Ôn tập Hình học thông qua việc khai thác một bài toán quen thuộc

SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
I. Đặt vấn đề:
Trong việc dạy học Toán ở trường THPT: Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ
thống vững chắc các khái niệm, các định lý … ; thì việc giải các bài toán có tầm quan trọng đặc
biệt và là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông.
Đối với học sinh THPT có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.
Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy rằng sách giáo khoa được biên soạn khá công phu, sắp
xếp hệ thống kiến thức khoa học. Hệ thống bài tập đa dạng, số lượng bài tập ở trong sách
giáo khoa đã đủ với tất cả học sinh. Tuy nhiên chúng ta có thể hướng dẫn các em “khai
thác phát triển” thành những bài toán hay hơn đa dạng hơn…Làm như vậy sẽ góp phần
quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh, kích thích sự tìm tòi sáng tạo
phát huy được khả năng tư duy cho học sinh. Đứng trước một bất cứ hệ thống kiến thức toán
học nào, nếu người giáo viên biết khéo léo khai thác thì đều có thể rèn luyện tư duy cho học sinh
một cách có hiệu quả. Tuy nhiên do thời gian hạn chế nên trong phạm vi SKKN này tôi chỉ đi
sâu vào nghiên cứu việc: “ÔN TẬP HÌNH HỌC THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT BÀI
TOÁN QUEN THUỘC”. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi phân loại theo các câu hỏi theo
từng dạng chủ điểm của hình học không gian lớp 11 và lớp 12 với mục đích ôn tập.
II. Giải quyết vấn đề:
Đề bài: Cho hình chóp
SABCD có đáy ABCD là hình vuông
tâm O cạnh a. SA
⊥
(ABCD), SA=
3a
. Gọi H, I, K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A trên SB, SC,
SD và J là hình chiếu của B trên SC.
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm
của AB, AD, BC, SC.
B
C

A
D
S
O
H
K
I
J
N
M
P
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 1
Q
c
b
a
M
H
C
B
A
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho
ABC∆
vuông ở A ta có :
Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC= +
AB. AC = BC. AH

2 2
. ; .BA BH BC CA CH CB= =
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
sin , , tan ,cot
b c b c
B c B B B
a a c b
= = = =os
BC = 2AM
b = a. sinB = a.cosC
c = a. sinC = a.cosB
b = c. tanB = c.cot C
a =
sin cos
b b
B C
=
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường
* Định lý hàm số Côsin:

.= + −
2 2 2
a b c 2bccosA
* Định lý hàm số sin:

2
sin sin sin

a b c
R
A B C
= = =
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:

1
2
S =
a.h
a
=
1 . .
. sin
2 4
a b c
a b C
R
=
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài x chéo
ngắn)
e/ Diện tích hình thang :
1
2

S =
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
f/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
g/ Diện tích hình tròn :
2
.R
π
=S
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 1. Tính độ dài các cạnh:
1) SB, SC, SD, SO.
2) SH, SI, SK
3) AK, AH, AI, BJ, DJ.
4) AQ, OM, OQ, OJ.
Giải
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 2
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
1)
2 2
2 2
2 2
2
5
14
2
SD SB SA AB a
SC SA AC a
a
SO SA AO
= = + =

= + =
= + =
2)
2
2
3 3
.
2 2
a
SH SB SA SH SK a
a
= ⇒ = = =
2
2
3 3 5
.
5
5
a
SI SC SA SI a
a
= ⇒ = =
3)
2 2 2
2 2 2
1 1 1 3
2
1 1 1 30
5
a

AH AK
AH SA AB
a
AI
AI SA AC
= + ⇒ = =
= + ⇒ =
2 2 2
1 1 1 2 5
5
a
DJ BJ
BJ SB BC
= + ⇒ = =
AQ là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SAC nên
5
2 2
SC a
AQ = =
4)
2
a
OM ON OP= = =
OQ là đường trung bình tam giác SAC nên
3
2 2
SA a
OQ = =
Tam giác BJD cân tại J (∆SBC=∆SDC), JO là đường trung tuyến nên JO⊥BD.
2 2

30
10
a
JO JB OB= − =
Bài 2. Tính diện tích:
1) Các
∆
SAD,
∆
SAB,
∆
SBC,
∆
SCD,
∆
BJD.
2) Hình vuông ABCD
3) Hình chữ nhật ABPN
4) Hình thang AMOD, BDNM
5) Hình tròn ngoại tiếp và hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD
Giải
1)
2
1 3
.
2 2
SAD SAB
a
S S SA AB= = =
2 2 2 2

5SB BC a SC+ = =
⇒ ∆SBC vuông tại B. Chứng minh tương tự ta được ∆SCD vuông tại
D
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 3
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
2
1
.
2
SBC SCD
S S SB BC a= = =
2
1 15
.
2 10
BJD
a
S OJ BD= =
2)
2
ABCD
S a=
3)
2
2
ABPN
a
S =
( )
2

1 3
2 4
AMOD
S AD OM AM a= + =
2 2 2
3
2 8 8
BMND ABD AMN
a a a
S S S= − = − =
4) Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông:
2
2
1
2
a
S R
π
π
= =
Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông:
2
2
2
4
a
S r
π
π
= =

Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 4
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa:
Đường thẳng và mặt phẳng
gọi là song song với nhau nếu
chúng không có điểm nào
chung.
/ /( ) ( )a P a P⇔ ∩ = ∅
a
(P)
2.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường thẳng d
không nằm trên mp(P) và
song song với đường thẳng
a nằm trên mp(P) thì đường
thẳng d song song với
mp(P)
( )
/ / / /( )
( )
d P
d a d P
a P
⊄


⇒



⊂

d
a
(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a
song song với mp(P) thì mọi
mp(Q) chứa a mà cắt mp(P)
thì cắt theo giao tuyến song
song với a.
/ /( )
( ) / /
( ) ( )
a P
a Q d a
P Q d


⊂ ⇒


∩ =

d
a
(Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng

cắt nhau cùng song song với
một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng song song
với đường thẳng đó.
( ) ( )
( ) / / / /
( ) / /
P Q d
P a d a
Q a
∩ =


⇒



a
d
Q
P
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 3. Chứng minh các đường thẳng song song:
1) PN//AB//CD 2)MO//AD//BC 3) QP // SB
4) MN//BD 5) KH//BD 6)OJ//AI.
Bài 4. Chứng minh các đường thẳng song song với mặt phẳng:
1) PN//(SAB), PN//(SCD)
2) MO// (SAD), BC // (OQM)//AD, MO // (SBC)
3) CD// (QPN), CD//(SNP)
4) MN, KH//(SBD), MN, KH//(JBD), BD// (MNKH), (QMN), KH //(ABCD), BD//(AKH).

Bài 5. Tìm giao tuyến của:
1) (SAB) và (SCD) 2) (SAD) và (SBC)
Giải
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 5
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
Bài 3. Chứng minh các đường thẳng song song:
1) PN là đường trung bình của hình vuông ABCD nên PN//AB//CD
2) MO là đường trung bình của hình vuông ABCD nên MO//AD//BC
3) QP là đường trung bình của ∆SBC nên QP // SB
4) MN là đường trung bình của ∆ABD nên MN//BD
5)
SH SK
SB SD
=
(
2
2
SA
SH SK
SB
= =
, SB=SD) suy ra HK//BD
6) OJ//AI (cùng vuông góc với SC, OJ vuông góc với SC bằng định lý Talet (tính độ dài các
đoạn thẳng tỷ lệ bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông) hoặc sử dụng kiến thức ở phần ôn tập
3)
Bài 4. Chứng minh các đường thẳng song song với mặt phẳng:
1)
( )
( )
( )

PN SCD
PN CD PN SCD
CD SCD
⊄


⇒


⊂

P P
Chứng minh tương tự ta được
PN//(SAB) (PN//AB),
2) MO// (SAD), MO // (SBC) BC // (OQM)//AD (vì MO//AD),
3) CD// (QPN) (CD//PN), CD//(SNP) (CD//PN),
4) Vì MN//BD//HK nên
MN, KH//(SBD),
MN, KH//(JBD),
BD// (MNKH), (QMN),
KH //(ABCD),
BD//(AKH)
Bài 5. Giao tuyến: (SAB) và (SCD), (SAD) và (SBC)
1)
( ) ( )
( ) ( )
S SAB SCD
SAB SCD Sx AB CD
AB CD
 ∈ ∩


⇒ ∩ =



P P
P
2)
( ) ( )
( ) ( )
S SAD SBC
SAD SBC Sy AD BC
AD BC

∈ ∩

⇒ ∩ =



P P
P
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 6
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.
( ) ( ) ( ) ( )P Q P Q⇔ ∩ = ∅P

Q
P
2.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai
đường thẳng a, b cắt nhau
và cùng song song với
mặt phẳng (Q) thì (P) và
(Q) song song với nhau.
, ( )
( ) ( )
( ), ( )
a b P
a b I P Q
a Q b Q
⊂


∩ = ⇒



P
P P
I
b
a
Q
P
ĐL2: Nếu một đường
thẳng nằm một trong hai

mặt phẳng song song thì
song song với mặt phẳng
kia.
( ) ( )
( )
( )
P Q
a Q
a P

⇒

⊂

P
P
a
Q
P
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng
(P) và (Q) song song thì
mọi mặt phẳng (R) đã cắt
(P) thì phải cắt (Q) và các
giao tuyến của chúng song
song.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P Q
R P a a b

R Q b


∩ = ⇒


∩ =

P
P
b
a
R
Q
P
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 6. Chứng minh hai mặt phẳng song song:
1) (OQM)//(SAD) 2) (QNP) // (SAB) 3)(AKH) // (JBD)
Giải
1) (OQM)//(SAD)
, ( )
( ) ( )
( ), ( )
OQ OM OQM
OQ OM O OQM SAD
OQ SAD OM SAD
⊂


∩ = ⇒




P
P P
2) (QNP) // (SAB)
, ( )
( ) ( )
( ), ( )
OQ NP QNP
OQ NP O QNP SAB
OQ SAB NP SAB
⊂


∩ = ⇒



P
P P
3)(AKH) // (JBD)
Ta chứng minh HI// BJ và DJ//IK bằng định lý Talet (tính độ dài các đoạn thẳng tỷ lệ bằng hệ
thức lượng trong tam giác vuông)
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 7
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
, ( )
( ) ( )
( ), ( )
HI IK AKH

HI IK I AKH JBD
HI BJD IK BJD
⊂


∩ = ⇒



P
P P
(ta có thể chứng minh 2 mặt phẳng này song song do cùng vuông góc với SC ở phần ôn tập 3)
Bài tập tổng hợp
Bài 7. Tìm thiết diện của (α) và hình chóp, thiết diện là hình gì? Với (α) lần lượt là các mặt
phẳng
1) (NPQ)
2) Mặt phẳng qua MN và song song với SA.
Bài 8. a) T là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua QT và song song
với BC. Tìm thiết diện của (P) và hình chóp.
b) Xác định vị trí điểm T để thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi T di động trên cạnh SA.
Bài 9.Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm T di động trên
đoạn OC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P).
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x = CT.
Giải
Bài 7. 1) (α) là (NPQ)
B
C
A

D
S
O
J
N
M
P
R
OQ//SA (đường trung bình)
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 8
Q
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
Từ N kẻ NR//SA (R thuộc SD) suy ra R là trung điểm SD ⇒QR//CD//NP. Thiết diện là hình
thang NPQR
2
B
C
A
D
S
O
U
J
N
M
Q
P
R
T
Kẻ MT// SA (T∈SB)

Kẻ NR// SA (R∈SD)
MN∩AC=X, kẻ XU // SA (U∈SC)
Thiết diện là ngũ giác MNRUT
Bài 8.
a) Dựng QR//BC (R∈SB)
Dựng TV//AD (V∈SD)
Thiết diện là hình thang QRTV
b) Hình thang QRTV là hình bình hành ⇔ QR=TV
1
2
TV QR
AD BC
⇒ = =
⇒ T là trung điểm SA
c)
( ) ( )
( ) ( )
AB CD
SAB SCD Sx AB CD
S SAB SCD


⇒ ∩ =

∈ ∩


P
P P
( )

( )
( ) ( )
U RT SAB
U RT QV U SAB SCD U Sx
U QV SCD
 ∈ ⊂

= ∩ ⇒ ⇒ ∈ ∩ ⇒ ∈

∈ ⊂


Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 9
X
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
T A U AR DQ E
T S U SR SQ S
≡ ⇒ = ∩ =
≡ ⇒ = ∩ =
T là trung điểm SA thì RT//QV
Vậy tập hợp điểm U là đường thẳng Sx//AB//CD bỏ đi đoạn SE.
B
C
A
D
S
O
J
N
M

Q
P
R
T
Bài 9.
B
C
A
D
S
O
U
V
R
T
a) Q ua T dựng UV//BD (U∈BC, R∈CD)
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 10
V
R
U
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
Dựng UR//SB (R∈SC). Nối RV. Thiết diện là tam giác RUV cân tại R. (
,
RU RV
SB SD
SB SD
= =
)
2
2

2
2 14
2 . 7
2 2
1 1
. .2 . 7 7
2 2
RUV
UV TC x
UV x
BD CO BD
RT TC x a
RT x x
SO CO BD
a
S UV RT x x x
= = ⇒ =
= = ⇒ = =
= = =
B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1.Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là
vuông góc với một mặt
phẳng nếu nó vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trên
mặt phẳng đó.
( ) , ( )a mp P a c c P⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂
P
c

a
2. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d
vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau a và b cùng
nằm trong mp(P) thì đường
thẳng d vuông góc với
mp(P).
,
, ( ) ( )
,
d a d b
a b mp P d mp P
a b
⊥ ⊥


⊂ ⇒ ⊥



caét nhau
d
a
b
P
ĐL2: (Ba đường vuông góc)
Cho đường thẳng a không
vuông góc với mp(P) và
đường thẳng b nằm trong (P).

Khi đó, điều kiện cần và đủ
để b vuông góc với a là b
vuông góc với hình chiếu a’
của a trên (P).
( ), ( )
'
a mp P b mp P
b a b a
⊥ ⊂
⊥ ⇔ ⊥
a'
a
b
P
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 10. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1) BC ⊥ (SAB) 2) CD ⊥ (SAD) 3) AH ⊥ (SBC)
4) AK ⊥ (SCD) 5) SC ⊥ (AHK) 6) BD ⊥ (SAC)
7) SC ⊥ (AIK) 8) HK ⊥ (SAC) 9) OM ⊥ (SAB)
10) ON ⊥ (SAD) 11) BC ⊥ (OPQ) 12) AB ⊥ (OMQ)
13) AD ⊥ (ONQ) 14) SC ⊥ (JBD)
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 11
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
Bài 11. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
1) BC ⊥ SB 2) CD ⊥ SD 3) BD ⊥ SO
4) BD ⊥ SC 5) AH ⊥ SC 6) AK ⊥ SC
7) AI ⊥ HK 8) DJ ⊥ SC
Giải
Bài 10. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1) BC ⊥ AB (g/t hình vuông), BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD),BC ⊂ (ABCD)) ⇒ BC ⊥ (SAB)

2) CD ⊥ AD (g/t hình vuông), CD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD),CD ⊂ (ABCD)) ⇒ CD ⊥ (SAD)
3) AH ⊥ SB (gt), AH ⊥ BC (BC ⊥ (SAB) (câu 1)) ⇒ AH ⊥ (SBC)
4) AK ⊥ SD (gt), AK ⊥ CD (CD ⊥ (SAD) (câu 2)) ⇒ AK ⊥ (SCD)
5) AH ⊥ (SBC) (do câu 1) ⇒ AH ⊥ SC,AK ⊥ (SCD) (do câu 2) ⇒ AK ⊥ SC⇒ SC ⊥
(AHK)
6) BD ⊥ AC (g/t hình vuông), BD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD),BD ⊂ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC)
7) AK ⊥ (SCD) (do câu 2) ⇒ AK ⊥ SC, AI ⊥ SC (GT) ⇒ SC ⊥ (AIK)
8) ∆ SAB = ∆ SAD (c.g.c) ⇒ SB = SD và
·
·
ASB ASD=
, AH ⊥ SB và AK ⊥ SD (cmt) ⇒ có ∆
SAH = ∆ SAK (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ SH = SK ⇒
SH SK
SB SD
=
⇒ HK // BD.Mặt khác ta lại
có BD ⊥ (SAC) (câu 6) nên HK ⊥ (SAC)
9) OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM // BC, BC ⊥ (SAB) (cmt)
⇒OM⊥(SAB).
10) ON là đng trung bình của tam giác ABD nên ON// AB //CD, CD ⊥ (SAD) (cmt)
⇒ON⊥(SAD).
11) OP là đng trung bình của tam giác BDC ⇒ OP // CD,BC ⊥ CD (gt hình vuông) ⇒ BC ⊥
OP
OQ là đng trung bình của ∆ SAC ⇒ OQ // SA,SA ⊥ (ABCD) ⇒ OQ ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥
OQ⇒ BC ⊥ (OPQ)
Hoặc có thể chứng minh:
OQ và PQ lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và SBC nên đồng thời có
OQ // SA VÀ PQ // SB ⇒ (OPQ) // (SAB) mà BC ⊥ (SAB) (câu 1) ⇒ BC ⊥ (OPQ).
12) AB ⊥ AD (gt hv), AB ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD) ⇒ AB ⊥ (SAD)

Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 12
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
OQ và OM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và ABC nên đồng thời có
OQ // SA VÀ OM // BC//AD ⇒ (OMQ) // (SAD) lại có AB ⊥ (SAD) (cmt) ⇒ AB ⊥ (OMQ)
13) AD ⊥ AB (gt hv), AD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD) ⇒ AD ⊥ (SAB)
OQ và ON lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và ABD nên đồng thời có
OQ // SA VÀ ON//AB ⇒ (ONQ) // (SAB) lại có AD ⊥ (SAB) (cmt) ⇒ AB ⊥ (OMQ)
14) SC ⊥ (AHK) (câu 5)) ⇒ A,H,I,K đồng phẳng ⇒ (AHIK) ⊥ SC ⇒ SC ⊥ IH.
⇒Trong mp (SBC) có HI ⊥ SC, BJ ⊥ SC ⇒ BJ // HI, lại có BD // HK ⇒ (JBD) // (AHIK), ta lại
có (AHIK) ⊥ SC (cmt) nên SC ⊥(JBD).
Bài 11. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
1) BC ⊥ (SAB) (câu 10.1), SB ⊂ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB.
2) CD ⊥ (SAD) (câu 10.2), SD ⊂ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD.
3) BD ⊥ (SAC) (câu 10.6), SO ⊂ (SAC) ⇒ BD ⊥ SO
4) BD ⊥ (SAC) (câu 10.6), SC ⊂ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC
5) AH ⊥ (SBC) (câu 10.3), SC ⊂ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC
6) AK ⊥ (SCD) (câu 10.4), SC ⊂ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC
7) AI ⊂ (SAC), HK ⊥ (SAC) (câu 8) ⇒ HK ⊥ AI
8) SC ⊥ (JDB) (câu 10.14), DJ ⊂ (JDB) ⇒ DJ ⊥ SC.
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
.
2. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt phẳng
chứa một đường thẳng
vuông góc với một mặt
phẳng khác thì hai mặt
phẳng đó vuông góc với

nhau.
( )
( ) ( )
( )
a mp P
mp Q mp P
a mp Q
⊥

⇒ ⊥

⊂

Q
P
a
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng
(P) và (Q) vuông góc với
nhau thì bất cứ đường
thẳng a nào nằm trong
(P), vuông góc với giao
tuyến của (P) và (Q) đều
vuông góc với mặt phẳng
(Q).
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
P Q
P Q d a Q
a P a d

⊥


∩ = ⇒ ⊥


⊂ ⊥

d
Q
P
a
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 13
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng
(P) và (Q) vuông góc với
nhau và A là một điểm
trong (P) thì đường thẳng
a đi qua điểm A và vuông
góc với (Q) sẽ nằm trong
(P)
( ) ( )
( )
( )
( )
P Q
A P
a P
A a
a Q

⊥


∈

⇒ ⊂

∈


⊥

A
Q
P
a
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng
cắt nhau và cùng vuông
góc với mặt phẳng thứ ba
thì giao tuyến của chúng
vuông góc với mặt phẳng
thứ ba.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R
∩ =



⊥ ⇒ ⊥


⊥

a
R
Q
P
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 12. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
1) (SBC) ⊥ (SAB) 2) (SCD) ⊥ (SAD) 3) (AHK) ⊥ (SBC)
4) (AHK) ⊥ (SCD) 5) (SBD) ⊥ (SAC) 6) (AHK) ⊥(SAC)
7) (OQM) ⊥(SAB) 8) (OQN) ⊥(SAD) 9) (OPQ) ⊥ ((SBC)
10) (SAC) ⊥ (JBD) 11) (SBC) ⊥ (JBD) 12) (SCD) ⊥(JBD)
Giải
Bài 12. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
1) BC ⊥ (SAB) (câu 10.1), BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥(SAB)
2) CD ⊥ (SAD) (câu 10.2), CD ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥(SAD)
3) AH ⊥ (SBC) (câu 10.3), AH ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥(SBC)
4) AK ⊥ (SCD) (câu 10.4), AK ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥(SCD)
5) BD ⊥ (SAC) (câu 10.6), BD ⊂ (SBD) ⇒ (SBD) ⊥(SAC)
6) SC ⊥ (AHK) (câu 10.5), SC ⊂ (SAC) ⇒ (AHK) ⊥(SAC)
7) OM ⊥ (SAB) (câu 10.9), OM ⊂ (OQM)⇒ (OQM) ⊥(SAB).
8) ON ⊥ (SAD) (câu 10.10), ON ⊂ (ONQ) ⇒(ONQ) ⊥ (SAD).
9) BC ⊥ (OPQ) (câu 10.11), BC ⊂ (SBC) ⇒ (OPQ) ⊥ (SBC).
10) SC ⊥ (JBD) (câu 10.14), SC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (JBD)
11) SC ⊥ (JBD) (câu 10.14), SC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (JBD).
12) SC ⊥ (JBD) (câu 10.14), SC ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥ (JBD).

§3.KHOẢNG CÁCH
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 14
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường
thẳng, đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a
(hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa
hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của
điểm M trên đường thẳng a (hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a
H
O
H
O
P
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P)
song song với a là khoảng cách từ một điểm
nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.

d((P);(Q)) = OH
H
O
Q
P
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng đó.
d(a;b) = AB
B
A
b
a
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 13. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
1) C; (SAB) 2) C; (SAD) 3) A; (SBC)
4) A; (SCD) 5) A; (SBD) 6) O; (SAB)
7) O; (SAD) 8) O; (SBC) 9) O; (SCD)
10) S; (AHK) 11) S; (JBD) 12)Q; (ABCD)
Bài 14. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
1) A; SC 2) O; SC 3)O;SB 4)O;SD
Bài 15. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
1) AD; SC 2) AB; SC 3) BC; SA
4) CD; SA 5) AB; SO 6) CD; SO
7) BC; SD 8) AD; SB
Giải
Bài 13. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
1) CB ⊥ (SAB) (câu 10.1) ⇒ d(C,(SAB) = CB = a.
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 15

SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
2) CD ⊥ (SAD) (câu 10.2) ⇒ d(,(SAD) = CD = a.
3) AH ⊥ (SBC) (câu 10.3) ⇒ d(A,(SBC) = AH.
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 4 3
3 3 2
a
AH
AH SA AB AH a a a
= + ⇔ = + = ⇔ =
4) AK ⊥ (SCD) (câu 10.4) ⇒ d(A,(SCD) = AK
5) (SAC) ⊥(SBD) (câu 12.5) (SAC) ∩ (SBD) = SO, hạ AE ⊥ SO ⇒ AE ⊥ (SBD)
∆ SAO vuông tại A nên có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 7
3 3AE SA AO a a a
= + = + =
⇒
d(A,(SBD) = AE =
21
7
a
6) OM ⊥ (SAB) (câu 10.9) ⇒ d(O,(SAB) ) = OM =
2
a
7) ON ⊥ (SAD) (câu 10.10) ⇒ d(O,(SAB) ) = ON =
2
a
8) (OPQ) ⊥ ((SBC) (câu 12.9), (OPQ) ∩ ((SBC) = PQ, ∆OPQ vuông tại O nên hạ AF ⊥ PQ thì
AF ⊥ (SBC) ⇒ d(O,(SBC) ) = AF.

2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 4 16 3
3 3 4
a
AF
OP OQ a a a
= + = + = ⇒ =
AF
,
9) Dễ thấy d(O,(SCD) = d(O,(SBC) =
3
4
a
10) .• Câu 10.1 có được BC ⊥ (SAB) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB) mà (SAB) ∩ (SBC ) = SB. Trong mặt
phẳng (SAB) có AH ⊥ SB ⇒ (SAB) ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC.
• Câu 10.2 có được CD ⊥ (SAD) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD) mà (SAD) ∩ (SCD ) = SD. Trong mặt
phẳng (SAD) có AK ⊥ SD ⇒ (SAD) ⊥ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC.
⇒ AK ⊥ (AHK)
• SC ⊥ AK, SC ⊥ AI ⇒ SC⊥ (AKI) ⇒ SC ∩ (AHK ) = I ⇒ d(S, (AHK) ) = SI
• Tam giác SBC vuông tại B, tam giác SHI vuông tại I, hai tam giác này đồng dạng
Tính toán SB =
2 2
2SA AB a+ =
, SC =
2 2 2 2
3 2 5SA AC a a a+ = + =
* SH.SB =
2
SA
⇒ SH =

2 2
3 3
2 2
SA a a
SB a
= =
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 16
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 4 3
3 3 2
a
AK
AK SA AD AH a a a
= + ⇔ = + = ⇔ =
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
* ∆ SIH∼∆ SBC nên ta có
3
.2
. 3 5
2
5
5
a
a
SI SH SH SB a
SI
SB SC SC
a
= ⇔ = = =
Vậy d(S,(AHK) =

3 5
5
a
11) Tính d(S,(JBD)?
•∆ SJB∼∆SBC nên có
2 2
4 4 5
5
5
SB a a
SJ
SC
a
= = =
12) OQ là đường trung bình của ∆ SAC nên OQ =
1
2
SA a=
Bài 14. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
1) Ta có AI ⊥ SC (gt) ∆ SAC vuông tại A nên hạ
AI SC
⊥
⇒
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
3 2 6AI SA AC a a a
= + = + =
Vậy d(A,SC) = AI =
30
5

a
2) Vì O là trung điểm AC nên d(O,SC ) =
1 30
( , )
2 10
a
d A SC= =OJ
3) SO =
2
2 2
5
2
a
SA AO+ =
2
2
2
a
OB =
⇒ d(O,SB) =
2 2
. 15
6
OB a
SO OB
=
+
OS
4) d(O,CD) = d(O,SB) =
15

6
a
Bài 15. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
1) AD// BC (gt hình vuông) ⇒(SBC) //AD ⇒ d(AD,SC) = d(A, (SBC)) = AH =
3
2
a
=
(Câu
10.3)
2) AB // CD ⇒ (SCD) // AB ⇒ d(AB,SC) = d(A, (SCD)) = AK =
3
2
a
3) AB ⊥ SA,AB ⊥ BC nên d(BC,SA) = AB = a
4) AD ⊥ SA,AD ⊥ CD nên d(CD,SA) = AD = a
5) NP//AB⇒ SO ⊂ (SNP) //AB ⇒ d(AB,SO) = d(A, (SNP))
⇒ Hạ AN’ ⊥SN,NP // CD mà DC ⊥ (SAD) nên NP ⊥ (SAD) ⇒ AN’ ⊥NP ⇒ AN’ ⊥ (SNP)
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 17
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
⇒ d(AB,SO) = d(A, (SNP) = AN’
⇒ Tính
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 13
' 3 3AN SA AN a a a
= + = + =
⇒ AN=
39
3
a

6)Hạ DD’ ⊥ SN ⇒ DD’ // AN’ nên ∆DND’ = ∆ ANN’ ⇒ DD’ = AN’
⇒ d(CD,SO ) = DD’ = AN’ =
39
3
a
7)BC//AD ⇒ BC // (SAD ) chứa SD ⇒d(BC,SD ) = d(BC,(SAD) = d(C,(SAD) ) = CD = a.
8)AD// BC (gt hình vuông) ⇒(SBC) //AD ⇒ d(AD,SB) = d(A, (SBC)) = AH
3
2
a
=
(Câu
10.3)
§4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi
qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và
b.
b'
b
a'
a
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc
với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên
mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P)
thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và
mp(P) là 90
0

.
P
a'
a
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc
với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2
mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1
điểm
b
a
Q
P

P
Q
a
b
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của
đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình
chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì
' cosS S
ϕ
=
trong đó
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).
ϕ
C

B
A
S
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 16. Tính góc giữa 2 đường thẳng
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 18
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
1.
·
( )
,SA BC
2.
·
( )
,SD BC
Bài 17. Tính góc giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng
1) SB; (ABCD) 2) SC; (ABCD) 3) SD; (ABCD)
4) SO; (ABCD) 5) SC; (SAB) 6) SC;(SAD)
7)SO;(SAB) 8)SO;(SAD) 9) SA;(SCD)
10)SA;(SBC)
Bài 18. Tính góc giữa 2 mặt phẳng
1) (SBC); (ABCD) 2) (SCD); (ABCD) 3) (SBD); (ABCD)
4) (SBC); (SAB) 5) (SCD); (SAD) 6) (SCD); (SAB)
7) (SBC); (SCD) 8) (SBD); (SCD) 9) (SBD); (SBC)
Bài 19. Các câu hỏi mang tính tổng hợp
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. SA
⊥
(ABCD), SA =
3a
.

Gọi H, I, K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B
trên SC. Chứng minh rằng
1) AH,AK,AI cùng nằm trên một mặt phẳng.
2) Tứ giác AKIH có hai đường chéo vuông góc
3) Tính diện tích thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC
4) Tính diện tích thiết diện cắt bởi hình chóp và mặt phẳng đi qua BD và vuông góc với SC tại J.
5) Giả sử các mặt phẳng (ASB),(ASD) và (ABD) lần lượt tạo với mặt phẳng (SBD) các góc
a,b,c. Chứng minh rằng:

2 2 2
2 2 2 2
) 1.
)
SBD ASB ASD ABD
a c a c b c c
b S S S S
∆ ∆ ∆ ∆
+ + =
= + +
os os os
Giải
Bài 16. Tính góc giữa 2 đường thẳng
1) SA⊥BC nên
·
( )
0
, 0=SA BC 9
2)
·
( )

·
( )
· · ·
0
3
, , tan 3 60
SA a
BC AD SDA SDA SDA
AD a
⇒ = = = = = ⇒ =P SD BC SA AD
Bài 17. Tính góc giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng
1) SA ⊥ (ABCD) (gt) ⇒ AB là hình chiếu của SB trên (ABCD)
⇒
·
( ,( ))SB ABCD
=
· · ·
0
tan 3 60
SA
SBA SBA SBA
AB
⇒ = = ⇒ =
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 19
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
2) SA ⊥ (ABCD) (gt) ⇒ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
⇒
·
( ,( ))SC ABCD
=

· ·
0
6
tan
2
SA
SCA SCA
AC
⇒ = =
3) SA ⊥ (ABCD) (gt) ⇒ AD là hình chiếu của SD trên (ABCD)
⇒
·
( ,( ))SD ABCD
=
· · ·
0
tan 3 60
SA
SDA SDA SDA
AD
⇒ = = ⇒ =
4) SA ⊥ (ABCD) (gt) ⇒ AO là hình chiếu của SO trên (ABCD)
⇒
·
( ,( ))SO ABCD
=
· ·
tan 6
SA
SOA SOA a

AO
⇒ = =
5) BC ⊥ (SAB) ⇒ SB là hình chiếu của SC trên (SAB) ⇒
·
·
·
( ,( )) ( ,SC SAB SC SB CSB= =
·
1
tan
2 2
BC a
CSB
SB a
= = =
6) CD ⊥ (SAD) ⇒ SD là hình chiếu của SC trên (SAD) ⇒
·
·
·
( ,( )) ( , )SC SAD SC SD CSD= =
·
1
tan
2 2
CD a
CSB
SD a
= = =
7) OM ⊥ (SAB) ⇒ SM là hình chiếu của SO trên (SAB) ⇒
·

·
·
( ,( )) ( , )SO SAB SO SM OSM= =
·
tan
OM
OSM
SM
=
, OM =
2
a
,SM =
2
2 2 2
13
3
4 2
a a
SA AM a+ = + =
8) ON ⊥ (SAD) ⇒ SN là hình chiếu của SO trên (SAD) ⇒
·
·
·
( ,( )) ( , )SO SAD SO SN OSN= =
·
tan
ON
OSN
SN

=
, OM =
2
a
,SN=
2
2 2 2
13
3
4 2
a a
SA AN a+ = + =
9) AK ⊥ (SCD) ⇒ SK là hình chiếu của SA trên (SCD) ⇒
·
·
·
( ,( )) ( , )SA SCD SA AK ASK= =
·
tan
AK
ASK
SK
=
, SK=
3
2
a
,AK =
3
2

a
· ·
0
1
tan 30
3
AK
ASK ASK
SK
⇒ = = ⇒ =
10) AH ⊥ (SBC) ⇒ SH là hình chiếu của SA trên (SBC) ⇒
·
·
·
( ,( )) ( , )SA SBC SA AH ASH= =
·
tan
AH
ASH
SH
=
, SH=
3
2
a
,AH =
3
2
a
· ·

0
1
tan 30
3
AH
ASH ASH
SH
⇒ = = ⇒ =
Bài 18. Tính góc giữa 2 mặt phẳng
1) (SBC) ∩ (ABCD) = BC,BC⊥ AB (gt hv) (1)
BC⊥ SA(do SA ⊥ (ABCD),BC ⊥AB (gthv) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB (2)
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 20
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
Từ (1) và (2) ta có
·
·
·
(( ),( )) ( , )SBC ABCD AB SB SBA= =
và tan
· ·
0
3 60
SA
SBA SBA
AB
= = ⇒ =
2) (SCD) ∩ (ABCD) = CD,CD⊥ AD (gt hv) (1)
CD⊥ SA(do SA ⊥ (ABCD),CD ⊥AD (gthv) ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD (2)
Từ (1) và (2) ta có
·

·
·
(( ),( )) ( , )SCD ABCD AD SD SDA= =
và tan
· ·
0
3 60
SA
SDA SDA
AD
= = ⇒ =
3) (SBD) ∩ (ABCD) = BD,BD⊥ AC (gt hv) (1)
∆ SAB = ∆SAD (c.g.c) ⇒ ∆ SBD cân tại S và O là trung điểm BD ⇒ SO ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) ta có
·
·
·
(( ),( )) ( , )SBD ABCD AO SO SOA= =
và tan
·
6
SA
SDA
AO
= =
4) SA⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC, BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB). Lại có BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB)
hay
·
0
(( ),( )) 90SAB SBC =

.
5) SA⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD, CD⊥ AB ⇒ CD ⊥ (SAD). Lại có CD ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥
(SAD) hay
·
0
(( ),( )) 90SAD SCD =
.
6) SA⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD, CD⊥ AB ⇒ CD ⊥ (SAD).
Lại có AK⊥ SD, AK ⊥ CD(do CD⊥ (SAD))⇒ AK ⊥ (SCD) (1)
7) SA⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AD, AD⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SAB)(2)
Từ (1) và (2) ta có
·
·
·
(( ),( )) ( , )SCD SAB AD AK DAK= =
và do
· ·
·
0 0
tan 3 60 30SDA SDA DAK= ⇒ = ⇒ =
Ta đã có (SBC) ∩ (SCD) = SC, SC ⊥ (JBD) (cmt) ⇒
·
· ·
(( ),( )) 2SBC SCD BJD BJO= =
*) Tam giác OBJ vuông tại J có tan
·
15
3
OB
BJO

JO
= =
.
8) AK ⊥((SCD), AE ⊥ ((SBD) ⇒
·
·
·
(( ),( )) ( , )SCD SBD AK AE EAK= =
,
·
2 7
cos
7
AE
EAK
AK
= =
9) AH ⊥((SBC), AE ⊥ ((SBD) ⇒
·
·
·
(( ),( )) ( , )SBC SBD AH AE EAH= =
,
·
2 7
cos
7
AE
EAH
AH

= =
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 21
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
Bài 19. Các câu hỏi mang tính tổng hợp
1)Trong bài 10 từ câu 1),2) 3),4) cho ta kết luận SC ⊥ AH, SC ⊥ AK nên SC ⊥ (AHK )
• Từ giả thiết ta cũng có SC ⊥ AK, SC ⊥ AI ⇒ SC ⊥ (AKI), qua A chỉ có một mặt phẳng duy
nhất vuông góc với SC vậy (AKH ) ≡ (AKI) ⇒ AH,AK,AI cùng nằm trêm mặt phẳng qua A và
vuông góc với SC.
2) Ta đã chứng minh được ∆ SAB = ∆ SAD ⇒ SB = SD và
·
·
ASB DSB=
sau đó chứng minh
được ∆ SHA = ∆ SKA ⇒ SH = SK ⇒ HK // BD
Đã chứng minh BD ⊥ (SAC) nên HK ⊥ (SAC), AI ⊂ (SAC) ⇒HK ⊥ AI.
3)Vì qua A chỉ có mặt phẳng duy nhất vuong góc với SC nên (AHK) ∩ SC = I vậy thiết diện
chính là tứ giác AKIH.
SB = SD = 2a, SH = SK =
3
2
a
, SC =
5a
, SI =
3 5
5
a
,BD =
2a
,

. 3 2
4
SH BD a
HK
SB
= =
Có diện tích
2
1 1 30 3 2 15
. . .
2 2 5 4 20
AKIH
a a a
S AI HK= = =
4) Diện tích thiết diện JBD là tổng diện tích hai tam giác JOB và JOD
Mà OJ =
30
( , )
10
a
d O SC =
,
2
2
a
OD =
vậy
2
1 30 2 15
. . .

2 10 2 10
JOD JBD
a a a
S OD S OD
∆ ∆
= ⇒ = = =OJ OJ
5) a) Ta đã biết AE ⊥ (SBD)
Xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (SBD) ta có
.cos (1)
.cos (2)
.cos (3)
B A B
A B
A B
S S a
S S b
S S c
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
=
=
=
ES S
ESD S
EBD S
Mặt khác lần lượt xét các phép chiếu vuông góc lên các mặt phẳng (SAB),(SAD), (ABD) ta có
.cos (1')
.cos (2')
.cos (3')

A B SBD
A SBD
A SBD
S S a
S S b
S S c
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
=
=
=
S
SD
BD
Thế vào hệ trên ta có
2
2
2
.cos (1")
.cos (2")
.cos (3")
E B SBD
E SBD
E SBD
S S a
S S b
S S c
∆ ∆
∆ ∆

∆ ∆
=
=
=
S
SD
BD
Cộng các vế của hệ cuối ta được
2 2 2 2 2 2
( ) 1
SBD SBD
S S c a c b c c c a c b c c
∆ ∆
= + + ⇒ + + =os os os os os os
b) Từ câu a) và hệ (1’),(2’),(3’) ta có
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 22
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
2 2 2
2 2 2
2 2 2
.cos
.cos
.cos
B SBD
D SBD
ABD SBD
S S a
S S b
S S c
∆ ∆

∆ ∆
∆ ∆
=
=
=
AS
AS
Cộng các vế và do kết quả câu a) ta có
2 2 2 2
)
SBD ASB ASD ABD
b S S S S
∆ ∆ ∆ ∆
= + +
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 23
B
h
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
I/ Các công thức thể tích của khối chóp:
1. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=
1
3
Bh với
:
:
B
h




dieän tích ñaùy
chieàu cao
2. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,
SB, SC ta có:

' ' '
' ' '
SABC
SA B C
V SA SB SC
V SA SB SC
=
C'
B'
A'
C
B
A
S
* Các câu hỏi liên quan:
Bài 20. Tính thể tích hình chóp
1) S.ABCD 2) S.ABD 3) S.BCD
4) C.JDB 5) S.BDJ 6) S.AKHI
7) S.BDNM 8) A.KHBD 9) A.BCIH
10) Gọi G là giao điểm của BN và AC. Tính V

Q.AGB
11) Lấy T tùy ý trên BC. Tính V
S.ATD
.
Bài 21.
1) Tính diện tích BCIH.
2) Tính khoảng cách từ O đến các mặt bên.
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA =
2a.Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x (0< x ≤ a ).
Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
Nếu MH ⊥ AC tại H.Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất.
Giải
Bài 20. Tính thể tích hình chóp
1)
2 3
.
1 1 1
. 3. 3
3 3 3
S ABCD ABCD
V SA S a a a= = =
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 24
SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán
2)
2 3
.
1 1 1 1
. 3. 3
3 3 2 6
S ABD ABD

V SA S a a a= = =
3)
2 3
.
1 1 1 1
. 3. 3
3 3 2 6
S BCD BCD
V SA S a a a= = =
4) Ta có SJ =
4 5
5
a
,SC =
5a
nên CJ =
5
5
a
.
.
1
. .
5
C JBD
S BCD
V C D CJ CB
V CD CS CB
= =
,

3
.
3
6
S BCD
a
V =
Vậy
3
.
3
30
C JBD
a
V =
1) Cách 1:
3 3 3
. . .
3 3 2 3
6 30 15
S BDJ S BCD C JBD
a a a
V V V= − = − =
Cách 2:
SJ =
5
4 5
5
a
⇒

2 3
.
1 1 15 4 5 2 3
. . .
3 3 10 5 15
S BJD JBD
a a a
V S SJ
∆
= = =
1) Cách 1:
SI =
3 5
5
a
,
2
3 15
20
AKIH
a
S =
nên
2 3
.
1 1 3 5 3 15 3 3
. . . .
3 3 5 20 20
S AKIH AKIH
a a a

V S SI= = =
Cách 2:
SB = SD = 2a, SH = SK =
3
2
a
, SC =
5a
, SI =
3 5
5
a
.
.
.
9 9
. .
16 16
S AHK
S AHK SABD
S ABD
V SA SH SK
V V
V SA SB SD
= = ⇒ =

.
.
.
27 27

. .
20 20
S IKH
S IHK SABD
S BCD
V SI SH SK
V V
V SC SB SD
= = ⇒ =
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 25
J
O
A
B
D
C
S
3 3
. .
9 27 9 3 3 3
( ) .
16 80 10 6 20
S AKIH S A BD
a a
V V= + = =