SKKN Vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
" VẬN DỤNG KỸ THUẬT ĐỘNG NÃO VÀO DẠY HỌC BẤT
ĐẲNG THỨC NHẰM PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO
CỦA HỌC SINH"
1
PHẦN I: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán ở phổ thông, bất đẳng thức được coi là một chuyên đề
khó, nếu không muốn nói là khó nhất. Câu hỏi liên quan tới bất đẳng thức cũng là câu có
độ khó cao nhất trong các đề thi tuyển sinh đại học, các đề thi học sinh giỏi, và nó
thường được dùng để phân loại các học sinh khá, giỏi. Từ trước tới nay cũng đã có rất
nhiều sách viết về bất đẳng thức, có rất nhiều đề thi các cấp có bài toán bất đẳng thức,
nhưng các bài toán bất đẳng thức dù có mặt ở đâu và với tần suất như thế nào thì khi gặp
chúng đa số học sinh đều bỏ qua vì khó. Chính vì vậy mà việc dạy học bất đẳng thức
không phải là việc dễ và gần như chỉ dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi. Song xét
theo một khía cạnh khác thì bất đẳng thức thực ra lại là một trong những chuyên đề có tác
dụng phát huy tính sáng tạo, tích cực tư duy của học sinh, tạo ra hứng thú, say mê khi học
môn toán. Vì vậy, nếu vận dụng các phương pháp, kỹ thuật dạy học tích cực vào dạy học
bất đẳng thức sẽ góp phần rất lớn cho sự thành công của việc dạy học bất đẳng thức.
Trong số các kỹ thuật dạy học tích cực đang được áp dụng hiện nay thì kỹ thuật
động não được coi là có tác dụng rất hữu hiệu trong việc phát triển khả năng tư duy sáng
tạo cho học sinh không chỉ trong quá trình học tập và nghiên cứu, mà còn trong cả công
việc và cuộc sống sau này của họ. Kỹ thuật động não rất phù hợp với việc dạy học bất
đẳng thức, có tác dụng khơi nguồn sáng tạo cho học sinh. Nhưng vận dụng như thế nào
cho phù hợp với mục tiêu bài học, nội dung chương trình, phân bổ thời gian, trình độ của
học sinh, là vấn đề không đơn giản và yêu cầu có sự đầu tư thích đáng. Vì vậy, tôi
2
chọn đề tài “Vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức nhằm phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh” làm đề tài nghiên cứu của mình.
II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Do điều kiện thời gian và kinh nghiệm có hạn nên đề tài chỉ dừng ở việc vận dụng kỹ
thuật động não vào dạy học bất đẳng thức.
III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề xuất một số biện pháp cụ thể dựa trên những kinh nghiệm của bản thân trong quá
trình giảng dạy nhằm vận dụng có hiệu quả kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức.
IV. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Trong quá trình giảng dạy nếu vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức thì
không chỉ đạt được yêu cầu về mặt kiến thức mà còn phát huy được tính tích cực, sáng
tạo của học sinh, giúp học sinh tự tin, có hứng thú, niềm say mê để tiếp tục trau dồi các
bài toán về bất đẳng thức.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài
như: Sách giáo khoa, tài liệu về tâm lí, giáo dục, tài liệu về phương pháp dạy học Toán,
tài liệu về bất đẳng thức,
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc vận dụng các kỹ thuật dạy học tích
cực ở trường THPT Đông Sơn I.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham dự các buổi họp chuyên môn, trao đổi
ý kiến với các giáo viên tổ Toán ở trường THPT Đông Sơn I.
3
- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm bao gồm dạy và kiểm tra đối
với các lớp 10A5 năm học 2007 – 2008, 10A10 năm học 2010 – 2011 và 10A5 năm học
2011 – 2012 của trường THPT Đông Sơn 1.
PHẦN II: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
I. ĐỊNH HƯỚNG ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
4
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị quyết Trung
ương 4 khóa VII (1 - 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII (12 - 1996), được thể
chế hóa trong Luật Giáo dục (12 - 1998), được cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo
dục và Đào tạo, đặc biệt là chỉ thị số 15 (4 - 1999).

Luật Giáo dục, điều 24.2, đã ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp
học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Có thể nói cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống
lại thói quen học tập thụ động.
II. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀ KỸ THUẬT DẠY HỌC TÍCH
CỰC
Phương pháp dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở nhiều nước để chỉ
những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng
tạo của người học. Phương pháp dạy học tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực
hóa hoạt động nhận thức của người học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của
người học chứ không phải là tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy, tuy
nhiên để dạy học theo phương pháp tích cực thì giáo viên phải nỗ lực nhiều so với dạy
theo phương pháp thụ động.
Ở cấp độ cao hơn của phương pháp dạy học, người ta có thể nói tới các đường hướng dạy
học. Ở cấp độ thấp hơn của phương pháp dạy học, người ta có thể nói tới các kỹ thuật dạy
học. Một phương pháp dạy học có thể bao gồm nhiều kỹ thuật dạy học khác nhau. Chẳng
hạn, hiểu một cách đơn giản, để có được một giờ dạy học bằng phương pháp dạy học tích
5
cực thì giáo viên đã phải phối hợp, vận dụng một cách phù hợp nhiều kỹ thuật dạy học
tích cực khác nhau.
Trong quá trình đổi mới các phương pháp dạy học thì việc sử dụng các kỹ thuật dạy học
tích cực có ý nghĩa đặc biệt trong việc phát huy sự tham gia tích cực và có hiệu quả của
người học vào quá trình dạy học. Do đó, áp dụng các kỹ thuật này trong dạy học có tác
dụng kích thích tư duy, khả năng sáng tạo và sự cộng tác làm việc của người học. Các kỹ
thuật dạy học tích cực đang được áp dụng rộng rãi hiện nay mà chúng ta có thể kể đến là:
động não, XYZ, bể cá, ổ bi, tia chớp, 3 lần 3, Chúng có thể được áp dụng thuận lợi
trong làm việc nhóm, song cũng có thể được kết hợp thực hiện trong các hình thức dạy
học toàn lớp nhằm phát huy tính tích cực của người học. Trong đó, kỹ thuật động não

được coi là có tác dụng rất hữu hiệu trong việc phát triển khả năng tư duy sáng tạo cho
học sinh không chỉ trong quá trình học tập và nghiên cứu, mà còn trong cả công việc và
cuộc sống sau này của họ.
III. ĐỘNG NÃO LÀ GÌ?
Kỹ thuật động não do Alex Osborn (Mỹ) đưa ra năm 1941, được phát triển dựa trên một
kỹ thuật truyền thống từ Ấn Độ. Động não (brainstoming), hay còn gọi là công não / tấn
công não / tập kích não, là một kỹ thuật nhằm huy động những tư tưởng mới mẻ, độc đáo
về một chủ đề của các thành viên trong quá trình thảo luận xung quanh một vấn đề, để từ
đó rút ra những giải pháp được cho là khả thi nhất. Các thành viên được cổ vũ tham gia
một cách tích cực, không hạn chế các ý tưởng nhằm tạo ra “cơn lốc” các ý tưởng.
Tác giả đạt giải Noel hòa bình năm 1963 có một câu nói nổi tiếng: “Cách tốt nhất để có
được một ý tưởng tốt là phải có thật nhiều ý tưởng” (The best way to get a good idea is
to get a lot of ideas – Linus Carl Pauling). Thế nhưng ý tưởng không phải tự nhiên mà
có, nó phải được đánh thức đúng cách. Nếu giáo viên biết sử dụng kỹ thuật động não
6
đúng lúc, đúng chỗ thì sẽ giúp học sinh đánh thức trí tưởng tượng, sức sáng tạo đang ẩn
sâu trong tiềm thức của họ. Do đó, người học phải có một tâm trạng thật thoải mái, không
bị gò ép để tất cả những ý nghĩ, hình ảnh được tuôn ra một cách phóng khoáng và ngẫu
nhiên, thậm chí có cả những ý kiến bị cho là ngớ ngẩn. Điều quan trọng là người học
phải nghĩ ra được càng nhiều ý tưởng càng tốt, trong lúc động não thì không quan tâm
đánh giá tính tốt xấu, tính hữu dụng, của ý tưởng. Biết đâu có những ý tưởng mà giáo
viên và bạn học cho là ngớ ngẩn lại giúp họ có được một ý tưởng cực kỳ sáng tạo và độc
đáo mà chưa ai nghĩ tới.
IV. QUY TẮC CỦA ĐỘNG NÃO
Người khởi xướng ra kỹ thuật này, A. Osborn, quan sát thấy rằng mỗi người thường
thuộc một trong hai thiên hướng tư duy chính là sáng tạo và phê phán. Nếu để 2 nhóm
người này ngồi cùng nhau thì thường dẫn đến tranh luận kéo dài và kết quả đạt được
không cao. Do đó, động não dựa trên nguyên tắc quan trọng nhất là: Tách quá trình phát
sinh ý tưởng và quá trình đánh giá ý tưởng thành hai giai đoạn riêng biệt. Như vậy, điểm
nổi bật của động não là tránh đánh giá và phê phán trong quá trình thu thập ý tưởng của

các thành viên. Đồng thời, khuyến khích số lượng các ý tưởng, cho phép sự tưởng tượng
và liên tưởng.
V. ĐĂC ĐIỂM VÀ YÊU CẦU
- Kỹ thuật động não có thể được tiến hành bởi một hay nhiều người. Số lượng người
tham gia nhiều sẽ giúp cho việc tìm ra lời giải được nhanh hơn và toàn diện hơn nhờ vào
nhiều góc nhìn khác nhau bởi các trình độ, trình tự khác nhau của mỗi người tham gia.
- Dụng cụ: Tốt nhất là thể hiện bằng một bảng viết cho mọi thành viên đều đọc rõ tình
trạng của hoạt động động não. Nếu tiến hành cá nhân hay vài người thì có thể thay thế
bằng giấy viết. Ngày nay, người ta có thể tiến hành bằng cách nối các máy tính cá nhân
7
vào chung một mạng làm cùng tiến hành việc động não. Bằng cách này những người ở xa
nhau cùng có thể tham gia và họ có thể tận dụng được các thế mạnh của công nghệ thông
tin như là các kho dữ liệu, các từ điển trực tuyến, và các máy truy tìm.
VI. CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH
- Trong nhóm lựa chọn ra một người điều phối và một thư ký để ghi lại các ý tưởng (hai
công việc này có thể do cùng một người đảm nhiệm nếu tiện).
- Người điều phối dẫn nhập vào chủ đề và làm cho mọi thành viên hiểu rõ được vấn đề
cần thảo luận.
- Thiết lập “luật” cho buổi động não, thông thường bao gồm:
+ Người điều phối có nhiệm vụ điều khiển buổi làm việc.
+ Không một thành viên nào có quyền đòi hỏi hay cản trở, đánh giá, phê bình hay thêm
bớt vào ý kiến, từ ngữ nêu ra, hay giải đáp của thành viên khác.
+ Cần xác định rằng không có câu trả lời nào là sai!
+ Tất cả câu trả lời, các ý, các cụm từ (ngoại trừ nó đã được lặp lại) đều sẽ được thu thập
ghi lại (cách ghi có thể tóm gọn trong một chữ hay một câu cho mỗi ý riêng rẽ).
+ Vạch định thời gian cho buổi làm việc và ngưng khi hết giờ.
- Bắt đầu động não: Người điều phối chỉ định hay lựa chọn thành viên chia sẻ ý kiến trả
lời (hay những ý niệm rời rạc). Người thư ký phải viết ra tất cả các câu trả lời, nếu có thể
công khai hóa cho mọi người thấy (viết lên bảng chẳng hạn). Không cho phép bất kỳ một
ý kiến đánh giá hay bình luận nào về bất kỳ câu trả lời nào cho đến khi chấm dứt buổi

động não.
8
- Sau khi kết thúc động não, hãy lần lượt xem lại tất cả và bắt đầu đánh giá các câu trả
lời. Một số lưu ý về chất lượng câu trả lời bao gồm:
+ Tìm những câu ý trùng lặp hay tương tự để thu gọn lại.
+ Góp các câu trả lời có sự tương tự hay tương đồng về nguyên tắc hay nguyên lí.
+ Xóa bỏ những ý kiến hoàn toàn không thích hợp.
+ Sau khi đã cô lập được danh sách các ý kiến, hãy thảo luận thêm về câu trả lời chung.
VII. ỨNG DỤNG
Động não có ý nghĩa rất lớn đối các công việc thuộc các lĩnh vực cần sự sáng tạo ra
các ý tưởng mới trong việc nghiên cứu khoa học hay trong kinh doanh, Chẳng hạn:
- Giải quyết vấn đề.
- Nghiên cứu khoa học.
- Quảng cáo, phát triển sản phẩm mới.
- Xây dựng kế hoạch kinh doanh.
VIII. CÁC ƯU ĐIỂM VÀ NHƯỢC ĐIỂM
Có thể thấy những ưu điểm nổi bật của kỹ thuật động não trước hết là dễ thực hiện,
không tốn kém. Chỉ cần một cây bút và một tờ giấy trắng, người tham gia có thể viết tất
cả các ý tưởng có liên quan đến chủ đề bất chợt nảy sinh trong đầu mà không phải tính
đến sự đúng sai của nó. Hơn nữa, kỹ thuật động não có thể tận dụng được hiệu ứng cộng
hưởng, huy động tối đa trí tuệ của tập thể và tạo cơ hội cho tất cả thành viên tham gia.
Tuy nhiên, cũng có thể thấy ngay rằng các ý kiến đưa ra có thể đi lạc đề, tản mạn. Do đó,
có thể mất nhiều thời gian trong việc lựa chọn các ý kiến thích hợp. Trong dạy học, có
thể có một số học sinh “quá tích cực”, số khác lại thụ động.
9
IX. VẬN DỤNG TRONG DẠY HỌC
Đã từ lâu, việc đổi mới phương pháp dạy học là phải lấy người học làm trung tâm, phải
phát huy được tối đa khả năng tự học, tự nghiên cứu của người học. Đặc biệt, học sinh
phổ thông là một trong số các đối tượng người học có nhiều tiềm năng, năng lực, sự sáng
tạo, cần được khai thác có hiệu quả. Kỹ thuật động não được áp dụng trong dạy học

không chỉ giúp cho giáo viên đạt được mục đích dạy học mà còn giúp phát triển khả năng
sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho họ một số kỹ năng cần thiết cho cuộc sống sau này.
Kỹ thuật công não có thể được thực hiện một cách linh hoạt tùy thuộc vào nội dung và
tính chất của bài học (học bài mới hay ôn tập, bài học lý thuyết hay bài học theo hướng
ứng dụng, ), tùy thuộc vào mục đích của giáo viên (coi trọng việc kiểm tra khả năng
sáng tạo của học sinh hay coi trọng việc giải quyết được vấn đề, ), tùy thuộc vào năng
lực của nhóm học sinh và nhiều điều kiện ngoại cảnh khác.
Toán học là một trong số các môn học có tác dụng phát triển tư duy sáng tạo cho học
sinh, song lại khó áp dụng các phương pháp và kỹ thuật dạy học sinh động hay mang tính
thực tiễn. Tuy nhiên giáo viên có thể sử dụng kỹ thuật công não để phát huy trí tưởng
tượng và khả năng sáng tạo của học sinh mà lớp học cũng không kém phần sôi động.
Để sử dụng kỹ thuật động não trong dạy học, giáo viên có thể đưa ra một bài toán hoặc
một vấn đề và yêu cầu học sinh khai thác bài toán này theo các hướng khác nhau, hoặc để
giải bài toán bằng những cách khác nhau. Các ý tưởng được đưa ra có thể dựa trên các
nguyên tắc sau:
- Bỏ bớt hoặc làm yếu giả thiết của bài toán.
- Tổng quát hóa bài toán.
- Đặc biệt hóa bài toán.
10
- Đặt bài toán theo hướng ngược lại.
- Xét bài toán đã cho với một đối tượng khác.
- Tìm các ứng dụng của bài toán đã cho.
-
Trong số các ý kiến đưa ra, có thể có những ý kiến không đúng hay không thể thực hiện
được, nhưng cũng có thể có những ý kiến tìm ra được cách giải độc đáo hoặc mở ra một
bài toán mới hay hơn, có ý nghĩa hơn.
PHẦN III: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. THỰC HÀNH GIẢNG DẠY
Cách thức áp dụng kỹ thuật động não: Giáo viên nêu một bài toán bất đẳng thức
trong sách giáo khoa hoặc trong các sách tham khảo (trong các giờ tự chọn, bồi

dưỡng, ). Sau đó tùy thuộc vào đặc điểm của bài toán, giáo viên yêu cầu học sinh thực
hiện một hay một số yêu cầu sau.
- Yêu cầu 1: Chứng minh bất đẳng thức bằng nhiều cách khác nhau.
- Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức đã cho.
11
- Yêu cầu 3: Chứng minh hoặc bác bỏ các bất đẳng thức mở rộng. (Thông thường,
với yêu cầu này giáo viên sẽ giao cho học sinh về nhà làm, trình bày vào vở để tiết sau
mang đến lớp kiểm tra.)
- Yêu cầu 4: Tìm các ứng dụng của bất đẳng thức đã cho. (Giao cho học sinh về nhà làm
và trình bày vào vở để tiết sau mang đến lớp kiểm tra.) Với yêu cầu này, mới đầu học
sinh có thể chưa tìm ra hoặc chưa nghĩ ra được nhiều nên giáo viên có thể bổ sung thêm
một số ứng dụng khác và yêu cầu học sinh tiếp tục chứng minh.
- Yêu cầu 5:
Dưới đây là các ví dụ áp dụng.
1. Ví dụ 1: Bài tập 5, trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao:
Chứng minh rằng: Nếu a > 0 và b > 0 thì
baba +
≥+
411
(1)
a, Yêu cầu 1: Chứng minh bất đẳng thức (1) bằng nhiều cách khác nhau.
Kết quả:
Cách 1: (1)
0)(4)(
4
22
≥−⇔≥+⇔
+
≥
+

⇔ baabba
baab
ba
(*)
(*) đúng suy ra (1) đúng.
Cách 2:
baab
ba
abbaabbaba
+
≥
+
⇒≥+⇒≥−+⇒≥−
4
4)(04)(0)(
222
baba +
≥+⇒
411
Cách 3: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có
12
⇒=⋅≥+






+ 42.
11

2)(
11
ab
ba
ba
ba
baba +
≥+
411
(đpcm)
Cách 4: Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có

4
11
)(
11
2
=






+≥+







+ b
b
a
a
ba
ba
baba +
≥+⇒
411
(đpcm)
b, Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức (1).
Kết quả:
1.1.
cbacba ++
≥++
9111
với a, b, c > 0
1.2.
nn
aaa
n
aaa +++
≥+++

1

11
21
2

21
, với
,0, ,,
21
>
n
aaa

c, Yêu cầu 3: (Giao cho học sinh về nhà thực hiện). Chứng minh các bất đẳng thức trên,
tìm các ứng dụng của các bất đẳng thức (1) và (1.1)
Kết quả:
1.3.






++≥
−
+
−
+
− cbacpbpap
111
2
111
với
cba ,,
là ba cạnh của một tam giác, p là nửa

chu vi của tam giác đó.
1.4.
bacacbcbacba ++
+
++
+
++
≥++
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
với a, b, c > 0
1.5.
222
)(
1
8
1
44
1
ba

ab
ba +
≥+
+
với a, b > 0
1.6.
cbacbacbacba
111111
++≥
++−
+
+−
+
−+
với
cba ,,
là ba cạnh của một tam giác.
13
1.7.
4≥
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

+
ad
db
dc
ac
cb
db
ba
ca
với a, b, c, d > 0
1.8.






++
+
++
+
++
+
++
≥+++
badadcdcbcbadcba 2
1
2
1
2

1
2
1
4
1111
với a, b, c, d > 0.
1.9.
dcbaaddccbba +++
≥
+
+
+
+
+
+
+
81111
với a, b, c, d > 0.
1.10.
)
3
1
3
1
3
1
3
1
(4
1111

addccbbadcba +
+
+
+
+
+
+
≥+++
với a, b, c, d > 0.
1.11.
cbacbacbaaccbba
++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+
2
1
2
1
2
1
3
1

3
1
3
1
, với a, b, c > 0
1.12.
cbaaccbba ++
≥
+
+
+
+
+
3
2
1
2
1
2
1
với a, b, c > 0
1.13.
)(4
9
2
1
2
1
2
1

cbabacacbcba ++
≥
++
+
++
+
++
với a, b, c > 0
1.14.
)
2
1
2
1
2
1
(3
111
accbbacba +
+
+
+
+
≥++
với a, b, c > 0
1.15.
2
3
≥
+

+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
với a, b, c > 0
1.16.
2
222222222444
)
3
(
21
cbaaccbbacba ++
≥
++
+
++
với a, b, c > 0
1.17.
2
3
1
1
1
1

1
1
≥
+
+
+
+
+ cba
với a, b, c
≥
0, a + b + c
≤
3
1.18.
9
2
1
2
1
2
1
222
≥
+
+
+
+
+ abccabbca
, với a, b, c > 0, a + b + c ≤ 1.
1.19.

7
3
213
1
10
1
23
1
≥
−
+
−
−
− xxx
, với x thoả mãn
2
13
3
2
<< x
.
14
2. Ví dụ 2: Bài tập 6, trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng: Nếu a
≥
0 và b
≥
0 thì a
3
+ b

3
≥
a
2
b + ab
2
. (2)
a, Yêu cầu 1: Chứng minh (2) bằng nhiều cách khác nhau.
Kết quả:
Cách 1: Ta có:
a
3
+ b
3
≥
a
2
b + ab
2

⇔
a
3
+ b
3
- a
2
b + ab
2

≥
0
⇔
a
2
(a - b) – b
2
(a - b)
≥
0
⇔
(a - b)(a
2
– b
2
)
≥
0
⇔
(a - b)(a - b)(a - b)
≥
0
⇔
(a - b)
2
(a + b)
≥
0 (*).
Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi a, b nên (2) đúng với mọi a
≥

0 và b
≥
0, và
dấu bằng xảy ra khi a = b hoặc a = b = 0.
Cách 2: Ta có:
a
3
+ b
3
≥
a
2
b + ab
2

⇔
(a + b)(a
2
– ab + b
2
)
≥
ab(a+b)
⇔
(a + b)(a
2
– ab + b
2
- ab)
≥

0
⇔
(a - b)
2
(a + b)
≥
0. (luôn đúng).
Cách 3:
Ta có: a
3
+ b
3
≥
a
2
b + ab
2

⇔
a(a
2
- b
2
) – b(a
2
– b
2
)
≥
0

⇔
(a
2
- b
2
)(a - b)
≥
0
⇔
(a - b)
2
(a + b)
≥
0. Đây là bất đẳng thức đúng.
Cách 4 :
Ta xét các trường hợp sau:
+) Nếu a = 0 thì bất đẳng thức đã cho trở thành b
3
≥
0. (Luôn đúng vì b
≥
0 ).
+) Nếu a > 0 thì đặt b = t.a, t
≥
0. Thay vào bất đẳng thức đã cho ta được:
15
a
3
+ t
3

a
3

≥
ta
3
+ t
2
a
3

⇔
1 + t
3

≥
t + t
2

⇔
(t + 1)(t
2
- t + 1)
≥
t(t + 1)
⇔
(t +1)(t
2
– t +1 - t) )
≥

0
⇔
(t +1)(t - 1)
2
≥
0. Đây là bất đẳng thức đúng.
Cách 5:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm là a
3
và ab
2
, b
3
và a
2
b ta có:
a
3
+ ab
2


≥
2
23
aba
= 2a
2
b; b
3

+ a
2
b

≥
2
bab
23
= 2ab
2
.
Cộng theo từng vế 2 bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Cách 6:
Ta xét các trường hợp:
+) Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng.
+) Nếu a > 0 và b > 0 thì ta chia cả 2 vế của bất đẳng thức cho ab > 0 ta được:
b
a
2
+
a
b
2
=
a + b.
Khi đó áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương là
b
a
2
và b,

a
b
2
và a, Ta được:
b
a
2
+
b
≥
2
b
b
a
2
= 2a,
a
b
2
+ a
≥
2
a
a
b
2
= 2b;
Cộng theo từng vế hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Cách 7:
Ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm a

3
, a
3
và b
3
; b
3
, b
3
và a
3
; Ta có: a
3
+ a
3
+ b
3


≥
3a
2
b; b
3
+ b
3
+ a
3

≥
3ab
2
.
16
Cộng theo từng vế 2 bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Cách 8:
Ta biến đổi vế trái của BĐT đã cho, như sau
VT(2) = a
3
+ b
3
= (a + b )(a
2
+ b
2
- ab), mà áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không
âm a
2
và b
2
.
Ta có: a
2
+ b
2

≥
2ab.
Do đó VT(2) = (a + b)(a

2
+ b
2
- ab)
≥
(a + b)(2ab - ab) = (a + b)ab = a
2
b + ab
2
= VP(1).
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
b, Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức (2)
Kết quả:
2.1.
3344
abbaba +≥+
, với mọi a, b.
2.2.
nnnn
abbaba +≥+
++ 11
, với a, b > 0
2.3.
accbbacba
222333
++≥++
, với a, b, c > 0
2.4.
1
2

3
2
22
2
1
33
2
3
1
aaaaaaaaa
mm
+++≥+++
, với
,0, ,,
21
>
m
aaa
2.5.
accbbacba
nnnnnn
++≥++
+++ 111
, với a, b, c > 0,
2, ≥∈ nNn
2.6.
13221
11
3
1

2
1
1
aaaaaaaaaa
n
m
nnn
m
nnn
+++≥++++
++++
, với
,0, ,,
21
>
m
aaa

2,;, ≥∈ nmNnm
.
c, Yêu cầu 3: (Về nhà) Chứng minh các bất đẳng thức ở Yêu cầu 2
d, Yêu cầu 4: Tìm các ứng dụng của bất đẳng thức (2)
Kết quả
17
2.7.
,
222
333333
cba
ca

ac
bc
cb
ab
ba
++≥
+
+
+
+
+
với a, b, c > 0
2.8.
,
333
cabcab
a
c
c
b
b
a
++≥++
với a, b, c > 0
2.9.
,
1111
333333
abc
abcacabccbabcba

≤
++
+
++
+
++
với a, b, c > 0
2.10.
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++
≥
++
+
++
+
++
, với a, b, c > 0
2.11.

cba
aca
ca
cbc
bc
bab
ab
++≤
+
−
+
+
−
+
+
−
2
33
2
33
2
33
3
5
3
5
3
5
, với a, b, c > 0
2.12.

)(3
5
19
5
19
5
19
2
33
2
33
2
33
cba
aca
ca
cbc
bc
bab
ab
++≤
+
−
+
+
−
+
+
−
, với a, b, c > 0

2.13.
)(4
6
29
6
29
6
29
3
33
2
33
2
33
cba
cca
ac
bbc
cb
aab
ba
++≤
+
−
+
+
−
+
+
−

, với a, b, c > 0
2.14.
)(5
7
41
7
41
7
41
2
33
2
33
2
33
cba
cca
ac
bbc
cb
aab
ba
++≤
+
−
+
+
−
+
+

−
, với a, b, c > 0
2.15.
)()(3
32
73
32
73
32
73
222
333333
cabcabcba
ac
ac
cb
cb
ba
ba
++−++≥
+
+
+
+
+
+
+
+
, với a, b, c > 0
2.16.

ac
caacac
cb
bccbcb
ba
abbaba
+
+−+
+
+
+−+
+
+
+−+
3
10354
3
10354
3
10354
223322332233

),()(5
222
cabcabcba ++−++≥
với a, b, c > 0
3. Ví dụ 3 (Áp dụng trong giờ dạy tự chọn, hoặc bồi dưỡng)
18
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
2

2
2
2
2
2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≤++
(3)
a, Yêu cầu 1: Chứng minh (3) bằng nhiều cách khác nhau.
Kết quả
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
b
a
b
a
b
a
b
a

331
3
3
3
2
2
=≥++
;
c
b
c
b
c
b
c
b
331
3
3
3
2
2
=≥++
;
a
c
a
c
a
c

a
c
331
3
3
3
2
2
=≥++
Cộng vế với về ba bất đẳng thức trên ta được






++≥++++++
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a

c
c
b
b
a
33
2
2
2
2
2
2






++≥+++⇒
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b

a
23
2
2
2
2
2
2
(2)
Mặt khác ta có:
33
3
=≥++
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
Do đó từ (2) ta có
2
2
2
2

2
2
2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
+++++≤






++⇒
2

2
2
2
2
2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≤++⇒
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có:
( )








++=++









++≤






++=






++
2
2
2
2
2
2
222

2
2
2
2
2
2
22
31111.1.1.
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b

b
a
Do
3≥++
a
c
c
b
b
a
nên








++






++≤







++
2
2
2
2
2
2
2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
19

2
2
2
2
2
2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≤++⇒
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
b, Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức (3)
Kết quả
3.1.
2
1
2
2
3
2
2

2
2
2
1
13
2
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
nn
+++≤+++ 
với
n
aaa , ,
21
> 0,
3, ≥∈ nNn
3.2.
3

3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≤++
, với a, b, c > 0,
3.3.
1
1
1
1

1
1
+
+
+
+
+
+
++≤++
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
c
c
b
b
a
a
c
c

b
b
a
, với a, b, c > 0,
*
Nn ∈

3.4.
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b

b
a
++≤++
, với a, b, c > 0;
mnNmn ≤∈ ,,
*

3.5.
1
1
1
1
3
1
2
1
2
1
1
13
2
2
1
+
+
+
+
+
+
+++≤+++

n
n
k
n
n
n
n
n
n
k
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

, với
k
aaa , ,

21
> 0, k
3≥

3.6.
m
m
k
m
m
m
m
n
n
k
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
13
2
2
1
13
2
2
1
+++≤+++ 
với
k
aaa , ,
21
> 0,
*,, Nknm ∈
,
mn
≤
, k
3
≥

c, Yêu cầu 3: (Về nhà) Chứng minh các bất đẳng thức ở Yêu cầu 2.
II. KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ
1. Đề kiểm tra 20 phút
20
Câu 1 (5 điểm): Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a,
2

22
22






+
≥
+ baba
(1), với mọi a, b
R∈
b,
3
33
22






+
≥
+ baba
, với mọi a, b > 0.
Câu 2 (5 điểm): Hãy mở rộng bất đẳng thức (1).
2. Đáp án đề kiểm tra
Câu Nội dung

Điể
m
1a
0)()()(2
22
2222
2
22
≥−⇔+≥+⇔






+
≥
+
bababa
baba
(2).
(2) đúng suy ra (1) đúng
2,0
Dấu bằng xảy ra khi
ba =
. 1,0
1b
Cách 1:
333
3

33
)()(4
22
baba
baba
+≥+⇔






+
≥
+
0,5
⇔
a
3
+ b
3
≥
a
2
b + ab
2

⇔
a
3

+ b
3
- a
2
b + ab
2

≥
0 0,5
⇔
a
2
(a-b) – b
2
(a - b)
≥
0
⇔
(a - b)(a
2
– b
2
)
≥
0
⇔
(a - b)
2
(a + b)
≥

0. (4) đúng suy ra (3) đúng
0,5
Dấu bằng xảy ra khi
ba =
. 0,5
Cách 2: áp dụng BĐT (1) ta có 1,0
21
Câu Nội dung
Điể
m
22222
22
32
22
bababababa ++
≤






+
⇔







+
≥
+
4
2233
abbaba +++
=
+) Tương tự như cách 1 ta cũng có
3322
baabba +≤+
Do đó
242
333333
3
babababa +
=
+++
≤






+
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi
ba =
.
1,0

Bình luận: Cách 2 có vẻ dài hơn trong chứng minh bất
đẳng thức 1b, tuy nhiên để chứng minh các bất đẳng thức
mở rộng với số mũ lớn hơn thì cách 2 hữu hiệu hơn.
2
1.
3
33
22






+
≥
+ baba
(câu 1b)
2.
4
44
22






+
≥

+ baba
, với mọi a, b
R∈
2,0
3.
n
nn
baba






+
≥
+
22
, với mọi a, b > 0,
2, ≥∈ nNn
4.
2
222
33







++
≥
++ cbacba
, với mọi a, b, c
R∈
5.
3
333
33






++
≥
++ cbacba
, với mọi a, b , c > 0
2,0
22
Câu Nội dung
Điể
m
6.
n
nnn
cbacba







++
≥
++
33
với mọi a, b, c > 0,
2, ≥∈ nNn
7.
n
m
n
m
nn
m
aaa
m
aaa






+++
≥
+++
2121

với mọi
m
aaa ,,,
21
> 0,
2,;, ≥∈ nmNnm
8.
2,0
3. Kết quả kiểm tra
+) Năm học 2007 – 2008: Lớp thực nghiệm là 10A5, lớp đối chứng là 10A4
(Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu: nhỏ hơn 5,0)
Lớp
Sĩ
số
Điểm TBM kì I Kết quả bài kiểm tra
Giỏi Khá TB Yếu Giỏi Khá TB Yếu
S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L

% S
L
%
23
10A5
53 7
1
3
2
7
5
1
1
9
3
6
0 0 8
1
5
2
9
5
5
1
6
3
0
0 0
10A4
50

1
5
3
0
3
1
6
2
4 8 0 0
1
0
2
0
2
9
5
8
1
1
2
2
0 0
+) Năm học 2010 – 2011: Lớp thực nghiệm là 10A10, lớp đối chứng là 10A9
(Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu: nhỏ hơn 5,0)
Lớp
Sĩ
số
Điểm TBM kì I Kết quả bài kiểm tra
Giỏi Khá TB Yếu Giỏi Khá TB Yếu
S

L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L
%
10A10
49
1
7
3
5
3
0
6
1
2 4 0 0
1
9
3

9
2
9
5
9
1 2 0 0
10A9
48 5
1
0
3
6
7
5
7
1
5
0 0 2 4
3
0
6
3
1
6
3
3
0 0
+) Năm học 2011 – 2012: Lớp thực nghiệm là 10A5, lớp đối chứng là 10A6
(Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu: nhỏ hơn 5,0)
Lớp

Sĩ
số
Điểm TBM kì I Kết quả bài kiểm tra
Giỏi Khá TB Yếu Giỏi Khá TB Yếu
24
S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L
%
10A5
51
2
6
5
1
2
4

4
7
1 2 0 0
2
5
4
9
2
4
4
7
2 4 0 0
10A6
50
2
5
5
0
2
2
4
4
3 2 0 0
1
8
3
6
2
0
4

0
1
2
2
4
0 0
4. Phân tích kết quả kiểm tra đánh giá
- Việc chọn hai lớp có lực học tương đương nhau chỉ là tương đối nên kết quả thu được
sẽ có những chênh lệch nhất định. Do chất lượng học sinh ở mỗi lớp học, mỗi khóa học là
không hoàn toàn giống nhau nên kết quả thu được là cao thấp khác nhau.
- Do bất đẳng thức là phần khó nên điểm kiểm tra phần này thường thấp hơn điểm trung
bình môn học kì 1. Qua kiểm tra cho thấy các lớp đối chứng có điểm kiểm tra thấp hơn
nhiều so với điểm trung bình môn học kì 1. Còn các lớp thực nghiệm thì điểm kiểm tra
gần bằng, có lớp kết quả còn cao hơn.
III. MỘT SỐ ĐỀ XUẤT NHẰM VẬN DỤNG CÓ HIỆU QUẢ KỸ THUẬT ĐỘNG
NÃO TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC
1. Đối tượng vận dụng
Bất đẳng thức là một nội dung khó nên mục tiêu kiến thức của mỗi lớp cũng phải khác
nhau. Những ví dụ trên thường chỉ có thể áp dụng có hiệu quả cho những lớp có nhiều
25