SKKN Phân loại và phương pháp giải “Bài toán giao thoa sóng cơ học”

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI “BÀI TOÁN GIAO THOA
SÓNG CƠ HỌC"
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Trong những năm gần đây, bộ môn vật lí là một trong số các môn học được Bộ Giáo
dục và Đào tạo chọn hình thức kiểm tra và thi theo phương pháp trắc nghiệm khách quan.
Với hình thức thi này, thời gian dành cho mỗi câu hỏi và bài tập là rất ngắn, khoảng 1,5
phút. Nếu học sinh không được cung cấp các công thức tổng quát và các công thức hệ
quả của mỗi dạng bài tập để tìm ra kết quả nhanh nhất thì không thể đủ thời gian để hoàn
thành tốt bài làm trong các kỳ thi và kiểm tra.
Với hình thức đề thi trắc nghiệm môn vật lý của những năm gần đây ngày một dài
và khó hơn, cứ năm sau khó hơn năm trước kể từ khi thay sách giáo khoa lớp 12 năm học
2008-2009 đến năm học này 2012-2013 là 5 năm nhưng cả thầy và trò hình như vẫn bị
choáng ngợp với sự đa dạng và phong phú của hình thức trắc nghiệm. Hơn thế nữa, yêu
cầu của xã hội ngày càng cao nên nội dung đề thi luôn phải đáp ứng đực sự sàng lọc và
phân hóa rõ nét, chính vì vậy yêu cầu kiến thức ngày một cao là tất yếu
Giao thoa là bài toán thường gặp trong các đề kiểm tra định kì và các đề thi quốc
gia. Chương trình sách giáo khoa Vật lý 12 nâng cao chỉ đề cập đến sự giao thoa sóng cơ
của hai nguồn kết hợp cùng pha, khi gặp trường hợp tổng quát hai nguồn kết hợp khác
pha, với độ lệch pha không đổi, học sinh không khỏi lúng túng.
Trong thực tế giảng dạy và tìm hiểu quá trình học tập của học sinh tôi nhận thấy đa số
học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán về lĩnh vực giao thoa nói chung và
giao thoa sóng cơ nói riêng, nhất là giao thoa sóng cơ của hai nguồn khác pha. Các bài
toán giao thoa vô cùng phong phú nhưng tài liệu sách giáo khoa mới chỉ đề cập ở mức độ
2
sơ khảo, cung cấp những kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết giao thoa. Các tài liệu tham
khảo cũng không hệ thống rõ dàng, mỗi tài liệu khai thác một khía cạnh, hơn nữa học
sinh cũng không đủ điều kiện về kinh tế cũng như thời gian để mua và hệ thống hết các

kiến thức cũng như cách giải hay trong các tài liệu tham khảo
Vì những lý do trên, để giúp các em học sinh có đựơc nhận thức đầy đủ về lĩnh vực
giao thoa sóng cơ và giúp các em giải được các bài toán khó trong lĩnh vực này một cách
nhanh nhất, tôi đã nghiên cứu các tài liệu và tham khảo các sách bài tập để đưa ra một số
phương pháp giải nhanh một số dạng bài tập phần này. Phương pháp này cũng giúp các
em rèn luyện kĩ năng giải nhanh một số bài tập trắc nghiệm trong các bài kiểm tra định
kỳ và làm hành trang cho các em bước vào các kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đại
học, cao đẳng sắp tới.
2. Giới hạn đề tài.
Giao thoa sóng cơ là một lĩnh vực rất rộng và bài tập giao thoa sóng cơ cũng có rất
nhiều dạng vô cùng phong phú nhưng trong đề tài này tôi chỉ đưa ra một số dạng thường
gặp sau đây:
Dạng 1. Bài toán xác định biên độ dao động tại 1 điểm trong vùng giao thoa. Dạng 2. Bài
toán xác định số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu giữa hai nguồn.
Dạng 3. Bài toán xác định số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu giữa hai điểm
bất kì.
Dạng 4. Bài toán xác định điểm M dao động với biên độ cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều
kiện đề bài. (Bài toán cực trị)
Dạng 5. Bài toán xác định số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu cùng pha hoặc
ngược pha với nguồn trên đoạn thẳng nào đó.
3
3. Đối tượng áp dụng.
Đối tượng tôi đã thực hiện phương pháp mới này là học sinh lớp 12A6 Trường trung học
phổ thông Bỉm Sơn năm học 2011-2012.

B. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận.

Bộ môn vật lý được đưa vào giảng dạy trong nhà trường phổ thông nhằm cung cấp
cho học sinh những kiến thức phổ thông, cơ bản, có hệ thống toàn diện về vật lý. Hệ

thống kiến thức này phải thiết thực, có tính tổng hợp và đặc biệt phải phù hợp với quan
điểm vật lý hiện đại. Để học sinh có thể hiểu được một cách sâu sắc những kiến thức và
áp dụng các kiến thức đó vào thực tiễn cuộc sống thì cần phải rèn luyện cho các học sinh
những kỹ năng, kỹ xảo thực hành như: Kỹ năng kỹ xảo giải bài tập, kỹ năng đo lường,
quan sát ….
Bài tập vật lý với tư cách là một phương pháp dạy học, nó có ý nghĩa hết sức quan
trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ dạy học vật lý ở nhà trường phổ thông. Thông qua
việc giải tốt các bài tập vật lý các học sinh sẽ có được những kỹ năng so sánh, phân tích,
tổng hợp … do đó sẽ góp phần to lớn trong việc phát triển tư duy của học sinh. Đặc biệt
4
bài tập vật lý giúp học sinh củng cố kiến thúc có hệ thống cũng như vận dụng những kiến
thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ thể, làm cho bộ môn trở nên hấp
dẫn, lôi cuốn các em hơn.
2. Thực trạng của vấn đề.
a. Thuận lợi
Trong quá trình giảng dạy, khi tìm hiểu tâm tư nguyện vọng của một số học sinh lớp
12 tôi được biết có rất nhiều học sinh thích học môn vật lí, nhiều học sinh có nguyện
vọng thi vào đại học khối A và đăng kí học các ngành vật lí.
Theo cấu trúc của chương trình và sách giáo khoa vật lí lớp 12 thì trước khi học bài
giao thoa sóng cơ, học sinh đã được học một số kiến thức cơ bản như: tổng hợp hai dao
động điều hoà cùng phương cùng tần số, các phương trình sóng và các tính chất của sóng
v.v. Vì vậy giáo viên có thể giúp học sinh phát triển những kiến thức này lên các mức cao
hơn như: giao thoa sóng cơ hai nguồn kết hợp cùng pha hoặc giao thoa sóng cơ hai nguồn
kết hợp khác pha.
b. Khó khăn
Là một giáo viên khi dạy tiết bài tập sóng cơ, tôi thấy sách giáo khoa chỉ đề cập đến
sự giao thoa của hai nguồn kết hợp cùng pha với số lượng bài tập không nhiều và còn
đơn giản trong khi đó các bài tập phần này rất đa dạng và thường xuất hiện nhiều trong
các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đại học, cao đẳng. Khi gặp các bài toán thuộc
dạng giao thoa của hai nguồn kết hợp khác pha, những câu hỏi lạ thì học sinh thường

lúng túng không biết cách giải hoặc phải mất rất nhiều thời gian cho một bài, trong khi
thời gian dành cho mỗi câu trong các đề thi trắc nghiệm lại rất ngắn. Ngay cả khi giải các
5
bài toán thuộc loại giao thoa hai nguồn kết hợp cùng pha, gặp các loại bài tập như tìm số
cực đại và cực tiểu giao thoa trên đoạn thẳng nối hai nguồn, nhiều học sinh cũng chưa
giải được hoặc chưa có công thức để giải nhanh.
3. Các biện pháp đã thực hiện.
Từ thực tế như trên tôi đã đề ra một số biện pháp khắc phục như sau:
3.1. Các yêu cầu chung:
Trước khi giảng dạy tiết bài tập giao thoa sóng cơ, giáo viên yêu cầu học sinh phải ôn lại
những kiến thức đã học như:
- Tổng hợp 2 dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
- Các phương trình sóng và các tính chất của sóng.
- Giao thoa sóng cơ của hai nguồn kết hợp cùng pha.
Giáo viên nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập về giao thoa, thiết lập một số công
thức tổng quát và công thức hệ quả cho từng dạng toán, cung cấp cho học sinh các công
thức đã thiết lập để học sinh sử dụng.
3.2. Biện pháp phân loại bài tập và thiết lập công thức theo từng dạng.
Dạng 1. Bài toán xác định biên độ của giao thoa sóng tổng hợp tại một điểm M
trong trường giao thoa.
1.Thiết lập công thức:

cos( )
=acos t
A
B
u a t
u
ω ϕ
ω

= +
Phương trình dao động tại M do sóng từ A và B truyền đến
6

1
1
2
cos( )
M
d
u a t
π
ω ϕ
λ
= + −
2
2
2
=acos( t- )
M
d
u
π
ω
λ

1 2 2 1 2 1
2 cos ( ) .cos ( )
2 2
M M M

u u u a d d t d d
π ϕ π ϕ
ω
λ λ
   
= + = − + − + +
   
   
Biên độ dao động tổng hợp
2 1
2 cos ( )
2
A a d d
π ϕ
λ
 
= − +
 ÷
 
(4)
Trường hợp 2 nguồn AB cùng pha
( 0)
ϕ
=
:

2 1
2 cos ( )A a d d
π
λ

= −
Chú ý:
- Một số bài toán xác định biên độ ta có thể liên hệ với chuyển động tròn đều (Bài 3, Bài
4)
- Nếu các nguồn sóng khác biên độ ta không cộng lượng giác được mà phải viết phương
trình sóng tới rồi tổng hợp bằng phưng pháp giản đồ hoặc nhận xét đánh giá độ lệch pha
(Bài 5)
2. Bài tập ví dụ.
Bài 1. Tại 2 điểm A, B trong môi trường truyền sóng có 2 nguồn kết hợp dao động với
các phương trình lần lượt là:
cos( )
A
u a t
ω π
= +
(cm) và
cos
B
u a t
ω
=
(cm).
7
Coi biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền đi, trong khoảng giữa A và B có giao
thoa sóng do 2 nguồn trên gây ra, phần tử vật chất tại trung điểm O của đoạn AB dao
động với biên độ bằng:
A.
2
a
B. 2a C. 0 D. a

Cách giải.
Áp dụng công thức






+−=
2
)(cos2
12
ϕ
λ
π
ddaA
Với
2 1
2 cos 0
2
d d
A a
π
ϕ π
=

⇒ = =

=


. (Chọn C).
Bài 2. Trên mặt chất lỏng có 2 nguồn kết hợp A, B phát ra hai dao động có phương trình
2cos
A
u t
ω
=
(cm) ;
2sin
B
u t
ω
=
(cm). Giả sử biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Tìm
biên độ dao động của phần tử chất lỏng trên đường trung trực của AB.
A. 2cm B. 4cm C.
2 2
cm D.
2
cm
Cách giải.
Ta có
2sin 2cos( )
2
B
u t t
π
ω ω
= = −
cm. Độ lệch pha:

0 ( )
2 2
π π
ϕ
= − − =













+−=
2
)(cos2
12
ϕ
λ
π
ddaA
Với d
2
= d
1

2
2 cos 2.2. 2 2
4 2
a
π
= = =
cm ( Chọn C)
8
Bài 3. Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương truyền song cách nhau λ/3. Tại thời
điểm t, khi li độ dao động tại M là u
M
=+3 cm thì li độ dao động tại N là u
N
=-3cm. Biên độ
sóng bằng:
A. A=
6
cm B. A=3cm C. A=2
3
cm D. A=3
3
cm
Cách giải.
Độ lệch pha giữa hai điểm M, N:
2 2
3
d
π π
ϕ

λ
∆ = =
Liên hệ với chuyển động tròn đều có:
A.sin / 2 3 2 3A cm
ϕ
∆ = ⇒ =
(Chọn C).
Bài 4. Nguồn sóng ở O dao động với tần số 10Hz, dao động truyền đi với vận tốc 0,4m/s
trên phương ox. Trên phương này có hai điểm P va Q theo chiều truyền sóng với
PQ=15cm. Cho biên độ sóng a=1cm và biên độ không đổi khi sóng truyền. Nếu tại thời
điểm nào đó P có li độ u=0,5cm và đang chuyển động theo chiều dương thì Q sẽ có li độ
và chiều chuyển động tương ứng là:
A.
3 / 2
Q
u cm
=
, theo chiều âm B.
3 / 2
Q
u cm
= −
theo chiều dương
C.
0,5
Q
u cm
=
theo chiều âm D.
0,5

Q
u cm
= −
theo chiều dương Cách
giải.
Bước sóng:
4
v
cm
f
λ
= =
Độ lệch pha giữa hai điểm P, Q:
2
8
2
d
π π
ϕ π
λ
∆ = = −

Vậy P trễ pha hơn Q là
2
π
ϕ
∆ = −
9
Liên hệ với chuyển động tròn đều có:
Q

3
u =a.cos
6 2
π
=
(Chọn A)
Bài 5. Tại hai điểm A và B trên mặt nước có hai nguồn sóng cùng pha, biên độ lần lượt là
4cm và 2cm, bước sóng là 10cm. Điểm M trên mặt nước cách A 25cm và cách B 30cm sẽ
dao động với biên độ là:
A. a=2cm B. a=4cm C. a=6cm D. a=0cm
Cách giải.
Giả sử phương trình sóng tại hai nguồn A và B tương ứng là:
1 1 2 2
u =a .cos2 ft; u =a .cos2 ft
π π
Gọi d
1
, d
2
tương ứng là khoảng cách từ M đến hai nguồn A và B, khi đó sóng tại M do A
và B gửi tới là:
1 2
1M 1 2M 2
d d
u =a .cos(2 ft-2 ); u =a .cos(2 ft-2 )
π π π π
λ λ
Thay số có:
1M 2M
u =4.cos(2 ft- ); u =2.cos(2 ft)

π π π
Dễ thấy hai sóng tới ngược pha nên biên độ tại M là: A=/4-2/=2cm (Chọn A)
Dạng 2. Bài toán xác định số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu trong
đoạn thẳng nối hai nguồn A, B.
1. Thiết lập công thức:
Cho 2 nguồn kết hợp A và B cùng dao động theo phương thẳng đứng trên mặt chất lỏng
với các phương trình:
u
A
= acos (2πft+φ) và u
B
= acos (2πft)
Giả sử biên độ sóng không đổi khi truyền đi, phương trình dao động tại một điểm M
trong vùng dao thoa do sóng từ A và B truyền đến là:
10

1
2
cos(2 )
A
d
u a ft
π
π ϕ
λ
= + −
và
2
2
cos(2 )

B
d
u a ft
π
π
λ
= −
Độ lệch pha của 2 sóng thành phần tại điểm M :

2 1
( )
2
d d
ϕ π ϕ
λ
−
∆ = +
(1)
Số điểm dao động với biên độ cực đại trên khoảng AB.
+ Sóng tổng hợp dao động có biên độ cực đại khi Δφ = k2π hay

2 1
( )
2 2
d d
k
π ϕ π
λ
−
+ =

Suy ra :
2 1
2
d d k
λϕ
λ
π
− = −
(2)
+ Nếu điểm M ở trên đoạn AB thì: d
1
+ d
2
= AB (3)
Từ (2) và (3) suy ra
1
2 2 4
AB k
d
λ λϕ
π
= − +

Mà 0 < d
1
< AB
Nên
2 2
AB AB
k

ϕ ϕ
π λ λ π
− < < +
(k= 0; ± 1; ±2….). (1a)
+ Có bao nhiêu giá trị của k thì có bấy nhiêu cực đại trên khoảng AB.
Số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên khoảng AB.
+ Sóng tổng hợp dao động có biên cực tiểu khi Δφ = (2k+1)π hay

2 1
( )
2 (2 1)
d d
k
π ϕ π
λ
−
+ = +
11
Suy ra :
2 1
(2 1)
2 2
d d k
λ λϕ
π
− = + −
(5)
+ Nếu điểm M ở trên đoạn AB thì: d
1
+ d

2
= AB (6)
Từ (5) và (6) suy ra:
1
(2 1)
2 4 4
AB
d k
λ λϕ
π
= − + +
Mà 0 < d
1
< AB
Nên
1 1
2 2 2 2
AB AB
k
ϕ ϕ
π λ λ π
− − < < + −
(k= 0; ± 1; ±2…) (1b)
+ Có bao nhiêu giá trị của k thì có bấy nhiêu cực tiểu trên khoảng AB.
Chú ý: - Nếu hai nguồn A, B cùng pha , khi đó đại lượng
2
ϕ
π
=0.
- Nếu hai nguồn A, B ngược pha , khi đó đại lượng

2
ϕ
π
=
1
2
.
- Nếu hai nguồn A, B vuông pha , khi đó đại lượng
2
ϕ
π
=
1
4
.
2. Bài tập ví dụ.
Bài 1. Trên mặt nước có 2 nguồn kết hợp A, B cách nhau 12 cm dao động theo các
phương trình
cos(100 )
4
A
u a t
π
π
= +
(cm);
cos100
B
u a t
π

=
(cm). Biết bước sóng bằng
4cm. Coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Xác định số điểm dao động với biên độ
cực đại trên khoảng AB.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
Cách giải.
12
Áp dụng công thức
2 2
AB AB
k
ϕ ϕ
π λ λ π
− < < +
(k= 0; ± 1; ±2…)

0
4 4
π π
ϕ
= − =

1 12 12 1
8 4 4 8
k
⇒ − < < +

2,9 3,1k
⇒ − < <
Kết luận : có 6 điểm dao động với biên độ cực đại (Chọn A)

Bài 2. Tại 2 điểm AB trên mặt chất lỏng cách nhau 10 cm có 2 nguồn phát sóng theo
phương thẳng đứng với các phương trình :

0,2cos(50 )
A
u t
π π
= +
(cm) ;
0,2cos50
B
u t
π
=
(cm)
Biết bước sóng
3cm
λ
=
. Xác định số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên khoảng
AB.
A. 7 B. 8 C. 9 D. 11
Cách giải.
Áp dụng công thức
1 1
2 2 2 2
AB AB
k
ϕ ϕ
π λ λ π

− − < < + −
(k= 0; ± 1; ±2…)

ϕ π
=
⇒
1 10 1 1 10 1
2 3 2 2 3 2
k
− − < < + −


3,3 3,3k
⇒ − < <
Kết luận : Có 7 điểm dao động với biên độ cực tiểu (chọn A).
Bài 3. Trên mặt nước có 2 nguồn kết hợp A, B cách nhau 10 cm dao động theo các
phương trình
0,2cos(50 )
A
u t
π π
= +
(cm)
13

0,2cos(50 )
2
B
u t
π

π
= +
(cm)
Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 0,5 m/s. Tìm số điểm dao động với biên độ cực
đại và số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên khoảng AB.
A. 8 và 8 B. 9 và 10 C. 10 và 10 D. 10 và 11
Cách giải.

25 ; 2 ;
2 2 2
v
f Hz cm
f
ω π π
λ ϕ π
π
= = = = = − =
Số cực đại thoả mãn
2 2
AB AB
k
ϕ ϕ
π λ λ π
− < < +
(k= 0; ± 1; ±2…)
Thế số ta có :
1 10 10 1
4 2 2 4
k
− < < +

hay -4,75 < k < 5,25
Kết luận : Có 10 điểm dao động với biên độ cực đại.
Số cực tiểu thoả mãn
1 1
2 2 2 2
AB AB
k
ϕ ϕ
π λ λ π
− − < < + −
(k= 0; ± 1; ±2…)
Thế số ta có
2
1
4
1
2
10
2
1
2
10
4
1
−+<<−−
k
hay -5,25 < k < 4,75
Kết luận : Có 10 điểm dao động với biên độ cực tiểu. (Chọn C)
Nhận xét : Khi hai nguồn dao động vuông pha thì trên khoảng AB có số cực đại bằng số
cực tiểu.

Bài 4. Trên mặt nước nằm ngang tại hai điểm A, B cách nhau 8,2 cm, người ta đặt hai
nguồn kết hợp dao động điều hoà theo phương thẳng đứng có tần số 15Hz và luôn luôn
dao động cùng pha. Biết vận tốc truyền sóng trên mặt nước là 30cm/s. Coi biên độ sóng
14
không đổi trong quá trình truyền đi. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên khoảng
AB là:
A. 11 B. 8 C. 5 D. 9
Cách giải.
Bước sóng :
30
2
15
cm
λ
= =

Áp dụng công thức
2 2
AB AB
k
ϕ ϕ
π λ λ π
− < < +
(k= 0; ± 1; ±2…)
với
0
ϕ
=

AB AB

k
λ λ
⇔ − < <
Thế số:
8,2 8,2
2 2
k
− < <

4,1 4,1k
⇔ − < <
Kết luận : Có 9 điểm dao động với biên độ cực đại ( Chọn D).
Dạng 3. Bài toán xác định số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu giữa hai
điểm bất kì.
1. Thiết lập công thức.
Số cực đại thoả mãn:

2 1
1 2 2 1 1 2
2
d d k
S M S M d d S N S N
λϕ
λ
π

− = −




− < − < −



1 2 1 2
2 2
S M S M S N S N
k
ϕ ϕ
π λ λ π
− −
+ < < +
(k= 0; ± 1; ±2…) (3a)
Số cực tiểu thoả mãn:
15
S1
S2
M
N

2 1
1 2 2 1 1 2
(2 1)
2 2
d d k
S M S M BD d d S N S N
λ λϕ
π

− = + −




− − < − < −



1 2 1 2
1 1
2 2 2 2
S M S N S N S N
k
ϕ ϕ
λ π λ π
− −
+ − < < + −
(k= 0; ± 1; ±2…) (3b)
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt
+ Hai nguồn cùng pha:
2k
ϕ π
=
Số cực đại:
1 2 1 2
S M S M S N S N
k
λ λ
− −
< <
(k= 0; ± 1; ±2…)

Số cực tiểu:
1 2 1 2
1 1
2 2
S M S N S N S N
k
λ λ
− −
− < < −
(k= 0; ± 1; ±2…)
+ Hai nguồn ngược pha:
(2 1)k
ϕ π
= +
Số cực đại:
1 2 1 2
1 1
2 2
S M S M S N S N
k
λ λ
− −
+ < < +
(k= 0; ± 1; ±2…)
Số cực tiểu:
1 2 1 2
S M S N S N S N
k
λ λ
− −

< <
(k= 0; ± 1; ±2…)
+ Hai nguồn vuông pha:
(2 1) / 2k
ϕ π
= +
Số cực đại:
1 2 1 2
1 1
4 4
S M S M S N S N
k
λ λ
− −
+ < < +
(k= 0; ± 1; ±2…)
Số cực tiểu:
1 2 1 2
1 1
4 4
S M S N S N S N
k
λ λ
− −
− < < −
(k= 0; ± 1; ±2…) 2. Bài tập
ví dụ.
16
Bài 1. Trên mặt nước, hai nguồn kết hợp S
1

, S
2
cách nhau 40 cm luôn dao động ngược
pha, có bước sóng 6cm. Hai điểm M, N nằm trên mặt nước mà S
1
S
2
MN là một hình chữ
nhật, S
1
M = 30cm. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên khoảng MN là:
A. 5 B. 6 C. 7 D. 10
Cách giải
Ta có
2 2
2 1 1 2
50MS MS S S
= + =
cm
Áp dụng công thức

1 2 1 2
2 2
S M S M S N S N
k
ϕ ϕ
π λ λ π
− −
+ < < +

(k= 0; ± 1; ±2…)

ϕ π
= ⇔
1 30 50 50 30 1
2 6 6 2
k
− −
+ < < +


2,83 3,83k
⇔ − < <
Kết luận : Có 6 cực đại (Chọn B).
Bài 2.(ĐH-2010): Ở mặt thoáng của 1 chất lỏng có 2 nguồn kết hợp A và B cách nhau
20cm dao động theo phương thẳng đứng với phương trình:

2cos(40 )
A
u t
π π
= +
(cm) ;
2cos40
B
u t
π
=
(cm).
Biết tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 30cm/s. Xét hình vuông ABCD thuộc mặt

chất lỏng. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên khoảng BD là:
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
Cách giải.
Ta có :
2202
==
ABBD
cm
17
S1
S2
M
N
D
C
B
A
O

2
0,05T s
π
ω
= =


. 30.0,05 1,5vT cm
λ
= = =

Áp dụng công thức 3a :
2 2
AD BD AB BB
k
ϕ ϕ
π λ λ π
− −
+ < < +
(k= 0; ± 1; ±2…)
Với
ϕ π
=

⇔

1 20 20 2 20 0 1
2 1,5 1,5 2
k
− −
+ < < +

5,02 13,8k
⇔ − < <
Kết luận : Có 19 điểm cực đại (Chọn C).
Bài 3. Trên mặt chất lỏng có hai nguồn kết hợp A, B cách nhau 30 cm dao động theo
phương thẳng đứng cùng biên độ và luôn luôn cùng pha. Bước sóng bằng 3cm. Xét hình
chữ nhật ABCD thuộc mặt chất lỏng có AD = 40cm. Giả sử biên độ sóng không đổi trong
quá trình truyền đi, tìm số điểm không dao động trên khoảng BD.
A. 13 B. 11 C. 21 D. 17
Cách giải

Ta có:
cmADABBD 504030
2222
=+=+=
Áp dụng công thức trong trường hợp vuông pha


1 1
2 2
AD BD AB BB
k
λ λ
− −
⇒ − < < −
(k= 0; ± 1; ±2…)
18
D
C
B
A
O

40 50 1 30 0 1
3 2 3 2
k
− −
⇒ − < < −

3,83 9,5k
⇒ − < <

Ta thấy k có 13 giá trị nguyên là : -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn A.
Bài 4. Ở mặt thoáng của 1 chất lỏng có 2 nguồn kết hợp A và B cách nhau 30cm dao
động theo phương thẳng đứng với phương trình:

2cos 40
A
u t
π
=
(cm,s) ;
2cos(40 )
2
B
u t
π
π
= +
(cm,s).
Biết tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 30cm/s. Xét hình chữ nhật ABCD thuộc
mặt chất lỏng, với AD=40cm. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên khoảng BD là:
A. 27 B. 15 C. 25 D. 17
Cách giải
Ta có
2
. 30. 1,5
40
vT cm
π
λ
π

= = =


cmADABBD 504030
2222
=+=+=
Áp dụng công thức trong trường hợp vuông pha

1 2 1 2
1 1
4 4
S M S M S N S N
k
λ λ
− −
+ < < +

1 1
4 4
AD BD AB BB
k
λ λ
− −
⇒ + < < +

(k= 0; ± 1; ±2…)

40 50 1 30 0 1
1,5 4 1,5 4
k

− −
⇒ + < < +
19
D
C
B
A
O


6,42 20,25k
⇒ − < <
Ta thấy k có 27 giá trị nguyên là : -6, -5, , 0, 1, 2…20. (Chọn A).
Bài 5. Ở mặt thoáng của 1 chất lỏng có 2 nguồn kết hợp A và B cách nhau 30cm dao
động theo phương thẳng đứng với phương trình:

2cos 40
A
u t
π
=
(cm,s) ;
2cos(40 )
2
B
u t
π
π
= +
(cm,s).

Biết tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 30cm/s. Xét hình vuông ABCD thuộc mặt
chất lỏng. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên khoảng BC là:
A. 10 B. 15 C. 12 D. 13
Cách giải
Ta có
2
. 30. 1,5
40
vT cm
π
λ
π
= = =


2 30 2BD AB cm
= =
Áp dụng công thức trong trường hợp vuông pha

1 2 1 2
1 1
4 4
S M S M S N S N
k
λ λ
− −
+ < < +

1 1
4 4

AC BC AB BB
k
λ λ
− −
⇒ + < < +

(k= 0; ± 1; ±2…)

30 2 30 1 30 0 1
1,5 4 1,5 4
k
− −
⇒ + < < +

8,28 20,25k
⇒ < <
Ta thấy k có 12 giá trị nguyên là : 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20.
20
D
C
B
A
O
Chọn C.
Bài 6. Ở mặt thoáng của 1 chất lỏng có 2 nguồn kết hợp A và B cách nhau 30cm dao
động theo phương thẳng đứng với phương trình:

3cos10
A
u t

π
=
(cm,s) ;
5cos(10 )
3
B
u t
π
π
= +
(cm,s).
Biết tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 50cm/s. AB=30cm. Điểm C trên AB, cách
A 18cm, cách B 12cm. Vẽ đường tròn tâm C đường kính 10cm. Số điểm dao động với
biên độ cực đại trên tròn là:
A. 4 B. 6 C. 5 D. 3
Cách giải
Ta có
. 10vT cm
λ
= =

Để tính số cực đại trên đường tròn ta tính số cực đại n trên đường kính MN rồi nhân 2
(ngoại trừ M, N năm trên cực đại) khi đó ta có N=2n-2
Áp dụng công thức (3a)

1 2 1 2
2 2
S M S M S N S N
k
ϕ ϕ

π λ λ π
− −
+ ≤ ≤ +
(k= 0; ± 1; ±2…)
(Lấy cả dấu = vì M, N có thể nằm trên cực đại)


2 2
AM BM AN BN
k
ϕ ϕ
π λ λ π
− −
+ ≤ ≤ +

1 13 17 23 7 1
6 10 10 6
k
− −
⇒ + ≤ ≤ +
21
C
B
A
M
N

0,23 1,77k
⇒ − ≤ ≤
Ta thấy k có n=2 giá trị nguyên là : 0, 1 và đồng thời M,N không nằm trên cực

đại nên số cực đại trên đường tròn là N=4 điểm. (Chọn A).
Dạng 4. Bài toán xác định điểm M dao động với biên độ cực đại, cực tiểu thỏa mãn
điều kiện đề bài. (Bài toán cực trị)
1. Phương pháp.
- Nhận xét đánh giá dựa vào vị trí vân giao thoa trong trường giao thoa
- Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác để thiết lập mối quan hệ
- Thiết lập các phương trình quỹ tích toán học theo phương pháp tọa độ rồi tìm giao
điểm
2. Bài tập ví dụ.
Bài 1: Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn kết hợp AB cách nhau 40cm dao động
cùng pha. Biết sóng do mỗi nguồn phát ra có tần số f=10(Hz), vận tốc truyền sóng
2(m/s). Gọi M là một điểm nằm trên đường vuông góc với AB tại đó A dao đông với
biên độ cực đại.
Đoạn
AM
có
giá
trị
lớn nhất là :
A. 20cm B. 30cm C. 40cm D.50cm
Cách giải
Bước sóng:
/ 20v f cm
λ
= =
Để AM có giá trị lớn nhất thì M phải nằm trên cực đại bậc 1
(k=1)
Vị trí cực đại:
2 1
1.20 20d d k cm

λ
− = = =
(1)
22
A
B
M
d
1
d
2
Trong tam giác AMB có:
2 2 2 2 2
2 1 1
40d d AB d
= + = +
(2)
Từ (1) và (2) ta có: d
1
=30cm (Chọn B).
B

ài

2 : Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn kết hợp AB cách nhau 100cm dao động
cùng pha. Biết sóng do mỗi nguồn phát ra có tần số f=10(Hz), vận tốc truyền sóng
3(m/s). Gọi M là một điểm nằm trên đường vuông góc với AB tại đó A dao đông với
biên độ cực đại.
Đoạn
AM

có
giá
trị
nhỏ nhất là :
A. 5,28cm B. 10,56cm C. 12cm D. 30cm
Cách giải
Bước sóng:
/ 30v f cm
λ
= =
Để AM có giá trị nhỏ nhất thì M phải nằm trên cực đại
ngoài cùng trên AB
Số cực đại rrên AB thỏa mãn:
3,3 3,3
AB AB
k k
λ λ
− → −
p p p p
Do đó M nằm trên cực đại thứ 3 ứng với k=3
Vị trí cực đại:
2 1
3.30 90d d k cm
λ
− = = =
(1)
Trong tam giác AMB có:
2 2 2 2 2
2 1 1
100d d AB d

= + = +
(2)
Từ (1) và (2) ta có: d
1
=10,55cm (Chọn B.)
Bài 3: Tại hai điểm A và B trên mặt nước cách nhau
8 cm có hai nguồn kết hợp dao động với phương
trình: u
1

= u
2

=
acos40ωt(cm), tốc độ truyền sóng trên
23
A
B
M
d
1
d
2
k=3
C
D
A
B
d
2

d
1
k=1
M
h
mặt nước là 30cm /
s
. Xét đoạn thẳng CD = 4cm trên mặt nước có chung đường trung
trực với AB. Khoảng cách lớn nhất từ CD đến AB sao cho trên đoạn CD chỉ có 3 điểm
dao dộng với biên độ cực đại là:
A. 3,3 cm. B. 6 cm. C. 8,9 cm. D. 9,7 cm.
Cách giải
Bước sóng λ = v/f = 30/20 = 1,5 cm
Khoảng cách lớn nhất từ CD đến AB mà trên CD chỉ có 3 điểm dao đông với biên độ
cực đai khi tại C và D thuộc các cực đai bậc 1 ( k = ± 1)
Tại C: d
2

– d
1

= 1,5 (cm) (1)
Lại có:
2 2 2 2 2
1
2d h AM h
= + = +
(2)
2 2 2 2 2
2

6d h BM h
= + = +
(3)
Giải các phương trình 1, 2, 3 ta có h=9,7cm (Chọn D.)
Bài 4: Có hai nguồn dao động kết hợp S
1
và S
2
trên mặt nước cách nhau 8 cm có
phương trình dao động lần lượt là: u
1S

= 2cos(40ωt-π/4) (mm) và u
2S

=
2cos(40ωt+π/4)
(mm). Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 10cm /
s
. Xem biên độ của sóng không đổi
trong quá trình truyền đi. Điểm M trên mặt nước cách S
1
khoảng S
1
M=10cm và S
2
khoảng S
2
M=6cm. Điểm dao động cực đại trên S
2

M xa S
2
nhất là:
A. 3,07 cm. B. 2,33 cm. C. 3,57 cm. D. 6cm.
Cách giải
Bước sóng:
/ 2v f cm
λ
= =
Xét điểm N trên MS
2
tại đó dao động cực đại
24
S
1
S
2
M
N
d
1
d
2
Hai nguồn S
1
, S
2
vuông pha nên vị trí cực đại:
1 2
1

2
2 4 2
d d k k k
λϕ λ
λ λ
π
− = − = − = −
(k nguyên) (1)
Lại có:
2 2 2 2
1 2 1 2
8d d S S
− = =
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
2
2
256 (4 1)
(k Z)
4(4 1)
k
d
k
− −
= ∈
−
Vì N nằm trên MS
2
nên:
2

2
256 (4 1)
0 6 0 6 (k Z)
4(4 1)
k
d
k
− −
≤ ≤ → ≤ ≤ ∈
−
Giải bất phương trình có
3k
≥

Điểm N xa S
2
nhất dao động CĐ ứng với k
min
=3, khi đó d
2
=3,07cm (Chọn A).
Bài 5: Hai nguồn sóng AB cách nhau 1m dao động cùng pha với bước sóng 0,5m. I là
trung điểm AB. P là điểm nằm trên đường trung trực của AB cách I 1m. Gọi d là đường
thẳng qua P và song song với AB. Tìm điểm M thuộc d và gần P nhất, dao động với biên
độ cực đại.
A. 100 cm. B. 63 cm. C. 35 cm. D. 50 cm.
Cách giải
Vì A, B cùng pha nên M gần P nhất dao động cực đại thì
M phải nằm trên cực đại thứ nhất (k=1)
Ta có:

2 1
1. 0,5d d k
λ λ
− = = =
(1)
Mà
2 2 2 2
2
(0,5 ) 1d AQ MQ x
= + = + +
(2)

2 2 2 2
1
(0,5 ) 1d MQ QB x= + = − +
(3)
25
N
d
P
M
Q
B
A I
d
1
d
2