SKKN Rèn luyện tư duy, tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN TƯ DUY, TÌM TÒI SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
THPT QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ
HỢP"
1
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán học phổ thông phần đại số tổ hợp, số phức là chương trình mới
lạ và khó đối với các em học sinh. Các bài toán tổ hợp mang tính tổng hợp và khái quát
hóa cao. Vì vậy học sinh học đến phần này thường ngại, sự say mê, sáng tạo giảm. Nếu
chưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà các em chỉ vận dụng các công thức trong sách
giáo khoa thì các em giải các bài toán về chứng minh đẳng thức tổ hợp rất khó khăn. Các
em không biết nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức nào để chứng minh? Để giúp
học sinh khắc phục tình trạng trên,giúp cho các em có sự say mê, tư duy sáng tạo trong
việc học phần đại số tổ hợp .Tôi đã đọc tài liệu,nghiên cứu,phân tích,cải tiến cách dạy,
tìm tòi thêm các công thức khác, hướng dẫn các em tự tìm tòi, tự phát triển ra các công
thức mới dựa trên các công thức đã có, các bài tập để trang bị cho các em lượng kiến thức
để các em vận dụng làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn.Tạo ra sự hứng thú
trong học tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập không những loại
bài tập này mà còn vận dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác. Trong khuôn khổ
đề tài “Rèn luyện tư duy,tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán
chứng minh đẳng thức tổ hợp” tôi chỉ nêu một số phương pháp thường dùng để các em
giải quyết bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp một cách khoa học hơn, có cơ sở và có
tính sáng tạo hơn. Từ đó để các em củng cố kiến thức,rèn luyện khả năng nghiên cứu
khoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt
nghiệp và kỳ thi đại học,cao đẳng.
PHẦN II: NỘI DUNG
2
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Công thức nhị thức Niu-tơn:

kknk
n
nn
n
kknk
n
n
n
n
n
n
baCxCbaCbaCaCba
−−−
∑
=++++=+
)(
110
),;(
*
Nnknk ∈≤
(Quy
ước
1
00
==
ba
)
2. Công thức tổ hợp: Các định nghĩa, tính chất.
3. Công thức liên quan đến số phức, công thức Moa- vrơ, công thức đạo hàm của hàm số
mũ,công thức tích phân.

4. Một số công thức khác:

1
1
−
−
=
k
n
k
n
nCkC

),;(
*
Nnknk
∈≤

k
n
k
n
CnCk )1()1(
1
1
+=+
+
+

),;(

*
Nnknk ∈≤

1
1
1
1
1
1
+
+
+
=
+
k
n
k
n
C
n
C
k

),;(
*
Nnknk
∈≤

1
1

2
2
2
)1(
−
−
−
−
+−=
k
n
k
n
k
n
nCCnnCk

),;;2( Nnknkk
∈≤≥

ii 2)1(
2
=+
;
ii 2)1(
2
=−
;
8)31(
2

−=+
i
;
8)31(
2
−=−
i
II: THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
- Đối với học sinh THPT đa số học sinh khi gặp loại toán này thường không giải được
hoặc giải được nhưng tốn rất nhiều thời gian .Các em thường không biết nên giải thế
nào ?Công thức trong sách giáo khoa lại ít,nếu dùng định lý về số các tổ hợp để làm bài
tập thì rất phức tạp mà có khi không thể giải ra được.
3
- Một số em khi gặp các bài toán mà các em chưa tìm ra hướng giải các em sẽ bỏ cuộc
ngay,không có tính kiên trì tìm tòi,ỷ lại,chờ thầy giáo,cô giáo chữa .
- Số tiết bài tập dành cho loại bài tập này ít nhưng nó lại có trong các đề thi thử Đại học
của một số trường THPT ,và đặc biệt cũng có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng,thi
học sinh giỏi tỉnh.
III.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Phương pháp 1: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn,các công thức tổ
hợp,các tính chất của tổ hợp
Ví dụ 1:
Chứng minh:
nn
n
n
nnnn
CCCCC 43 333
332210
=+++++

)(
*
Nn
∈
Giải:
Xét khai triển
nn
n
nn
nnnn
n
xCxCxCxCCx
+++++=+
−−
112210
)1(

)(
*
Nn∈
(1)
Thay x = 3 ta được:
n
n
nn
n
n
nnnn
n

CCCCCC 33 333)31(
11332210
++++++=+
−−
Hay
nn
n
n
nnnn
CCCCC 43 333
332210
=+++++
điều phải chứng minh.
Giáo viên:
Nếu ở (1) của ví dụ trên ta thay x = 2 thì được kết quả như thế nào ? giáo viên có thể yêu
cầu học sinh phát biểu thành một bài toán.Từ đó cho học sinh phát triển thành bài tập
tổng quát với x = a
)(
*
Na
∈
Ví dụ 2:
Chứng minh đẳng thức sau:
4
a.
1
2
32
2
12

2
12

8
9
4
5
2
3
2
3210
−
+
=
+
++
+
+++++
n
nn
n
n
n
n
k
n
k
k
nnnn

CCCCCC
),,0(
*
NnNknk
∈∈≤≤
b.
nn
nnnn
CCCC
2
12
2
12
1
12
0
12
2
=++++
++++

)(
*
Nn
∈
Giải:
a.Xét khai triển
nn
n
kk

nnnn
n
xCxCxCxCCx
++++++=+
)1(
2210

)(
*
Nn
∈

Thay
2
1
=x
ta được
n
n
n
k
n
k
nnnn
n
CCCCCC
2
1

2

1

8
1
4
1
2
1
)
2
3
(
3210
+++++++=
(1)
Thay
1
=
x
ta được
n
n
k
nnnnn
n
CCCCCC
+++++++=
2
3210
(2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
1
2
32
2
12

2
12

8
9
4
5
2
3
2
3210
−
+
=
+
++
+
+++++
n
nn
n
n
n

n
k
n
k
k
nnnn
CCCCCC
Suy ra điều phải chứng
minh.
b.Áp dụng công thức:
kn
n
k
n
CC
−
=

),;0(
*
NnNknk ∈∈≤≤
Ta có:
) (
2
1

12
12
2
12

1
12
0
1212
2
12
1
12
0
12
+
++++++++
++++=++++
n
nnnn
n
nnnn
CCCCCCCC
Xét khai triển
1212
12
22
12
1
12
0
12
12
)1(
++

++++
+
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*
Nn
∈

Thay
1=x
ta được
1212
12
2
12
1
12
0
12
2
++
++++
=++++
nn
nnnn

CCCC

Dođó:
nn
nnnn
n
nnnn
CCCCCCCC
212
12
2
12
1
12
0
1212
2
12
1
12
0
12
2) (
2
1

=++++=++++
+
++++++++
điều phải chứng minh.

5
Ví dụ 3:
Chứng minh:
11321
2.)1( 32
−−
=+−++++
nn
n
n
nnnn
nnCCnCCC

)(
*
Nn
∈
Giải:
Đặt:
n
n
n
nnnn
nCCnCCCS
+−++++=
−
1321
)1( 32
(1)
Cách 1:

Áp dụng công thức:
kn
n
k
n
CC
−
=

),,0(
*
NnNknk
∈∈≤≤
Ta có:
11
−
=
n
nn
CC

22
22
−
=
n
nn
CC

33

33
−
=
n
nn
CC


11
)1()1(
n
n
n
CnCn
−=−
−

0
n
n
n
nCnC
=
Cộng vế với vế ta được:
01321
)1( 32
nn
n
n
n

n
n
n
nCCnCCCS
+−++++=
−−−
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
) (2
13210 n
n
n
nnnnn
CCCCCCnS
++++++=
−
Xét khai triển
nn
n
nn
nnnn
n
xCxCxCxCCx
+++++=+
−−
112210
)1(

)(
*

Nn∈
Thay x = 1 ta được:
n
n
n
nnnnn
n
CCCCCC
++++++=
−
13210
2
Do đó :
n
nS 2.2
=
6
Hay
11321
2.)1( 32
−−
=+−++++
nn
n
n
nnnn
nnCCnCCC
Cách 2:
Áp dụng công thức:
1

1
−
−
=
k
n
k
n
nCkC

),;(
*
Nnknk ∈≤
Ta có:
0
1
1
−
=
nn
nCC

1
1
2
2
−
=
nn
nCC

2
1
3
3
−
=
nn
nCC


1
1
−
−
=
n
n
n
n
nCnC
Cộng vế với vế ta được:
) (
1
1
2
1
1
1
0

1
−
−−−−
++++=
n
nnnn
CCCCnS
Xét khai triển
11
1
22
1
1
1
0
1
1
)1(
−−
−−−−
−
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*
Nn ∈

Thay x = 1 ta được:
1
1
2
1
1
1
0
1
1
2
−
−−−−
−
++++=
n
nnnn
n
CCCC
Do đó :
1
2.
−
=
n
nS
Hay
11321
2.)1( 32
−−

=+−++++
nn
n
n
nnnn
nnCCnCCC
điều phải chứng minh.
Cách 3:
Dùng đạo hàm chúng ta cũng giải được ví dụ này (ở phương pháp dùng đạo hàm phần
sau).
Có những bài toán để giải nhanh các em càn biết phân tích và dựa vào kết quả các bài tập
đã làm rồi.
Ví dụ 4:
7
Chứng minh:
a,
13210
2)2()1( 432.1
−
+=++++++
nn
nnnnn
nCnCCCC

)(
*
Nn
∈
b,
12)2()1( 32.1

1432
+−=−++++
−
nn
nnnn
nCnCCC

);2( Nnn
∈≥
Giải:
Hướng dẫn:
a,Ta có:
) 2() ()1( 32.1
21210210 n
nnn
n
nnnn
n
nnnn
nCCCCCCCCnCCC
++++++++=+++++
Theo ví dụ trên ta có:
11321
2.)1( 32
−−
=+−++++
nn
n
n
nnnn

nnCCnCCC
và
nn
n
n
nnnnn
CCCCCC 2
13210
=++++++
−
Cộng vế với vế ta được:
13210
2)2()1( 432.1
−
+=++++++
nn
nnnnn
nCnCCCC
b, Đặt:
1
3210
)1( 432.1 SCnCCCC
n
nnnnn
=++++++

2
432
)1( 32.1 SCnCCC
n

nnnn
=−++++
Cách 1: Ta có:
12)2(12.22)2() (2
1103210
12
+−=+−+=++++++−=
−−
nnn
n
n
nnnnn
nnCCCCCCSS
Cách 2:
Ta có:
03210321
2
) () 32(
n
n
nnnnn
n
nnnn
CCCCCCnCCCCS
++++++−++++=
Các tổng này đều đã tính ở trên thay vào ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 5:
Chứng minh:
8
11433221

3.2 2.42.32.2
−−
=+++++
nn
n
n
nnnn
nCnCCCC

)(
*
Nn ∈
Giải: Áp dụng công thức:
1
1
−
−
=
k
n
k
n
nCkC

),;(
*
Nnknk ∈≤
Ta có:
0
1

1
−
=
nn
nCC

1
1
2
.22.2
−
=
nn
nCC

2
1
232
.23.2
−
=
nn
nCC


1
1
11
.2.2
−

−
−−
=
n
n
nn
n
n
nCnC
Cộng vế với vế ta được:
)2 22(
1
1
12
1
21
1
0
1
−
−
−
−−−
++++=
n
n
n
nnn
CCCCnS
Xét khai triển

11
1
22
1
1
1
0
1
1
)1(
−−
−−−−
−
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*
Nn ∈
Thay x = 2 ta được:
1
1
12
1
21
1
0

1
1
2 223
−
−
−
−−−
−
++++=
n
n
n
nnn
n
CCCC
Do đó :
1
3.
−
=
n
nS
Hay
11433221
3.2 2.42.32.2
−−
=+++++
nn
n
n

nnnn
nCnCCCC
điều phải chứng minh.
Giáo viên: Làm cho học sinh hiểu rõ :Nếu ở ví dụ này ta thay x bởi một số tự nhiên khác
thì chúng ta lại có một bài toán mới. Từ đó giáo viên cho học sinh tổng quát thành bài
toán:
Bài tâp tổng quát:
Chứng minh:

11433221
)1.( 4.3.2
−−
+=+++++
nn
n
n
nnnn
anCanCaCaaCC

),(
*
Nna
∈
9
Thông qua các ví dụ này giáo viên có thể làm cho học sinh thấy rõ ,từ một bài tập nào đó
chúng ta có thể suy nghĩ, phát triển ,mở rộng ra được các bài tập mới và từ đó giúp cho
học sinh tập làm quen với khả năng tư duy, sáng tạo trong học toán. Giáo viên cũng yêu
cầu học sinh về nhà tự tìm tòi ra các bài tập khác từ các ví dụ này và tìm bài tập tổng quát
cho ví dụ 2 coi như một bài tập.
Ví dụ 6:

Cho n là số tự nhiên
1
≥
n
.Chứng minh đẳng thức sau:
1
12
1
11

4
1
3
1
2
1
1
13210
+
−
=
+
++++++
+
−
n
C
n
C
n

CCCC
n
n
n
n
nnnnn

Giải:
Cách 1:
Ta có công thức:
k
n
k
n
CnCk )1()1(
1
1
+=+
+
+

),;(
*
Nnknk
∈≤
Nên
1
1
1
1

1
1
+
+
+
=
+
k
n
k
n
C
n
C
k
Do đó:
1
1
0
1
1
+
+
=
nn
C
n
C

2

1
1
1
1
2
1
+
+
=
nn
C
n
C

3
1
2
1
1
3
1
+
+
=
nn
C
n
C

10

1
1
1
1
1
1
+
+
+
=
+
n
n
n
n
C
n
C
n
Cộng vế với vế ta được:
) (
1
1
1
11

4
1
3

1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
13210
+
++++
−
++++
+
=
+
++++++
n
nnnn
n
n
n
nnnnn
CCCC
n
C
n

C
n
CCCC
Xét khai
triển
11
1
22
1
1
1
0
1
1
)1(
++
++++
+
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*
Nn
∈
(1)
Thay x = 1 ta được:

1
1
2
1
1
1
0
1
1
)11(
+
++++
+
++++=+
n
nnnn
n
CCCC
Do đó :
1
12
1
11

4
1
3
1
2
1

1
13210
+
−
=
+
++++++
+
−
n
C
n
C
n
CCCC
n
n
n
n
nnnnn
điều phải chứng minh.
Cách 2:Sử dụng đạo hàm (Phần sau) .
Giáo viên: Nếu ở khai triển (1) của ví dụ này ta thay x = 2; x = 3 thì kết quả như thế
nào ? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài toán. Từ đó cho học sinh phát
triển thành bài tập tổng quát với x = a.
)(
*
Na
∈
Ví dụ 7:

Chứng minh:

2212322212
2).1()1( 321
−−
+=+−++++
nn
n
n
nnnn
nnCnCnCCC

);2( Nnn
∈≥
Giải:
Đặt:
n
n
n
nnnn
CnCnCCCS
212322212
)1( 321
+−++++=
−
(1)
Sử dụng công thức:
1
1
2

2
2
)1(
−
−
−
−
+−=
k
n
k
n
k
n
nCCnnCk

),;;2( Nnknkk
∈≤≥
và
0
1
1
−
=
nn
nCC
ta có:
11
1
1

0
2
22
)1(2
−−
+−=
nnn
nCCnnC
2
1
1
2
32
)1(3
−−
+−=
nnn
nCCnnC

2
1
3
2
12
)1()1(
−
−
−
−
−

+−=−
n
n
n
n
n
n
nCCnnCn
1
1
2
2
2
)1(
−
−
−
−
+−=
n
n
n
n
n
n
nCCnnCn
Cộng vế với vế ta được:
) () )(1(
1
1

2
1
1
1
0
1
2
21
2
2
1
2
0
2
−
−−−−
−
−−−−
+++++++++−=
n
nnnn
n
nnnn
CCCCnCCCCnnS
Xét khai triển :
22
2
22
2
1

2
0
2
2
)1(
−−
−−−−
−
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*
Nn ∈
và
11
1
22
1
1
1
0
1
1
)1(
−−
−−−−

−
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCCx

)(
*
Nn
∈
Thay x = 1 ta được:
212
2)1(2.2)1(
−−−
+=+−=
nnn
nnnnnS
điều phải chứng minh.
Ví dụ 8:
Chứng minh:

2013
4027
0
2014
2013
2013
1
2014

2012
2013
2011
2014
2
2013
2012
2014
1
2013
2013
2014
0
2013
CCCCCCCCCCC
=+++++
Giải:
Xét khai triển
20132013
2013201320132013
)1(
22102013
xCxCxCCx
++++=+


20142014
2014201420142014
)1(
22102014

xCxCxCCx ++++=+


40274027
4027402740274027
)1(
22104027
xCxCxCCx
++++=+
12
Và
4027
)1()1()1(
20132014
xxx
+=++
Đồng nhất các hệ số của
k
x
)(
*
Nk
∈
ở hai vế của đẳng thức
4027
)1()1()1(
20132014
xxx
+=++
ta được điều phải chứng minh.

Giáo viên:
Gợi ý cho học sinh suy nghĩ để tìm ra bài toán mới, sau đó dẫn đến bài toán tổng quát, coi
như một bài tập về nhà.
Bài tâp tổng quát:
Chứng minh:
k
mnm
k
nm
k
n
k
mn
k
mn
k
mn
CCCCCCCCCCC
+
−−−
=+++++
01122110

),,;0;0(
*
Nmnkmknk
∈≤≤≤≤
Đặc biệt: Khi m = n = k ta có bài toán:
Chứng minh:
n

n
n
n
n
nnnn
CCCCCC
2
221222120
)() ()()()(
=++++
−

)(
*
Nn ∈

Bài tập:
1.Tính tổng:
n
n
n
nnnn
nCCCCCS
14321
)1( 4321
−
−+−+−=

)(
*

Nn
∈
2.Tính tổng:
n
n
n
nnnn
CnCCCCS )1()1( 4321
5432
−−+−+−=

)(
*
Nn
∈
3.Tính tổng:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nCCCCCS
144332211
)1( 5.45.35.25

−−−−−
−+−+−=
)(
*
Nn
∈
4.Nêu bài tập tổng quát của bài 1.
5.Chứng minh:
2012
2013
6
2013
4
2013
2
2013
0
2013
2012
2 CCCCC
+++++=
6.Nêu bài tập tổng quát của bài 5.
7. Tính tổng:
13
1.
n
n
n
n
n

n
nnn
C
n
C
n
CCCS
1
)1(
1
)1(

4
1
3
1
2
1
1
1321
+
−
+
+
−
+−+−=
+
−

)(

*
Nn
∈
2.
12
2
3
2
1
2
2
1

4
1
2
1
−
+++=
n
nnn
C
n
CCS

)(
*
Nn
∈
3.

n
n
n
n
n
n
nnn
C
n
C
n
CCCS
1
55

4
5
3
5
2
5
1
13
4
2
3
1
2
+
+++++=

+
−

)(
*
Nn ∈
4.
n
n
n
n
n
n
nnn
C
n
a
C
n
a
C
a
C
a
C
a
S
1

432

1
13
4
2
3
1
2
+
+++++=
+
−

),(
*
Nna ∈
5.
n
n
n
n
n
n
nnn
C
n
C
n
CCCS
1
)1(

1
)1(

4
1
3
1
2
1
1
1321
+
−
+
+
−
+−+−=
+
−

)(
*
Nn
∈
6.
12
2
3
2
1

2
2
1

4
1
2
1
−
+++=
n
nnn
C
n
CCS

)(
*
Nn
∈
7.
n
n
n
n
n
n
nnn
C
n

C
n
CCCS
1
55

4
5
3
5
2
5
1
13
4
2
3
1
2
+
+++++=
+
−

)(
*
Nn ∈
8.
n
n

n
n
n
n
nnn
C
n
a
C
n
a
C
a
C
a
C
a
S
1

432
1
13
4
2
3
1
2
+
+++++=

+
−

),(
*
Nna ∈
8. Chứng minh:
20112013
2013
22012
2013
220103
2013
220112
2013
220121
2013
2
2.2014.20133.)1( 3.33.23.1
=+−++++
CnCnCCC
9.Tí
nh tổng:
02112332222112
2.2.)1( 2.32.22.1
n
n
n
n
n

n
n
n
n
n
CnCnCCCS
+−++++=
−−−−
)(
*
Nn ∈
10.Tính tổng:
02112222112
)1( 2.1 aCnaCnaCaCS
n
n
n
n
n
n
n
n
+−+++=
−−−
),(
*
Nna ∈
11. Chứng minh:
14
2

1
12
1
2
3
1
2
0
1
)1( 32
−
−−
−
=+−++++
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C

C
C
n
C
C
n
C
C
C
C
C
C

)(
*
Nn ∈
12. Tính tổng:
0
1
2013
2014
1
2
2012
2014
2011
2012
2
2014
2012

2013
1
2014
2013
2014
0
2014
CCCCCCCCCCS
+++++=
Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm
Rất nhiều bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp khi dùng phương pháp đạo hàm thì
chứng minh rất ngắn gọn và dễ hiểu, dễ nhớ cách chứng minh. Tùy vào tùng bài toán cụ
thể mà ta phải tính đến đạo hàm cấp một, cấp hai,v.v bằng các ví dụ giáo viên dẫn dắt,
giúp học sinh lựa chọn cách giải nào cho phù hợp.
Ví dụ1: (Đây là Ví dụ 1 phần phương pháp 1 ta sẽ dùng đạo hàm để chứng minh)
Chứng minh:
11321
2.)1( 32
−−
=+−++++
nn
n
n
nnnn
nnCCnCCC

)(
*
Nn ∈
Giải:

Xét khai triển
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCCx
+++++=+
)1(
332210

)(
*
Nn ∈
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
n
n
n
nnn
n
CxnCxxCCxn
132211
32)1(
−−
++++=+
Thay x = 1 ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
- Như vậy khi học sinh đã được học đạo hàm thì việc dùng đạo hàm để giải bài toán này
sẽ nhanh hơn cách giải ở phần trước.
- Ở Bài tâp tổng quát: phần phương pháp 1 ta chỉ cần thay x = a.
)(

*
Na
∈
- Nếu thay x = - 1 ta dược kết quả của bài tập 1 phần 1.
Ví dụ 2:
15
Chứng minh:
122)12( 2.32.2
12
12
23
12
22
12
1
12
+=++−+−
+
++++
nCnCCC
n
n
n
nnn

)(
*
Nn
∈
Giải:

Xét khai triển
12
12
33
12
22
12
1
12
0
12
12
)1(
+
+++++
+
+++++=+
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCCx

)(
*
Nn
∈
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
12
12

23
12
22
12
1
12
2
)12( 32)1)(12(
+
++++
+++++=++
n
n
n
nnn
n
CxnCxxCCxn
Thay x = -2 ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3:
Tính tổng:
n
n
n
nnn
CnCCCS )1()1( 32
210
+−+−+−=

)(
*

Nn ∈
Giải:
Xét khai triển
nn
nnnn
n
xCxCxCCx ++++=+ )1(
2210

)(
*
Nn ∈

Suy ra:
132210
)1(
+
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCxCxx
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
n
n
n
nnn
nn
CxnCxxCCxxnx )1( 32)1()1(

22101
+++++=+++
−
Thay x = -1 ta có S = 0
Ví dụ 4:
Tính tổng:
2014
2014
6
2014
4
2014
2
2014
4028 1284 CCCCS
++++=

Giải:
16
Xét khai triển
20142014
2014
22
2014
1
2014
0
2014
2014
)1( xCxCxCCx

++++=+
(1)
và
20142014
2014
22
2014
1
2014
0
2014
2014
)1( xCxCxCCx
+−+−=−
(2)
Lấy (1( cộng (2) ta được:
20142014
2014
44
2014
22
2014
0
2014
20142014
2 222)1()1( xCxCxCCxx
+++=−++
(3)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (3) ta được:
20132014

2014
34
2014
2
2014
20132013
4028 84)1(2014)1(2014 xCxCxCxx
++=−−+
Thay x = 1 ta được
2013
2.2014=S

Ví dụ 5:
Cho n là số tự nhiên
2
≥
n
.Chứng minh đẳng thức sau:

21222221202
2)1(12 )2()1(
−−−
+=+++−+−+
nn
n
n
nnnn
nnCCCnCnCn
Giải:
Hướng dẫn

Xét khai triển
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CxCxCxCxCx
+++++=+
−−−
122110
)1(

)(
*
Nn ∈
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
12312011
)2()1()1(
−−−−−
++−+−+=+
n
nn
n

n
n
n
nn
CCxnCxnCnxxn

Suy ra
1221101
)2()1()1(
−−−−
++−+−+=+
n
nn
n
n
n
n
nn
CxCxnCxnCnxxxn
(2)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (2) ta được:

112201212
)1()1(.)1)(1(
−−−−−
++−+=+++−
n
nn
n
n

nnn
CCxnCxnxnxxnn
(3)
17
Thay x = 1 vào (3) ta được:
12222212022
12 )2()1(2)1(
−−−
+++−+−+=+
n
n
n
nnnn
n
CCCnCnCnnn
(điều phải chứng minh).
Giáo viên:
Nếu ở (3) của ví dụ trên ta thay x = 2 thì được kết quả như thế nào ? giáo viên có thể yêu
cầu học sinh phát biểu thành một bài toán.Từ đó cho học sinh phát triển thành bài tập
tổng quát với x = a
)(
*
Na
∈
Bài tập:
1.Chứng minh đẳng thức:
n
n
n
nn

n
n
n
n
n
n
n
n
n
CnCCCCnCnCn
12111231201
2 4)1( 4).2(4).1(4.
−−−−−−
+++=−++−+−−
)(
*
Nn ∈
2.Chứng minh đẳng thức:

12)2()1( 32.1
1432
+−=−++++
−
nn
nnnn
nCnCCC

);2( Nnn
∈≥
3.Chứng minh đẳng thức:

2432
2)1()1( 3.42.3.1.2
−
−=−++++
nn
nnnn
nnCnnCCC

);2( Nnn
∈≥
4.Chứng minh đẳng thức:
2212322212
2).1()1( 321
−−
+=+−++++
nn
n
n
nnnn
nnCnCnCCC
);2( Nnn
∈≥
5.Chứng minh đẳng thức:
12)2()1()2( 2
1132
+−=−+−+++
−−
nn
n

n
nnn
nCnCnCC

)(
*
Nn
∈
6.Tính tổng:
18
m
m
n
m
mn
m
n
n
nn
m
n
n
n
CCCCCCS .)1( )1(.)1(
1
1
1
−++−+−=
+
+

+

),;(
*
Nmnmn
∈≤
Phương pháp3:Dùng tích phân
Có những bài tập có thể dùng nhiều phương pháp để chứng minh, một số ví dụ hay một
só bài tập ở hai phương pháp trên có thể dùng phương pháp tích phân để giải.Giáo viên
đưa ra các phương pháp sau đó yêu cầu học sinh lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp
bởi vì mỗi em có thể thiên về mỗi mảng kiến thức khác nhau.Rèn luyện để các em căn cứ
vào đề bài để chọn cách lấy cận của tích phân.
Ví dụ:1
Cho n là số tự nhiên
1
≥
n
.Chứng minh đẳng thức sau:
1
12
1
11

4
1
3
1
2
1
1

13210
+
−
=
+
++++++
+
−
n
C
n
C
n
CCCC
n
n
n
n
nnnnn
Giải:
Xét khai triển
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCCx
+++++=+
)1(
332210

)(

*
Nn∈

Lấy tích phân hai vế (từ 0 đến 1 ) ta được:
dxxCxCxCxCCdxx
nn
nnnnn
n
) ()1(
33221
1
0
0
1
0
+++++=+
∫∫

1
0
113423120
)
1
11

4
1
3
1
2

1
.(
n
n
nn
n
n
nnnn
Cx
n
Cx
n
CxCxCxCx
+−
+
++++++=

n
n
n
nnnnn
C
n
C
n
CCCC
1
11

4

1
3
1
2
1
13210
+
++++++=
−
(1)
Mặt khác:
19
1
12
1
)1(
)1()1()1(
1
1
0
1
1
0
1
0
+
−
=
+
+

=++=+
++
∫∫
nn
x
xdxdxx
nn
nn
(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Từ ví dụ 1 giáo viên yêu cầu học sinh đọc kết quả bài tập sau:
Cho n là số tự nhiên
1
≥
n
.Tính tổng :
n
n
nn
n
n
nnnn
C
n
C
n
CCCCS
1
1
.2

1
.2
4
1
.2
3
1
.2
2
1
.2.2
113423120
+
++++++=
+−
n
n
nn
nnnn
C
n
CCCCP
1
1
.2.)1(
4
1
.2
3
1

.2
2
1
.2.2
13423120
+
−++−+−=
+
Giáo viên:
Cho học sinh suy nghĩ để tìm ra bài toán mới, sau đó dẫn dắt đến bài toán tổng quát thay
số 2 bởi một số tự nhiên khác.
Ví dụ 2:
Cho n là số tự nhiên
1
≥
n
.Chứng minh đẳng thức sau:
1
23
1
1212

4
12
3
12
2
12
111
13

4
2
3
1
2
0
+
−
=
+
−
+
−
++
−
+
−
+
−
+
+++
−
n
C
n
C
n
CCCC
nn
n

n
n
n
n
n
nnnn
Giải:
Cách 1:
Xét khai triển
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCCx
+++++=+
)1(
332210

)(
*
Nn∈

Lấy tích phân hai vế (từ 1 đến 2 ) ta được:
20
dxxCxCxCxCCdxx
nn
nnnnn
n
) ()1(
33221
2

1
0
2
1
+++++=+
∫∫

2
1
113423120
)
1
11

4
1
3
1
2
1
.(
n
n
nn
n
n
nnnn
Cx
n
Cx

n
CxCxCxCx
+−
+
++++++=

n
n
n
n
n
n
nnnn
C
n
C
n
CCCC
1
1212

4
12
3
12
2
12
1
13
4

2
3
1
2
0
+
−
+
−
++
−
+
−
+
−
+=
+
−
(1)
Mặt khác:
1
23
1
)1(
)1()1()1(
11
2
1
1
2

1
2
1
+
−
=
+
+
=++=+
+++
∫∫
nn
x
xdxdxx
nnn
nn
(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Cách 2: Tách ra và dùng phương pháp 1 (học sinh về tự làm).
Giáo viên:
Nếu thay tích phân từ 1 đến 2 bởi tích phân từ 1đến 3 ta được ? Từ đó yêu cầu học sinh
suy nghĩ để dẫn đến bài tập tổng quát.
Ví dụ 3:
Chứng minh đẳng thức sau:
22
1
22
)1(
2
)1(

8
1
6
1
4
1
2
1
1
1
3210
+
=
+
−
+
−
++−+−
−
−
n
C
n
C
n
CCCC
n
n
n

n
n
n
nnnn

)(
*
Nn∈

Giải:
Ta có:
)1(2
1
)1(2
)1(
)1()1(
2
1
)1(
1
0
12
1
0
22
1
0
2
+
=

+−
−
=−−
−
=−
+
∫∫
nn
x
xdxdxxx
n
nn
(1)
Xét khai triển:
21
nn
n
n
nnnn
n
xCxCxCxCCx )()1( )()()1(
23232222102
−++−+−=−
Ta có
1273523102
)1( )1(
+
−++−+−=−
nn
n

n
nnnn
n
xCxCxCxCxCxx
Lấy tích phân hai vế (từ 0 đến 1 ) ta được:
dxxCxCxCxCxCdxxx
nn
n
n
nnnn
n
))1( ()1(
127352310
1
0
2
1
0
+
−++−+−=−
∫∫
1
0
2238261402
)
22
1
)1(
8
1

6
1
4
1
2
1
(
n
n
nn
nnnn
Cx
n
CxCxCxCx
+
+
−++−+−=
n
n
n
n
n
n
nnnn
C
n
C
n
CCCC
22

)1(
2
)1(

8
1
6
1
4
1
2
1
1
1
3210
+
−
+
−
++−+−=
−
−
(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Giáo viên:
Nếu thay tích phân từ 0 đến 1 bởi tích phân từ 1 đến 2 ta được ? Từ đó rút ra bài tập tổng
quát.
Ví dụ 4:
Chứng minh đẳng thức sau:
33

12
33
1

12
1
9
1
6
1
3
1
1
3210
+
−
=
+
+++++
+
n
C
n
CCCC
n
n
nnnnn

)(
*

Nn∈

Giải:
Ta có:
)1(3
12
)1(3
)1(
)1()1(
3
1
)1(
1
1
0
13
1
0
33
1
0
32
+
−
=
+
+
=++=+
++
∫∫

nn
x
xdxdxxx
nn
nn
(1)
Xét khai triển:
22
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCCx )( )()()1(
33332323103
+++++=+
Ta có
2311382512032
)1(
+
+++++=+
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCxCxx
Lấy tích phân hai vế (từ 0 đến 1 ) ta được:
dxxCxCxCxCxCdxxx
nn
nnnnn
n
) ()1(
23113825120

1
0
2
1
0
+
+++++=−
∫∫
1
0
33312291603
)
33
1

12
1
9
1
6
1
3
1
(
n
n
n
nnnn
Cx
n

CxCxCxCx
+
+
+++++=
n
nnnnn
C
n
CCCC
33
1

12
1
9
1
6
1
3
1
3210
+
+++++=
(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Giáo viên:
- Nếu thay tích phân từ 0 đến 1 bởi tích phân từ 1 đến 2 ta được ? Từ đó rút ra bài tập
tổng quát.
- Có những bài tập chúng ta cần kết hợp giữa đạo hàm và tích phân như ví dụ sau.
Ví dụ 5:

Chứng minh đẳng thức sau:
nnn
n
n
nnn
CCCC 23)12( 73
321
−=−++++

)(
*
Nn ∈
Giải:
Xét khai triển
nn
nnnnn
n
xCxCxCxCCx
+++++=+
)1(
332210

)(
*
Nn ∈
(1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
23
n
n

n
nnn
n
CxnCxxCCxn
132211
32)1(
−−
++++=+
Lấy tích phân hai vế (từ 1 đến 2 ) ta được:

dxxnCxCxCCdxxn
nn
nnnn
n
) 32()1(
12321
2
1
2
1
1
−−
++++=+
∫∫
2
1
1133221
) (
n
n

nn
n
n
nnn
CxCxCxCxxC
+++++=
−−
=
n
n
n
nnn
CCCC )12( 73
321
−++++
Mặt khác:
nn
n
nn
n
x
nxdxndxxn 23
)1(
.)1()1()1(
2
1
2
1
1
2

1
1
−=
+
=++=+
∫∫
−−
Do đó:
nnn
n
n
nnn
CCCC 23)12( 73
321
−=−++++

)(
*
Nn
∈
điều phải chứng minh.
Giáo viên:
Yêu cầu học sinh suy nghĩ bài tập tổng quát,coi như một bài tập về nhà.
Bài tập:
1.Chứng minh đẳng thức sau:

nnn
n
nn
nnn

CCCC 34)23( 195
321
−=−++++

)(
*
Nn
∈
2.Tính tổng:
n
n
n
nnnnn
C
n
C
n
CCCCS
22
1
2
1

8
1
6
1
4
1
2

1
13210
+
++++++=
−

)(
*
Nn∈

3.Chứng minh đẳng thức sau:
)1(2
)3(1
22
2.)1(
2
2.)1(

8
2
6
2
4
2
2
2
122
1
21
3

8
2
6
1
4
0
2
+
−−
=
+
−
+
−
++−+−
++
−
−
n
C
n
C
n
CCCC
n
n
n
nn
n
n

nn
nnnn

)(
*
Nn
∈
24
4.Chứng minh đẳng thức sau:
1
)1(1
1
1
2.)1(
4
1
2
3
1
2
2
1
22
13423120
+
−+
=
+
−++−+−
+

n
C
n
CCCC
n
n
n
nn
nnnn

)(
*
Nn
∈

5.Chứng minh đẳng thức sau:
)12 (5.3
)2 (4.2
12
)1(

7
1
5
1
3
1
3210
+
=

+
−
++−+−
n
n
C
n
CCCC
n
n
n
nnnn

)(
*
Nn ∈

6.Nêu các bài tập tổng quát (nếu có) của các bài tập trên.
Phương pháp4:Sử dụng số phức
Số phức là phần kiến thức mới mà học sinh đang còn lúng túng và rất mơ hồ, vì vậy khi
dạy phần này tôi phải lựa chọn phương pháp dạy để học sinh tiếp cận nhanh nhất. Tôi đã
phân loại các dạng bài tập để học sinh nắm bắt nội dung bài học hiệu quả. Một trong các
dạng đó là dùng số phức để chứng minh hay tính tổng đẳng thức liên quan đến tổ hợp.
Ví dụ 1 :
Chứng minh đẳng thức:
10062013
2013
5
2013
3

2013
1
2013
2
−=+−+−
CCCC
Giải:
Xét khai triển :
20132013
2013
33
2013
22
2013
1
2013
0
2013
2013
)1( iCiCiCiCCi
+++++=+

iCCCCCCCC ) (
2013
2013
5
2013
3
2013
1

2013
2012
2013
4
2013
2
2013
0
2013
+−+−++−+−=
(1)
Mặt khác:
[ ]
iiiiiii .22)2)(1()2)(1()1()1()1(
1006100610061006
1006
22013
−−=−+=+=++=+
(2)
25