SKKN - Ứng dụng Tích Phân

HƯỚNG DẪN HỌC SINH 12 HỌC TỐT NỘI DUNG:
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong giai đoạn phát triển khoa học công nghệ hiện nay, trình độ tri thức của con người
từng bước được cải thiện và phát triển rõ rệt. Đáp ứng nhu cầu học tập của mọi người dân bằng
mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu học của dân tộc. Vì thế trong
dạy học, giáo viên cần tạo điều kiện để học sinh phát triển năng lực trí tuệ, phát huy tính tích
cực, chủ động, sáng tạo trong học tập, biết nhận biết vấn đề ở từng góc độ khác nhau, tìm tòi
những cái cái mới để từng bước hình thành kiến thức mới. Để phát huy tính tích cực của học
sinh, giáo viên phải đặt học sinh vào những tình huống cụ thể, có vấn đề, tạo cho các em những
thử thách trước những vấn đề mới.
Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh
những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan
hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để
giải bài toán. Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn
học sinh lớp 12 tiếp thu và vận dụng nội dung: Ứng dụng của tích phân trong hình học, giúp
các em cảm thấy thoải mái để chủ động giải quyết các bài toán tính diện tích hình phẳng và tính
thể tích của vật thể tròn xoay. Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được chia sẻ cùng đồng
nghiệp, đồng môn ; góp phần tìm ra biện pháp thiết thực, hiệu quả để nâng cao chất lượng dạy
và học môn toán tại các trường vùng sâu, vùng xa như trường THPT Thanh Bình.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi
Diện tích của các hình quen thuộc như: diện tích tam giác , tứ giác , ngũ giác , lục giác,…
gọi chung là đa giác ; học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới . Cũng tương
tự như vậy vấn đề tính thể tích các khối như: khối chóp , khối hộp chữ nhật , khối lập phương ,
khối lăng trụ , ….gọi chung là khối đa diện học sinh đều được học trong học kỳ I của năm 12
với các công thức tính thể tích khá cụ thể .
Trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số thường có thêm yêu cầu tính diện tích
hình phẳng, tính thể tích của vật thể tròn xoay. Nội dung ứng dụng của tích phân trong hình học
không thể thiếu trong quá trình ôn tập thi tốt nghiệp và thi đại học, cao đẳng hàng năm.
2. Khó khăn

Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản, càng khó khăn
hơn đối với các học sinh yếu về suy luận, về khả năng tư duy cụ thể hoá , trừu tượng hoá .Việc
dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều
nguyên nhân , trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” mà trong các sách giáo khoa hiện hành
đang còn thiếu .
Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của các
vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn .Hầu hết các em
học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính dạng này. Khi học vấn đề này nhìn chung các em
thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực tế và
trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , thuộc công thức nhưng không giải được , đặc biệt là
những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong
sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp
1
học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ
năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế.
Nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân có chứa
dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số , từ đó khắc phục những khó khăn , sai
lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay. Từ
đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học sinh đã học ở lớp dưới ,
thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học , học sinh
sẽ cảm thấy hứng thú , thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân.
Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được phương pháp thích
hợp để giải toán nên sẽ xuât hiện nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thú trong học tập.Để giúp
các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm
cao của cả thầy và trò.

3. Số liệu thống kê.
Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp;
3
12A

;
8
12A
năm học 2008 - 2009, lớp
11
12A
;
12
12A
, năm học 2009 - 2010, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau :
+ Bài kiểm tra một tiết (2008 - 2009 ), trong 90 bài kiểm tra có :
• 7 bài diểm 8 tỷ lệ 7,8 %
• 19 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 21,1 %
• 26 bài điểm 5 tỷ lệ 28,9 %
• 38 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 42,2 %

+ Bài kiểm tra một tiết (2009 - 2010 ), trong 92 bài kiểm tra có :
• 5 bài diểm 8 tỷ lệ 5,4 %
• 14 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 15,2 %
• 27 bài điểm 5 tỷ lệ 29,4 %
• 46 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 50,0 %
Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận được rằng trong số những em có học lực yếu cũng có những em
có kỹ năng tính toán tương đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán còn
qúa hạn chế .
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn
“ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến
mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ.
Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học,

giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng hoá toán học trong
nhiều lĩnh vực.
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành
theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của
Polya để giải một bài toán gồm :
• Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
• Bước 2 : Xây dựng thuật giải
• Bước 3 : Thực hiện thuật giải
2
• Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán
thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng hoá và khái quát hóa
trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các
em làm quen dần với các bườc thực hiện của một bài toán tính diện tích, tính thể tích.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Chuyên đề này gồm ba phần :
 Phần một : Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt nội dung ứng
dụng của tích phân trong hình học .
1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải .
2/ Hướng khắc phục .
 Phần hai Diện tích của hình phẳng
I. Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )y f x=
và trục hoành
.
2/ Một vài ví dụ minh họa cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
3/ Các bài toán minh họa và bài tập tương tự .
4/ Diện tích của hình tròn và hình elip.
II . Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số .

1/ Cách tìm giao điểm của hai đồ thị.
2/ Một vài ví dụ về cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số .
3/ Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số .
 Phân ba: Thể tích của vật thể tròn xoay.
I. Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay .
1/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.
2/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một vật thể quanh trục tung.
II . Thể tích của khối cầu , khối nón tròn xoay .
1/ Thể tích khối cầu
2/ Thể tích khối nón tròn xoay
PHẦN MỘT
Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12
học tốt nội dung ứng dụng của tích phân trong hình học .
1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải
tích lớp 12 . Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích
phân , đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ,tính thể tích của
vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung. giúp làm
sáng tỏ và chứng minh cho các công thức mà các em đã được học ở các lớp dưới. Đây cũng là
một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II , , đề thi TN THPT , đề thi CĐ , ĐH . Nhìn
chung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó
khăn , sai lầm sau :
Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể
tròn xoay ) .
3
Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã
học trước đây ( diện tích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học sinh không tận dụng được
kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này .
Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “chưa đủ” để giúp
học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng . Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và

thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay đang học .
Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái lại
học sinh có cảm giác nặng nề ,khó hiểu .
Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ; thể tích vật thể tròn xoay
một cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét
dấu các biểu thức , kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ năng cộng , trừ diện tích ;
cộng , trừ thể tích . Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải .
Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức :
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfI )()(
Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức
( )f x
không đổi
dấu trong khoảng (a ; b).
Ví dụ :
dxxxS
∫
+−=
3
0
2
23
Học sinh viết sai là :
dxxxS

∫
+−=
3
0
2
)23(
2 / Hướng khắc phục
- Giúp học thành thạo kỹ năng “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạt tùy thuộc vào
từng tình huống cụ thể bằng một trong các cách sau :
 Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .
 Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .
 Hoặc dùng công thức sau :
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfI )()(
Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b) .
- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và để
học sinh tham khảo . Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào giải
toán . Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng .Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ
nhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng thú hơn .
- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyện
tập từ dễ tới khó . Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải , số còn lại để học sinh thảo
luận làm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên.
- Tạo điều kiện cho học sinh làm quen cới cấu đề thi tốt nghiệp THPT và cấu trúc đề tuyển sinh
vào các trường đại học và cao đẳng hàng năm, qua đó để các em biết lượng sức và có kế hoạch
phân bổ thời hợp lí nhất trong ôn luyện.

4
PHẦN HAI
DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
A. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục
hoành và hai đường thẳng x = a , x = b
Chú ý : Giả sử hàm số
( )y f x=
liên tục trên đoạn
[ ]
b ; a
.
Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )y f x=
, trục hoành và hai đường
thẳng
; x a x b= =
có diện tích là S và được tính theo công thức :
∫
=
b
a
dxxfS )(
(1)
Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối .
• Nếu
[ ]
b ; a x , 0)(
∈∀≥
xf

thì
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(
• Nếu
[ ]
b ; a x , 0)(
∈∀≤
xf
thì
( )
∫∫
−==
b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(
Muốn “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x)
Thường có hai cách làm như sau :
Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bậc nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để
xét dấu các biểu thức
( )f x
; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên
đoạn
[ ]

b ; a
Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số
( )y f x=
trên đoạn
[ ]
b ; a
để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó .
• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số
( )y f x=
nằm phía “trên” trục hoành thì
[ ]
b ; a x , 0)(
∈∀≥
xf
• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số
( )y f x=
nằm phía “dưới” trục hoành thì

[ ]
b ; a x , 0)(
∈∀≤
xf
Cách 3 Nếu
( )f x
không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có :
∫∫
==
b
a

b
a
dxxfdxxfS )()(
2/ Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ Nội dung để bài Cách giải
1 Tính
0
2
2 4 I x dx
−
= +
∫
Bảng xét dấu nhị thức.
Suy ra
[ ]
2;0-x , 042
∈∀≥+
x
( )
( )
0 0
0
2
2
2 2
2 4 2 4 4 4I x dx x dx x x
−
− −
= + = + = + =
∫ ∫

5
2 4x +
x
2 4x
+
−∞
2−
+
+∞
0
0
+
−
0
2 4x
+
2
Tính
2
2
0
3 2 J x x dx= − +
∫
Bảng xét dấu tam thức.
[ ]
( ) 0; 0;1f x x≥ ∀ ∈
;
[ ]
( ) 0; 1;2f x x≤ ∀ ∈
( ) ( )

1 2
2 2
0 1
3 2 3 2J x x dx x x dx= − + − − +
∫ ∫
=
1
3 2
2
0
3
3 2
x x
x
 
− +
 ÷
 
2
3 2
2
1
3 5 1
1
3 2 6 6
x x
x
 
 
− − + = − − =

 ÷
 ÷
 
 
Cách khác: (không xét dấu tam thức)
[ ]
2
1 0;2
3 2 0
2
x
x x
x

= ∈
− + = ⇔

=

1 2
2 2
0 1
3 2 3 2J x x dx x x dx= − + + − +
∫ ∫

( ) ( )
1 2
2 2
0 1
3 2 3 2x x dx x x dx= − + + − +

∫ ∫

1 2
3 2 3 2
2 2
0 1
3 3
3 2 3 2
x x x x
x x
   
= − + + − −
 ÷  ÷
   
5 1
1
6 6
= + − =
3/ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.
Nội dung để bài Cách giải
Bài toán 1. Tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2 4y x= +
, trục hoành , các đường
thẳng
2; 0x x= − =
Đồ thị:
y
x
f x

( )
= 2
⋅
x+4
4
-2
O
1
Nhận xét:
[ ]
2 4 0 ; 2;0x x+ ≥ ∀ ∈ −
Gọi S là diện tích cần tìm :
( )
0 0
2 2
2 4 2 4S x dx x dx
− −
= + = +
∫ ∫

( )
0
2
2
4 4x x
−
= + =
(đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm :

( )
0 0
2 2
2 4 2 4S x dx x dx
− −
= + = +
∫ ∫

( )
( )
0
2
2
4 4 8 4x x
−
= + = − − =
(đvdt)
Bài toán 2. Tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2 4y x= − −
, trục hoành , trục tung và
Nhận xét:
[ ]
2 4 0 ; 2;0x x− − ≤ ∀ ∈ −
Gọi S là diện tích cần tìm :
6
x
2
3 2x x
− +

−∞
2
+
+∞
0
0
+
−
0
2
3 2x x− +
1
0
0
+
2
3 2x x
− +
2
( 3 2)x x
− − +
đường thẳng
2x = −
Đồ thị:
y
x
f x
( )
= -2
⋅

x-4
4
-2
O
1
( ) ( )
0 0 0
2 2 2
2 4 2 4 2 4S x dx x dx x dx
− − −
 
= − − = − − − = +
 ∫ ∫ ∫

( )
0
2
2
4 4x x
−
= + =
(đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm :
( )
0 0
2 2
2 4 2 4S x dx x dx
− −
= − − = − −

∫ ∫

( )
( )
0
2
2
4 4 8 4x x
−
= − − = − − + =
(đvdt)
Bài toán 3. Tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y x=
, trục hoành , và hai đường
thẳng
0; 3x x= =
Đồ thị:

y
x
f x
( )
= x
3
4
-2
O
1
A

B
Nhận xét:
[ ]
0 ; 0;3x x≥ ∀ ∈
Gọi S là diện tích cần tìm :

3 3 3
2
0 0 0
9
2 2
x
S x dx xdx dx= = = =
∫ ∫ ∫
(đvdt)

Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm :

3
3 3
2
0 0
0
9
2 2
x
S x dx xdx= = = =
∫ ∫
(đvdt)

Bài toán 4. Tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y x=
, trục hoành , và hai đường
thẳng
0; 2x x= =
Đồ thị:
y
x
f x
( )
= x
2
3
4
-2
O
1
A
B
Nhận xét:
[ ]
2
0 ; 0;2x x≥ ∀ ∈
Gọi S là diện tích cần tìm :

2 2 2
3

2 2
0 0 0
8
3 3
x
S x dx x dx dx= = = =
∫ ∫ ∫
(đvdt)

Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm :

2
2 2
3
2 2
0 0
0
8
3 3
x
S x dx x dx= = = =
∫ ∫
(đvdt)

Bài toán 5. Tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y x= −
Nhận xét:

[ ]
2
0 ; 1;0x x− ≤ ∀ ∈ −

∪

[ ]
0;2
Gọi S là diện tích cần tìm :
7
, trục hoành , và hai đường thẳng
1; 2x x= − =
Đồ thị:
y
x
f x
( )
= -x
2
3
-4
-1
-2
O 1A
B
0 2 0 2
2 2 2 2
1 0 1 0
S x dx x dx x dx x dx
− −

= − + − = +
∫ ∫ ∫ ∫

0 2
3 3
1 0
1 8
3
3 3 3 3
x x
−
 
= + = − − + =
 ÷
 
(đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
[ ]
2
0 0 1;2x x− = ⇔ = ∈ −
Gọi S là diện tích cần tìm :
( ) ( )
0 2 0 2
2 2 2 2
1 0 1 0
S x dx x dx x dx x dx
− −
= − + − = − + −
∫ ∫ ∫ ∫
0 2

3 3
1 0
1 8 1 8
3
3 3 3 3 3 3
x x
−
 
= − + − = − − + − − + =
 ÷
 

Bài toán 6. Tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi các đường
2y x= − −
, trục hoành , và hai đường thẳng
0; 3x x= =
Đồ thị:

y
x
f x
( )
= -x-2
3
-4
2
-1-2
O
1

A
B
Nhận xét:
[ ]
2 0 ; 0;3x x− − ≤ ∀ ∈
Gọi S là diện tích cần tìm :
( )
3
3 3
2
0 0
0
2 2 2
2
x
S x dx x dx x
 
= − − = + = +
 ÷
 
∫ ∫

9 21
6
2 2
= + =
(đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm :
( )

3
3 3
2
0 0
0
2
2
x
S x dx x dx x
 
= − − = − − = − −
 ÷
 
∫ ∫

9 21 21
6
2 2 2
= − − = − =
(đvdt)
Bài toán 7. Tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
2 2y x x= − + −
, trục hoành , và hai
đường thẳng
0; 3x x= =
Đồ thị:
Nhận xét:
[ ]

2
2 2 0 ; 0;3x x x− + − ≤ ∀ ∈
Gọi S là diện tích cần tìm :
( )
3 3
2 2
0 0
2 2 2 2S x x dx x x dx
 
= − + − = − − − +
 
∫ ∫

3
3
2
0
27
2 9 6 6
3 3
x
x x
 
= − + = − + =
 ÷
 
(đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
8

(C)
y
x
f x
( )
= -x
2
+2
⋅
x
( )
-2
3
-4
2
-1-2
O
1
A
B

Gọi S là diện tích cần tìm :
( )
3 3
2 2
0 0
2 2 2 2S x x dx x x dx= − + − = − + −
∫ ∫

3

3
2
0
27
2 9 6 6
3 3
x
x x
 
= − + − = − + − =
 ÷
 
(đvdt)
Bài toán 8. Tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
2 2y x x= + +
, trục hoành , và hai
đường thẳng
1; 1x x= − =
Đồ thị:
y
x
f x
( )
= x
2
+2
⋅
x+2

3
6
2
-1
4
-2
O
1
A
B
Nhận xét:
[ ]
2
2 2 0 ; 1;1x x x+ + ≥ ∀ ∈ −
Gọi S là diện tích cần tìm :
( )
1 1
2 2
1 1
2 2 2 2S x x dx x x dx
− −
= + + = + +
∫ ∫
1
3
2
1
1 1
2 1 2 1 2
3 3 3

x
x x
−
 
   
= + + = + + − − + −
 ÷
 ÷  ÷
   
 
2 14
4
3 3
= + =
(đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm :
( )
1 1
2 2
1 1
2 2 2 2S x x dx x x dx
− −
= + + = + +
∫ ∫

1
3
2
1

1 1 14
2 1 2 1 2
3 3 3 3
x
x x
−
 
   
= + + = + + − − + − =
 ÷
 ÷  ÷
   
 
Bài toán 9. Tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3 2
2y x x= − +
, trục hoành , và hai
đường thẳng
1; 2x x= − =
Đồ thị:
y
x
f x
( )
= x
3
-x
2
( )

+2
3
6
2
-1
4
-2
O
1
A
B
Nhận xét:
[ ]
3 2
2 0 ; 1;2x x x− + ≥ ∀ ∈ −
Gọi S là diện tích cần tìm :
( )
2 2
3 2 3
1 1
2 2S x x dx x x dx
− −
= − + = − +
∫ ∫
2
4 3
1
16 8 1 1
2 4 2
4 3 4 3 4 3

x x
x
−
 
   
= − + = − + − + −
 ÷
 ÷  ÷
   
 
8 1 1 27
4 4 2
3 4 3 4
= − + − − + =
(đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm :
( )
2 2
3 2 3 2
1 1
2 2S x x dx x x dx
− −
= − + = − +
∫ ∫
2
4 3
1
8 1 1 27
2 4 2 2

4 3 3 4 3 4
x x
x
−
 
   
= − + = − + − + − =
 ÷
 ÷  ÷
   
 
9
Bài toán 10. Tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
− −
=
−
, trục hoành , và hai đường
thẳng
1; 0x x= − =
Đồ thị:

y
x
f x

( )
=
-x-2
x-1
3
-4
2
-1-2
O 1
A
B
Nhận xét:
[ ]
2
0 ; 1;0
1
x
x
x
− −
≥ ∀ ∈ −
−
Gọi S là diện tích cần tìm :
0 0 0
1 1 1
2 2 3
1
1 1 1
x x
S dx dx dx

x x x
− − −
− − − −
   
= = = − −
 ÷  ÷
− − −
   
∫ ∫ ∫

( )
( )
0
1
3ln 1 1 3ln 2 3ln 2 1x x
−
= − − − = − − = −
(đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm :
0 0 0
1 1 1
2 2 3
1
1 1 1
x x
S dx dx dx
x x x
− − −
− − − −

   
= = = − −
 ÷  ÷
− − −
   
∫ ∫ ∫

( )
0
1
3ln 1 3ln 2 1x x
−
= − − − = −
(đvdt)
Bài toán 11. Tính diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
y x=
,
trục hoành , và hai đường thẳng
3
1;
2
x x= − =
Đồ thị:
y
x
f x
( )
= x

3
3/2
3
-1
4
-2
O
1
A
B
Nhận xét:
[ ]
3
0 ; 1;0x x≤ ∀ ∈ −
;
3
3
0; 0;
2
x x
 
≥ ∀ ∈
 
 
Gọi S là diện tích cần tìm :
( )
3 3
0 0
2 2
3 3 3 3

1 0 1 0
S x dx x dx x dx x dx
− −
= + = − +
∫ ∫ ∫ ∫

3
0
4 4
2
1 0
1 81 97
4 4 4 64 64
x x
−
   
 
= − + = − − + =
 ÷  ÷
 ÷
 
   
(đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
3
3
0 0 1;
2
x x
 

= ⇔ = ∈ −
 
 
Gọi S là diện tích cần tìm :
3 3
0 0
2 2
3 3 3 3
1 0 1 0
S x dx x x dx x dx
− −
= + = =
∫ ∫ ∫ ∫

3
0
4 4
2
0
1
1 81 97
4 4 4 64 64
x x
−
 
 
= + = − + =
 ÷
 ÷
 

 
(đvdt)
10
Chú ý: Nếu phương trình
( ) 0f x =
có
k
nghiệm phân biệt
1 2
; ;...;
k
x x x
trên
( )
;a b
thì trên mỗi
khoảng
( ) ( ) ( )
1 1 2
; , ; ,..., ;
k
a x x x x b
biểu thức
( )f x
không đổi dấu.
Khi đó tích phân
( )
b
a
S f x dx=

∫
được tính như sau:
1 2
1
( ) ( ) ( ) ... ( )
k
x x
b b
a a x x
S f x dx f x dx f x dx f x dx= = + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Bài toán 12. Tính diện tích của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
3 2
3 2y x x= − +
,
trục hoành , trục tung và đường thẳng
2x
=
Đồ thị:
(C)
y
x
f x
( )
= x
3
-3
⋅
x

2
( )
+2
3
2
-1
4
-2
O
1
A
B
Nhận xét:
[ ]
3 2
3 2 0 ; 0;1x x x− + ≥ ∀ ∈

[ ]
3 2
3 2 0; 1;2x x x− + ≤ ∀ ∈
Gọi S là diện tích cần tìm :
2
3 2
0
3 2S x x dx= − +
∫

( ) ( )
1 2
3 2 3 2

0 1
3 2 3 2x x dx x x dx= − + − − +
∫ ∫

1 2
4 4
3 3
0 1
5
2 2
4 4 2
x x
x x x x
   
= − + − − + =
 ÷  ÷
   
(đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
( )
( )
3 2 2
3 2 0 1 2 2 0x x x x x− + = ⇔ − − − =

1
1 3
1 3
x =



⇔ +


−

Gọi S là diện tích cần tìm :
2
3 2
0
3 2S x x dx= − +
∫
( ) ( )
1 2
3 2 3 2
0 1
3 2 3 2x x dx x x dx= − + + − +
∫ ∫
1 2
4 4
3 3
0 1
5 5 5
2 2
4 4 4 4 2
x x
x x x x
   
− + + − + = + − =
 ÷  ÷
   

Bài toán 13. Tính diện tích của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
4 2
3 2y x x= − +
,
trục hoành , và hai đường thẳng
1; 1x x= − =
Đồ thị:
Nhận xét:
[ ]
4 2
3 2 0 ; 1;1x x x− + ≥ ∀ ∈ −
Gọi S là diện tích cần tìm :
( )
1 1
4 2 4 2
1 1
3 2 3 2S x x dx x x dx
− −
= − + = − +
∫ ∫

1
5
3
1
12
2
5 5
x

x x
−
 
= − + =
 ÷
 
(đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
11
(C)
y
x
f x
( )
= x
4
-3
⋅
x
2
( )
+2
3
2
-1
4
-2
O
1
A

B
Gọi S là diện tích cần tìm :

( )
1 1
4 2 4 2
1 1
3 2 3 2S x x dx x x dx
− −
= − + = − +
∫ ∫

1
5
3
1
12
2
5 5
x
x x
−
 
= − + =
 ÷
 
(đvdt)
Bài toán 14. Tính diện tích của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị (C) hàm số
4 2

5 4y x x= − + −
với trục hoành
Đồ thị:
(C)
y
x
f x
( )
= -x
4
+5
⋅
x
2
( )
-4
3
-4
2
-1-2
O 1
A
B
Giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là
nghiệm của phương trình:
2
4 2
2
1
1 1

5 4 0
2
4
2
x
x x
x x
x
x
x
= −



= =

− + − = ⇔ ⇔


=
=



= −

Nhận xét:
[ ] [ ]
4 2
5 4 0 ; 2; 1 1;2x x x− + − ≥ ∀ ∈ − − ∪

[ ]
4 2
5 4 0 ; 1;1x x x− + − ≤ ∀ ∈ −
Gọi S là diện tích cần tìm :
2
4 2
2
5 4S x x dx
−
= − + −
∫
( ) ( )
1 1
4 2 4 2
2 1
5 4 5 4x x dx x x dx
−
− −
= − + − + − + +
∫ ∫

( )
2
4 2
1
5 4x x dx+ − + −
∫

1 1

5 3 5 3
2 1
5 5
4 4
5 3 5 3
x x x x
x x
−
− −
   
= − + − + − + +
 ÷  ÷
   

2
5 3
1
5 22 76 22
4 8
5 3 15 15 15
x x
x
 
+ − + − = + + =
 ÷
 
(đvdt)
Bài toán 15. Tính diện tích của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
3

1y x x= − − +
,
trục hoành , và hai đường thẳng
1; 0x x= − =
Đồ thị:
Nhận xét:
[ ]
3
1 0 ; 1;0x x x− − + ≥ ∀ ∈ −
Gọi S là diện tích cần tìm :
( )
0 0
3 3
1 1
1 1S x x dx x x dx
− −
= − − + = − − +
∫ ∫
12