SKKN Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán ở THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“ÔN TẬP HÌNH HỌC THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT
BÀI TOÁN”
I. Đặt vấn đề:
Trong việc dạy học Toán ở trường THPT: Cùng với việc hình thành cho học sinh
một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lý … ; thì việc giải các bài toán có
tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy
học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THPT có thể coi việc giải bài toán là
một hình thức chủ yếu của việc học toán. Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy rằng
sách giáo khoa được biên soạn khá công phu, sắp xếp hệ thống kiến thức khoa
học. Hệ thống bài tập đa dạng, số lượng bài tập ở trong sách giáo khoa đã đủ với
tất cả học sinh. Tuy nhiên chúng ta có thể hướng dẫn các em “khai thác phát
triển” thành những bài toán hay hơn đa dạng hơn…Làm như vậy sẽ góp phần
quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh, kích thích sự tìm tòi
sáng tạo phát huy được khả năng tư duy cho học sinh. Đứng trước một bất cứ hệ
thống kiến thức toán học nào, nếu người giáo viên biết khéo léo khai thác thì đều có
thể rèn luyện tư duy cho học sinh một cách có hiệu quả. Tuy nhiên do thời gian hạn
chế nên trong phạm vi SKKN này tôi chỉ đi sâu vào nghiên cứu việc: “ÔN TẬP HÌNH
HỌC THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN QUEN THUỘC”. Trong
sáng kiến kinh nghiệm này tôi phân loại theo các câu hỏi theo từng dạng chủ điểm của
hình học không gian lớp 11 và lớp 12 với mục đích ôn tập.
II. Giải quyết vấn đề:
Đề bài: Cho hình chóp
SABCD có đáy ABCD là hình
vuông tâm O cạnh a. SA
⊥
(ABCD), SA=
3a
. Gọi H, I,
K lần lượt là hình chiếu vuông

góc của A trên SB, SC, SD và
J là hình chiếu của B trên SC.
Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm của AB, AD, BC,
SC.
B
C
A
D
S
O
H
K
I
J
N
M
P
Q
c
b
a
M
H
C
B
A
ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho
ABC∆

vuông ở A ta có :
Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC= +
AB. AC = BC. AH
2 2
. ; .BA BH BC CA CH CB= =
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
sin , , tan ,cot
b c b c
B c B B B
a a c b
= = = =os
BC = 2AM
b = a. sinB = a.cosC
c = a. sinC = a.cosB
b = c. tanB = c.cot C
a =
sin cos
b b
B C
=
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường
* Định lý hàm số Côsin:

.= + −
2 2 2

a b c 2bccosA
* Định lý hàm số sin:

2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam
giác:

1
2
S =
a.h
a
=
1 . .
. sin
2 4
a b c
a b C
R
=
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x
cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x
rộng

d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài
x chéo ngắn)
e/ Diện tích hình thang :
1
2
S =
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
f/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x
chiều cao
g/ Diện tích hình tròn :
2
.R
π
=S
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 1. Tính độ dài các cạnh:
1) SB, SC, SD, SO.
2) SH, SI, SK
3) AK, AH, AI, BJ, DJ.
4) AQ, OM, OQ, OJ.
Giải
1)
2 2
2 2
2 2
2
5

14
2
SD SB SA AB a
SC SA AC a
a
SO SA AO
= = + =
= + =
= + =
2)
2
2
3 3
.
2 2
a
SH SB SA SH SK a
a
= ⇒ = = =
2
2
3 3 5
.
5
5
a
SI SC SA SI a
a
= ⇒ = =
3)

2 2 2
2 2 2
1 1 1 3
2
1 1 1 30
5
a
AH AK
AH SA AB
a
AI
AI SA AC
= + ⇒ = =
= + ⇒ =
2 2 2
1 1 1 2 5
5
a
DJ BJ
BJ SB BC
= + ⇒ = =
AQ là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SAC nên
5
2 2
SC a
AQ = =
4)
2
a
OM ON OP= = =

OQ là đường trung bình tam giác SAC nên
3
2 2
SA a
OQ = =
Tam giác BJD cân tại J (∆SBC=∆SDC), JO là đường trung tuyến nên JO⊥BD.
2 2
30
10
a
JO JB OB= − =
Bài 2. Tính diện tích:
1) Các
∆
SAD,
∆
SAB,
∆
SBC,
∆
SCD,
∆
BJD.
2) Hình vuông ABCD
3) Hình chữ nhật ABPN
4) Hình thang AMOD, BDNM
5) Hình tròn ngoại tiếp và hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD
Giải
1)
2

1 3
.
2 2
SAD SAB
a
S S SA AB= = =
2 2 2 2
5SB BC a SC+ = =
⇒ ∆SBC vuông tại B. Chứng minh tương tự ta được ∆SCD
vuông tại D
2
1
.
2
SBC SCD
S S SB BC a= = =
2
1 15
.
2 10
BJD
a
S OJ BD= =
2)
2
ABCD
S a=
3)
2
2

ABPN
a
S =
( )
2
1 3
2 4
AMOD
S AD OM AM a= + =
2 2 2
3
2 8 8
BMND ABD AMN
a a a
S S S= − = − =
4) Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông:
2
2
1
2
a
S R
π
π
= =
Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông:
2
2
2
4

a
S r
π
π
= =
ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa:
Đường thẳng và mặt
phẳng gọi là song song
với nhau nếu chúng
không có điểm nào
chung.
/ /( ) ( )a P a P⇔ ∩ = ∅
a
(P)
2.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường
thẳng d không nằm
trên mp(P) và song
song với đường thẳng
a nằm trên mp(P) thì
đường thẳng d song
song với mp(P)
( )
/ / / /( )
( )
d P
d a d P

a P
⊄


⇒


⊂

d
a
(P)
ĐL2: Nếu đường
thẳng a song song với
mp(P) thì mọi mp(Q)
chứa a mà cắt mp(P)
thì cắt theo giao tuyến
song song với a.
/ /( )
( ) / /
( ) ( )
a P
a Q d a
P Q d


⊂ ⇒


∩ =


d
a
(Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt
phẳng cắt nhau cùng
song song với một
( ) ( )
( ) / / / /
( ) / /
P Q d
P a d a
Q a
∩ =


⇒



a
d
Q
P
đường thẳng thì giao
tuyến của chúng song
song với đường thẳng
đó.
* Các câu hỏi liên quan:

Bài 3. Chứng minh các đường thẳng song song:
1) PN//AB//CD 2)MO//AD//BC 3) QP // SB
4) MN//BD 5) KH//BD 6)OJ//AI.
Bài 4. Chứng minh các đường thẳng song song với mặt phẳng:
1) PN//(SAB), PN//(SCD)
2) MO// (SAD), BC // (OQM)//AD, MO // (SBC)
3) CD// (QPN), CD//(SNP)
4) MN, KH//(SBD), MN, KH//(JBD), BD// (MNKH), (QMN), KH //(ABCD), BD//
(AKH).
Bài 5. Tìm giao tuyến của:
1) (SAB) và (SCD) 2) (SAD) và (SBC)
Giải
Bài 3. Chứng minh các đường thẳng song song:
1) PN là đường trung bình của hình vuông ABCD nên PN//AB//CD
2) MO là đường trung bình của hình vuông ABCD nên MO//AD//BC
3) QP là đường trung bình của ∆SBC nên QP // SB
4) MN là đường trung bình của ∆ABD nên MN//BD
5)
SH SK
SB SD
=
(
2
2
SA
SH SK
SB
= =
, SB=SD) suy ra HK//BD
6) OJ//AI (cùng vuông góc với SC, OJ vuông góc với SC bằng định lý Talet (tính độ

dài các đoạn thẳng tỷ lệ bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông) hoặc sử dụng kiến
thức ở phần ôn tập 3)
Bài 4. Chứng minh các đường thẳng song song với mặt phẳng:
1)
( )
( )
( )
PN SCD
PN CD PN SC D
CD SCD
⊄


⇒


⊂

P P
Chứng minh tương tự ta được
PN//(SAB) (PN//AB),
2) MO// (SAD), MO // (SBC) BC // (OQM)//AD (vì MO//AD),
3) CD// (QPN) (CD//PN), CD//(SNP) (CD//PN),
4) Vì MN//BD//HK nên
MN, KH//(SBD),
MN, KH//(JBD),
BD// (MNKH), (QMN),
KH //(ABCD),
BD//(AKH)
Bài 5. Giao tuyến: (SAB) và (SCD), (SAD) và (SBC)

1)
( ) ( )
( ) ( )
S SAB SCD
SAB SCD Sx AB CD
AB CD
 ∈ ∩

⇒ ∩ =



P P
P
2)
( ) ( )
( ) ( )
S SAD SBC
SAD SBC Sy AD BC
AD BC

∈ ∩

⇒ ∩ =



P P
P
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi
là song song với nhau
nếu chúng không có
điểm nào chung.
( ) ( ) ( ) ( )P Q P Q⇔ ∩ = ∅P
Q
P
2.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P)
chứa hai đường thẳng
a, b cắt nhau và cùng
song song với mặt
phẳng (Q) thì (P) và
(Q) song song với
nhau.
, ( )
( ) ( )
( ), ( )
a b P
a b I P Q
a Q b Q
⊂


∩ = ⇒



P

P P
I
b
a
Q
P
ĐL2: Nếu một
đường thẳng nằm
một trong hai mặt
phẳng song song thì
song song với mặt
( ) ( )
( )
( )
P Q
a Q
a P

⇒

⊂

P
P
a
Q
P
phẳng kia.
ĐL3: Nếu hai mặt
phẳng (P) và (Q)

song song thì mọi
mặt phẳng (R) đã cắt
(P) thì phải cắt (Q)
và các giao tuyến của
chúng song song.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P Q
R P a a b
R Q b


∩ = ⇒


∩ =

P
P
b
a
R
Q
P
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 6. Chứng minh hai mặt phẳng song song:
1) (OQM)//(SAD) 2) (QNP) // (SAB) 3)(AKH) // (JBD)
Giải
1) (OQM)//(SAD)

, ( )
( ) ( )
( ), ( )
OQ OM OQM
OQ OM O OQM SAD
OQ SAD OM SAD
⊂


∩ = ⇒



P
P P
2) (QNP) // (SAB)
, ( )
( ) ( )
( ), ( )
OQ NP QNP
OQ NP O QNP SAB
OQ SAB NP SAB
⊂


∩ = ⇒



P

P P
3)(AKH) // (JBD)
Ta chứng minh HI// BJ và DJ//IK bằng định lý Talet (tính độ dài các đoạn thẳng tỷ lệ
bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông)
, ( )
( ) ( )
( ), ( )
HI IK AKH
HI IK I AKH JBD
HI BJD IK BJD
⊂


∩ = ⇒



P
P P
(ta có thể chứng minh 2 mặt phẳng này song song do cùng vuông góc với SC ở phần
ôn tập 3)
Bài tập tổng hợp
Bài 7. Tìm thiết diện của (α) và hình chóp, thiết diện là hình gì? Với (α) lần lượt là
các mặt phẳng
1) (NPQ)
2) Mặt phẳng qua MN và song song với SA.
Bài 8. a) T là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua QT và
song song với BC. Tìm thiết diện của (P) và hình chóp.
b) Xác định vị trí điểm T để thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi T di động trên cạnh SA.

Bài 9.Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm T di
động trên đoạn OC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P).
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x = CT.
Giải
Bài 7. 1) (α) là (NPQ)
B
C
A
D
S
O
J
N
M
P
R
OQ//SA (đường trung bình)
Từ N kẻ NR//SA (R thuộc SD) suy ra R là trung điểm SD ⇒QR//CD//NP. Thiết diện
là hình thang NPQR
2
B
C
A
D
S
O
U
J
N

M
Q
P
R
T
Kẻ MT// SA (T∈SB)
Q
X
Kẻ NR// SA (R∈SD)
MN∩AC=X, kẻ XU // SA (U∈SC)
Thiết diện là ngũ giác MNRUT
Bài 8.
a) Dựng QR//BC (R∈SB)
Dựng TV//AD (V∈SD)
Thiết diện là hình thang QRTV
b) Hình thang QRTV là hình bình hành ⇔ QR=TV
1
2
TV QR
AD BC
⇒ = =
⇒ T là trung điểm
SA
c)
( ) ( )
( ) ( )
AB CD
SAB SCD Sx AB CD
S SAB SCD



⇒ ∩ =

∈ ∩


P
P P
( )
( )
( ) ( )
U RT SAB
U RT QV U SAB SCD U Sx
U QV SCD
 ∈ ⊂

= ∩ ⇒ ⇒ ∈ ∩ ⇒ ∈

∈ ⊂


T A U AR DQ E
T S U SR SQ S
≡ ⇒ = ∩ =
≡ ⇒ = ∩ =
T là trung điểm SA thì RT//QV
Vậy tập hợp điểm U là đường thẳng Sx//AB//CD bỏ đi đoạn SE.
B
C
A

D
S
O
J
N
M
Q
P
R
T
Bài 9.
B
C
A
D
S
O
U
V
R
T
a) Q ua T dựng UV//BD (U∈BC, R∈CD)
V
R
U
Dựng UR//SB (R∈SC). Nối RV. Thiết diện là tam giác RUV cân tại R. (
,
RU RV
SB SD
SB SD

= =
)
2
2
2
2 14
2 . 7
2 2
1 1
. .2 . 7 7
2 2
RUV
UV TC x
UV x
BD CO BD
RT TC x a
RT x x
SO CO BD
a
S UV RT x x x
= = ⇒ =
= = ⇒ = =
= = =
B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1.Định nghĩa:
Một đường thẳng được
gọi là vuông góc với
một mặt phẳng nếu nó
vuông góc với mọi

đường thẳng nằm trên
mặt phẳng đó.
( ) , ( )a mp P a c c P⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂
P
c
a
2. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng
d vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau a
và b cùng nằm trong
mp(P) thì đường thẳng
d vuông góc với mp(P).
,
, ( ) ( )
,
d a d b
a b mp P d mp P
a b
⊥ ⊥


⊂ ⇒ ⊥



caét nhau
d
a
b

P
ĐL2: (Ba đường vuông
góc) Cho đường thẳng
a không vuông góc với
mp(P) và đường thẳng
b nằm trong (P). Khi
đó, điều kiện cần và đủ
để b vuông góc với a là
b vuông góc với hình
( ), ( )
'
a mp P b mp P
b a b a
⊥ ⊂
⊥ ⇔ ⊥
a'
a
b
P
chiếu a’ của a trên (P).
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 10. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1) BC ⊥ (SAB) 2) CD ⊥ (SAD) 3) AH ⊥ (SBC)
4) AK ⊥ (SCD) 5) SC ⊥ (AHK) 6) BD ⊥ (SAC)
7) SC ⊥ (AIK) 8) HK ⊥ (SAC) 9) OM ⊥ (SAB)
10) ON ⊥ (SAD) 11) BC ⊥ (OPQ) 12) AB ⊥ (OMQ)
13) AD ⊥ (ONQ) 14) SC ⊥ (JBD)
Bài 11. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
1) BC ⊥ SB 2) CD ⊥ SD 3) BD ⊥ SO
4) BD ⊥ SC 5) AH ⊥ SC 6) AK ⊥ SC

7) AI ⊥ HK 8) DJ ⊥ SC
Giải
Bài 10. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1) BC ⊥ AB (g/t hình vuông), BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD),BC ⊂ (ABCD)) ⇒ BC ⊥
(SAB)
2) CD ⊥ AD (g/t hình vuông), CD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD),CD ⊂ (ABCD)) ⇒ CD ⊥
(SAD)
3) AH ⊥ SB (gt), AH ⊥ BC (BC ⊥ (SAB) (câu 1)) ⇒ AH ⊥ (SBC)
4) AK ⊥ SD (gt), AK ⊥ CD (CD ⊥ (SAD) (câu 2)) ⇒ AK ⊥ (SCD)
5) AH ⊥ (SBC) (do câu 1) ⇒ AH ⊥ SC,AK ⊥ (SCD) (do câu 2) ⇒ AK ⊥ SC⇒ SC
⊥ (AHK)
6) BD ⊥ AC (g/t hình vuông), BD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD),BD ⊂ (ABCD)) ⇒ BD ⊥
(SAC)
7) AK ⊥ (SCD) (do câu 2) ⇒ AK ⊥ SC, AI ⊥ SC (GT) ⇒ SC ⊥ (AIK)
8) ∆ SAB = ∆ SAD (c.g.c) ⇒ SB = SD và
·
·
ASB ASD=
, AH ⊥ SB và AK ⊥ SD (cmt) ⇒
có ∆ SAH = ∆ SAK (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ SH = SK ⇒
SH SK
SB SD
=
⇒ HK // BD.Mặt
khác ta lại có BD ⊥ (SAC) (câu 6) nên HK ⊥ (SAC)
9) OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM // BC, BC ⊥ (SAB) (cmt)
⇒OM⊥(SAB).
10) ON là đng trung bình của tam giác ABD nên ON// AB //CD, CD ⊥ (SAD) (cmt)
⇒ON⊥(SAD).
11) OP là đng trung bình của tam giác BDC ⇒ OP // CD,BC ⊥ CD (gt hình vuông)

⇒ BC ⊥ OP
OQ là đng trung bình của ∆ SAC ⇒ OQ // SA,SA ⊥ (ABCD) ⇒ OQ ⊥ (ABCD)
⇒ BC ⊥ OQ⇒ BC ⊥ (OPQ)
Hoặc có thể chứng minh:
OQ và PQ lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và SBC nên đồng
thời có OQ // SA VÀ PQ // SB ⇒ (OPQ) // (SAB) mà BC ⊥ (SAB) (câu 1) ⇒ BC ⊥
(OPQ).
12) AB ⊥ AD (gt hv), AB ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD) ⇒ AB ⊥ (SAD)
OQ và OM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và ABC nên
đồng thời có OQ // SA VÀ OM // BC//AD ⇒ (OMQ) // (SAD) lại có AB ⊥ (SAD)
(cmt) ⇒ AB ⊥ (OMQ)
13) AD ⊥ AB (gt hv), AD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD) ⇒ AD ⊥ (SAB)
OQ và ON lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và ABD nên
đồng thời có OQ // SA VÀ ON//AB ⇒ (ONQ) // (SAB) lại có AD ⊥ (SAB) (cmt) ⇒
AB ⊥ (OMQ)
14) SC ⊥ (AHK) (câu 5)) ⇒ A,H,I,K đồng phẳng ⇒ (AHIK) ⊥ SC ⇒ SC ⊥ IH.
⇒Trong mp (SBC) có HI ⊥ SC, BJ ⊥ SC ⇒ BJ // HI, lại có BD // HK ⇒ (JBD) //
(AHIK), ta lại có (AHIK) ⊥ SC (cmt) nên SC ⊥(JBD).
Bài 11. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
1) BC ⊥ (SAB) (câu 10.1), SB ⊂ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB.
2) CD ⊥ (SAD) (câu 10.2), SD ⊂ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD.
3) BD ⊥ (SAC) (câu 10.6), SO ⊂ (SAC) ⇒ BD ⊥ SO
4) BD ⊥ (SAC) (câu 10.6), SC ⊂ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC
5) AH ⊥ (SBC) (câu 10.3), SC ⊂ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC
6) AK ⊥ (SCD) (câu 10.4), SC ⊂ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC
7) AI ⊂ (SAC), HK ⊥ (SAC) (câu 8) ⇒ HK ⊥ AI
8) SC ⊥ (JDB) (câu 10.14), DJ ⊂ (JDB) ⇒ DJ ⊥ SC.
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng

90
0
.
2. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt
phẳng chứa một
đường thẳng vuông
góc với một mặt
phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông
góc với nhau.
( )
( ) ( )
( )
a mp P
mp Q mp P
a mp Q
⊥

⇒ ⊥

⊂

Q
P
a
ĐL2:Nếu hai mặt
phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau
thì bất cứ đường

thẳng a nào nằm
trong (P), vuông góc
với giao tuyến của
(P) và (Q) đều
vuông góc với mặt
phẳng (Q).
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
P Q
P Q d a Q
a P a d
⊥


∩ = ⇒ ⊥


⊂ ⊥

d
Q
P
a
ĐL3: Nếu hai mặt
phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau
và A là một điểm
trong (P) thì đường
thẳng a đi qua điểm

( ) ( )
( )
( )
( )
P Q
A P
a P
A a
a Q
⊥


∈

⇒ ⊂

∈


⊥

A
Q
P
a
A và vuông góc với
(Q) sẽ nằm trong (P)
ĐL4: Nếu hai mặt
phẳng cắt nhau và
cùng vuông góc với

mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của
chúng vuông góc
với mặt phẳng thứ
ba.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R
∩ =


⊥ ⇒ ⊥


⊥

a
R
Q
P
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 12. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
1) (SBC) ⊥ (SAB) 2) (SCD) ⊥ (SAD) 3) (AHK) ⊥ (SBC)
4) (AHK) ⊥ (SCD) 5) (SBD) ⊥ (SAC) 6) (AHK) ⊥(SAC)
7) (OQM) ⊥(SAB) 8) (OQN) ⊥(SAD) 9) (OPQ) ⊥ ((SBC)
10) (SAC) ⊥ (JBD) 11) (SBC) ⊥ (JBD) 12) (SCD) ⊥(JBD)
Giải

Bài 12. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
1) BC ⊥ (SAB) (câu 10.1), BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥(SAB)
2) CD ⊥ (SAD) (câu 10.2), CD ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥(SAD)
3) AH ⊥ (SBC) (câu 10.3), AH ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥(SBC)
4) AK ⊥ (SCD) (câu 10.4), AK ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥(SCD)
5) BD ⊥ (SAC) (câu 10.6), BD ⊂ (SBD) ⇒ (SBD) ⊥(SAC)
6) SC ⊥ (AHK) (câu 10.5), SC ⊂ (SAC) ⇒ (AHK) ⊥(SAC)
7) OM ⊥ (SAB) (câu 10.9), OM ⊂ (OQM)⇒ (OQM) ⊥(SAB).
8) ON ⊥ (SAD) (câu 10.10), ON ⊂ (ONQ) ⇒(ONQ) ⊥ (SAD).
9) BC ⊥ (OPQ) (câu 10.11), BC ⊂ (SBC) ⇒ (OPQ) ⊥ (SBC).
10) SC ⊥ (JBD) (câu 10.14), SC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (JBD)
11) SC ⊥ (JBD) (câu 10.14), SC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (JBD).
12) SC ⊥ (JBD) (câu 10.14), SC ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥ (JBD).
§3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1
đường thẳng, đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H,
trong đó H là hình chiếu của điểm M
trên đường thẳng a (hoặc trên
mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a
H
O
H
O
P
2. Khoảng cách giữa đường thẳng

và mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và
mp(P) song song với a là khoảng
cách từ một điểm nào đó của a đến
mp(P).
d(a;(P)) = OH
a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng
kia.
d((P);(Q)) = OH
H
O
Q
P
4.Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng đó.
d(a;b) = AB
B
A
b
a
* Các câu hỏi liên quan:

Bài 13. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
1) C; (SAB) 2) C; (SAD) 3) A; (SBC)
4) A; (SCD) 5) A; (SBD) 6) O; (SAB)
7) O; (SAD) 8) O; (SBC) 9) O; (SCD)
10) S; (AHK) 11) S; (JBD) 12)Q; (ABCD)
Bài 14. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng