Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác.

Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
A.PHẦN MỞ ĐẦU
I.Tên đề tài: Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác.
II. Lý do chọn đề tài:
Môn Đại số và giải tích 11 gồm nhiều nội dung. Trong đó, lượng giác là
một nội dung quan trọng đối với học sinh.
Lượng giác là môn học mà đa số học sinh cho rằng khó . Bởi vì kiến thức
tương đối nhiều cả công thức lẫn bài tập. Một bài toán có thể vận dụng rất
nhiều công thức khác nhau và có thể giải theo nhiều cách khác nhau. Việc kết
hợp nghiệm cũng là một vấn đề không đơn giản đối với các em. Do đó việc mắc
sai lầm là điều đương nhiên sẽ xảy ra đối với các em.
Là giáo viên giảng dạy , ai cũng mong muốn học sinh của mình học thật
tốt , có nhiều lời giải hay, phong phú, chính xác.Tuy nhiên,điều đó chỉ đạt được
đối với một số ít học sinh, còn phần đông các em còn mắc phải một số sai lầm
khi giải toán. Giúp các em nhận thấy sai lầm và kòp thời sửa chữa là một việc
làm hết sức cần thiết,từ đó các em nhớ lâu hơn cách giải cũng như công thức để
lần sau né tránh những sai lầm trên.
III. Nhiệm vụ của đề tài:
Trong chương trình môn toán lớp 11, lượng giác có một vò trí rất quan
trọng. Lượng giác có rất nhiều công thức, một bài toán lại có nhiều cách giải
khác nhau, mỗi một cách giải lại vận dụng nhiều công thức , việc lẫn lộn các
công thức là điều không thể tránh khỏi. Giúp các em nhận ra sai lầm, nguyên
nhân sai lầm là một việc làm hết sức cần thiết.Thấy được sai lầm các em sẽ có
hướng khắc phục từ đó nhớ lâu hơn cách giải cũng như công thức để lần sau né
tránh những sai lầm trên.
Giải được tốt các bài toán giúp các em hứng thú trong học tập, tự mình
tìm tòi ra những cách giải không những đúng mà còn rất hay.
Khi giải toán nói chung và giải toán lượng giác nói riêng, học sinh phải
biết tập trung vào cái bản chất của bài toán, gạt bỏ những cái thứ yếu, biết xâu
chuỗi những cái đã cho và cái câøn tìm từ đó phân tích để tìm ra mối liên hệ giữa
các công thức, chọn ra công thức thích hợp,nhờ đó phát huy tính sáng tạo và tạo

thói quen làm việc một cách khoa học cho học sinh.
Rèn luyện tính kiên trì, tự lực vượt khó, cẩn thận, chu đáo.Tập cho học
sinh thói quen lập luận chặc chẽ, chính xác khi giải toán.
IV. Giới hạn của đề tài:
Lượng giác không những được học ở lớp 11 mà cả ở lớp 10 và lớp 12 các
em cũng gặp rất nhiều bài toán lượng giác như tính giá trò lượng giác của một
Võ Thò Thuỳ Trang 1
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
góc,tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của một hàm số lượng giác, tính đạo
hàm của một hàm số lượng giác
Trong đề tài này tôi chỉ giới hạn trong việc chỉ ra sai lầm thường gặp của
học sinh và sửa sai lầm khi giải toán lượng giác lớp 11.
V. Phương pháp nghiên cứu:
-Phương pháp quan sát.
- Phương pháp khảo sát thực tế.
B. PHẦN NỘI DUNG
I.Cơ sở lý luận:
Trong quá trình giải toán nói chung và giải toán lượng giác nói riêng, giáo
viên không bắt buộc học sinh giải theo một cách nhất đònh mà phải phát huy tính
chủ động , sáng tạo của học sinh.Các em giải theo phương pháp tuỳ ý nhưng
Võ Thò Thuỳ Trang 2
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
phải đảm bảo tính hệ thống, lập luận chặc chẽ, chính xác , khoa học. Điều này
chỉ đạt đối với một số học sinh nhất đònh nào đó còn lại hầu hết các em còn mắc
một số sai lầm. Muốn khắc phục được những sai lầm thì cần tìm hiểu rõ nguyên
nhân để có biện pháp phù hợp.
*Những nguyên nhân và biện pháp khắc phục sai lầm:
Nguyên nhân sai lầm Biện pháp khắc phục
Sai sót về kiến thức toán học tức là
hiểu sai đònh nghóa, khái niệm,không

phân biệt được giả thiết, kết luận của
đònh lý.
- Nhắc lại cho học sinh các kiến thức
liên quan.Làm cho học sinh hiểu rõ
đònh nghóa,khái niệm , đònh lý.
-Yêu cầu học sinh nắm vững các kiến
thức liên quan.
Sai sót về phương pháp suy luận, sử
dụng sai kí hiệu, ngôn ngữ diễn đạt.
- Chỉ cho học sinh các bước lập luận
thiếu cơ sở, không chính xác , nguyên
nhân dẫn đến các sai lầm đó.
-Tập cho học sinh thói quen giải toán
phải có cơ sở lí luận và phải thật đầy
đủ.
Hiểu được vấn đề nhưng khi diễn
đạt sai, kết luận vội vàng thiếu cơ sở lí
luận
- Chỉ cho học sinh sai lầm, hướng khắc
phục.
- Giáo viên tập cho học sinh thói quen
kiểm tra lại lời giải.
-Rèn luyện cho các em tính cẩn thận,
chính xác không được vội vàng trong
quá trình giải toán.
Không xét hết các khả năng xảy ra
của bài toán
Giáo viên cần nêu cho học sinh
thấy được tất cả các khả năng có thể
xảy ra của bài toán.

II. Thực trạng giảng dạy:
1. Đặc điểm tình hình lớp dạy:
a. Về phía giáo viên:
-Thường nóng vội sợ mất thời gian nên kiểm tra không kỹ do đó
không phát hiện ra nhầm lẫn của học sinh.
- Thường tập trung làm việc nhiều với học sinh khá, giỏi mà không
chú ý quan tâm giúp đỡ những học sinh trung bình, yếu nhằm phát hiện sửa chữa
kòp thời những sai lầm.
b. Về phía học sinh:
Võ Thò Thuỳ Trang 3
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
-Thường đọc qua loa đề bài rồi vội giải ngay, khi giải thì vội vàng,
lập luận không chặc chẽ thậm chí vận dụng kiến thức không đúng.
-Việc học lý thuyết chưa được quan tâm đúng mức nên không nắm
vững những công thức, thường lẫn lộn những công thức với nhau.
- Không nắm được phép biến đổi nào dẫn đến phương trình tương
đương, phép biến đổi nào dẫn đến phương trình hệ quả.
2. Một số bài toán mà học sinh giải dẫn đến kết luận sai:
2.1. Sai sót về kiến thức toán học:
Ví dụ 1: Giải phương trình: tg5x.tgx=1(1)
(Bài tập 4- trang 65- SGK)
* Sai lầm thường gặp:
(1) 
⇔




















+−=
+−=







+=
+=
⇔











−=
−=



=
=
π
π
π
π
π
π
π
π
'
4
4
5
'
4
4
5
1
15

1
15
lx
lx
kx
kx
tgx
xtg
tgx
xtg
⇔




















+−=
+−=







+=
+=
π
π
ππ
π
π
ππ
'
4
520
'
4
520
lx
l
x
kx
k
x







+−=
+=
π
π
π
π
'
4
'
4
lx
kx

π
π
mx +=⇔
4
( k,k',l,l',m
∈
Z)
Vậy phương trình có một họ nghiệm:
π
π
mx +=
4

* Nguyên nhân sai lầm:
Ta có:
,R∈∀
α
sin
∈
α
[-1;1] và cos
∈
α
[-1;1]
Nên sinu. cosv=1 



−=
−=
∨



=
=
1cos
1sin
1cos
1sin
v
u

v
u
Còn
,R∈∀
α
tg
∈
α
R và cotg
∈
α
R nên kết quả trên không đúng.
* Biện pháp khắc phục:
Giáo viên nhắc lại tập giá trò của các hàm số lượng giác
Không thể giải phương trình tg
α
. cotg
α
=1 như phương trình
sin
α
. cos
α
=1
* Lời giải đúng:
+
π
π
kx +=
2

không phải là nghiệm (1)
+
π
π
kx +≠
2
, chia hai vế phương trình (1) cho tgx ta được:
tg5x=
tgx
1
 tg5x= cotgx
 tg5x= tg(
2
π
-x)
Võ Thò Thuỳ Trang 4
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
 5x=
2
π
-x+k
π
 x=
612
ππ
k
+
(k
∈
Z)

Vậy phương trình có một họ nghiệm:x=
612
ππ
k
+
(k
∈
Z)
Ví dụ 2: Tính giới hạn: I=
x
x
x
4cos1
lim
0
−
→
* Sai lầm thường gặp:
I=
x
x
x
4cos1
lim
0
−
→
=
x
x

x
2sin2
2
0
lim
→
=
x
x
x
2sin
2
lim
0→
=
x
x
x
2
2sin
22
lim
0→
=2
2
* Nguyên nhân sai lầm:
Ta có:
x2sin2
2
=

2
x2sin
=





− x
x
2sin2
2sin2

* Biện pháp khắc phục:
Giáo viên nhắc lại đònh nghóa



−
=
A
A
A

* Lời giải đúng:

x
x
x
4cos1

lim
0
−
−
→
=
x
x
x
2sin2
2
0
lim
−
→
=
x
x
x
2
2sin
22
lim
0
−
−
→
=-2
2

x
x
x
4cos1
lim
0
−
+
→
=
x
x
x
2sin2
2
0
lim
+→
=
x
x
x
2
2sin
22
lim
0+→
=2
2
Vì

x
x
x
4cos1
lim
0
−
−
→
≠
x
x
x
4cos1
lim
0
−
+
→
Vậy không tồn tại giới hạn tại điểm x=0.
2.2. Sai sót về phương pháp suy luận,sử dụng sai kí hiệu, ngôn ngữ
diễn đạt.
Ví dụ 3: Giải phương trình: cosx. cos2x =
4
1
(2)
* Sai lầm thường gặp:
(2) 4 sinxcosx.cos2x=sinx
sin4x =sinx





+−=
+=
ππ
π
24
24
lxx
kxx







+=
=
5
2
5
3
2
ππ
π
l
x
k

x
(k,l
∈
Z)
* Nguyên nhân sai lầm:
Nhân hai vế của phương trình với sinx ta được phương trình hệ quả chứ không
phải phương trình tương đương, do đó xuất hiện nghiệm ngoại lai x=k
π
.
Võ Thò Thuỳ Trang 5
Nếu sin2x
0
≥
Nếu sin2x<0
nếu A
0≥
nếu A<0
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
* Biện pháp khắc phục:
Khi giải xong phải loại nghiệm x=k
π
ra khỏi họ nghiệm của phương trình ,
* Lời giải đúng:
Ta thấy x=k
π
không phải là nghiệm phương trình (2)
(2)




≠
=
0sin
sin2cos.cos.sin4
x
xxxx




≠
=
0sin
sin4sin
x
xx








≠







+=
=
π
ππ
π
kx
k
x
k
x
5
2'
5
3
2










+±=
+±=
+±=
π

π
π
π
π
π
2
5
3
2
5
2
3
2
nx
mx
kx
(k,m,n
∈
Z)
Ví dụ 4: Giải phương trình: log
sin2x
( cos2x-cos4x) =1 (3)
* Sai lầm thường gặp:
(3)  cos2x-cos4x= sin2x 2 sinx. sin3x= 2 sinx.cosx










+=
+=
=
⇔




−=
=
⇔



=
=
π
π
ππ
π
π
nx
m
x
kx
xx
x

xx
x
4
28
)
2
sin(3sin
0sin
cos3sin
0sin
(k,m,n
∈
Z)
* Nguyên nhân sai lầm:
Với x= k
π
thì sin2x =0 nên biểu thức log
sin2x
( cos2x-cos4x) vô nghóa.
Vậy x=k
π
là nghiệm ngoại lai.
*Biện pháp khắc phục:
Trước khi giải phương trình logarit phải đặt điều kiện để biểu thức logarit có
nghóa.
Khi giải xong phải đối chiếu điều kiện.
* Lời giải đúng:
(3)




>
=
⇔



>
=−
02sin
cos.sin23sin.sin2
02sin
2sin4cos2cos
x
xxxx
x
xxx






>
−=
02sin
)
2
sin(3sin
x

xx
π










>






+=
+=
02sin
4
28
x
nx
m
x
π
π

ππ







+=
+=
π
π
π
π
nx
kx
4
8
(k,n
∈
Z)
Võ Thò Thuỳ Trang 6
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
Vậy phương trình có hai họ nghiệm:







+=
+=
π
π
π
π
nx
kx
4
8
(k,n
∈
Z)
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
T= sinA +sin B +sinC +
CBA sin
1
sin
1
sin
1
++
* Sai lầm thường gặp:
sinA +sin B +sinC +
CBA sin
1
sin
1
sin
1

++
6
sin.sin.sin
sin.sin.sin
6
CBA
CBA
≥
 T
6
≥
Vậy MinT=6
* Nguyên nhân sai lầm:
MinT=6  sinA=sinB=sinC=
CBA sin
1
sin
1
sin
1
==
=1
=> A=B=C=
2
π
( điều này mâu thuẩn với giả thiết A+B+C=
π
)
*Biện pháp khắc phục:
Hướng dẫn khi áp dụng bất đẳng thức côsi phải kiểm tra xem đẳng thức có

xảy ra hay không. Đẳng thức xảy ra khi nào?
* Lời giải đúng:
T=(
3
4
sinA +
3
4
sin B +
3
4
sinC +
CBA sin
1
sin
1
sin
1
++
)-
3
1
(sinA +sin B +sinC )

6
sin.sin.sin
sin
3
4
.sin

3
4
.sin
3
4
6
CBA
CBA
≥
-
3
1
(sinA +sin B +sinC )
=
3
12
-
3
1
(sinA +sin B +sinC )
Mà sinA.sinB.sinC
2
33
≤
Nên T
2
37
2
33
.

3
1
3
12
=−≥
Vậy Min T=
2
37
khi sinA=sinB=sinC=
2
3
hay A=B=C=
3
π
2.3. Hiểu được vấn đề nhưng khi diễn đạt sai, kết luận vội vàng
thiếu cơ sở lí luận:
Ví dụ 6: Giải phương trình : sin3x=cos2x (4)
( Bài tập 3-trang 65-SGK)
* Sai lầm thường gặp:
(4) sin3x = sin(
2
π
-2x)
Võ Thò Thuỳ Trang 7
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác








+=
+=
⇔






++=
+−=
π
π
ππ
π
π
π
π
2'
2
5
2
10
2'2
2
3
22
2

3
kx
kx
kxx
kxx
Vậy phương trình (4) có hai họ nghiệm :






+=
+=
π
π
ππ
2'
2
5
2
10
kx
kx
( k,k'
∈
Z)
* Nguyên nhân sai lầm:
Thật ra , họ nghiệm x=
π

π
2'
2
k+
chứa trong họ nghiệm x=
5
2
10
ππ
k
+
Vậy phương trình (4) có một họ nghiệm :x=
5
2
10
ππ
k
+
.
*Biện pháp khắc phục:
Khi giải xong cần kiểm tra lại các họ nghiệm của phương trình .
* Lời giải đúng:
(4) sin3x = sin(
2
π
-2x) 







+=
+=
⇔






++=
+−=
π
π
ππ
π
π
π
π
2'
2
5
2
10
2'2
2
3
22
2

3
kx
kx
kxx
kxx
x=
5
2
10
ππ
k
+
.
Vậy phương trình (4) có một họ nghiệm :x=
5
2
10
ππ
k
+
(k
∈
Z).
Ví dụ 7:Tìm a để hệ
)(
11
0))(1(cot
I
x
axgx




<<−
=−−
chỉ có một nghiệm
* Sai lầm thường gặp 1:
(I) 









<<−
=
=
⇔












<<−
=





<<−
+=
⇔





<<−



=
=
11
4
11
11
4
11
1cot

x
ax
x
x
ax
x
kx
x
ax
gx
π
π
π
Vì (I) luôn có nghiệm x=
4
π
nên để (I) chỉ có một nghiệm thì



<<−
=
11 x
ax
vô
nghiệm ,tức là



−≤

≥
1
1
a
a
.
* Sai lầm thường gặp 2:
(I) 









<<−
=
=
⇔












<<−
=





<<−
+=
⇔





<<−



=
=
11
4
11
11
4
11
1cot

x
ax
x
x
ax
x
kx
x
ax
gx
π
π
π
Võ Thò Thuỳ Trang 8
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
Vì (I) luôn có nghiệm x=
4
π
nên để (I) chỉ có một nghiệm thì



<<−
=
11 x
ax
vô
nghiệm hoặc có nghiệm x=
4
π









=
−≤
≥
4
1
1
π
a
a
a
* Nguyên nhân sai lầm:
x=k
π
thì cotgx không xác đònh nên a=k
π
không thoả điều kiện bài toán.
*Biện pháp khắc phục:
Trước khi giải phương trình phải đặt điều kiện để biểu thức có nghóa.
Khi giải xong phải đối chiếu điều kiện.
* Lời giải đúng:
(I) 














<<−
≠
=
=
⇔
















<<−
≠
=





<<−
+=
⇔









<<−
≠



=
=
11

4
11
0sin
11
4
11
0sin
1cot
x
kx
ax
x
x
x
ax
x
kx
x
x
ax
gx
π
π
π
π
Vì (I) luôn có nghiệm x=
4
π
nên để (I) chỉ có một nghiệm thì




<<−
=
11 x
ax
vô
nghiệm hoặc có nghiệm x=
4
π









=
=
−≤
≥
4
1
1
π
π
a
ka

a
a
2.4. Không xét hết các khả năng xảy ra của bài toán:
Ví dụ 8: Giải phương trình:
xxxx cossin22sin12cos +=++
(5)
* Sai lầm thường gặp :
Điềukiện:



≥+
≥−
⇔



≥+
≥+−
⇔



≥+
≥
0cossin
0sincos
0cossin
0)sin)(cossin(cos
0cossin

02cos
xx
xx
xx
xxxx
xx
x
(*)
Với điều kiện (*) thì
(5) 
xxxxxxxx cossin2)sin(cos)sin)(cossin(cos
2
+=+++−

0]2sincossincos[sincos =−++−+ xxxxxx





=
+−=
⇔



=
−=
⇔









=
=
−=
⇔



=+
=+
π
π
π
'2
4
1cos
1
12cos
1cos
1
22coscos
0sincos
kx
kx

x
tgx
x
x
tgx
xx
xx
* Nguyên nhân sai lầm:
Võ Thò Thuỳ Trang 9
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
Phép biến đổi



≥+
≥−
⇔



≥+
≥+−
0cossin
0sincos
0cossin
0)sin)(cossin(cos
xx
xx
xx
xxxx

không phải là
phép biến đổi tương đương.
cosx+sinx=0 thì (cosx+sinx)( cosx-sinx)
Rx ∈∀≥ ,0
*Biện pháp khắc phục:
Giáo viên chỉ cho học sinh các khả năng có thể xảy ra của bài toán.
* Lời giải đúng:
Điều kiện:



≥+
≥+−
⇔



≥+
≥
0cossin
0)sin)(cossin(cos
0cossin
02cos
xx
xxxx
xx
x
+ Trường hợp 1: Xét cosx+sinx=0 tgx=-1 x=-
4
π

+k
π
thoả(5)
+ Trường hợp 2: Xét cosx+sinx>0 ,




>+
≥−
⇔



>+
≥+−
⇔



>+
≥
0cossin
0sincos
0cossin
0)sin)(cossin(cos
0cossin
02cos
xx
xx

xx
xxxx
xx
x
Khi đó (5) 
0]2sincossincos[sincos =−++−+ xxxxxx

02sincossincos =−++− xxxx
 cosx +
x2cos
=2




=−
=
11cos2
1cos
2
x
x
 cosx=1  x=k'2
π
Vậy phương trình có hai họ nghiệm :




=

+−=
π
π
π
2'
4
kx
kx
( k,k'
∈
Z).
C.PHẦN KẾT LUẬN:
Dạy học sinh giải các bài toán lượng giác,trước hết yêu cầu các em học
thuộc các công thức lượng giác, nắm vững các công thức này và nắm vững một
số phép biến đổi đại số dẫn đến phương trình tương đương.Cần phân biệt được
phép biến đổi nào dẫn đến phương trình tương đương, phép biến đổi nào dẫn đến
phương trình hệ quả.
Việc học sinh mắc sai lầm khi giải toán là điều không thể tránh khỏi. Khi
giảng dạy giáo viên cần tập cho các em thói quen kiểm tra lại lời giải,cẩn
thận,chu đáo, lập luận chặc chẽ khi giải toán.
Chỉ ra sai lầm cho học sinh và giúp các em có hướng khắc phục là tạo
điều kiện cho các em tiếp thu kiến thức một cách dễ dàng hơn, tạo cho các em
hứng thú học tập, tìm tòi , sáng tạo.
Trong bài viết này tôi đưa ra một số ví dụ mà trong quá trình giảng dạy
tôi nhận thấy học sinh thường mắc sai lầm.Rất mong sự đóng góp ý kiến xây
dựng làm thế nào để học sinh khắc phục những sai lầm và đạt kết quả cao trong
các bài kiểm tra.
Võ Thò Thuỳ Trang 10
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
Quá trình thực hiện đề tài chắc rằng bản thân tôi không thể tránh khỏi thiếu

sót,rất mong sự quan tâm góp ý của đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
Tư Nghóa, ngày 25 tháng 11 năm 2006
Người thực hiện
Vo õThò Thuỳ
Võ Thò Thuỳ Trang 11