MỘT SỐ BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ở MÔN TOÁN ĐẠI SỐ 8 TẠI TRƯỜNG PTDTBT - THCS TRÀ DON

1. Tên đề tài:
MỘT SỐ BIỆN PHÁP
MỘT SỐ BIỆN PHÁP
NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC PHÂN
NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC PHÂN
TÍCH
TÍCH
Đ
Đ
A THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ở MÔN TOÁN ĐẠI SỐ 8
A THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ở MÔN TOÁN ĐẠI SỐ 8
TẠI
TẠI
TRƯỜNG PTDTBT
TRƯỜNG PTDTBT
-
-
THCS TRÀ DON
THCS TRÀ DON
2. Đặt vấn đề:
2.1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình toán học phổ thông, phân tích đa thức thành nhân
tử là một vấn đề đặc biệt quan tâm, vì nó được sử dụng xuyên suốt quá trình
học tập của học sinh. Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều
phương pháp hay nhiều cách giải, việc tìm ra phương pháp thích hợp cho lời
giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa học tất cả đều phụ thuộc
vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Qua quá trình giảng dạy,
cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, việc phân tích đa thức thành
nhân tử là không quá khó, song vẫn còn nhiều học sinh giải sai hoặc chưa
thực hiện được. Nguyên nhân là do học sinh chưa nắm vững các phương pháp
cơ bản đã học về phân tích đa thức thành nhân tử, chưa vận dụng kỹ năng

biến đổi một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể.
Để giúp các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân
tích đa thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành
nhân tử trong quá trình học tập, cũng như nhằm nâng cao kiến thức cần thiết
giúp các em học tốt môn toán và đồng thời phát huy được trí tuệ của học sinh.
Xuất phát từ tình hình đó, bản thân tôi chọn đề tài: "Một số biện pháp nâng
cao hiệu quả dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở môn toán đại số 8 tại
trường PTDTBT - THCS Trà Don".
2.2. Giới hạn nghiên cứu đề tài:
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8 trường PTDTBT -
THCS Trà Don, năm học 2013 - 2014.
Ý tưởng của đề tài rất phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng,
nên bản thân chỉ nghiên cứu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
ở chương trình SGK, SBT toán 8 hiện hành.
3. Cơ sở lý luận:
Kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung quan trọng,
phong phú, đa dạng. Nội dung này được đưa vào chương trình toán 8, nhưng
thật ra các em đã được đề cập từ trước với dạng bài toán ngược áp dụng tích
chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trên các tập hợp số. Với
lượng thời gian phân phối chỉ có 6 tiết từ tiết 9 đến tiết 14 song nội dung này
là cơ sở vận dụng cho các mãng kiến thức sau: "giải toán trên các đa thức, rút
gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu
thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình, "
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để
thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ
1
năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán. Đặc biệt là kĩ năng giải toán,
kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh mà ta xây dựng

cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải
khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.
4. Cơ sở thực tế:
Tình hình học sinh: 100% là con em vùng khó khăn, trình độ nhận thức
thấp và thiếu sự quan tâm của gia đình.
Đội ngũ giáo viên: đa số giáo viên còn trẻ, tuổi nghề còn ít, kinh
nghiệm chưa nhiều.
Học sinh quá nhiều lỗ hổng kiến thức vì vậy các em dễ chán nản và
không ham thích học toán, tâm lí sợ môn toán. Một số em lười học, thiếu sự
tìm tòi, sáng tạo trong học tập, không có sự phấn đấu vươn lên, chay lười suy
nghĩ hay dựa dẫm vào thầy cô và bạn bè hoặc thụ động xem lời giải sẵn có
dẫn tới không nắm được kĩ năng vận dụng các kiến thức vào giải quyết các
bài tập toán học.
Qua khảo sát thực tế tình hình học sinh khối 8 năm học 2012 - 2013
như sau:
Tổng Đạt trên trung bình Dưới trung bình
HS khối 8 29 17 12
Tỉ lệ % 100% 58,6% 41,4%
5. Nội dung nghiên cứu:
5.1. Củng cố kiến thức cơ bản: (đối với học sinh yếu, kém)
Các phương pháp thường gặp:
5.1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung.
Phương pháp chung:
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C = A.(B + C).
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử.
* Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x
2

y – 21xy
2
+ 28x
2
y
2
thành nhân tử. (BT-39c-
SGK-tr19)
Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ?
(Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7)
- Tìm nhân tử chung của các biến x
2
y, xy
2
, x
2
y
2
?
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy.
Giải: 14x
2
y – 21xy
2
+ 28x
2
y
2
= 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy

= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
* Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. (BT-39e-
SGK-tr19)
Gợi ý:
2
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ?
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có
nhân tử chung (y – x) hoặc (x – y)?
Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x).
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)
* Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)
2
thành nhân tử.
Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) + 10(x – y)
2
(đổi dấu sai )
= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(19x – 10y). (kết quả sai )
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) + 10(x – y)
2

Sai lầm ở trên là đổi dấu ba nhân tử : –10 và (y – x)
2
của tích –10(y – x)
2

(vì –10(y – x)
2
= –10(y – x)(y – x)).
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) – 10(x – y)
2

= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x).
* Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức sau: x(x - y) + y(y - x) tại x = 2013, y =
13. (bài 23a/sbt/tr 5)
Ở đây, ta vận dụng kiến thức phân tích đa thức thàn nhân tử bằng
phương pháp đặt nhân tử chung để giải bài toán.
Lời giải:
x(x - y) + y(y - x) = x(x - y) + y(x - y)
= (x - y) (x + y)
= (2013 - 13) (2013 + 13)
= 2000. 2026
= 4025000
+ Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: Cách tìm nhân tử chung
của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và nhân tử chung của các
biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất). Vận dụng kiến thức phân tích đa
thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung để giải toán.
Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.

Chú ý: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách
tổng quát, tích không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó).
5.1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Phương pháp chung:
Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa
về “dạng tích”
1. A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
2. A
2
– 2AB + B
2
= (A – B)
2

3
3. A
2
– B
2
= (A – B)(A + B)
4. A
3
+ 3A
2
B + 3AB

2
+ B
3
= (A + B)
3

5. A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
= (A – B)
3

6. A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
– AB + B
2
)
7. A
3
– B
3

= (A – B)(A
2
+ AB + B
2
)
* Ví dụ 5: Phân tích đa thức 8x
3
+ 12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
thành nhân tử. (BT-
44d-SGK-tr20)
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A
3
+ 3A
2
B
+ 3AB
2
+ B
3
= (A + B)
3
).
Lời giải:
8x
3

+ 12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
= (2x)
3
+ 3.(2x)
2
.y + 3.2x.y
2
+ y
3

= (2x + y)
3
.
* Ví dụ 6: Phân tích đa thức (x + y)
2
– (x

– y)
2
thành nhân tử. (BT- 28a-SBT-
tr6)
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A
2
– B
2

)
Lời giải sai:
(x + y)
2
– (x

– y)
2
= (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc
Lời giải đúng: (x + y)
2
– (x

– y)
2
= [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x = 4xy
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu.
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình
phương, bình phương của một hiệu.
 Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các
em làm bài tập dưới dạng phức tạp hơn.
* Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán
Phân tích (x + y)
3
– (x – y)

3
thành nhân tử (BT-44b-SGK-tr20)
* Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có bài toán
Phân tích a
6
– b
6
thành nhân tử (BT-26c-SBT-tr6)
a
6
– b
6
=
( ) ( )
2 2
3 3
a b−
= (a
3
– b
3
)( a
3
+ b
3
)
* Ví dụ 7: Phân tích a
6
– b
6

thành nhân tử (BT-26c-SBT-tr6)
Giải: a
6
– b
6
=
( ) ( )
2 2
3 3
a b−
= (a
3
– b
3
)( a
3
+ b
3
)
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
)(a + b)(a
2
– ab + b
2
)
+ Giáo viên củng cố cho học sinh:
Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua

bài toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng
thức cho thích hợp.
5.1.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Phương pháp chung:
4
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất
hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng
đẳng thức.
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình
phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
5.1.3.1/ Nhóm hạng tử nhằm xuất hiện nhân tử chung:
* Ví dụ 8: Phân tích đa thức 5x – 5y + ax – ay thành nhân tử. (Bài tập 32a-
SBT-tr6)
Gợi ý:
- Các hạng tử có nhân tử chung hay không ?
- Làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung ?
Cách 1: nhóm (5x – 5y) và (ax – ay)
Cách 2: nhóm (5x + ax) và (– 5y – ay )
Lời giải:
Cách 1: 5x – 5y + ax – ay = (5x – 5y) + (ax – ay)
= 5(x – y) + a(x – y)
= (x – y)(5 + a).
Cách 2: 5x – 5y + ax – ay = (5x + ax) + (-5y – ay)
= x(5 + a) - y.(5 + a)
= (5 + a)(x - y).
* Ví dụ 9: Phân tích đa thức x

2
– xy + x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a-
SGK-tr22)
Cách 1: nhóm (x
2
– xy) và (x – y)
Cách 2: nhóm (x
2
+ x) và (– xy – y )
Lời giải sai:
x
2
– xy + x – y = (x
2
– xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0). (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung (HS cho
rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0)
Lời giải đúng: x
2
– xy + x – y = (x
2
– xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y)
= (x – y)(x + 1).
5.1.3.2/ Nhóm nhằm xuất hiện dùng hằng đẳng thức:
* Ví dụ 10: Phân tích đa thức x
2
- 2xy + y

2

– z
2
thành nhân tử. (Bài tập 31c-
sgk-tr 6.
Gợi ý:
- Trong 4 hạng tử trên ta nên nhóm các hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng
thức ?
5
Giải: x
2
- 2xy + y
2

– z
2
= (x
2
– 2xy + y
2
) – z
2
= ( x - y)
2
– z
2

= ( x – y – z) ( x - y + z).
* Ví dụ 11: Phân tích đa thức x

2
- 2xy + y
2

– z
2
+ 2zt – t
2
thành nhân tử. (Bài
tập 48c-sgk-tr 22)
Giải: x
2
- 2xy + y
2

– z
2
+ 2zt – t
2
= (x
2
– 2xy + y
2
) – (z
2
+ 2zt + t
2
)
= ( x - y)
2

– ( z + t )
2

= ( x – y – z - t ) ( x - y + z + t).
Lời giải sai:
x
2
- 2xy + y
2

– z
2
+ 2zt – t
2
= (x
2
– 2xy + y
2
) – (z
2
- 2zt +t
2
)
= ( x - y)
2
– ( z - t )
2

= ( x –y –z - t ) ( x - y + z - t)
Lý do sai: Đặt dấu sai khi nhóm các hạng tử (khi đặt dấu trừ ngoài dấu

ngoặc).
Cách giải đúng:
x
2
- 2xy + y
2

– z
2
+ 2zt – t
2
= (x
2
– 2xy + y
2
) – (z
2
+ 2zt + t
2
)
= (x - y)
2
– (z + t )
2

= (x – y – z - t) (x - y + z + t)
+ Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố kiến thức cho học sinh:
- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử.
- Kiểm tra lại cách đặt dấu trừ ra ngoài dấu ngoặc khi thực hiện nhóm
các hạng tử của đa thức.

5.1.3.3/ Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
* Ví dụ 12: Phân tích đa thức x
4
+ 2x
3
+ x
2
thành nhân tử. (Bài tập 34a-
sbt-tr 7).
Gợi ý:
- Đa thức trên có nhân tử nào chung ?
- Ta còn phân tích thành nhân tử được nữa không ?
Lời giải:
x
4
+ 2x
3
+ x
2
= x
2
(x
2
+ 2x + 1)
= x
2
(x + 1)
2
.
* Ví dụ 13: Phân tích đa thức x

2
– x – y
2
– y thành nhân tử. (Bài tập 31a-
sbt-tr 10).
Lời giải sai: x
2
–x – y
2
– y = (x
2
– y
2
) – (x – y ) (đặt dấu sai)
= (x + y)(x – y) – (x – y) (sai từ trên)
= (x – y)(x + y – 1) (kết quả dấu sai).
Sai lầm của học sinh là:
x
2
– x – y
2
– y = (x
2
– y
2
) – (x – y ) (đặt dấu sai ở ngoặc thứ
hai)
Lời giải đúng: x
2
– x – y

2
– y = (x
2
– y
2
) - ( x + y )
= (x + y)(x – y) – (x + y)
= (x + y)(x – y – 1).
+ Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
6
- Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở
trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm.
- Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh
cần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình
phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai,
phải thực hiện lại.
5.2. Vận dụng và phát triển kỹ năng: (đối với học sinh trung bình, khá)
Phương pháp chung:
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng
tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài
toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích
hợp.
Ta thường xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ?
Dùng hằng đẳng thức ?
Nhóm nhiều hạng tử ?
* Ví dụ 14: Phân tích đa thức x
4
– 9x
3

+ x
2
– 9x thành nhân tử. (Bài tập ?2
-SGK-tr22)
Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ?
Dùng hằng đẳng thức ?
Nhóm nhiều hạng tử ?
Các sai lầm cuả học sinh:
Lời giải chưa hoàn chỉnh:
x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = x(x
3
– 9x
2
+ x – 9) (phân tích chưa triệt để).
x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = (x
4
– 9x
3

) + (x
2
– 9x)
= x
3
(x – 9) + x(x – 9 )
= (x – 9)(x
3
+ x ) (phân tích chưa triệt để).
Lời giải đúng: x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = x(x
3
– 9x
2
+ x – 9)
= x[(x
3
– 9x
2
) + (x – 9)]
= x[x
2
(x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x
2

+ 1).
* Ví dụ 15: Phân tích đa thức A = (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
thành nhân tử.
(Bài tập 57-sbt- tr 14).
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa
chọn cách giải phù hợp nhất, gọn nhất.
Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)
3
= A
3
+ B
3
+ 3AB(A + B)
Suy ra hệ quả sau: A
3
+ B
3
= (A + B)
3
– 3AB(A + B).
Giải:
A = (x + y + z)
3

– x
3
– y
3
– z
3
= [(x + y) + z]
3
– x
3
– y
3
– z
3
= (x + y)
3
+ z
3
+ 3z(x + y)(x + y + z) – x
3
– y
3
–
z
3

= [(x + y)
3
– x
3

– y
3
] + 3z(x + y)(x + y + z)
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z
2
)
7
= 3(x + y)( xy + xz + yz + z
2
)
= 3(x + y)(y + z)(x + z).
Khai thác bài toán:
1) Cho a + b + c = 0. Chứng minh: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. (Bài tập 38-SBT-tr7)
Hướng dẫn:
Dùng x
3
+ y
3
= (x + y)
3
– 3xy(x + y) và x + y + z = 0
⇔
x + y = – z.
2) Phân tích đa thức x

3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c-SBT-tr6).
Hướng dẫn:
Dùng x
3
+ y
3
= (x + y)
3
– 3xy(x + y).
5.3. Phát triển tư duy: (đối với học sinh khá, giỏi)
Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới hạn ba
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: đặt nhân tử chung, dùng
hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử. Tuy nhiên, trong phần bài tập lại có
những bài không thể áp dụng ngay ba phương pháp trên để giải (chẳng hạn:
bài tập 53; 54/ sgk/tr 24-25). Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” một hạng
tử thành hai hạng tử khác hoặc “ thêm và bớt cùng một hạng tử ” thích hợp rồi
áp dụng các phương pháp trên. Do đó, tôi đưa ra hai phương pháp để học sinh
vận dụng rộng rãi trong thực hành giải toán.
5.3.1. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
* Ví dụ 16: Phân tích đa thức P(x) = x
2
– 5x + 6 thành nhân tử.
Gợi ý: Có nhiều cách phân tích.
Cách 1: Tách hạng tử - 5x = - 2x – 3x
P(x) = x

2
– 5x + 6 = x
2
– 2x – 3x + 6
= (x
2
– 2x) – (3x – 6)
= x(x – 2) - 3( x – 2)
= (x – 2 )( x – 3).
Cách 2: Tách hạng tử 6 = 10 - 4
P(x) = x
2
– 5x + 6 = x
2
– 5x + 10 - 4
= (x
2
– 4) – ( 5x – 10)
= (x + 2)( x – 2 ) – 5 (x – 2)
= (x – 2)( x + 2 – 5)
= ( x – 2 )(x – 3).
Cách 3: Tách hạng tử - 5x = - 4x – x và 6 = 4 + 2
P(x) = x
2
– 5x + 6 = x
2
- 4x –x + 4 + 2
= (x
2
- 4x + 4) – ( x – 2)

= (x – 2)
2
- ( x – 2)
= (x – 2 )(x – 2 – 1)
= (x – 2)( x – 3).
* Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm
làm xuất hiện các phương pháp đã học như: đặt nhân tử chung, dùng hằng
đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh
trong giải toán.
8
* Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax
2
+ bx + c thành nhân tử, ta tách
hạng tử bx thành b
1
x + b
2
x sao cho b
1
b
2
= a.c
* Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích a.c.
Bước 2: Phân tích a.c thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x
2
+ 7x – 2 thành nhân tử (Bài tập 35c-sbt-
tr7)

Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2
Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12
Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
Bước 3: b = 7 = 4 + 3
Khi đó ta có lời giải: – 6x
2
+ 7x – 2 = – 6x
2
+ 4x + 3x – 2
= (– 6x
2
+ 4x) + (3x – 2)
= –2x(3x – 2) + (3x – 2)
= (3x – 2)(–2x + 1).
* Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số
tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp
nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử
chung.
5.3.2. Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương
pháp nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức.
* Ví dụ 17: Phân tích đa thức x
4
+ 4 thành nhân tử. (Bài tập 57d-SGK-tr 25)
Gợi ý: Thêm 4x
2
và bớt 4x
2
(làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Giải: x

4
+ 4 = x
4
+ 4x
2
+ 4 – 4x
2
= (x
2
+ 2)
2
– (2x)
2
= (x
2
+ 2 – 2x)( x
2
+ 2 +
2x)
Khai thác bài toán:
Thay “4” thành “ 64y
4
”, ta có bài toán: x
4
+ 64y
4
Hướng dẫn:
Thêm 16x
2
y

2
và bớt 16x
2
y
2
(làm xuất hiện hằng đẳng thức)
x
4
+ 64y
4
= (x
4
+ 16x
2
y
2
+ 64y
4
) – 16x
2
y
2

= (x
2
+ 8y
2
)
2
– (4xy)

2

= (x
2
+ 8y
2
– 4xy)(x
2
+ 8y
2
+ 4xy).
Ngoài ra, con một số phương pháp như: phương pháp đặt ẩn phụ,
phương pháp tìm nghiệm đa thức, phương pháp hệ số bất định.
Trên đây là một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Tuỳ
theo dạng đa thức mà áp dụng cách giải cho phù hợp.
* Lưu ý: Sau những năm giảng dạy về dạng toán phân tích đa thức
thành nhân tử, tôi rút được một số kinh nghiệm sau:
- Cần phải đọc kĩ đề bài, phân tích đề bài để từ đó xác định được
phương pháp phân tích sao cho phù hợp.
9
- Cần luyện kĩ năng cộng, trừ đơn thức và biến đổi đa thức cho học
sinh.
- Cần luyện kĩ năng tính toán, cần nhắc nhở học sinh chú ý về dấu.
- Học sinh cần phải ghi nhớ và có kĩ năng vận dụng các hằng đẳng thức
đáng nhớ một cách linh hoạt.
- Lưu ý bước thử lại cũng rất quan trọng, vì có một số học sinh trong
quá trình biến đổi, tính toán có thể bị sai dấu, sai số hoặc sai luỹ thừa của biến
sẽ dẫn đến kết quả sai.
6. Biện pháp và kết quả thực hiện:
6.1. Biện pháp thực hiện

Để thực hiện tốt kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên thành
thạo trong thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến
thức cơ bản sau:
- Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc
dấu ngoặc ở các lớp 6, 7.
- Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho
học sinh nắm vững chắc kiến thức về nhân đơn thức với đa thức, đa thức với
đa thức, các hằng thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo cả hai chiều của
các hằng đẳng thức.
- Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần:
* Quan sát đặc điểm của bài toán:
Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong bài toán (về các hệ số, các
biến).
* Nhận dạng bài toán:
Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào? áp dụng phương pháp nào
trước, phương pháp nào sau (đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức
hoặc nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp các phương pháp).
* Chọn lựa phương pháp giải thích hợp:
Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với bài
toán.
 Lưu ý: Kinh nghiệm khi phân tích một bài toán thành nhân tử

Trong một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp
theo đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụng
phương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp
theo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử
chung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước

tiếp theo của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc
dùng hằng đẳng thức.
10
- Đặc biệt, phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm không
thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền. Nhưng phương pháp dùng hằng
đẳng thức có thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền.
Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các
phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau mỗi bước
giải phải có sự kiểm tra, phải có sự đánh giá bài toán chính xác theo một lộ
trình nhất định, từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp phân tích cho phù
hợp. Xây dựng cho học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài
toán, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào từng bài toán, sử
dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học,
tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, tìm những
cách giải hay, cách giải khác.
6.2. Kết quả:
Kết quả áp dụng kĩ năng này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập
của bộ môn đối với học sinh đại trà.
Cụ thể kết quả kiểm tra về dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
được thông kê qua các giai đoạn ở hai lớp 8
1
năm học 2013 - 2014 như sau:
a) Chưa áp dụng giải pháp
Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm:
Thời gian
Đầu học kì I đến cuối học kì I
TSHS Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 1) 29 15 51,7%
*

Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích bài
toán, các hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình
bày bài giải còn lung tung.
b) Áp dụng giải pháp
Lần 1: Kiểm tra 1 tiết
Thời gian
Đầu học kì I đến cuối học kì I
TSHS Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 2) 29 21 72,4%
*
Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm chắc kiến thức cơ bản về các
hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc vận dụng khá tốt
các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán, biết nhận
xét đánh giá bài toán trong các trường hợp, trình bày khá hợp lý.
Lần 2: Kiểm tra học kì I
Thời gian
Đầu học kì I đến cuối học kì I
TSHS Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 3) 29 26 89,7%
*
Nhận xét: Học sinh nắm vững chắc các kiến về phân tích đa thức
thành nhân tử, vận dụng thành thạo kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào
các bài toán đã biết cách giải trước đó, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng
11
đẳng thức và đã trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ thống và logic, chỉ còn
một số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực hiện tốt.
Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại từng dạng
toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ năng giải nhanh các bài toán có dạng

tương tự, nhiều bài toán mới.
 Tóm lại:
Nhờ thực hiện như trên mà qua quá trình học toán lớp 8, đối với dạng
toán “ phân tích đa thức thành nhân tử”, các em không còn ngần ngại khi giải
chúng.
Kết quả bài kiểm tra, ở các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử”
các em đạt điểm cao.
Các em biết trình bày chính xác, chặt chẽ và rõ ràng hơn.
Đối với học sinh khá, giỏi các em có thể giải được bài toán: “ phân tích
đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phương pháp tách một hạng tử thành
nhiều hạng tử khác; phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử”; các em
trung bình, yếu thì giải các bài toán: "phương pháp đặt nhân tử chung, phương
pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp nhóm nhiều hạng tử, phối hợp
nhiều phương pháp".
7. Kết luận:
Sau thời gian nghiên cứu, vận dụng các phương pháp rèn kỹ năng
phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình đại số 8. Tôi nhận thấy kết
quả bước đầu học sinh tiến bộ đáng kể, giúp học sinh tự tin hơn khi giải các
bài toán khó hơn các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa. Số học sinh có kỹ
năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tăng lên. Từ đó cải thiện
được kết quả học tập của học sinh các lớp mà bản thân giảng dạy. Cụ thể là số
học sinh khá, giỏi tăng lên đáng kể; số học sinh học yếu kém giảm nhiều.
Đề tài có nội dung kiến thức tương đối rộng gần như xuyên suốt
chương trình đại số 8, được áp dụng để nâng cao chất lượng học tập của học
sinh và bồi dưỡng học sinh giỏi. Vì vậy việc tổ chức cho học sinh nắm vững
kiến thức cơ bản theo yêu cầu của chương trình, có kỹ năng giải toán thành
thạo là hết sức quan trọng. Việc áp dụng đề tài này cần phải có thời gian, phải
được tiến hành một cách hệ thống. Do vậy hình thức tổ chức là các buổi luyện
tập, ôn tập giáo viên cần phân dạng bài tập và trình bày theo hệ thống kiến
thức.

Để áp dụng đề tài đạt hiệu quả cao giáo viên phải có phương pháp
giảng dạy tích cực, kích thích động cơ, hứng thú học tập cho học sinh và trong
quá trình dạy phải khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh, bồi dưỡng cho học
sinh phương pháp học và tự học. Giáo viên phải tích cực nghiên cứu tìm tòi
các bài tập liên quan, cách giải hay độc đáo và phân loại các dạng bài tập.
Đề tài nghiên cứu, rút kinh nghiệm của bản thân, thông qua thực trạng
học sinh lớp 8 trong năm học 2012 – 2013 mà tôi xây dựng để tiết học đạt
hiệu quả. Song vẫn còn một số thiếu sót, hạn chế của nó rất mong sự góp ý
của các đồng nghiệp, các cấp lãnh đạo để đề tài được hoàn thiện hơn.
12
Tôi xin chân thành cảm ơn.
8. Đề nghị:
Ban đại diện phụ huynh học sinh phối hợp cùng nhà trường, để góp
phần giáo dục ý thức học tập cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng học tập
của học sinh.
Nên tổ chức các hội thảo, chuyên đề môn Toán nhằm tạo điều kiện để
giáo viên học hỏi và trao đổi kinh nghiệm.
9. Tài liệu tham khảo:
- Sách giáo viên Toán học lớp 8, tập 1, NXB giáo dục.
- Sách giáo khoa Toán học lớp 8, tập 1, NXB giáo dục.
13
- Sách chuẩn kiến thức môn Toán học 8, tập 1, NXB giáo dục.
- Phụ đạo cho học sinh dân tộc, tác giả Phan Thị Luyến - Nguyễn Thị
Phương Thảo, NBX giáo dục Việt Nam.
- Những bài toán cơ bản và nâng cao chọn lọc Toán 8, NXB giáo dục.
- Tuyển tập các bài toán và khó toán 8, tập 1, NXB giáo dục.
- Các website: tư liệu bạch kim.vn; violet.vn.
MỤC LỤC
***
1. Tên đề tài: 1

2. Đặt vấn đề: 1
14
2.1. Lí do chọn đề tài: 1
2.2. Giới hạn nghiên cứu đề tài: 1
3. Cơ sở lý luận: 1
4. Cơ sở thực tế: 2
5. Nội dung nghiên cứu: 2
5.1. Củng cố kiến thức cơ bản: (đối với học sinh yếu, kém) 2
5.1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung 2
5.1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức: 3
5.1.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: 4
5.3.1. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác: 8
5.3.2. Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử 9
6. Biện pháp và kết quả thực hiện: 10
7. Kết luận: 12
8. Đề nghị: 13
9. Tài liệu tham khảo: 13
PHIẾU CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2013 - 2014
(Phiếu điểm thống nhất của các giám khảo)

HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TRƯỜNG
PTDTBT THCS TRÀ DON
1. Đề tài: NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ Ở MÔN TOÁN ĐẠI SỐ 8.
2. Họ và tên tác giả: HUỲNH THỊ TỴ.
3. Đơn vị: Trường PTDTBT THCS Trà Don
15
Điểm cụ thể:
Phần Điểm

GK1
Điểm
GK2
Điểm
GK3
Điểm
tối đa
Điểm
thống nhất
1. Tên đề tài
2. Đặt vấn đề
1
3. Cơ sở lí luận 1
4. Cơ sở thực tiễn 2
5. Nội dung nghiên cứu 9
6. Kết quả nghiên cứu 3
7. Kết luận 1
8. Đề nghị
9. Phụ lục
1
10. Tài liệu tham khảo.
11. Mục lục
12. Phiếu đánh giá, xếp
loại.
1
13. Thể thức văn bản, chính
tả
1
Tổng cộng 20đ
Căn cứ số điểm đạt được, đề tài trên được xếp loại:

Người chấm, xếp loại đề tài:
1.
2
3.
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
PHIẾU ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2013 - 2014
I. Đánh giá xếp loại của HĐKH Trường PTDTBT THCS TRÀ DON
- Tên đề tài: NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ Ở MÔN TOÁN ĐẠI SỐ 8.
- Họ và tên tác giả: HUỲNH THỊ TỴ.
- Chức vụ: giáo viên. Tổ: Khoa học Tự nhiên
16
1. Nhận xét của chủ tịch HĐKH về đề tài:
a) Ưu
điểm:



b) Hạn chế:




2. Đánh giá, xếp loại:
Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Trường PTDTBT
THCS Trà Don thống nhất xếp loại:
Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH

II. Đánh giá, xếp loại của HĐKH Phòng GD & ĐT Nam Trà My
Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH phòng GD & ĐT Nam
Trà My thống nhất xếp loại:
Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH




17