................................................................... 67
3.2. Phân tích ổn định vỏ trụ ES-FGM chịu lực nén dọc trục: Độ võng chọn một
số hạng .............................................................................................................. 72
3.2.1. Ổn định tĩnh ......................................................................................... 74

3.2.2. Ổn định động phi tuyến ........................................................................ 74
3.3. Phân tích ổn định và dao động vỏ trống ES-FGMC chịu tải dọc trục và áp lực
ngoài: Độ võng chọn ba số hạng ........................................................................ 75
3.3.1. Ổn định tĩnh ......................................................................................... 77
3.3.2. Động lực phi tuyến ............................................................................... 78
3.3.2.1. Ổn định động phi tuyến của vỏ trống ES-FGMC ........................... 79
3.3.2.2. Dao động phi tuyến của vỏ trống ES-FGMC ................................. 80
3.4. Kết quả số và thảo luận ............................................................................... 82

2


3.4.1. Ổn định động phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM chịu nén dọc trục. Độ võng
chọn một số hạng ........................................................................................... 82
3.4.2. Ổn định động phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi bao quanh
chịu nén dọc trục. Độ võng chọn một số hạng ................................................ 90
3.4.3. Dao động phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi bao quanh. Độ
võng chọn ba số hạng..................................................................................... 93
3.4.4. Ổn định động phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM chịu nén dọc trục và áp lực
ngoài. Độ võng chọn ba số hạng .................................................................... 99
3.4.5. Ổn định động phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM chịu áp lực ngoài có nền
đàn hồi bao quanh. Độ võng chọn ba số hạng .............................................. 103
3.4.6. Ổn định động phi tuyến của vỏ trống ES-FGMC có nền đàn hồi bao
quanh chịu kéo, nén dọc trục. Độ võng chọn ba số hạng .............................. 106
3.5. Kết luận chương 3..................................................................................... 112
Chương 4: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ CẦU THOẢI ĐỐI
XỨNG TRỤC FGM CÓ TÍNH ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ .............. 114
4.1. Đặt vấn đề................................................................................................. 114
4.2. Các phương trình chủ đạo ......................................................................... 115
4.3. Phân tích phi tuyến động lực ..................................................................... 119

4.4. Kết quả số và thảo luận ............................................................................. 123
4.4.1. Tần số dao động tự do tuyến tính ....................................................... 123
4.4.2. Đáp ứng động lực phi tuyến ............................................................... 125
4.4.3. Tải tới hạn động phi tuyến.................................................................. 128
4.5. Kết luận chương 4..................................................................................... 130
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 132
KIẾN NGHỊ VỀ NHỮNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO ..................................... 134
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN
LUẬN ÁN ........................................................................................................... 135
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 137

3


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
FGM

Functionally Graded Material - Vật liệu (composite) cơ tính biến thiên.

FGMC

Functionally Graded Coating – Lớp phủ cơ tính biến thiên.

ES

Eccentrically Stiffened – Gân gia cường (sườn tăng cường) lệch tâm.

c, m

Chỉ số dưới thể hiện ceramic và kim loại tương ứng.

ou, in

Chỉ số dưới thể hiện phía ngoài và phía trong tương ứng.

s, r

Chỉ số dưới thể hiện gân dọc (stringer) và gân đai (ring) tương ứng.

sbu, scr

Chỉ số dưới thể hiện tải vồng tĩnh và tải tới hạn tĩnh tương ứng.

dbu, dcr

Chỉ số dưới thể hiện tải vồng động và tải tới hạn động tương ứng.

m

Số nửa sóng theo phương x .

n

Số nửa sóng (sóng) theo phương y của vỏ thoải hai độ cong (vỏ
trống).

Pr eff

Tính chất hiệu dụng của vật liệu.

k

Chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích.

E, 

Mô đun đàn hồi và mật độ khối lượng tương ứng.

r0 , p0

Lực nén dọc trục trên một đơn vị diện tích.

q0

Áp lực ngoài phân bố đều trên bề mặt vỏ.

t , tcr

Thời gian và thời gian tới hạn động.

c

Tốc độ đặt tải.

cr

Hệ số động lực.

Ec

Mô đun đàn hồi của ceramic.

Em

Mô đun đàn hồi của kim loại.

c

Mật độ khối lượng của ceramic.

m

Mật độ khối lượng của kim loại.



Hệ số Poisson.



Hệ số dãn nở nhiệt.

4


DANH MỤC CÁC BẢNG
 với các kết
Bảng 2.1. So sánh tần số dao động tự do tuyến tính không thứ nguyên 

quả của Matsunaga [56], Chorfi và Houmat [22], Alijani và các cộng sự

[9]......................................................................................................... 45
Bảng 2.2. So sánh tần số dao động tự do tuyến tính (Hz) với các kết quả của các tác
giả Szilard [87] và Troitsky [90] ........................................................... 46
Bảng 2.3. Tần số dao động tự do tuyến tính (rad/s) của panel trụ FGM.................. 47
Bảng 2.4. Tần số dao động tự do tuyến tính (rad/s) của panel cầu FGM. ............... 49
Bảng 2.5. Ảnh hưởng của các mode dao động khác nhau tới tần số dao động tự do
tuyến tính (rad/s) của panel cầu FGM. .................................................. 49
Bảng 2.6. Tần số dao động tự do tuyến tính (rad/s) của vỏ thoải hai độ cong FGM
với các độ cong Gauss khác nhau ......................................................... 50
Bảng 2.7. Tải trọng tới hạn động phi tuyến của panel trụ FGM chịu tải nén dọc trục
( ×108 N / m 2 ) ........................................................................................ 60
Bảng 2.8. Ảnh hưởng của chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích k và tốc độ đặt tải c tới
ổn định động lực của panel trụ và panel cầu FGM có gân gia cường
( 105 N m 2 ) ....................................................................................... 62
Bảng 2.9. Ảnh hưởng của bề dày h tới ổn định động lực của panel trụ và panel cầu
FGM có gân gia cường ( 105 N m 2 )................................................... 63
Bảng 2.10. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo f0 tới tải tới hạn động của panel trụ
và panel cầu FGM có gân ( 105 N m 2 )............................................... 63
Bảng 3.1. So sánh tải tới hạn động rdcr (MPa) và hệ số động lực cr  rdcr rscr của
vỏ trụ FGM hoàn hảo không gân chịu lực nén biến đổi tuyến tính theo
thời gian ............................................................................................... 82
Bảng 3.2. So sánh tải tới hạn tĩnh trên một đơn vị chiều dài rscr  rscr h (×106 N/m)
của vỏ trụ thuần nhất đẳng hướng có gân gia cường lệch tâm chịu nén
dọc trục................................................................................................. 83

5


Bảng 3.3. Ảnh hưởng của chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích k tới tải tới hạn tĩnh và
động rdcr (×108N/m2) ........................................................................... 86

Bảng 3.4. Ảnh hưởng của số lượng, loại và vị trí của gân tới tải tới hạn tĩnh và động

rdcr (×108N/m2).................................................................................... 87
Bảng 3.5. Ảnh hưởng của chỉ số R h tới tải tới hạn của vỏ trụ trên một đơn vị
chiều dài rdcr (×106N/m) ...................................................................... 89
Bảng 3.6. Ảnh hưởng của các hệ số nền tới tải tới hạn rdcr (×108N/m2). ............... 91
Bảng 3.7. Ảnh hưởng của loại và vị trí gân tới tải tới hạn rdcr (×108N/m2)............ 93
Bảng 3.8. So sánh tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ trụ có nền đàn hồi một hệ
số bao quanh ( m  1 ). ........................................................................... 94
Bảng 3.9. Ảnh hưởng của tỷ lệ R h và chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích k tới tần
số dao động tự do tuyến tính (rad/s) của vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi
bao quanh. ............................................................................................ 95
Bảng 3.10. Ảnh hưởng của các hệ số nền K1 , K 2 tới tần số dao động tự do tuyến
tính (rad/s) của vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi bao quanh. ................... 96
Bảng 3.11. Tải tới hạn động của vỏ trụ FGM có và không có gân gia cường chữ
nhật

chịu

áp

lực

qdcr

ngoài

( 105 N/m2,

cq  106

N/m2s,

ds  dr  0.0025 m). ........................................................................... 100
Bảng 3.12. Tải tới hạn động của vỏ trụ FGM có và không có gân gia cường chữ
nhật chịu nén dọc trục rdcr  rdcr h

( 105 N/m, cr  109 N/m2.s,

ds  dr  0.0025 m). ........................................................................... 101
Bảng 3.13. Ảnh hưởng của vị trí gân tới tải tới hạn của vỏ trụ FGM có và không có
gân chữ nhật lệch tâm ( 105 ) ( ds  dr  0.0025 m). ........................... 103
Bảng 3.14. So sánh tải tới hạn tĩnh của vỏ trụ đẳng hướng có gân trong chịu áp lực
ngoài (Psi) ( m  1 ). ............................................................................ 103

6


Bảng 3.15. Ảnh hưởng của nền đàn hồi và gân tới tải tới hạn động của vỏ trụ FGM
( 105 N/m2). ....................................................................................... 104
Bảng 3.16. Tải tới hạn động của vỏ trụ FGM chịu áp lực ngoài ( 105 N/m2) ....... 105
Bảng 3.17. So sánh tải tới hạn tĩnh (lbf/in) của vỏ trống hoàn hảo chịu lực dọc trục
........................................................................................................... 107
Bảng 3.18. Ảnh hưởng của chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích kin và kou tới tải tới
hạn dọc trục của vỏ trống không gân................................................... 108
Bảng 3.19. Ảnh hưởng của độ cong dọc tới tải tới hạn của vỏ trống FGMC ........ 109
Bảng 3.20. Ảnh hưởng của nền đàn hồi tới tải tới hạn của vỏ trống lồi FGMC chịu
nén dọc trục ( kin  kou  1 )................................................................. 110
Bảng 3.21. Ảnh hưởng của loại và vị trí gân tới tải tới hạn động của vỏ trống FGMC
........................................................................................................... 111

Bảng 4.1. Tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ cầu thoải FGM theo quy luật lũy
thừa (×103 rad/s) ( a =1m, R h =100, K1 =5.107 N/m3, K 2 =105 N/m) . 123
Bảng 4.2. Tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ cầu thoải phủ mặt FGM (×103
rad/s) ( a =1m, R =3m, R h =100, K1 =5×107 N/m3, K 2 =105 N/m). ... 124
Bảng 4.3. Tải tới hạn động của vỏ cầu thoải FGM theo quy luật lũy thừa (×108
N/m2) ( c =109 N/m2s, a =1m, R =3m, R h =100, K1 =5×107 N/m3,

K 2 =105 N/m) ..................................................................................... 128
Bảng 4.4. Tải tới hạn động của vỏ cầu thoải phủ mặt FGM (×108 N/m2) ( c =109
N/m2s, a =1, R =3, R h =100, K1 =5×107 N/m3, K 2 =105 N/m) .......... 129
Bảng 4.5. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới tải tới hạn động của vỏ cầu thoải FGM theo
quy luật lũy thừa ngàm cứng (×108 N/m2) ( k =1, K1 =5×107 N/m3,

K 2 =105 N/m) ..................................................................................... 130
Bảng 4.6. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới tải tới hạn động của vỏ cầu thoải ngàm cứng
phủ mặt FGM (×108 N/m2) ( h =0.03m, K1 =5×107 N/m3, K 2 =105 N/m,

kin  kou  1 ) ...................................................................................... 130

7


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Sự biến đổi tỷ phần thể tích ceramic theo chiều dày thành kết cấu tấm, vỏ
cơ tính biến thiên theo quy luật lũy thừa (1.1). ...................................... 18
Hình 1.2. Các cách kết hợp FGM trong kết cấu tấm, vỏ ......................................... 19
Hình 1.3. Một số kết cấu ứng dụng của FGM ........................................................ 20
Hình 2.1. Hệ trục tọa độ và các trường hợp của vỏ thoải hai độ cong có gân gia
cường lệch tâm ..................................................................................... 33
Hình 2.2. Quan hệ biên độ - tần số có thứ nguyên của panel trụ FGM có gân và

không gân ............................................................................................. 52
Hình 2.3. Ảnh hưởng của biên độ lực cưỡng bức Q tới đường cong biên độ - tần số
của panel cầu có gân. ............................................................................ 52
Hình 2.4. Ảnh hưởng của gân gia cường tới đường cong biên độ - tần số của panel
cầu FGM. ............................................................................................. 53
Hình 2.5. Ảnh hưởng của chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích k tới đường cong biên độ
- tần số của panel cầu FGM có gân. ...................................................... 53
Hình 2.6. Ảnh hưởng của bán kính R tới đường cong biên độ - tần số của panel cầu
FGM có gân ( k  1 ). ............................................................................. 53
Hình 2.7. Ảnh hưởng của bán kính cong tới đường cong biên độ - tần số của vỏ
thoải hai độ cong FGM không gân. ....................................................... 53
Hình 2.8. Ảnh hưởng của bán kính cong tới đường cong biên độ - tần số của vỏ
thoải hai độ cong FGM không gân. ....................................................... 54
Hình 2.9. Ảnh hưởng của bán kính cong tới đường cong biên độ - tần số của vỏ
thoải hai độ cong FGM có gân. ............................................................. 54
Hình 2.10. Ảnh hưởng của bán kính cong tới đường cong biên độ - tần số của vỏ
thoải hai độ cong FGM có gân. ............................................................. 54
Hình 2.11. Ảnh hưởng của bán kính cong tới đường cong biên độ - tần số của vỏ
thoải và tấm FGM có gân. .................................................................... 54
Hình 2.12. Ảnh hưởng của tần số lực cưỡng bức tới đường cong thời gian – biên độ
độ võng của panel trụ có gân ( a  b  1.5 m, h  0.008 m). ................... 55
8


Hình 2.13. Ảnh hưởng của gân tới đường cong thời gian – biên độ độ võng của
panel cầu không gân ( q0  t   105 sin 100t  N/m2) ............................... 56
Hình 2.14. Ảnh hưởng của gân tới đường cong thời gian – biên độ độ võng của





panel cầu có gân ( q0  t   105 sin 104 t N/m2). .................................... 56
Hình 2.15. Ảnh hưởng của tần số cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa của
panel trụ có gân. ................................................................................... 57
Hình 2.16. Ảnh hưởng của tần số cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa của
panel cầu có gân ( Q  105 N/m2) ........................................................... 57
Hình 2.17. Ảnh hưởng của biên độ lực cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa của
panel cầu có gân (   2530 rad/s) ......................................................... 57
Hình 2.18. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo tới đường cong thời gian – biên độ
độ võng của panel trụ có gân. ............................................................... 57
Hình 2.19. Quan hệ biên độ độ võng – vận tốc của panel cầu có gân gia cường ..... 58
Hình 2.20. Ảnh hưởng của lực nén trước tới đường cong thời gian – biên độ độ
võng của panel cầu có gân gia cường. ................................................... 58
Hình 2.21. Ảnh hưởng của cản tới đường cong thời gian – biên độ độ võng của
panel cầu ở những chu kỳ dao động đầu. .............................................. 58
Hình 2.22. Ảnh hưởng của cản nhớt tới đường cong thời gian – biên độ độ võng của
panel cầu sau nhiều chu kỳ dao động. ................................................... 58
Hình 2.23. Ảnh hưởng của mode vồng tới đường cong tải – biên độ độ võng của
panel trụ FGM không có gân gia cường. ............................................... 59
Hình 2.24. Ảnh hưởng của mode vồng tới đường cong tải – biên độ độ võng của
panel trụ FGM có gân gia cường........................................................... 59
Hình 2.25. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo tới đường cong tải – biên độ độ võng
của panel trụ FGM có gân. .................................................................... 61
Hình 2.26. Ảnh hưởng của gân gia cường tới ổn định động phi tuyến của panel trụ
FGM chịu áp lực ngoài. ........................................................................ 62

9

Hình 2.27. Ảnh hưởng của gân gia cường tới ổn định động phi tuyến của panel cầu
FGM chịu áp lực ngoài ......................................................................... 62
Hình 2.28. Ảnh hưởng của lực nén trước tới ổn định động lực của panel cầu FGM
có gân gia cường................................................................................... 64
Hình 3.1. Vỏ trống có gân gia cường lệch tâm ....................................................... 68
Hình 3.2. Các loại vật liệu phủ mặt FGM .............................................................. 69
Hình 3.3. Vỏ trụ có gân gia cường lệch tâm ........................................................... 72
Hình 3.4. Đường cong thời gian – biên độ độ võng của vỏ không gân chịu tải trọng
bước nhảy ............................................................................................. 83
Hình 3.5. Đường cong thời gian – biên độ độ võng của vỏ có gân đai và dọc ngoài
chịu tải trọng bước nhảy ....................................................................... 83
Hình 3.6. Đường cong thời gian – biên độ độ võng của vỏ có gân đai và dọc trong
chịu tải trọng bước nhảy ....................................................................... 84
Hình 3.7. Ảnh hưởng của chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích k tới đường cong tải –
biên độ độ võng chịu tải nén tăng tuyến tính theo thời gian của vỏ trụ
không gân. ............................................................................................ 85
Hình 3.8. Ảnh hưởng của chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích k tới đường cong tải –
biên độ độ võng chịu tải nén tăng tuyến tính theo thời gian của vỏ trụ gân
trong. .................................................................................................... 85
Hình 3.9. Ảnh hưởng của chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích k tới đường cong tải –
biên độ độ võng chịu tải nén dọc trục tăng tuyến tính theo thời gian của
vỏ trụ gân ngoài. ................................................................................... 85
Hình 3.10. Ảnh hưởng của gân đai và gân dọc ngoài tới đường cong tải – biên độ độ
võng của vỏ trụ chịu tải tăng tuyến tính theo thời gian. ......................... 88
Hình 3.11. Ảnh hưởng của vị trí tổ hợp gân đai và dọc (cùng mặt) tới đường cong
tải – biên độ độ võng của vỏ trụ chịu tải tăng tuyến tính theo thời gian. 88
Hình 3.12. Ảnh hưởng của gân đai và gân dọc trong tới đường cong tải – biên độ độ
võng của vỏ trụ chịu tải tăng tuyến tính theo thời gian .......................... 88

10

Hình 3.13. Ảnh hưởng của vị trí tổ hợp gân đai và gân dọc (khác mặt) tới đường
cong tải – biên độ độ võng của vỏ trụ chịu tải tăng tuyến tính theo thời
gian. ..................................................................................................... 88
Hình 3.14. Ảnh hưởng của tỷ số R h tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ
trụ không gân chịu tải nén tăng tuyến tính theo thời gian. ..................... 89
Hình 3.15. Ảnh hưởng của tỷ số R h tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ
trụ có gân đai và dọc ngoài chịu tải nén tăng tuyến tính theo thời gian. . 90
Hình 3.16. Ảnh hưởng của tỷ số R h tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ
trụ có gân đai và dọc trong chịu tải nén tăng tuyến tính theo thời gian. . 90
Hình 3.17. Ảnh hưởng của tốc độ đặt tải tới đường cong tải – biên độ độ võng của
vỏ trụ không gân. .................................................................................. 90
Hình 3.18. Ảnh hưởng của tốc độ đặt tải tới đường cong tải – biên độ độ võng của
vỏ trụ có gân trong. ............................................................................... 90
Hình 3.19. Ảnh hưởng của nền đàn hồi tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ
trụ FGM không gân. ............................................................................. 92
Hình 3.20. Ảnh hưởng của nền đàn hồi tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ
trụ FGM có gân trong. .......................................................................... 92
Hình 3.21. Ảnh hưởng của nền đàn hồi tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ
trụ FGM có gân ngoài. .......................................................................... 92
Hình 3.22. Ảnh hưởng của hệ số nền K 2 tới đường cong tải – biên độ độ võng của
vỏ trụ FGM có gân ngoài. ..................................................................... 92
Hình 3.23. Ảnh hưởng của nền đàn hồi tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ
trụ FGM có gân ngoài. .......................................................................... 93
Hình 3.24. So sánh tần số dao động tự do tuyến tính vỏ trụ đẳng hướng không gân.
............................................................................................................. 94
Hình 3.25. So sánh tần số dao động tự do tuyến tính vỏ trụ đẳng hướng gân ngoài.
............................................................................................................. 94
Hình 3.26. So sánh tần số dao động tự do tuyến tính vỏ trụ đẳng hướng gân trong. 94

11


Hình 3.27. Đường cong biên độ - tần số của dao động phi tuyến của vỏ trụ FGM có
gân trong. ............................................................................................. 97
Hình 3.28. Đường cong biên độ - tần số của dao động phi tuyến của vỏ trụ FGM
không gân và có gân trong. ................................................................... 97
Hình 3.29. Đường cong thời gian – biên độ độ võng của vỏ trụ FGM không gân và
gân trong .............................................................................................. 97
Hình 3.30. Đường cong biên độ độ võng - vận tốc của vỏ trụ FGM có gân trong. .. 97
Hình 3.31. Đường cong biên độ độ võng - vận tốc của vỏ trụ có gân trong. ........... 98
Hình 3.32. Đường cong thời gian – biên độ độ võng của vỏ trụ có gân trong ......... 98
Hình 3.33. Ảnh hưởng của cản nhớt tới đường cong thời gian - biên độ độ võng của
vỏ trụ có gân ngoài ở những cho kỳ dao động đầu tiên.......................... 98
Hình 3.34. Ảnh hưởng của cản nhớt tới đường cong thời gian - biên độ độ võng của
vỏ trụ có gân ngoài sau nhiều chu kỳ dao động. .................................... 98
Hình 3.35. Ảnh hưởng của chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích tới đường cong tải –
biên độ độ võng của vỏ trụ FGM có gân chữ nhật chịu áp lực ngoài. .... 99
Hình 3.36. Ảnh hưởng của chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích tới đường cong tải –
biên độ độ võng của vỏ trụ FGM có gân chữ nhật trong chịu nén dọc
trục. ...................................................................................................... 99
Hình 3.37. Ảnh hưởng của tốc độ đặt tải tới đường cong tải – biên độ độ võng vỏ
trụ FGM có gân trong chịu áp lực ngoài.............................................. 101
Hình 3.38. Ảnh hưởng của tốc độ đặt tải tới đường cong tải – biên độ độ võng vỏ
trụ FGM có gân trong chịu nén dọc trục. ............................................ 101
Hình 3.39. Ảnh hưởng của tải nén ngoài tới đường cong tải – biên độ độ võng của
vỏ trụ có gân. ...................................................................................... 102
Hình 3.40. Ảnh hưởng của tốc độ đặt tải tới đường cong tải – biên độ độ võng của
vỏ trụ có gân trong chịu áp lực ngoài. ................................................. 106

Hình 3.41. Ảnh hưởng của tốc độ đặt tải tới đường cong tải – biên độ độ võng của
vỏ có gân ngoài chịu áp lực ngoài. ...................................................... 106

12


Hình 3.42. Ảnh hưởng của chỉ số k tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ
trống lồi phủ mặt FGM chịu kéo. ........................................................ 108
Hình 3.43. Ảnh hưởng của loại vỏ tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ
trống lồi chịu kéo. ............................................................................... 108
Hình 3.44. Ảnh hưởng của chỉ số k tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ
trống lồi phủ mặt FGM chịu nén. ........................................................ 108
Hình 3.45. Ảnh hưởng của loại vỏ tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ
trống lồi chịu nén. ............................................................................... 108
Hình 3.46. Ảnh hưởng của độ cong dọc tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ
trống lồi chịu nén kin  kou  1 . .......................................................... 109
Hình 3.47. Ảnh hưởng của hệ số nền K1 tới đường cong tải – biên độ độ võng của
vỏ trống lồi FGMC chịu kéo dọc trục. ................................................ 110
Hình 3.48. Ảnh hưởng của hệ số nền K1 tới đường cong tải – biên độ độ võng của
vỏ trống lồi FGMC chịu nén dọc trục. ................................................ 110
Hình 3.49. Ảnh hưởng của hệ số nền K 2 tới đường cong tải – biên độ độ võng của
vỏ trống lồi phủ mặt FGM chịu kéo. ................................................... 111
Hình 3.50. Ảnh hưởng của hệ số nền K 2 tới đường cong tải – biên độ độ võng của
vỏ trống lồi phủ mặt FGM chịu nén. ................................................... 111
Hình 4.1. Hình dạng và hệ trục tọa độ của vỏ cầu thoải ....................................... 115
Hình 4.2. Hiện tượng phách điều hòa của vỏ cầu ngàm trượt không nền
( q0 =105sin(Ωt) N/m2)......................................................................... 126
Hình 4.3. Ảnh hưởng của nền đàn hồi tới đường cong thời gian – biên độ độ võng
vỏ cầu ngàm trượt ( q0 =105sin(500t) N/m2) ........................................ 126
Hình 4.4. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo tới đường cong thời gian – biên độ độ

võng của vỏ cầu ngàm trượt có nền ( q0 =105sin(500t) N/m2, f0 h =0.1)
........................................................................................................... 126

13


Hình 4.5. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo tới đường cong thời gian – biên độ độ
võng của vỏ cầu ngàm cứng có nền ( q0 =107sin(2000t) N/m2, f0 h =0.1)
........................................................................................................... 126
Hình 4.6. Đường cong biên độ độ võng – vận tốc của vỏ cầu ngàm trượt trên nền
đàn hồi ( q0 =105sin(500t) N/m2) ......................................................... 126
Hình 4.7. Đường cong biên độ độ võng – vận tốc của vỏ cầu ngàm trượt trên nền
đàn hồi ( q0 =105sin(1900t) N/m2) ....................................................... 126
Hình 4.8. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới đường cong thời gian – biên độ độ võng của
vỏ cầu ngàm cứng ( a =1m, R a =3, q0 =107sin(5000t) N/m2) ............ 127
Hình 4.9. Ảnh hưởng của loại vỏ tới đường cong thời gian – biên độ độ võng của vỏ
cầu ngàm trượt ( a =1m, R a =3, q0 =105sin(500t) N/m2) ................... 127
Hình 4.10. Ảnh hưởng của chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích tới đường cong thời
gian – biên độ độ võng của vỏ cầu phủ mặt FGM ngàm trượt ( a =1m,

R a =3, q0 =105sin(500t) N/m2) ......................................................... 127
Hình 4.11. Ảnh hưởng của K1 tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ cầu phủ
mặt FGM ngàm trượt ( a =1m, R a =3, c =109 N/m2s) ....................... 127
Hình 4.12. Ảnh hưởng của K 2 tới đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ cầu phủ
mặt FGM ngàm trượt ( a =1m, R a =3, c =109 N/m2s) ....................... 127

14


MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Vật liệu cơ tính biến thiên có tên quốc tế là Functionlly Graded Material
(FGM) là một loại composite thế hệ mới với đặc tính chịu tải cơ và nhiệt rất tốt và
khối lượng riêng nhẹ, siêu bền. Từ những năm 80 trở lại đây, FGM đã trở thành loại
vật liệu được lựa chọn cho các kết cấu chịu tải phức tạp, chịu nhiệt độ cao trong kỹ
thuật hiện đại như là các kết cấu máy bay, tên lửa, các thiết bị dầu khí, luyện kim
cũng như những lò phản ứng hạt nhân...
Hiện nay, các kết cấu được làm bằng FGM bắt đầu trở nên phổ biến hơn.
Chúng thường có dạng thanh, tấm và vỏ. Vì vậy, nghiên cứu ổn định động và dao
động của các kết cấu loại này là những vấn đề được các nhà khoa học trong nước và
ngoài nước quan tâm hàng đầu nhằm mục đích đảm bảo cho kết cấu làm việc an
toàn và tối ưu. Hơn nữa, trong thực tiễn để tăng cường khả năng làm việc cho các
kết cấu người ta thường gia cố bằng gân gia cường. Cách làm này có ưu điểm là
trọng lượng thêm vào ít mà khả năng chịu lực của kết cấu lại tăng lên nhiều, hơn
nữa không cần phải gia cố ở mọi chỗ mà chỉ cần gia cố ở những chỗ xung yếu, do
vậy tối ưu về mặt vật liệu và giá thành.
Mặc dù có tầm quan trọng lớn trong ứng dụng thực tế, song các nghiên cứu
hầu như chỉ tập trung vào các vấn đề ổn định động và dao động phi tuyến của các
kết cấu FGM không có gân gia cường. Bài toán dao động và ổn định động phi tuyến
của các kết cấu FGM có gân gia cường (ES-FGM) vẫn là bài toán mở.
Với lý do nêu trên, luận án đã chọn đề tài: “Phân tích phi tuyến động lực của
vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên” có tính đến gân gia cường lệch tâm
làm nội dung nghiên cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
i) Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải bằng tiếp cận giải
tích bài toán dao động phi tuyến để tìm các đáp ứng động lực, tần số dao động tự do
tuyến tính, quan hệ hiển giữa biên độ - tần số của vỏ thoải hai độ cong ES-FGM
không hoàn hảo, của vỏ trụ tròn ES-FGM, của vỏ trống ES-FGM và vỏ cầu thoải đối

15

xứng trục FGM.
ii) Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp bán giải tích để tìm tải
tới hạn động cho các kết cấu đã nêu ở mục tiêu i) ở trên.
iii) Lập trình khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số như là tính chất
FGM, gân gia cường, nền, các tham số hình học, các dạng lực đến đáp ứng động phi
tuyến của vỏ.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu của luận án
Luận án tập trung nghiên cứu vào đối tượng là panel trụ, panel cầu, vỏ thoải
hai độ cong, vỏ trụ tròn, vỏ trống và vỏ cầu thoải cơ tính biến thiên có và không có
gân gia cường, trong đó các gân gia cường là thuần nhất, đẳng hướng đặt trực giao,
mau và có mặt cắt ngang không đổi. Kết cấu chịu tải cơ thay đổi theo thời gian,
trong đó với vỏ cầu thoải có xem xét tới ảnh hưởng của nhiệt độ
Phạm vi nghiên cứu là dao động và ổn định động phi tuyến vỏ mỏng FGM.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp trong luận án là phương pháp giải tích, kết hợp với phương pháp
số. Sử dụng lý thuyết vỏ Donnell với tính phi tuyến hình học von Kármán và
phương pháp san đều tác dụng gân của Lekhnitskii để thiết lập các phương trình chủ
đạo. Từ đó áp dụng phương pháp Galerkin và phương pháp Runge-Kutta để xác
định đáp ứng động của kết cấu, tải tới hạn động nhận được theo tiêu chuẩn ổn định
động Budiansky-Roth.
5. Cấu trúc của luận án
Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục.
Mở đầu: Trình bày tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu.
Chương1: Tổng quan vấn đề nghiên cứu
Chương này trình bày các khái niệm về vật liệu cơ tính biến thiên và tổng
quan tình hình nghiên cứu về ổn định và dao động phi tuyến của các kết cấu tấm, vỏ
FGM ở trong nước và trên thế giới. Trên cơ sở phân tích các tài liệu, công trình
nghiên cứu đã có, rút ra những vấn đề đã được nghiên cứu và những vấn đề cần tiếp

tục phát triển. Đề xuất mục tiêu, nội dung nghiên cứu và cấu trúc luận án.

16


Chương 2: Phân tích phi tuyến động lực của vỏ thoải hai độ cong FGM có gân gia
cường lệch tâm.
Chương này trình bày mô hình, các giả thiết và bài toán phi tuyến động lực
của vỏ thoải hai độ cong ES-FGM. Xây dựng phương trình phi tuyến động lực của
vỏ thoải hai độ cong FGM có gân gia cường lệch tâm, hoàn hảo và không hoàn hảo.
Trình bày phương pháp giải và các kết quả nghiên cứu cho bài toán ổn định động và
dao động phi tuyến của kết cấu đó. Các so sánh để khẳng định độ tin cậy của
phương pháp cũng được chỉ ra trong chương này.
Chương 3: Phân tích phi tuyến động lực của vỏ trụ tròn và vỏ trống FGM có gân
gia cường lệch tâm.
Chương này trình bày mô hình, các giả thiết và bài toán phi tuyến động lực
của vỏ trụ tròn và vỏ trống ES-FGM. Xây dựng phương trình phi tuyến động lực
của vỏ trụ tròn và vỏ trống FGM có gân gia cường lệch tâm, hoàn hảo và không
hoàn hảo có nền đàn hồi bao quanh. Phương pháp giải và các kết quả nghiên cứu
cho bài toán ổn định động và dao động phi tuyến của kết cấu đó được trình bày. Các
kết quả tính toán số được so sánh với kết quả của các công trình khác để khẳng định
độ tin cậy của phương pháp.
Chương 4: Phân tích phi tuyến động lực của vỏ cầu thoải đối xứng trục FGM có
tính đến ảnh hưởng của nhiệt độ.
Chương này trình bày mô hình, các giả thiết và bài toán phi tuyến động lực
của vỏ cầu thoải đối xứng trục FGM. Xây dựng phương trình phi tuyến động lực
của vỏ cầu thoải FGM không gia cường, hoàn hảo và không hoàn hảo đặt trên nền
đàn hồi và có xem xét tới ảnh hưởng của nhiệt độ. Trình bày phương pháp giải và
các kết quả nghiên cứu cho bài toán ổn định động và dao động phi tuyến của vỏ cầu
thoải đối xứng trục FGM.

Kết luận: Trình bày những kết quả mới của luận án và các kiến nghị của tác giả rút
ra từ nội dung nghiên cứu.
Tài liệu tham khảo.
Phụ lục.

17


Chương 1: TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally graded material)
Vật liệu cơ tính biến thiên được các nhà khoa học ở viện Sendai Nhật Bản
nghiên cứu lần đầu tiên vào năm 1984 [53]. Có một vài loại FGM, nhưng loại đang
được quan tâm nhiều nhất là loại vật liệu hai thành phần được tạo thành từ gốm
(ceramic) và kim loại (metal), trong đó tỷ phần thể tích mỗi thành phần biến đổi
một cách trơn và liên tục từ mặt này sang mặt kia theo chiều dày thành kết cấu.
Thành phần ceramic với mô đun đàn hồi cao và hệ số dãn nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt
thấp làm cho FGM có độ cứng cao và chịu nhiệt rất tốt, nhất là trong môi trường
nhiệt khắc nghiệt. Trong khi đó thành phần kim loại làm cho vật liệu này có tính
dẻo dai, khắc phục được tính giòn, sự bong tách, rạn nứt của kết cấu.
Quy luật hay được dùng để thể hiện cơ tính biến thiên là [9-11, 14-19, 33]
k

 2z  h 
Vc  Vc  z   
Vm  Vm  z   1  Vc ,
(1.1)
 ,
 2h 
trong đó h là bề dày thành kết cấu, z là biến chiều dày, k  0 là chỉ số đặc trưng tỷ
phần thể tích và các chỉ số dưới c và m để chỉ thành phần ceramic và kim loại

tương ứng.
Từ quy luật (1.1) ta có thể thấy k  0
với kết cấu thuần nhất đẳng hướng được
làm từ ceramic hoàn toàn, k  1 với
trường hợp thành phần ceramic và kim
loại phân bố theo quy luật tuyến tính theo
chiều dày của kết cấu, và khi k tăng thì
thành phần kim loại tăng lên còn thành

Hình 1.1. Sự biến đổi tỷ phần thể tích

phần ceramic giảm đi, khi k   ta

ceramic theo chiều dày thành kết cấu

được kết cấu hoàn toàn kim loại. Quy

tấm, vỏ cơ tính biến thiên theo quy luật

luật này được mô tả như hình 1.1.

lũy thừa (1.1).

Tính chất hiệu dụng (ký hiệu là Pr eff ) của FGM với quy luật (1.1) giả thiết
được xác định theo quy tắc hỗn hợp
18


k

Pr

eff

 Pr

eff

2z  h 
 z   PrcVc  z   PrmVm  z    Prc  Prm  
  Prm . (1.2)
 2h 

Ở đây Pr dùng để chỉ một tính chất cụ thể của vật liệu như mô đun đàn hồi
E , mật độ khối lượng  , hệ số Poisson  , hệ số dãn nở nhiệt  hoặc hệ số dẫn
nhiệt K , chẳng hạn
k

 2z  h 
E  E  z    Ec  Em  
  Em ,
 2h 

(1.3)

k

 2z  h 
    z    c  m  
   m ,...

 2h 
Trong thực tế có nhiều cách kết hợp FGM trong kết cấu tấm vỏ phù hợp với
điều kiện làm việc như được thể hiện trong hình 1.2.
Với đặc tính ưu việt, hiện nay FGM không những được ứng dụng trong lĩnh
vực cơ học mà còn được ứng dụng trong nhiều ngành kỹ thuật khác như là điện tử,
quang học, hóa học, y học …(hình 1.3).

(a) Vật liệu phủ 2 mặt FGM

(c) FGM đối xứng

(b) Vật liệu phủ 1 mặt FGM

(d) FGM theo quy luật lũy thừa

Hình 1.2. Các cách kết hợp FGM trong kết cấu tấm, vỏ
Về mặt công nghệ chế tạo, FGM có một số phương pháp
+ Công nghệ luyện kim bột,
+ Công nghệ lắng đọng hơi,
+ Công nghệ ly tâm,
+ Công nghệ in 3D.
Luận án không đi sâu vào vấn đề này, chúng được trình bày trong các công
trình [42, 52, 59, 62, 64, 100].
19


(a) Chân răng thay thế

(b) Lõi phản ứng hạt nhân

(nguồn InTech Publisher)

(nguồn KNA)

(c) Tàu con thoi và tên lửa đẩy (nguồn NASA)
Hình 1.3. Một số kết cấu ứng dụng của FGM
1.2. Các nghiên cứu về dao động và ổn định phi tuyến của kết cấu FGM
Nghiên cứu phi tuyến dao động và ổn định của kết cấu FGM hiện nay thường
thực hiện bằng ba cách tiếp cận: giải tích, bán giải tích và phương pháp số.
Trong khuôn khổ của luận án, tác giả chỉ tập trung tìm hiểu các công trình
nghiên cứu sử dụng các phương pháp giải tích và bán giải tích về ứng xử đàn hồi
của các kết cấu FGM dưới các điều kiện tải trọng và điều kiện biên khác nhau.
1.2.1. Tấm và vỏ FGM không gia cường
Có rất nhiều nhóm tác giả trong nước và thế giới đã nghiên cứu lĩnh vực này.
Trước hết đó là nhóm tác giả Hui Shen Shen và các cộng sự (ccs). Một số kết
quả tiêu biểu của họ là:
Shen [71] và Shen và các cộng sự [72] phân tích về ứng xử sau mất ổn định

20


của vỏ trụ không hoàn hảo FGM theo lý thuyết biến dạng trượt có nền đàn hồi bao
quanh chịu tải nén dọc trục (Shen [71]) và áp suất trong (Shen và các cộng sự [72])
trong điều kiện nhiệt độ môi trường. Trong đó sử dụng mô hình hai hệ số nền
Pastenak, lý thuyết biến dạng trượt bậc cao và tính phi tuyến hình học von Kármán.
Hiệu ứng nhiệt trong quá trình truyền nhiệt và sự phụ thuộc của tính chất vật liệu
vào nhiệt độ cũng được xem xét đến. Dạng nghiệm của độ võng ba số hạng ứng với
hai điều kiện biên ngàm và tựa đơn cho phép khảo sát ứng xử của vỏ ở giai đoạn
trước và sau mất ổn định. Phương pháp tham số bé được sử dụng để xác định đáp
ứng sau mất ổn định và một sơ đồ lặp được phát triển để tính toán kết quả số mà

không cần bất kỳ giả thiết nào về dạng của vùng tiếp xúc giữa vỏ và nền đàn hồi.
Về dao động phi tuyến của kết cấu FGM, nhóm tác giả chỉ tập trung vào các
kết cấu FGM đơn giản. Tuy vậy, các nghiên cứu này thường phân tích một cách rất
sâu sắc, toàn diện và được tính toán bằng các lý thuyết và các phương pháp để hạn
chế tối đa việc sử dụng các giả thiết nhằm đảm bảo độ tin cậy của kết quả.
Huang và Shen [50] đã nghiên cứu về dao động và đáp ứng động lực của tấm
FGM với thiết bị điều khiển động áp điện trong nhiệt độ môi trường. Trong đó hai
lớp áp điện được gắn trên hai mặt trên và dưới của tấm FGM. Quá trình truyền nhiệt
và tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ cũng được xem xét đến. Với giả thiết
tính chất của lớp áp điện không phụ thuộc vào trường điện và nhiệt độ. Trường
nhiệt độ được giả thiết phân bố đều trên toàn bộ bề mặt tấm và biến đổi theo chiều
dày tấm trong khi đó trường điện được giả thiết chỉ có thành phần ngang E 2 . Dựa
trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, tính phi tuyến hình học von Kármán và hiệu
ứng nhiệt áp điện, tác giả đã lựa chọn nghiệm độ võng và độ không hoàn hảo dạng
chuỗi tuyến tính trong đó có tính đến thành phần xoay của mặt trung bình. Phương
pháp Galerkin, phương pháp nhiễu đã được sử dụng và sau một số phép biến đổi
phức tạp thu được phương trình vi phân cấp hai chuyển động của tấm. Quan hệ độ
võng và tần số của dao động cưỡng bức và dao động tự do phi tuyến cũng được
khảo sát một cách chi tiết.
Với phương pháp tiếp cận tương tự, Xia và Shen [96-98] đã khảo sát dao động

21