ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC 2 VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC 3

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
KHOA KHOA HỌC MÁY TÍNH
**********    **********
TIỂU LUẬN CHUYÊN ĐỀ
LẬP TRÌNH SYMBOLIC
ĐỀ TÀI:
ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI VÀ BIỆN
LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT,
BẬC 2 VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC 3

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:
PGS.TS ĐỖ VĂN NHƠN
HỌC VIÊN THỰC HIỆN:
LÊ MINH TRÍ
MSHV: CH1101148
Thành phố Hồ Chí Minh
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
01/2013
MỤC LỤC
Nội dung Trang
LỜI NÓI ĐẦU 3
Chương I>Giới thiệu: 4
Chương II>Bài toán giải và biện luận phương trình bậc nhất: 5
1/Các bước giải và biện luận phương trình bậc nhất: 5
2/Phân !ch yêu cầu: 5
3/Cấu trúc dữ liệu: 5
4/Thuật giải: 5
5/Thủ tục: 6
6/Dữ liệu thử nghiệm: 7
Chương III>Bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai: 7

1/Các bước giải và biện luận phương trình bậc hai: 7
2/Phân !ch yêu cầu: 8
3/Cấu trúc dữ liệu: 8
4/Thuật giải: 8
5/Thủ tục: 9
6/Dữ liệu thử nghiệm: 11
Chương IV>Bài toán khảo sát hàm số bậc 3: 11
1/Các bước khảo sát hàm số bậc 3: 11
2/Phân !ch yêu cầu: 13
3/Cấu trúc dữ liệu: 13
4/Thuật giải: 13
5/Thủ tục: 16
6/Dữ liệu thử nghiệm: 18
Chương V>Kết luận & Hướng phát triển đề tài: 20
1/Kết luận : 20
2/Hướng phát triển đề tài: 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO 21
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 2
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay máy tính đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống.
Nhiều chương trình ứng dụng đã được phát triển liên quan tới quản lý dữ liệu, in ấn,
đồ họa sử lý ảnh Riêng đối với ngành toán đã có những sản phẩm phần mềm
mang tính phổ dụng như Mathematica, Matlab, Maple, và nhiều chương trình
chuyên dụng cho từng bộ môn của toán học. Những phần mềm trên giúp ích rất
nhiều cho việc giảng dạy toán, học toán cũng như việc ứng dụng toán trong các
ngành kỹ thuật, kinh tế, và vì thế tại các nước phát triển chúng trở thành cẩm nang
của nhiều sinh viên, kỹ sư và các ngành nghiên cứu khoa học.
Trong số các phần mềm hỗ trợ cho ngành toán học thì Maple là một phần mềm
đang được khá ưa chuộng nhất trong giới học sinh và sinh viên. Maple phục vụ đắc

lực cho việc học tập, giảng dạy và nghiên cứu toán sơ cấp và cao cấp. Maple cung
cấp nhiều công cụ trực quan, nhiều gói lệnh chuyên ngành phù hợp với các tính
toán phổ thông và bậc đại học, giao diện hoàn thiện hơn và hỗ trợ soạn thảo tốt hơn.
Nhiều trường đại học sử dụng Maple để giảng dạy một số môn trong khung chương
trình đào tạo đã góp phần làm thay đổi cách học toán, song song với lối giải toán
truyền thống sinh viên có thể giải quyết bài toán với sự giúp đỡ của Maple.
Chương trình Maple của hãng MapleSoft là một hương trình tính toán rất mạnh,
hỗ trợ trong việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, vẽ đồ
thị trong không gian 2 chiều, 3 chiều, Nhằm để giúp cho việc học toán và tham
khảo một cách hiệu quả hơn, trong phạm vi bài tiểu luận này, người nghiên cứu xin
trình bày về việc Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc
2 và khảo sát hàm số bậc 3.
Qua bài tiểu luận, em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến thầy PGS.TS
Đỗ Văn Nhơn, người đã tận tình truyền đạt cho em những kiến thức sâu rộng, bổ
ích về môn Lập trình Symbolic. Từ đó giúp em nắm vững hơn về cơ sở lý thuyết, và
có được một nền tảng kiến thức cơ bản tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt
bài tiểu luận này. Bên cạnh đó em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh/chị trong
cùng khóa học đã nhiệt tình chia sẽ tài liệu và những thông tin cần thiết trong suốt
quá trình học.
Thân mến,
Người nghiên cứu
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 3
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
Chương I> Giới thiệu:
Ở bậc trung học cơ sở, chúng ta đã được học rất nhiều các dạng bài toán cơ bản,
trong đó có dạng bài toán về giải phương trình bậc nhất, bậc 2 một ẩn số hay cao
hơn nữa là giải và biện luận các phương trình bậc nhất, bậc 2 theo tham số m. Đến
bậc trung học phổ thông thì chúng ta được học phương pháp làm thế nào để biểu
diễn được dạng đồ thị của các hàm số bậc 1, bậc 2, bậc 3,…đó lên hệ trục tọa độ.
Nếu như trước đây việc giải các bài toán phức tạp như thế trên máy tính vô cùng

khó khăn thì ngày nay với sự ra đời của Maple đã giải quyết được phần lớn các bài
toán nan giải đó.
Maple là một hệ phần mềm chuyên dụng cho công việc tính toán bao gồm các
tính toán thuần túy bằng ký hiệu toán học, các tính toán số và các tính toán bằng đồ
thị. Sản phẩm này do trường Đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) và trường đại
học kỹ thuật Zurich (ETZ) xây dựng và đưa vào thương mại đầu tiên năm 1985.
Qua nhiều lần cải tiến, hiện nay Maple đã được phổ biến rộng rãi trên thế giới.
Những đặc tính căn bản của Maple là dễ sử dụng, đòi hỏi cấu hình máy không lớn,
đáp ứng nhu cầu tính toán của nhiều đối tượng. Ngoài ra Maple còn được thiết kế
thích hợp với chế độ tương tác người và máy, cho phép người dùng phát triển các
module chuyên dụng.
Maple là phần mềm toán học được dùng phổ biến. Nó cung cấp đầy đủ các công
cụ phục vụ cho việc tính toán số và tính toán biểu trưng (tính toán trừu tượng trên
các tham biến ), vẽ đồ thị hàm số,…cho nhiều phân ngành như Đại số tuyến tính,
Toán rời rạc, toán tài chính, thống kê, lý thuyết số, phương trình vi phân,…Công cụ
tính toán như Maple giúp chúng ta được giải phóng khỏi những tính toán phức tạp
vốn mất nhiều thời gian và đặc biệt là giúp chúng ta tránh được sai sót, nhầm lẫn
khi tính toán.
Trong quá trình nghiên cứu và tiếp cận Maple, người nghiên cứu thấy rằng ngoài
các tính năng tính toán và minh họa rất mạnh mẽ bằng các câu lệnh riêng biệt
(thường chỉ cho ta kết quả cuối cùng), Maple còn là một ngôn ngữ lập trình hướng
thủ tục. Thủ tục này gồm một dãy các lệnh của Maple theo thứ tự mà người lập
trình định sẵn để xử lý một công việc nào đó, khi thực hiện thủ tục này Maple sẽ tự
động thực hiện các lệnh có trong thủ tục đó một cách tuần tự rồi sau đó trả lại kết
quả cuối cùng.

HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 4
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
Chương II> Bài toán giải và biện luận phương trình bậc nhất:
1/ Các bước giải và biện luận phương trình bậc nhất:

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: ax + b = 0
Trường hợp 1 (a ≠ 0): Phương trình có nghiệm duy nhất x= -
a
b
Trường hợp 2 (a = 0): có 2 trường hợp xảy ra
o b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm.
o b = 0: Phương trình có vô số nghiệm.
2/ Phân tích yêu cầu:
Đầu vào phải là phương trình bậc nhất một ẩn số, tham số m bất kỳ, có thể thuộc
các hệ số a, hệ số b hoặc thuộc cả hai hệ số a và b. Đầu ra là một lời giải và biện
luận hoàn chỉnh phương trình bậc nhất một ẩn số theo tham số m.
3/ Cấu trúc dữ liệu:
Cấu trúc của thủ tục có dạng (pt,x). Trong đó pt là phương trình bậc nhất một ẩn
theo tham số m và vế phải của phương trình có thể khác 0, x là biến cần tìm của
phương trình pt.
4/ Thuật giải:
Đầu vào: Phương trình bậc nhất theo tham số m.
Đầu ra: Giải và biện luận phương trình bậc nhất theo tham số m.
Bước 1: Nhập các biến có liên quan đến bài toán.
Bước 2:
+ Chuyển phương trình về dạng chuẩn ax + b = 0 và gán cho một biến tạm.
+ Lần lược gán các hệ số a và b vào các biến.
Bước 3:
if a là hằng số then # Phương trình không có tham số m
if a ≠ 0 then Phương trình có nghiệm duy nhất x = -
a
b
else
if b ≠ 0 then Phương trình có vô số nghiệm;
else Phương trình vô số nghiệm;

else # Biện luận phương trình theo tham số m
• Gán nghiệm của hệ số a vào một tập hợp nghiệm A;
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 5
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
• Với mỗi m không thuộc tập hợp nghiệm A thì phương trình có
nghiệm duy nhất x = -
a
b
;
• for t in tập hợp nghiệm A do
if m thuộc tập hợp nghiệm B then phương trình vô số nghiệm;
else phương trình vô nghiệm;
end do;
end if;
5/ Thủ tục:
GiaiVaBienLuanPTBac1 := proc(pt, x)
local a, b, temp, nghiem, t, giatrib, vn, vsn, ndn;
temp := lhs(pt) – rhs(pt):
a := coeff(temp, x);
b := coeff(temp, x, 0);
vn := “Phương trình vô nghiệm”;
vsn := “Phương trình có vô số nghiệm”;
ndn := “Phương trình nghiệm duy nhất”;
if type(a, numeric) then
#Phương trình không có tham số m
if a ≠ 0 then
printf(cat(ndn, “x = %a”), -
a
b
);

else
if b = 0 then
printf(vsn);
else
printf(vn);
end if;
end if;
else
#Biện luận phương trình theo tham số m
nghiem := {solve(a)};
printf(cat(“+ Với m khác các phần tử thuộc %a => ”, ndn), nghiem);
print(x=-
a
b
);
for i in nghiem do
printf(“+ Với m = %a => ”, t);
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 6
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
giatrib := subs({m = t}, b);
if giatrib = 0 then
printf(cat(vsn, “\n”));
else
printf(cat(vn, “\n”));
end if;
end do;
end if;
end proc:
6/ Dữ liệu thử nghiệm:
pt1 := (m

2
- 1)*x + 2 = x + 2*m: # Gán phương trình cho biến pt1
GiaiVaBienLuanPTBac1(pt1,x); # Thực thi và xuất lời giải ra màn hình.
Kết quả thực hiện:
+ Với m khác các phần tử thuộc {2^(1/2), -2^(1/2)} => Phương trình có nghiệm duy
nhất
x=-
2
22
2
−
−
m
m
+ Với m = 2^(1/2) => Phương trình vô nghiệm.
+ Với m = -2^(1/2) => Phương trình vô nghiệm.
Chương III> Bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai:
1/ Các bước giải và biện luận phương trình bậc hai:
Phương trình bậc hai có dạng một ẩn: ax
2
+ bx + c = 0
Trường hợp 1 (a = 0): Phương trình trở thành dạng bậc nhất bx + c = 0
• b ≠ 0: Phương trình có nghiệm duy nhất x = -
b
c
• b = 0:
+ c = 0: Phương trình có vô số nghiệm.
+ c ≠ 0: Phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2 (a ≠ 0):
∆

= b
2
– 4ac
+
∆
< 0: Phương trình vô nghiệm.
+
∆
= 0: Phương trình có nghiệm kép x= -
a
b
2
+
∆
> 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1,2
=
a
b
2
∆±−
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 7
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
2/ Phân tích yêu cầu:
Điều kiện đầu vào phải là phương trình bậc 2 một ẩn số (a ≠ 0), tham số m bất
kỳ, có thể thuộc các hệ số a, b hoặc c. Đầu ra là một lời giải và biện luận hoàn chỉnh
phương trình bậc 2 một ẩn số theo tham số m.
3/ Cấu trúc dữ liệu:
Cấu trúc của thủ tục có dạng (pt,x). Trong đó pt là phương trình bậc 2 một ẩn
theo tham số m và vế phải của phương trình có thể khác 0, x là biến cần tìm của

phương trình pt.
4/ Thuật giải:
Đầu vào: Phương trình bậc 2 theo tham số m.
Đầu ra: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m.
Bước 1: Nhập các biến có liên quan đến bài toán.
Bước 2:
+ Chuyển phương trình về dạng chuẩn ax
2
+ bx + c = 0 và gán cho một biến
tạm;
+ Lần lược gán các hệ số a, b và c vào các biến;
+ Tính
∆
;
Bước 3: Kiểm tra hệ số a
if a là hằng số then
if a ≠ 0 then
+ Phương trình không có dạng bậc 2 (có thể giải và biện luận
phương trình bậc nhất theo tham số m);
+ return;
end if;
else # a có chứa tham số m
nghiema := danh sách các nghiệm của hệ số a;
for i from 1 to số lượng các nghiema do
Với m = i: Phương trình không có dạng bậc 2 (có thể giải và
biện luận phương trình bậc nhất theo tham số m);
end do;
end if;
Bước 4: Kiểm tra giá trị delta
if delta là hằng số then # Phương trình không có tham số m

if
∆
< 0 then Phương trình vô nghiệm;
elif
∆
= 0 then Phương trình có nghiệm kép x = -
a
b
2
;
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 8
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
else Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1,2
=
a
b
2
∆±−
;
else # Biện luận phương trình theo tham số m
o Trường hợp
∆
< 0:
+ nghiemdelta := danh sách các nghiệm của phương trình delta <0
theo m;
+ Với mỗi m thuộc nghiemdelta thì phương trình vô nghiệm;
o Trường hợp
∆
= 0:

+ nghiemdelta := danh sách các nghiệm của phương trình delta = 0
theo m;
+ Với mỗi m thuộc danh sách nghiemdelta thì phương trình có
nghiệm kép x = -
a
b
2
;
o Trường hợp
∆
> 0:
+ nghiemdelta := danh sách các nghiệm của phương trình delta > 0
theo m;
+ Với mỗi m thuộc nghiemdelta thì phương trình có 2 nghiệm
phân biệt x
1,2
=
a
b
2
∆±−
;
5/ Thủ tục:
GiaiVaBienLuanPTBac2 := proc(pt,x)
local temp, a, b, c, delta, nghiema, nghiemdelta, i, vn, nk, npb;
temp := lhs(pt) - rhs(pt):
a := coeff(temp, x
2
):
b := coeff(temp, x):

c := coeff(temp, x, 0):
delta := b
2
– 4ac:
vn := “Phương trình vô nghiệm.”:
nk := “Phương trình có nghiệm kép: ”:
npb := “Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: ”:
if type(a,numeric) then
#a là hàng số
if a = 0 then
print(“Phương trình không có dạng bậc 2.”);
return;
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 9
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
end if;
else
nghiema := [solve(a=0,m)];
for i from 1 to nops(nghiema) do
printf(“+ Nếu m = %a: Phương trình không có dạng bậc 2\n”,
nghiema[i]);
end do;
end if;
if type(delta, numeric) then
#Phương trình không có tham số m
if delta < 0 then
print(vn);
elif delta = 0 then
printf(cat(nk, “ %a”), x=-
a
b

2
);
else
print(npb);
print(x1 =
a
deltasqrtb
2
)(+−
);
print(x2 =
a
deltasqrtb
2
)(−−
);
end if;
else #Biện luận phương trình theo tham số m
printf(“1/ Trường hợp delta < 0:\n”);
nghiemdelta := [solve(delta < 0), m];
for i from 1 to nops(nghiemdelta) do
printf(“+ Với m = %a => ”, nghiemdelta[i]);
end do;
printf(“2/ Trường hợp delta = 0:\n”);
nghiemdelta := [solve(delta = 0), m];
for i from 1 to nops(nghiemdelta) do
printf(“+ Với m = %a => ”, nghiemdelta[i]);
printf(cat(“Nghiệm kép ”, i, “ = %a\n”), subs(m =
nghiemdelta[i], -
a

b
2
));
end do;
printf(“\n”);
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 10
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
printf(“3/ Trường hợp delta > 0:\n”);
nghiemdelta := [solve(delta > 0), m];
printf(cat(“+ Với m thuộc: %a => ”, npb), nghiemdelta);
print(x1 =
a
deltasqrtb
2
)(+−
);
print(x2 =
a
deltasqrtb
2
)(−−
);
end if;
end proc:
6/ Dữ liệu thử nghiệm:
pt2 := x
2
+ mx + (3m - 8) = 0: # Gán phương trình cho biến pt2
GiaiVaBienLuanPTBac2(pt2,x); # Thực thi và xuất lời giải ra màn hình.
Kết quả thực hiện:

1/ Trường hợp delta < 0:
+ Với m thuộc: [RealRange(Open(4), Open(8))] => Phương trình vô nghiệm.
2/ Trường hợp delta = 0:
+ Với m = 8 => Nghiệm kép 1 = -4
+ Với m = 4 => Nghiệm kép 2 = -2
3/ Trường hợp delta > 0:
+ Với m thuộc: [RealRange(-infinity,Open(4)), RealRange(Open(8),infinity)] =>
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1=
2
1
−
m +
2
1
3212
2
+− mm
x2=
2
1
−
m -
2
1
3212
2
+− mm
Chương IV> Bài toán khảo sát hàm số bậc 3:
1/ Các bước khảo sát hàm số bậc 3:

Hàm số bậc 3 có dạng: y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
Bước 1: Miền xác định: D = R
Bước 2: y’ = f’(x) = 3ax
2
+ 2bx + c
Bước 3: y’ = 0 <=> 3ax
2
+ 2bx + c = 0
<=>
∆
=(2b)
2
– 4(3a)c
o Nếu
∆
≤ 0 và a > 0 => y’ > 0 => hàm số đồng biến trên R và không có
cực trị
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 11
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
o Nếu
∆
≤ 0 và a < 0 => y’ < 0 => hàm số nghich biến trên R và không
có cực trị
o Nếu
∆
> 0 => y’ = 0 => có 2 nghiệm phân biệt:

= >
?2?;2
?1?;1
==
==
yx
yx
Bảng xát xấu y’:
x -∞ x
1
x2 +∞
y Cùng dấu với a 0 Trái xấu với a 0 Cùng dấu với a
= > Tuyên bó đồng biến, nghịch biến và hàm số 2 cực trị
Bước 4: y’’ = f’’(x) = 6ax + 2b
y’’ = 0 <=> x=
a
b
3
−
; y = ?
Bước 5: Bảng xét dấu y’’
x -∞
a
b
3
−
+∞
y’’ Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a
y Lồi hoặc lõm Điểm uốn Lõm hoặc lồi
Bước 6: Giới hạn

o Nếu a > 0:
±∞=
±∞→x
ylim
o Nếu a < 0:
∞=
±∞→

x
ylim
Bước 7: Vẽ đồ thị
Giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ:
x = 0  y = d
Một số điểm khác (Bảng chân trị)
x 3 điểm
a
b
3
−
3 điểm
y ?
Chú ý: đồ thị hàm số rơi vào 1 trong 4 dạng sau:
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 12
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
Bước 9: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(
a
b
3
−
,) làm tâm đối xứng.

2/ Phân tích yêu cầu:
Điều kiện đầu vào phải là hàm số bậc 3 (chương trình sẽ kiểm tra nếu không
phải hàm bậc 3 thì sẽ thoát). Đầu ra là một lời giải chi tiết hoàn chỉnh cho việc khảo
sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc 3.
3/ Cấu trúc dữ liệu:
Cấu trúc của thủ tục có dạng (HamBacBa). Trong đó HamBacBa là một hàm số
bậc 3 có dạng y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
4/ Thuật giải:
Đầu vào: Hàm số bậc 3.
Đầu ra: Lời giải chi tiết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.
Bước 1: Nhập các biến có liên quan đến bài toán;
Bước 2: Kiểm tra xem có phải hàm số bậc 3 hay không;
Bước 3: Lần lượt gán các vế trái, vế phải, hàm số truyền vào, các hệ số vế phải
của hàm số bậc 3 vào các biến: vetrai, vephai, y, a, b, c, d;
Bước 4:
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 13
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
+ Tập xác định.
+ Xét sự biến thiên.
o Tính đạo hàm cấp 1 và gán vào biến y1.
o Tính đạo hàm cấp 2 và gán vào biến y2.
o Tìm nghiệm gần đúng của hàm bậc 3 và gán vào biến nghiem.
o Xét chiều biến thiên:
• if ({nghiem} = {} and a > 0) then
Hàm số luôn đồng biến trên R và không có cực trị;
end if;

• if ({nghiem} = {} and a < 0) then
Hàm số luôn nghịch biến trên R và không có cực trị;
end if;
• if ({nghiem} ≠ {} and a > 0 and max(nghiem) =
min(nghiem)) then
Hàm số luôn đồng biến;
end if;
• if ({nghiem} ≠ {} and a < 0 and max(nghiem) =
min(nghiem)) then
Hàm số luôn nghịch biến;
end if;
• if ({nghiem} ≠ {} and a > 0 and max(nghiem) ≠
min(nghiem)) then
 y1 = factor(y1);
 Hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞,
min(nghiem)) và (max(nghiem), +∞);
 Hàm số nghịch biến trong khoảng (min(nghiem),
max(nghiem));
end if;
• if ({nghiem} ≠ {} and a < 0 and max(nghiem) ≠
min(nghiem)) then
 y1 = factor(y1);
 Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞,
min(nghiem)) và (max(nghiem), +∞);
 Hàm số đồng biến trong khoảng (min(nghiem),
max(nghiem));
end if;
o Xét cực trị:
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 14
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3

• if ({nghiem} = {}) then
Hàm số không có cực trị;
end if;
• if ({nghiem} ≠ {} and max(nghiem) = min(nghiem)) then
Hàm số không có cực trị;
end if;
• if ({nghiem} ≠ {} and a > 0 and max(nghiem) ≠
min(nghiem)) then
 Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu;
 Điểm cực đại: (min(nghiem)),
simplify(eval(y,x=min(nghiem))));
 Điểm cực tiểu: (max(nghiem)),
simplify(eval(y,x=max(nghiem))));
end if;
• if ({nghiem} ≠ {} and a < 0 and max(nghiem) ≠
min(nghiem)) then
 Hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại;
 Điểm cực tiểu: (min(nghiem)),
simplify(eval(y,x=min(nghiem))));
 Điểm cực đại: (max(nghiem)),
simplify(eval(y,x=max(nghiem))));
end if;
o Xét giới hạn:
• if a > 0 then
±∞=
±∞→x
ylim
elif a < 0 then
∞=
±∞→


x
ylim
end if;
• Đồ thị không có tiệm cận;
o Xét tính lồi, lõm và điểm uốn:
• Điểm uốn: U(solve(y2), simplify(eval(y,x=solve(y2))));
• if a > 0 then
 Hàm số lồi trong khoảng (-∞, solve(y2)) ;
 Hàm số lõm trong khoảng (solve(y2), +∞);
else
 Hàm số lõm trong khoảng (-∞, solve(y2)) ;
 Hàm số lồi trong khoảng (solve(y2), +∞);
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 15
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
end if;
+ Vẽ đồ thị: đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn.
o Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (fsolve(y));
o Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0,d);
o plot(y,x=-5 5,-5 5);
5/ Thủ tục:
KhaoSatHamBacBa := proc(HamBacBa)
local a, b, c, d, vetrai, vephai, y1, y2, nghiem;
vetrai := lhs(HamBacBa);
vephai := rhs(HamBacBa);
#Kiểm tra hàm bậc ba
if degree(vephai,x) ≠ 3then
print(`Hàm số không phải là hàm bậc 3`);
return;
end if;

y := rhs(HamBacBa);
a := coeff(vephai,x^3);
b := coeff(vephai,x^2);
c := coeff(vephai,x);
d := coeff(vephai,x,0);
print(`Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm bậc ba`);
print(HamBacBa);
print(`Bài giải:`);
print(`Bước 1: Tập xác định D = R`);
print(`Bước 2: Sự biến thiên:`);
#Đạo hàm cấp 1, cấp 2 của y
y1 := diff(y,x):
y2 := diff(y1,x):
#Tìm nghiệm gần đúng
nghiem := solve(diff(y,x)=0):
print(`a. Chiều biến thiên y’ = `y1);
if ({nghiem} = {} and a > 0) then
print(`y > 0
∀
x.`);
print(`Hàm số luôn đồng biến trên R và không có cực trị.`);
end if;
if ({nghiem} = {} and a < 0) then
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 16
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
print(`y < 0
∀
x.`);
print(`Hàm số luôn nghịch biến trên R và không có cực trị.`);
end if;

if ({nghiem} ≠ {} and a > 0 and max(nghiem) = min(nghiem)) then
print(`Đạo hàm y’ = 0 tại x = ` min(nghiem));
print(`y >= 0
∀
x.`);
print(`Hàm số luôn đồng biến.`);
end if;
if ({nghiem} ≠ {} and a < 0 and max(nghiem) = min(nghiem)) then
print(`Đạo hàm y’ = 0 tại x = ` min(nghiem));
print(`y <= 0
∀
x.`);
print(`Hàm số luôn nghịch biến.`);
end if;
if ({nghiem} = {} and a > 0 and max(nghiem) ≠ min(nghiem)) then
y1 = factor(y1);
print(`Đạo hàm y’ = 0 tại x = ` nghiem);
print(`Hàm số đồng biến trong các khoảng: ` (-infinity, min(nghiem))
`và` (max(nghiem), infinity)));
print(`Hàm số nghịch biến trong các khoảng: ` (min(nghiem),
max(nghiem)));
end if;
if ({nghiem} = {} and a < 0 and max(nghiem) ≠ min(nghiem)) then
y1 = factor(y1);
print(`Đạo hàm y’ = 0 tại x = ` nghiem);
print(`Hàm số nghịch biến trong các khoảng: ` (-infinity,
min(nghiem)) `và` (max(nghiem), infinity)));
print(`Hàm số đồng biến trong các khoảng: ` (min(nghiem),
max(nghiem)));
end if;

print(`b. Cực trị:`);
if ({nghiem} = {}) then
print(`Hàm số không có cực trị.`);
end if;
if ({nghiem} ≠ {} and max(nghiem) = min(nghiem)) then
print(`Hàm số không có cực trị.`);
end if;
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 17
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
if ({nghiem} ≠ {} and a > 0 and max(nghiem) ≠ min(nghiem)) then
print(`Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu:`);
print(`Điểm cực đại: `(min(nghiem), simplify(eval(y,x =
min(nghiem)))));
print(`Điểm cực tiểu: `(max(nghiem), simplify(eval(y,x=
max(nghiem)))));
end if;
if ({nghiem} ≠ {} and a < 0 and max(nghiem) ≠ min(nghiem)) then
print(`Hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại:`);
print(`Điểm cực tiểu: `(min(nghiem), simplify(eval(y,x =
min(nghiem)))));
print(`Điểm cực đại: `(max(nghiem), simplify(eval(y,x=
max(nghiem)))));
end if;
print(`c. Giới hạn:`);
print(Limit(y,x=-infinity) = limit(y,x = -infinity));
print(Limit(y,x=+infinity) = limit(y,x = +infinity));
print(`Đồ thị không có tiệm cận.`);
print(`d. Tính lồi, lõm và điểm uốn:`);
print(`y’’ = `y2);
print(`Điểm uốn: U`(solve(y2), simplify(eval(y,x = solve(y2)))));

if a > 0 then
print(`Hàm số lồi trong khoảng: `(-infinity, solve(y2)));
print(`Hàm số lõm trong khoảng: `(solve(y2), infinity));
else
print(`Hàm số lõm trong khoảng: `(-infinity, solve(y2)));
print(`Hàm số lồi trong khoảng: `(solve(y2), infinity));
end if;
print(`Bước 3: Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn`);
print(`Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ `(fsolve(y = 0)));
print(`Đồ thị cắt trục Oy tại điểm `(0,d));
plot(y,x=-5 5,-5 5,axis=[gridlines],title=HamBacBa);
end proc:
6/ Dữ liệu thử nghiệm:
HamBacBa := y= –x
3
– 3x
2
+ 1:
KhaoSatHamBacBa(HamBacBa);
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 18
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
Kết quả thực hiện:
Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm bậc ba y= –x
3
– 3x
2
+ 1
Bài giải:
Bước 1: Tập xác định D = R
Bước 2: Sự biến thiên

a. Chiều biến thiên: y’ = –3x
2
– 6x
Đạo hàm y’ = 0 tại x = (0,2)
Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞, -2) và (0, ∞)
Hàm số đồng biến trong các khoảng (-2,0)
b. Cực trị:
Hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại:
Điểm cực tiểu: (-2, -3)
Điểm cực đại: (0, 1)
c. Giới hạn:

−∞=+−−
−∞→
)13(lim
23
xx
x

∞=+−−
∞→
)13(lim
23
xx
x
Đồ thị không có tiệm cận.
d. Tính lồi, lõm và điểm uốn:
y’’=-6x-6
Điểm uốn: U(-1, -1)
Hàm số lõm trong khoảng: (-∞, -1)

Hàm số lồi trong khoảng: (-1, ∞)
Bước 3: Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn
Đồ thị các trục Ox tại các điểm có hoành độ (-2.879385242, -0.65270366447,
0.5320888862)
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0,1)
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 19
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
Chương V> Kết luận & Hướng phát triển đề tài:
1/ Kết luận :
Maple là một phần mềm tính toán khá phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực
của toán học và một số lĩnh vực khác. Do đó ứng dụng Maple vào tự học, tự nghiên
cứu có thể kiểm tra được kiến thức toán học của mình và tạo ra những tu duy logic
mới về toán học. Ngoài ra phần mềm Maple còn hỗ trợ chúng ta biên soạn những
bài giảng theo giáo trình điện tử một cách sinh động góp phần vào việc đổi mới
phương pháp dạy học hiện nay như:
• Tìm và soạn hệ thống bài tập, đề thi theo ý muốn.
• Kiểm tra các kết quả của các bài toán tính toán để dự đoán các chứng
minh.
• Soạn giáo án, vẽ các đồ thị chính xác.
• .v.v
Trong phạm vi bài tiểu luận này, về mặt lý thuyết, người nghiên cứu đã trình bày
được các bước cơ bản để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 một ẩn số,
và khảo sát hàm số bậc 3. Trong mỗi vấn đề người nghiên cứu đều đưa ra 6 bước
gồm: lý thuyết tổng quát, phân tích yêu cầu, cấu trúc dữ liệu, thuật giải, thủ tục và
dữ liệu thử nghiệm nhằm giúp cho người dùng có cái nhìn trực quan hơn về việc
giải quyết một bài toán trên nền tảng lập trình bằng Maple.
Về mặt cài đặt chương trình minh họa, người nghiên cứu đã áp dụng các lý
thuyết đã nêu ở trên để xây dựng nên chương trình Ứng dụng Maple để giải và biện
luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3. Với cách trình bày rõ
ràng từng đề mục, mỗi vấn đề nghiên cứu đều có phần trên là thủ tục và phần dưới

là dữ liệu thử nghiệm, mỗi vấn đề có thể được thu gọn hay mở rộng bằng chức năng
gom nhóm nội dung có sẵn trong Maple, giúp cho người dùng dễ dàng tập trung vào
một vấn đề cụ thể.
2/ Hướng phát triển đề tài:
Qua bài tiểu luận, chúng ta thấy được tầm quan trọng của việc
sử dụng phần mềm Maple để giải quyết hầu hất các vấn đề về
toán học. Hay nói cách khác Maple không những là một công cụ
toán học mạnh mẽ mà còn là bước đệm vững chắc trong việc giải
quyết các vấn đề của một số lĩnh vực khác. Mặc dù đã cố gắng hết
sức nhưng do thời gian có hạn nên bài tiểu luận chắc chắn sẽ
không tránh khỏi một số khuyết điểm. Rất mong nhận được ý kiến
đóng góp từ phía các thầy cô để các vấn đề nghiên cứu ở trên sẽ
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 20
Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3
được mở rộng hơn nữa, lập luận chặt chẽ hơn nữa nhằm mang lại
giải pháp tối ưu cho vấn đề nghiên cứu.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] PGS.TS Đỗ Văn Nhơn. Bài giảng môn lập trình Symbolic – Trường Đại học
Khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh.
[2] Nguyễn Hữu Điển. Hướng dẫn sử dụng Maple – Khoa toán – Cơ – Tin học –
Trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà Nội.
[3] Ths.S Hồ Xuân Thắng. Một số ứng dụng của Maple vào các bài toán khảo sát
hàm số và tích phân trong dạy học toán ở trung học phổ thông và cao đẳng sư
phạm – Trường Cao đẳng sư phạm Quảng Trị.
[4] Nguyễn Chánh Tú. Sử dụng Maple trong học tập, nghiên cứu và giảng dạy
toán – Khoa toán đại học sư phạm Huế.
[5] Th.S Nguyễn Văn Kiếm. Sử dụng Maple vào hướng dẫn sinh viên tự học học
phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số – Trường Cao đẳng
sư phạm Quảng Trị.
HVTH: Lê Minh Trí (CH1101148) Trang 21