Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 5 Thanh chịu xoắn-chịu cắt

Chương 5: Thanh Chịu Xoắn – Chịu Cắt
1
Giới Thiệu
2
Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
3
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
5
Ứng Suất Trượt Thuần Túy
6
Điều Kiện Bền, Điều Kiện Cứng
7
Thế Năng Biến Dạng Đàn Hồi
4
Biến Dạng
8
Hệ Siêu Tĩnh
9
Thanh Chịu Cắt
* Thanh chỉ chịu tác dụng của ngẫu lực tập trung hay ngẫu lực phân bố
quay quanh trục thanh.
* Một thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại
duy nhất một thành phần nội lực:
z
M
1
Giới Thiệu
1
z
y
x

z
M
1
z
y
x
z
M
z
y
x
z
M
* Qui ước dấu của:
z
M
1
z
y
x
z
M
1
z
y
x
z
M
z
y

x
z
M
2
Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
* Tồn tại duy nhất
z
M
0

z
M
* Biểu đồ nội lực:
M
2
a
4
M
A
B
C
a
M
3
M










z
M
* Mặt cắt ngang phẳng, thanh không có
biến dạng dài dọc trục, bán kính mặt cắt
ngang vẫn thẳng và có chiều dài không đổi
0
x y z
  
  
3.1 Các giả thiết về biến dạng:
3
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
y
x
z
y
x
z
M
* Góc vuông thay đổi nên tồn tại ứng suất
tiếp trên mặt cắt và vuông góc với bán kính.
Z
M

O
R

Z
Hình 5.2

* Vì biến dạng bé nên:
'
BB d
tg
AB dz
 
 
  
3.2 Biểu thức tính ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn:
3
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn

d

A
B
'
B
O
dz

* Theo định luật Hooke:
G
 

zz
E






G: mô đun trượt của vật liệu
(1)
d
G
dz

 
 
3
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
Z
M

O
R
Z
Hình 5.2

* Quan hệ giữa ứng suất và nội lực:
2
2
(2)
z
F F
F

d
M dF G dF
dz
d d
G dF G J
dz dz


 
 

 
 
 

* Từ (1) và (2) ta có:
z
M
J

 

- : mô men xoắn tại mặt cắt
có điểm tính ứng suất
z
M
- : mô men quán tính cực của
mặt cắt có điểm tính ứng suất
J


- : khoảng cách từ điểm tính
ứng suất đến tâm mặt cắt

3
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
* Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt:
Ứng suất lớn nhất trên mặt cắt:
4 3
max
, J 0,1 , W 0, 2
W
z
M
d d
 


  
max
2 W
z z
M M
d
J
 

 
: mô men chống xoắn của mặt cắt
W


Z
M
max

max

d
3
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
* Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt:
Ứng suất lớn nhất trên mặt cắt:
 
4 4
max
J
, J 0,1 , W
W / 2
z
M
D d
D

 


   
max
2 W
z z
M M

D
J
 

 
: mô men chống xoắn của mặt cắt
W

Z
M
max

max

d
D
* Từ (2) ta có:
4
Biến Dạng

d

A
B
'
B
O
dz

z

M
d dz
GJ



=> Góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau chiều dài L:
z
L
M
dz
GJ




* Các trường hợp đặc biệt
+ Khi trên suốt chiều dài
=const
z
M
GJ

l
A
B
l
M
M
z

M
z
M l
GJ



4
Biến Dạng
+ Khi trên từng đoạn chiều dài
=const
z
M
GJ

i
l
1
n
z
i
i
M l
GJ



 

 

 
 

M
2
a
4
M
A
B
C
a
M
3
M









z
M
+ Khi trên từng đoạn chiều dài
=const
GJ


i
l
maM
A
3
2
a
6
M
A
B
C
m
ma
3
ma
3
ma

a
z
M


1
z
n
M
i
i

S
GJ



 

 
 
 

5
Ứng Suất Trượt Thuần Túy
a
b
c
d




M
M



a
b
c
d



1

u
1



u

uv

v



u
sin 2
cos 2
u
uv
  
  



 

u


uv


0
90
0
45
0
45

0
90

0
u

uv








min
u
 
 

0
45
M
M
Vật liệu dòn
max
u
 

min
u
 
 
max
u
 

max
u
 

max
u
 

t
t
M
M
Vật liệu dẽo

M
M
Vật liệu có thớ
6
Điều Kiện Bền, Điều Kiện Cứng
6.1 Điều kiện bền
 
max
max
max
z
M
W

 
 
6.1 Điều kiện cứng
 
max
max
z
M
GJ

 
 
7
Thế Năng Biến Dạng Đàn Hồi
2
.

z
L
M
U dz
G J



M
2
a
4
M
A
B
C
a
d
M
3
M








z

M
Ví dụ 1: Trục AC mặt cắt ngang không đổi hình tròn đường kính d, liên kết,
chòu lực và có kích thước như hình vẽ. Trục làm bằng vật liệu có môđun trượt
G và ứng suất tiếp cho phép . Xác đònh d theo điều kiện bền và tính góc
xooay của mặt cắt tại C. Cho:





3 2 2
12 . ; 0, 25 ; 1,5.10 / ; 3,5 /
M kN m a m G kN cm kN cm

   
Theo điều kiện bền
 
max
max
max
z
M
W

 
 
 
 
3
3

3
3 3
0, 2 0, 2.
3.12.100
17, 26
0, 2.3,5
M M
d
d
cm


   
 
Chọn
17,3
d cm

Góc xoay của mặt cắt tại C
4
2
4 4 3 4
1
.2 3 . . 12.0,25.10
0,0022
.0,1 .0,1 1,5.10 .0,1.17,3
z
M
AC
i

i
S
M a M a M a
rad
GJ G d G d



 

       
 
 
 

Ví dụ 2: Trục bậc AC mặt cắt ngang hình tròn đường kính 2d, d liên kết, chòu
lực và có kích thước như hình vẽ. Trục làm bằng vật liệu có môđun trượt G
và ứng suất tiếp cho phép . Xác đònh m theo điều kiện bền và tính góc
xooay của mặt cắt tại C. Cho:





3 2 2
12 ; 0,3 ; 1,8.10 / ; 3 /
d cm a m G kN cm kN cm

   
2

a
A
B
C
a
2
d
m
M ma

7
M ma

d
ma








z
M
3
ma
4
ma
+ Ứng suất tiếp lớn nhất trong hai đoạn

AB và BC
 
 
 
max
3
max
3
4
0,2 2
3
0, 2
AB
BC
ma
d
ma
d











+ Theo điều kiện bền

 
max
max
max
z
M
W

 
 
 


3
3
3
0,2 .
3 0, 2.12 .3
11,52 . /
0, 2 3 3.30
d
ma
m kN m m
d a


     
Chọn
11,5 . /
m kN m m


Góc xoay của mặt cắt tại C


 
2
4
4
1
2 2
4 3 4
0,5 3 2
4 .
.0,1
.0,1 2
15 15.11,5.30
0,01
.0,4 1,8.10 .0, 4.12
z
M
AC
i
i
S
ma ma a
ma a
GJ G d
G d
ma
rad

G d



 

  
 
 
 
  

8
Hệ Siêu Tĩnh
B
a
d
1
d
2
d
3
A
M
2
a
A
B
C
a

2
d
m
M ma

d
Hệ siêu tĩnh: là hệ thừa liên kết
Cách giải hệ siêu tĩnh: ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học, ta
thiết lập thêm các phương trình tương thích biến dạng
Ví dụ 3: Trục bậc AC mặt cắt ngang hình tròn đường kính 2d, d bò ngàm hai
đầu tại A, C và chòu lực như hình vẽ. Trục làm bằng thép có môđun trượt G
và ứng suất tiếp cho phép . Xác đònh đường kính trục(d) theo điều kiện
bền và tính góc xooay của mặt cắt tại B. Cho:
2
a
A
B
C
a
2
d
M
d



 
3 2
2
12 . ; 0,3 ; 1,8.10 / ;

3, 2 /
M kN m a m G kN cm
kN cm

  

2
a
A
B
C
a
2
d
M
d
C
M





C
M
z
M






M
z
M
M


z
M






/ 33
M
32
33
M
Phương trình tương thích biến dạng




0
C
M M
AC AC AC

  
  
   
4 4
4
.2 .
.
0
.0,1
.0,1 2 .0,1 2
1
33
C C
C
M a M a
M a
G d
G d G d
M M
   
 
Theo điều kiện bền
 
max
max
max
z
M
W


 
 
 
 
 
3
3
3
32
2 2.12.100
33
6,1
3,3. 3,3.3,2
0, 2 2
M
M
d cm
d


     
Chọn
6,2
d cm

Góc xoay của mặt cắt tại B
4 4 3 4
2
2 2.12.100.30
33

0,0088
.0,1 .3,3 1,8.10 .3,3.6,1
BC
M
a
Ma
rad
G d G d

   
Ví dụ 4: Một trục composite chiều dài l=0,5m được làm từ hai vật liệu gồm trục
đồng lồng trong ống thép như hình vẽ. Biết rằng tính chất của thép và đồng là:
Xác định trị số ngẫu lực lớn nhất mà trục này truyền được


2 2
3600 / , 5 /
d
d
G kN cm kN cm

 


2 2
8000 / , 8, 2 /
t
t
G kN cm kN cm


 
60
Truïc ñoàng
OÁng theùp
75
Gọi lần lượt là ứng lực phát sinh trong trục thép và ống đồng
,
t d
M M
Phương trình cân bằng
(1)
t d
M M M
 
Phương trình tương thích biến dạng
. .
(2)
t d
t d
t d
M l M l
G J G J
 
 


 
 
4 4
4 4 4

4
4 4 4
8000.0,1. 75 60
205
269
3600.0,1.60 8000.0,1 75 60
3600.0,1.60 64
269
3600.0,1.60 8000.0,1 75 60
t
d t
d
d t
t
t
d t
d
d
d t
G J
M M M M
G J G J
G J
M M M M
G J G J

 

 




  

 



  


 

Từ (1) và (2) =>
 
 
 
 
4 4
max
4 4
3
max
3
205
269
269.0, 2.(75 60 ).
0, 2(75 60 )
205.60
60

269.0, 2.60 .
64
64
269
0,2.60
t
t
d
d
t
t
t
d
d
d
M
M
W
M
M
M
M
W


 


 



  







 

 
 

 

  



Theo điều kiện bền


 
4 4
4 4 3
3
3 3
269.0,2.(75 60 ).
269.0,2.(75 60 ).8, 2.10

670 .
205.60 205.60
269.0,2.60 .
269.0, 2.60 .5.10
907,8 .
64 64
t
d
M kN mm
M kN mm







  





  


Chọn
670 .
M kN mm


9
Xoắn Tiết Diện Không Tròn
h
b
max

1

xo
z
max
W
M


max1


2
xo
W bh


3
xo
J bh


9
Xoắn Tiết Diện Không Tròn

9
Thanh Chịu Cắt
P
P
a
b
avg
s
P
F


a
b
c
d
P
a
b
c
d
s
F
P
9.1 Ứng suất cắt trực tiếp
Ứng suất cắt trung bình phát sinh trên mặt cắt
s
P
F



Lực cắt
P
Diện tích bị cắt
s
F
9.2 Mối nối bulông, đinh tán
P
P
P
P
P
P
P



avg
s
P
F


m
m
m
m
Ứng suất cắt trung bình phát sinh trên mặt cắt của bu lông
s
P

F


Lực cắt
P
Diện tích bị cắt
s
F