SKKN Kinh nghiệm dạy các dang toán liên quan đến chuyển động của hai kim đồng hồ (trong toán chuyển động đều) ở Tiểu học

Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Phần mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
1. Môn Toán với t cách là một môn học tự nhiên nghiên cứu một số mặt của
thế giới hiện thực, nó chiếm một thời lợng khá lớn trong quá trình học tập của học
sinh. Khả năng giáo dục của môn Toán khá lớn, nó phát triển t duy lô gíc, hình thành
và phát triển các thao tác trí tuệ phân tích, tổng hợp, so sánh, chứng minh, trừu tợng
hóa, khái quát hóa là môn học cần thiết để học tập các môn học khác và đặc biệt
nó đợc áp dụng trong đời sống hàng ngày của con ngời.
2. Xuất phát từ tầm quan trọng của việc dạy học các dạng Toán điển
hình:
dạng toán Chuyển động đều là một dạng toán khó ở trong chơng trình môn Toán ở
Tiểu học Chuyển động đều là dạng toán liên quan đến 3 đại lợng: vận tốc, thời
gian và quảng đờng.
Để giải đợc dạng toán này đòi hỏi học sinh phải huy động tối đa các kiến
thức toán tổng hợp mà mình đã học nhất là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tợng
hóa và khái quát hóa.
3. Xuất phát từ thực trạng dạy và học toán Chuyển động đều ở chơng trình
Tiểu học mà trong đó có dạng chuyển động của hai động tử cùng chiều trên đờng
thẳng và trên vòng tròn. Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ thuộc
các bài toán chuyển động trong vòng tròn. Các bài toán thờng gây khó khăn cho học
sinh bởi việc xác định thời gian và thời điểm, khoảng cách giữa kim giờ và kim phút .
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ liên quan đến ba đại
lợng là một dạng toán khó ở Tiểu học mà loại bài tập này không xuất hiện trong
SGK Toán 5 kể cả tài liệu tham khảo nên khi gặp phải dạng bài tập này đa số giáo
viên cảm thấy khó. Một số giáo viên cha biết cách hớng dẫn cho học sinh để các em
có thể nhanh chóng tìm ra hớng giải quyết. Trong chơng trình Violympic giải toán
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 1 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
qua mạng Internet do BGD&ĐT tổ chức đến vòng thi thứ 18 thì đa số giáo viên gặp

khó khăn trong việc hớng dẫn học sinh giải Các bài toán chuyển động của hai
kim đồng hồ .
Để góp phần nâng cao năng lực giải toán nói chung, năng lực giải Các bài
toán chuyển động của hai kim đồng hồ nói riêng trong môn Toán ở Tiểu học và
góp phần trong việc đổi mới phơng pháp bồi dỡng học sinh năng khiếu trên cơ sở
kiến thức chuẩn theo chơng trình để hình thành và phát triển những kiến thức nâng
cao một cách phù hợp với nhận thức của học sinh. Chúng tôi, những cán bộ quản lý
và giáo viên trờng Tiểu học Quỳnh Thạch xin đợc trao đổi những việc làm đó qua
sáng kiến: Quỳnh Thạch xin đợc trao đổi những việc làm đó qua sáng kiến: Phơng
pháp dạy học Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ lớp 5.
II. Cơ sở thực tiễn:
Qua tìm hiểu chơng trình và sách giáo khoa, qua thực tế giảng dạy và bồi dỡng
học sinh có năng khiếu về môn Toán lớp 5 của trờng Tiểu học Quỳnh Thạch chúng
tôi thấy:
1. Về sách giáo khoa:
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ là một dạng toán thuộc các bài
toán Hai động tử chuyển động cùng chiều nhng chuyển động của kim giờ và kim
phút trên mặt đồng hồ không đợc đa vào giảng dạy trong sách giáo khoa Toán 5 .
2. Về giáo viên :
- Chất lợng của đội ngũ giáo viên ngày càng đợc nâng cao do đợc đào tạo cơ bản
và chất lợng đầu vào đợc chú ý hơn. Do tác động của xã hội nói chung và yêu cầu
của giáo dục ngày nay nói riêng nên đòi hỏi nhà giáo phải vơn lên không ngừng, vì
vậy chất lợng của đội ngũ ngày càng đợc cải thiện rõ nét. Nhng bên cạnh đó vẫn có
một số giáo viên năng lực chuyên môn còn hạn chế.
- Một số giáo viên còn xem nhẹ việc phát hiện và bồi dỡng học sinh giỏi. Không
ít giáo viên trong các nhà trờng nói chung và trong trờng Tiểu học nói riêng còn có
suy nghĩ rằng việc phát hiện và bồi dỡng học sinh giỏi là công việc của cán bộ quản
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 2 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ

lý và một vài giáo viên mà quên đi đó là trách nhiệm của tất cả mọi giáo viên, của tất
cả mọi ngời chứ không phải của riêng ai.
- Vẫn còn không ít giáo viên thiếu sự nghiên cứu, sáng tạo trong hoạt động dạy
học, còn hạn chế trong việc tổ chức các phơng pháp dạy học mới, thiếu sự linh hoạt
trong việc kế thừa kiến thức cũ để dạy kiến thức mới hay đ a lạ về quen .
Qua thực tế bồi dỡng học sinh giỏi, học sinh có năng khiếu về môn. Toán thì
đa số giáo viên còn lúng túng khi hớng dẫn học sinh giải dạng này. Các bớc giả trong
tài liệu tham khảo còn cha cụ thể, quá dài nên khi giáo viên tham khảo để hớng dẫn
học sinh còn gây sự khó hiểu cho các em; một số giáo viên còn không hiểu bản chất
của bài toán.
3. Về thực tế cuộc sống:
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ là những bài toán thực tế mà
chúng ta gặp trong cuộc sống hàng ngày. Những bài toán đó hiện nay vẫn còn xa lạ
với nhiều ngời nh:
Hoa học bài lúc 7 giờ tối. Đến lúc Hoa học xong thì đã 9 giờ. Hỏi trong
thời
gian đó kim phút và kim giờ gặp nhau bao nhiêu lần ?
Những bài toán nh thế nếu biết đợc phơng pháp giải thì không khó nhng
quả thực hiện nay còn quá khó đối với học sinh.
4. Về học sinh :
- ở Tiểu học, một bộ phận các em còn thụ động, chủ yếu là nghe giảng, ghi nhớ
và làm theo bài mẫu. Chính vì vậy mà kiến thức của các em còn mang tính hời hợt,
nhớ không lâu, thiếu sự linh hoạt, sáng tạo và khả năng phân tích của các em còn hạn
chế. Từ những bài toán quen thuộc mà các em đã học ít khi đợc các em vận dụng để
giải quyết các bài toán lạ thuộc dạng đ a lạ về quen .
- Đối với các bài toán Chuyển động đều liên quan đến 3 đại lợng gây không ít
khó khăn cho một số đông học sinh vì đây là dạng toán khó trong chơng trình Tiểu
học. Đặc biệt, đối với dạng toán chuyển động cùng chiều liên quan đến hai kim
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 3 -

Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
trên mặt đồng hồ quả thực là khó đối với học sinh vì chuyển động của chúng là
chuyển động trên vòng tròn nên các em khó xác định đợc vị trí và quy luật của hai
kim đồng hồ là kim phút và kim giờ. Các em còn khó xác định đâu là thời gian, đâu
là thời điểm. Khả năng tởng tợng của các em còn hạn chế nên việc tìm ra khoảng
cách giữa hai kim trong một thời điểm còn mơ hồ.
Mặc dù trong chơng trình và sách giáo khoa Toán 5 không có bài tập nào liên
quan đến chuyển động của hai kim đồng hồ nhng để phát triển và nâng cao trí tuệ
cho học sinh nhất là những học sinh có năng khiếu về môn Toán thì nhiệm vụ của
ngời giáo viên bồi dỡng là phải biết phát huy hết khả năng tiềm ẩn của các em.
III. Đề xuất phơng pháp giải Các bài toán chuyển động
của hai kim đồng hồ
Trên cơ sở kiến thức đã học trong sách giáo khoa Toán 5, chúng tôi đã hình
thành đa các bài toán lạ trở về các bài toán điển hình quen thuộc, với phơng pháp:
- Xây dựng trên nền kiến thức cũ.
- Biến đổi dạng lạ thành quen.
- Dựa vào kiến thức đơn giản để hình thành kiến thức nâng cao.
- Hình thành cho các em kỹ năng giải toán thông qua các bớc giải toán.
Dạng 1:
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ Chập
nhau (trùng nhau)
Ví dụ 1:
Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/giờ. Sau 3 giờ một xe máy
cũng đi từ A đến B với vận tốc 36km/giờ. Hỏi kể từ lúc xe máy bắt đầu đi, sau bao
lâu xe máy đuổi kịp xe đạp ?
( SGK Toán 5 Trang 146 )
Đây là bài toán thuộc dạng toán Hai động tử chuyển động cùng chiều với
vận tốc V1, V2 (V2 > V1) trên một quảng đờng để đuổi kịp nhau thì :
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 4 -

Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Thời gian đuổi kịp nhau (t) = Khoảng cách ban đầu : Hiệu vận tốc (V2
V1)
Trong ví dụ trên ta có thể giải nh sau :
Bài giải Quy ớc Nhận xét
- Quảng đờng xe đạp đi trớc xe
máy trong 3 giờ là :
12 x 3 = ( 36 km )
- Trung bình mỗi giờ xe máy gần
xe đạp là :
36 12 = 24 ( km )
- Thời gian để xe máy đuổi kịp
xe đạp là :
36 : 24 = 1,5 ( giờ ) = 1 giờ
30 phút
- Quảng đờng đi tr-
ớc .
- Hiệu vận tốc .
- Thời gian đuổi kịp
nhau .
* Khoảng cách ban đầu.
* Hiệu vận tốc
*Dạng toán Hai hiệu
số
Vận dụng vào bài toán đơn giản đó, chúng tôi đã khai thác để dạy học sinh áp
dụng để giải Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ khá xa lạ đối với
học sinh và một bộ phận giáo viên. Khi gặp Các bài toán chuyển động của hai
kim đồng hồ, các em không biết phân tích vì khó hình dung ra vị trí của hai kim
trên mặt đồng hồ và quá trình chuyển động của chúng.
Để khắc phục điều này, Sau khi học xong bài toán thông thờng nói trên chúng

tôi đã đa ra Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
và thực hiện qui trình dạy nh sau :
Bài toán 1:
Bây giờ là 3 giờ. Hỏi ít nhất sau bao lâu, hai kim đồng hồ sẽ chập nhau ?
Trớc hết chúng tôi quy ớc cho học sinh:
1. Ta chọn mặt đồng hồ là một vòng thì vận tốc của kim phút là 1vòng/giờ,
vận tốc của kim giờ là 1/12 vòng/giờ.
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 5 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
2. Nếu ta chia mặt đồng hồ thành 60 đoạn thẳng thì vận tốc kim phút là 60
đoạn thẳng /giờ, vận tốc của kim giờ là 5 đoạn /giờ.
3. Nếu chia mặt đồng hồ thành 12 vạch thì vận tốc kim phút là 12vạch/giờ,
kim giờ là 1vạch/giờ.
Trong quá trình dạy chúng tôi đã chọn trờng hợp thứ 2.
Các bớc tiến hành :
- Giải lại ví dụ trong sách giáo khoa.
- Tiến hành giải.
- So sánh sự giống nhau giữa hai bài toán để rút ra phơng pháp giải.
Phân tích
Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3 nên khoảng cách giữa kim phút
và kim giờ là 5 x 3 = 15 (đoạn thẳng ).
Khi kim phút đuổi kịp kim giờ thì hai kim đồng hồ chập khít lên nhau. Đến lúc
đó, kim phút đã đi nhiu hơn kim giờ một đoạn đờng đúng bằng khoảng cách giữa
hai kim đồng hồ lúc 3 giờ đúng, nghĩa là bằng 15 đoạn thẳng.
Mà cứ mỗi giờ kim phút đi đợc một vòng quay (60 đoạn thẳng) còn kim giờ
chỉ đi đợc
12
1
vòng quay (5 đoạn thẳng ) nên trong một giờ kim phút đi nhanh hơn

kim giờ là: 60 5 = 55 (đoạn thẳng).
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 6 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Nh vậy đây là bài toán Hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi nhau
thuộc dạng toán Hai hiệu số . Bài toán đó đợc giải nh sau:
Kết luận 1:
Qua việc đối chiếu cách giải hai bài toán trên, học sinh đã biết cách giải bài
toán khi bài toán cho trớc thời điểm và yêu cầu tìm thời gian chập ( trùng khít )
lên nhau bằng cách lấy:
Khoảng cách giữa hai kim (tại thời điểm đó) chia cho hiệu vận tốc của hai
kim
Tại những thời điểm hai kim trùng khít lên nhau. Vì kim phút chuyển động nhanh
hơn kim giờ (V2 > V1) nên trong vòng quay thứ nhất chúng không thể gặp nhau
trên vòng chuyển động. Vậy khoảng cách giữa hai kim đợc tính nh thế nào? Để h-
ớng dẫn loại bài toán này chúng tôi thực hiện nh sau :
Bài toán 2:
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 7 -
Ví dụ Bài toán 1 So sánh
Quảng đờng xe đạp đi trớc
xe máy trong 3 giờ là:
12 x 3 = ( 36 km )
- Trung bình mỗi giờ xe máy
gần xe đạp là :
36 12 = 24 ( km )
- Thời gian để xe máy đuổi
kịp xe đạp là :
36 : 24 = 1,5 ( giờ ) = 1 giờ
30 phút

- Khoảng cách giữa kim giờ và
kim phút là :
5 x 3 = 15 (đoạn thẳng )
- Mỗi giờ kim phút đi nhanh hơn
kim giờ là :
60 5 = 55 (đoạn thẳng)
- Kể từ lúc 3 giờ, thời gian để
kim phút đuổi kịp kim giờ là:
15 : 55 =
11
3
(giờ)
hay 16
11
4
phút
Quảng đờng
(khoảng cách
ban đầu) đi tr-
ớc .
- Hiệu vận tốc
Thời gian đuổi
kịp nhau.
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Bây giờ là 12 giờ, ít nhất sau bao lâu hai kim đồng hồ sẽ chập nhau ?
Phân tích
Lúc 12 giờ, hai kim đồng hồ cùng chỉ vào số 12. Vì kim phút đi nhanh hơn kim
giờ nên kim phút đi hết một vòng (60 phút) mà hai kim vẫn cha gặp nhau.
Các bớc Bài giải Nhân xét
Bớc 1

Bớc 2
Bớc 3
- Lúc 12 giờ , hai kim đồng hồ cùng chỉ vào
số 12 . Vì kim phút đi nhanh hơn kim giờ nên
kim phút đi hết một vòng (60 phút ) mà hai
kim vẫn cha gặp nhau
- Đến 1 giờ kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ
số 1. Khoảng cách lúc này giữa hai kim là 5
đoạn thẳng. Tổng số đoạn thẳng giữa kim
phút và kim giờ là :
60 + 5 = 65 ( đoạn thẳng )
- Hiệu vận tốc giữa hai kim là :
60 5 = 55 ( đoạn thẳng /giờ )
- Thời gian để hai kim chập nhau là :
65 : 55 =
55
65
(giờ) = 1
11
1
giờ
Đáp số : 1
11
1
giờ
- Quảng đờng đi trớc.
- Hiệu vận tốc.
- Thời gian đuổi kịp
nhau.
Nhận xét :

Qua bài toán trên ta thấy :
- Nếu tính tại một thời điểm nhất định khi hai kim đang trùng nhau thì thời
gian để hai kim trùng nhau (chập khít) lần thứ 2 sẽ mất một khoảng thời gian là 1
11
1

giờ.
Từ nhận xét đó chúng tôi hớng dẫn học sinh giải bài toán 3.
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 8 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Bài toán 3: Trong một ngày, hai kim đồng hồ gặp nhau bao nhiêu lần và vào
những thời điểm nào trong ngày?
Giải:
Nếu tính từ 0 giờ là lúc hai kim chập nhau và hai kim cùng chỉ vào số 12 nên
sau 1
11
1
giờ thì hai kim lại chập nhau ( xem bài trên )
Một ngày có 24 giờ nên số lần hai kim chập nhau là :
24 : 1
11
1
giờ = 22 (lần); Vào các thời điểm:
Lần thứ nhất vào lúc : 1
11
1
giờ .
Lần thứ hai vào lúc : 1
11

1
+ 1
11
1
= 2
11
2
( giờ )
Lần thứ ba vào lúc : 2
11
2
+ 1
11
1
= 3
11
3
( giờ )
.
Lần thứ 21 vào lúc : 21
11
9
+ 1
11
1
= 22
11
10
( giờ )
Lần thứ 22 vào lúc : 22

11
10
+ 1
11
1
= 24 ( giờ )
Đến đây học sinh đã có thể dễ dàng tìm đợc đáp số của bài toán Hoa học
bài lúc 7 giờ tối. Đến lúc Hoa học xong thì đã 9 giờ. Hỏi trong thời gian đó kim
phút và kim giờ gặp nhau bao nhiêu lần ?
Ví dụ 2 : Một xe máy đi từ A lúc 8 giờ 37 phút với vận tốc 36km/giờ. Đến 11 giờ 7
phút một ô tô cũng từ A đuổi theo xe máy với vận tốc 54 km/ giờ. Hỏi ô tô đuổi kịp
xe máy lúc mấy giờ ?
( SGK Toán 5 Trang 146 )
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 9 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Chúng tôi tiếp tục quy trình dạy học nh bài toán 1.
Bài toán 4:
Bây giờ là 2 giờ 43phút (3giờ kém 17 phút). Hỏi lúc nào hai kim đồng hồ sẽ
chập nhau?
Phân tích:
ở 3 bài toán trên, thời điểm cho trớc là giờ đúng, còn ở bài toán này thời điểm
cho trớc là giờ kém. Vậy xác định khoảng cách ban đầu của hai kim là bao nhiêu?
- Lúc 2 giờ 43 phút (3 giờ kém 17 phút) thì kim phút còn cách số 12 (lúc 3 giờ
đúng) là 17 phút.
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 10 -
Bài giải Quy ớc Nhận xét
- Thời gian xe ô tô đi sau xe
máy là :

11giờ 7 phút 8 giờ 37 phút =
2 giờ 30 phút = 2,5 giờ
- Quảng đờng xe máy trớc khi
xe máy trong 3 giờ là :
36 x 2,5 = ( 90 km )
- Trung bình mỗi giờ ô tô gần
xe máy là :
54 36 = 18 ( km )
- Thời gian đi để xe máy đuổi
kịp xe đạp là :
90 : 18 = 5 ( giờ )
- Ô tô đuổi kịp xe máy lúc:
11 giờ 7 phút + 5 giờ = 16 giờ 7
phút
Đáp số : 16 giờ 7 phút
- Quảng đờng đi trớc .
- Hiệu vận tốc .
- Thời gian đuổi kịp
nhau.
- Thời điểm đuổi kịp
nhau.
* Khoảng cách ban
đầu.
* Hiệu vận tốc
* Dạng toán Hai
hiệu số
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
- Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3 nên khoảng cách giữa kim phút
và kim giờ là 5 x 3 = 15 (đoạn thẳng ).
- Khi kim phút đuổi kịp kim giờ thì hai kim đồng hồ chập khít lên nhau. Đến lúc

đó, kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ một quảng đờng đúng bằng khoảng cách giữa
hai kim đồng hồ lúc 3 giờ kém 17 phút đến 3 giờ đúng và từ 3 giờ đúng đến lúc kim
phút chập khít lên kim giờ. Nh vậy thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ sẽ bằng
thời gian từ lúc 2 giờ 43 phút (3 giờ kém 17 phút) đến 3 giờ đúng cộng với thời gian
mà kim phút đuổi kịp kim giờ bắt đầu từ 3 giờ đúng.
(cách phân tích còn lại giống nh bài toán 1)
Ví dụ Bài toán 1 So sánh
- Thời gian xe ô tô đi sau xe
máy là :
11giờ 7 phút 8 giờ 37 phút
= 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ
- Quảng đờng xe máy trớc
khi xe máy trong 3 giờ là :
36 x 2,5 = ( 90 km )
- Trung bình mỗi giờ ô tô gần
xe máy là :
54 36 = 18 ( km )
- Thời gian đi để xe máy đuổi
kịp xe đạp là :
90 : 18 = 5 ( giờ )
- Ô tô đuổi kịp xe máy lúc
11 giờ 7 phút + 5giờ = 16 giờ
7 phút
- Thời gian tính từ lúc 2 giờ 43
phút (3 giờ kém 17phút) đến 3giờ
là 17phút.
- Lúc 3 giờ đúng thì khoảng cách
giữa kim giờ và kim phút là :
5 x 3 = 15 (đoạn thẳng )
- Mỗi giờ kim phút đi nhanh hơn

kim giờ là :
60 5 = 55 ( đoạn thẳng )
- Kể từ lúc 3 giờ thì thời gian để
kim phút đuổi kịp kim giờ là:
15 : 55 =
11
3
(giờ ) hay 16
11
4
phút
- Thời điểm hai kim trùng nhau
là:
3giờ + 16
11
4
phút = 3giờ 16
11
4

Quảng đờng
(khoảng cách)
đi trớc .
- Hiệu vận tốc
-Thời gian đuổi
kịp nhau .
- Thời điểm
gặp nhau (đuổi
kịp nhau)
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch

- 11 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
phút
Kết luận 2:
Qua việc đối chiếu cách giải các bài toán trên, học sinh đã biết cách giải bài
toán khi bài toán cho trớc thời điểm và yêu cầu tìm thời điểm chập (trùng khít) lên
nhau bằng cách lấy:
Thời điểm lúc đầu + Thời gian đuổi kịp nhau (chập nhau )
* Để xác định thời gian hai kim đuổi kịp nhau đối với bài toán khi thời điểm cho
trớc là giờ hơn hoặc giờ kém thì ta đ a về giả thiết: tại thời điểm đó hai kim
đang chỉ giờ đúng, để xác định khoảng cách giữa hai kim một cách chính xác rồi
sau đó tìm thời gian hai kim đuổi kịp nhau bắt đầu từ giờ đúng đó.
* Các bớc giải.
Các bớc Nội dung Diễn giải Ghi chú
Bớc1 Giả thiết giờ đúng Thời điểm lúc đầu là a giò
hơn (kém) b phút thì ta đa
về a giờ đúng.
Bớc 2 Tìm khoảng cách giữa hai
kim đồng hồ
Khoảng cách giữa hai kim
lúc đó là khoảng cách mà
kim phút chỉ số 12 và kim
giờ chỉ số a.
Bớc 3 Tìm thời gian để hai kim
đuổi kịp nhau bắt đầu từ
lúc a giờ đúng.
Khoảng cách giữa hai kim
chia cho hiệu vận tốc hai
kim.
Bớc 4 Tìm thời điểm để hai kim

đuổi kịp nhau
Thời điểm a (giờ đúng)
cộng với thời gian đuổi kịp
nhau

Dạng II:
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 12 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ : vuông
góc; thẳng hàng với nhau.
Khi hai kim chuyển động trên mặt đồng hồ, giữa hai kim sẽ tạo ra các góc
khác nhau. Khoảng cách đi tr ớc đợc tính nh thế nào khi giữa kim phút và kim
giờ tạo ra các góc đó? Thời gian ngắn nhất tại một thời điểm cho trớc để đến lúc
chúng tạo ra các góc là bao nhiêu? Chúng tôi đã hớng dẫn học sinh giải các bài tập
loại này thông qua các trờng hợp đặc biệt khi hai kim tạo ra góc vuông, góc bẹt
(thẳng hàng) mà các em đợc học ở chơng trình Tiểu học.
Bài toán 5:
Bây giờ là 12 giờ tra. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu phút nữa thì hai kim sẽ vuông
góc với nhau ?
Các bớc Phân tích và giải Nhận xét quy trình giải
Bớc 1
Bớc 2
Bớc 3
- Lúc 12 giờ , hai kim đồng hồ chập khít
lên nhau và cùng chỉ số 12
- Để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau
thì kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ 15
đoạn thẳng.
- Thời gian ngắn nhất để hai kim vuông

góc với nhau là :
15 : ( 60 - 5 ) =
11
3
(giờ)
Đáp số :
11
3
giờ
- Chuyển động chập nhau
0 : ( 60 55 ) = 0 ( giờ )
- Chuyển động vuông góc
15 : ( 60 - 5 ) =
11
3
(giờ )
- Tổng thời gian của hai
chuyển động .
0 +
11
3
=
11
3
( giờ )
Bài toán 6:
Trong một ngày thì có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ vuông góc với nhau ?
Bài giải :
Các bớc Phân tích và giải Nhận xét quy trình
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch

- 13 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
giải
Bớc 1
Bớc 2
Bớc 3
- Lúc 3 giờ thì hai kim vuông góc với nhau
(kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 3 ). Để dễ
tính , ta tính 24 giờ từ 3 giờ sáng hôm nay đến
3 giờ sáng hôm sau.
- Lúc 3 giờ sáng, kim phút ở sau kim giờ 15
đoạn thẳng, sau đó kim phút đuổi kịp kim giờ.
- Hai kim muốn vuông góc thì kim phút phải đi
nhiều hơn kim giờ 15 đoạn thẳng nữa.
Nh vậy, lúc 3 giờ đến khi hai kim vuông góc
lần thứ nhất thì kim phút đã đi nhiều hơn kim
giờ là
15 + 15 = 30 ( đoạn thẳng )
Vị trí của kim phút lúc đó ở trớc kim giờ 15
đoạn thẳng. Nếu kim phút lại đi hơn kim giờ 30
đoạn thẳng nữa thì kim phút đã đi hơn kim giờ
45 đoạn thẳng (30 + 15 = 45 ) thành ra kim
phút lại đi sau kim giờ 15 đoạn thẳng nhỏ (60 -
45 = 15) và hai kim lại vuông góc với nhau.
- Thời gian lần thứ hai (kể từ lần đầu lúc 3 giờ)
hai kim vuông góc với nhau là:
30 : ( 60 5 ) =
11
6
( giờ )

- Số lần để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau
trong một ngày là :
24 :
11
6
= 44 ( lần )
Đáp số: 44 lần
- Chuyển động chập
nhau:
15 : (60 5) =
11
3
(giờ)
- Chuyển động vuông
góc .
15: (60 5) =
11
3

(giờ)
- Tổng thời gian của
hai chuyển động .
11
3
+
11
3
=
11
6

(giờ )
- Số lần để hai kim
đồng hồ vuông góc
với nhau trong một
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 14 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
ngày là :
24 :
11
6
= 44 (lần)
Bài toán 7: Bây giờ là 3 giờ. Hỏi thời gian ngắn nhất để hai kim đồng hồ thẳng
hàng với nhau là bao nhiêu ?
Giải:
Các bớc Phân tích và giải Nhận xét quy trình giải
- Bớc 1
- Bớc 2
- Bớc 3
- Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ
số 3. Kim phút cách kim giờ 15 đoạn
thẳng.
Sau đó kim phút đuổi kịp kim giờ (trùng
với kim giờ ) .
- Từ lúc đuổi kịp kim giờ, muốn hai kim
thẳng hàng với nhau thì kim phút phải đi v-
ợt kim giờ 30 đoạn thẳng nữa .
Nh vậy , kể từ lúc 3 giờ , tới lúc hai kim
thẳng hàng với nhau thì kim phút phải đi
nhiều hơn kim giờ số đoạn thẳng là :

15 + 30 = 45 ( đoạn thẳng )
- Từ lúc 3 giờ , thời gian ngắn nhất để hai
kim thẳng hàng với nhau là :
45 : ( 60 5 ) =
11
9
(giờ )
Đáp số :
11
9
(giờ )
- Chuyển động chập
nhau.
15 : ( 60 5 ) =
11
3

(giờ )
- Chuyển động thẳng
hàng
30 : (60 55 ) =
11
6

(giờ)
- Tổng thời gian cả hai
chuyển động .

11
3

+
11
6
=
11
9
( giờ )
Bài toán 8:
Trong một ngày có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau ?
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 15 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Giải:
Các bớc Phân tích và giải Nhận xét quy trình
giải
- Bớc 1
- Bớc 2
- Bớc 3
- Ta thấy, lúc 6 giờ sáng hai kim đồng hồ thẳng
hàng với nhau. Để dễ tính, ta tính một ngày (24
giờ) bằng cách tính 6 giờ sáng hôm nay đến 6
giờ sáng hôm sau.
Lúc 6 giờ, kim phút cách kim giờ 30 đoạn
thẳng. Khi đuổi kịp kim giờ thì kim phút đã đi
nhiều hơn kim giờ 30 đoạn thẳng .
- Đến khi hai kim thẳng hàng với nhau thì kim
phút lại đi hơn kim giờ 30 đoạn thẳng nữa. Nh
vậy từ lúc 6 giờ (hai kim thẳng hàng lần thứ
nhất) đến khi hai kim thẳng
hàng lần thứ hai thì kim phút đi nhiều hơn kim

giờ số đoạn thẳng là :
30 + 30 = 60 (đoạn thẳng)
Thời gian để hai kim thẳng hàng lần thứ nhất
đến thẳng hàng lần thứ hai là :
60 : ( 60 5 ) =
11
12
(giờ )
Số lần để hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau
trong một ngày là :
24 :
11
12
= 22 ( lần )
Đáp số : 22 lần
- Chuyển động chập
nhau.
30 : ( 60 -5 ) =
11
6

( giờ )
- Chuyển động thẳng
hàng
30 : ( 60 5 ) =
11
6

(giờ)
- Tổng thời gian của

hai chuyển động .
11
6
+
11
6
=
11
12
(giờ )
- Số lần để hai kim
đồng hồ thẳng hàng
với nhau trong một
ngày là :
24 :
11
12
= 22 ( lần )
Kết luận :
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 16 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Đối với Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ khi mà hai kim tạo
thành góc vuông hoặc thẳng hàng chúng tôi đã hớng dẫn học sinh giải theo ba bớc cơ
bản sau:
Bớc 1: Tìm thời gian hai kim gặp nhau ( chập nhau ) .
Bớc 2: Tìm thời gian hai kim tạo thành góc vuông hoặc thẳng hàng với
nhau khi chúng cùng chung một điểm xuất phát.
Bớc 3: Tìm thời gian hoặc thời điểm của hai chuyển động trên.
* Chú ý: Trờng hợp khi thời điểm cho trớc là giờ hơn hoặc giờ kém thì ta đ a về

giả thiết: tại thời điểm đó hai kim đang chỉ giờ đúng, để xác định khoảng cách giữa
hai kim một cách chính xác và sau đó tìm thời gian hai kim đuổi kịp nhau bắt đầu từ
giờ đúng đó.
Dạng iii:
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ: hai kim
đổi chỗ cho nhau
Bài toán 9:
Buổi chiều, An ngồi làm một bài văn lúc hơn 3 giờ 20 phút một chút. Khi
An làm xong bài văn thì thấy cũng là lúc hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau . Hỏi
An làm bài văn đó hết bao nhiêu phút ?
Phân tích và giải:
Khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau thì kim phút đã đi đợc một quảng từ vị
trí trên số 4 một chút đến vị trí kim giờ lúc bắt đầu làm bài là trên số 3 một chút. Còn
kim giờ di chuyển từ vị trí ban đầu (hơn 3 giờ 20 phút một chút) đến vị trí kim phút.
Nh vậy tổng quảng đờng đi của hai kim đồng hồ vừa tròn một vòng đồng hồ nghĩa là
bằng 60 đoạn thẳng.
Trong một giờ, kim phút đi đợc một vòng đồng hồ nên vận tốc của kim phút là
60 đoạn thẳng nhỏ, còn kim giờ đi đợc từ số này đến số liền sau nên vận tốc kim giờ
là 5 đoạn thẳng. Nh vậy, tỷ số vận tốc giữa kim phút và kim giờ là 12 lần (60 : 5 = 12
lần)
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 17 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Ta có sơ đồ:
Kim giờ 60 đoạn thẳng

Tổng số phần bằng nhau là :
1 + 12 = 13 (phần )
Quảng đờng kim phút đi bằng số đoạn thẳng là:
60 : 13 x 12 = 55

13
5
( đoạn thẳng )
Mà kim phút di chuyển đợc một khoảng nhỏ tức là đi hết 1 phút. Vậy kim phút đã di
chuyển chỗ trong 55
13
5
phút. Tức là An làm bài văn hết 55
13
5
phút .
Đáp số : 55
13
5
phút
Kết luận:
Trờng hợp bài toán mà hai kim đổi chỗ cho nhau chúng tôi đã hớng dẫn học sinh đa
về dạng Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó
- Tổng quảng đờng đi đợc của hai kim bằng 60 đoạn thẳng .
- Tỷ số là tỷ số vận tốc di chuyển trên mặt đồng hồ của hai kim bằng
12
1
- Hai số là thời gian chuyển động của hai kim đến khi đổi chỗ cho nhau.
III. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm .
Với mục đích là nâng cao năng lực giải toán ở tiểu học nói chung và dạng toán
chuyển động cùng chiều thuộc Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
nói riêng cho giáo viên và học sinh trong nhà trờng. Thực hiện đổi mới phơng pháp
dạy học và bồi dỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu về môn toán chúng tôi đã
thực hiện trên hai đối tợng:
- Đối với giáo viên: Nhà trờng đã tổ chức chuyên đề bồi dỡng học sinh

Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 18 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
giỏi cho tất cả giáo viên trực tiếp đứng lớp. Sau khi giáo viên đợc bồi dỡng về kiến
thức và phơng pháp , chúng tôi tổ chức các tiết dạy thể nghiệm trên đối tợng là học
sinh lớp 5 và tổ chức hội thảo rút kinh nghiệm. Qua hội thảo, năng lực, khả năng của
giáo viên đợc nâng lên. Đa số giáo viên đã biết và có thể phát huy đợc khả năng của
mình trong việc đổi mới phơng pháp bồi dỡng học sinh năng khiếu về môn toán. Các
tổ chuyên môn đã đề xuất cách dạy Các bài toán chuyển động của hai kim đồng
hồ đợc xây dựng trên nền của kiến thức Tìm một phần mấy của một số đã học
ở lớp 3 để dạy ở lớp 4 và lớp 5 .Khai thác các bài toán về tỷ số phần trăm trong SGK
toán 5 để dạy các bài toán tỷ số phần trăm trong chơng trình kiến thức nâng cao vv
Việc dạy học môn Toán trong trờng ngày càng có chiều sâu và tính hiệu quả.
- Đối với học sinh:
Với phơng pháp dạy học xây dựng trên nền kiến thức cũ trong các buổi học
BDHSG, các em học sinh lớp 5 đợc học kiến nâng cao trở nên nhẹ nhàng hơn, dễ tiếp
thu hơn từ đó tạo đợc động lực học tập các môn học nói chung và môn Toán nói
riêng.
Giờ đây, Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ trở nên quen
thuộc. Nó không còn là một loại toán khó trong chơng trình toán lớp 5 bởi nó đợc
vận dụng từ kiến thức chuẩn của môn Toán để giải.
III. Kết luận.
1. Phơng pháp dạy học Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
môn Toán lớp 5 đợc thiết kế trên cơ sở các bài toán trong sách giáo khoaTtoán 5 đã
thật sự thành công không chỉ đối với học sinh mà nó còn có ý nghĩa thiết thực đối với
giáo viên, đối với hoạt động chuyên môn của nhà trờng.
- Giáo viên đã cảm thấy tự tin hơn khi xây dựng kiến thức mới trên nền kiến
thức cũ và vốn thực tế mà trớc đây còn có một số giáo viên còn dè dặt cha mạnh dạn,
vẫn tuân thủ sách thiết kế hoặc các tài liệu tham khảo.
- Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ giờ đây không phải

Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 19 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
là những bài toán khó đối với giáo viên và cả học sinh. Đặc biệt, nó đã thúc đẩy
phong trào tự nghiên cứu đổi mới phơng pháp dạy học nói chung và phơng pháp bồi
dỡng học sinh có năng khiếu về môn Toán trong toàn trờng.
Nh chúng tôi đã đề cập đến ở trên, không những phơng pháp dạy học Các bài
toán chuyển động của hai kim đồng hồ mà ph ơng pháp giải các bài toán phần
trăm ở môn Toán lớp 5, ph ơng pháp dạy tỷ số ở môn Toán 3 đợc thiết kế trên
cơ sở các bài toán trong sách giáo khoa vv đã thúc đẩy phong trào dạy học ở tr-
ờng chúng tôi. Tuy nhiên, hiện nay chất lợng của trờng còn cha đợc nh mong muốn
nhng chúng tôi tin tởng rằng trong thời gian không xa, chất lợng của trờng Tiểu học
Quỳnh Thạch sẽ đợc ghi nhận.
3. Qua việc nghiên cứu , triển khai và áp dụng phơng pháp dạy học Các bài
toán chuyển động của hai kim đồng hồ môn Toán lớp 5 chúng tôi thấy:
Một là: Quản lý nhà trờng phải phối hợp chặt chẽ với tổ chuyên môn và giáo
viên bồi dỡng để lập kế hoạch chỉ đạo công tác bồi dỡng đồng thời phải nắm vững
nội dung chơng trình bồi dỡng để có thể xây dựng, kểm tra đánh giá, giúp đỡ và h-
ớng dẫn giáo viên khi cần thiết.
Hai là: Phải biết tạo động lực thúc đẩy tinh thần tự học, tự nghiên cứu của giáo
viên. Tạo nên sự hứng thú để giáo viên xem đây là một niềm vui trong học tập
nghiên cứu. Tạo đợc lòng tin vào chính mình, khả năng của chính mỗi giáo viên để
có thể phát huy đợc khả năng tiềm ẩn trong họ, thổi lên ngọn lửa đam mê nghiên
cứu trong mỗi giáo viên.
Ba là: Kiến thức là không giới hạn, phơng pháp dạy học là nghệ thuật vì vậy
chúng ta cần biết lựa chọn và vận dụng kiến thức và phơng pháp phù hợp, linh hoạt ,
sáng tạo để đạt đợc mục đích dạy học. Chúng tôi xin đợc nhắc lại câu nói của ông
cha Ng ời khôn ngoan là ngời biết chọn con đờng ngắn nhất để đi tới đích
Quỳnh Thạch, ngày 18 tháng 4 năm 2009
Nhóm tác giả:

Hồ Trung Lợi
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 20 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Lê Thị Kim
Tạ Thị Thơng
Đặng Thị Văn
Võ Thị Hoa
Hoàng Thị Mai
Trần Thị Mai
Phan Thị Thanh Thục



Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 21 -