Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và bất phương trình

Sáng kiến kinh nghiệm
I. Đặt vấn đề:
Trong thực tế chúng ta thường gặp những bài toán
tìm nghiệm của phương trình hay tập nghiệm của bất
phương trình. Vì vậy, các bài toán tìm nghiệm của
phương trình hay tập nghiệm của bất phương trình
thường xuyên có mặt trong các kì thi tuyển sinh vào lớp
10 THPT; hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học
cũng như các đề thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia nhiều
năm gần đây, các bài toán này rất phong phú đòi hỏi
phải vận dụng kiến thức một cách hợp lí, nhiều khi khá
độc đáo và bất ngờ.
Hơn nữa, không phải phương trình hoặc bất
phương trình nào cũng có bài giải trong sáng, ngắn gọn.
Đặc biệt, là các phương trình, bất phương trình vô tỉ,
lượng giác. Ví dụ như việc tìm nghiệm của phương trình
5 7 16 14x x x x+ − + + + + =
theo phương pháp thông thường
rất khó và phức tạp, nhiều khi dẫn đến không giải ra.
Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 1
Sáng kiến kinh nghiệm
Tuy nhiên, nếu chúng ta sử dụng tính đơn điệu để giải
phương trình trên thì bài toán có lời giải rất trong sáng
và ngắn gọn, học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức.
Căn cứ vào những lí do nêu trên, Tôi chọn đề tài:
"Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương
trình và bất phương trình" làm sáng kiến kinh nghiệm
cho bản thân. Do nhiều điều kiện cũng như kinh nghiệm
còn hạn chế, hơn nữa, đây là vấn đề tương đối rộng nên
không thể tránh khỏi sai sót. Rất mong sự góp ý quí báu
của các thầy cô và sự đóng góp chân thành của các bạn

đồng nghiệp.
II. Giải quyết vấn đề:
Cơ sở để giải quyết vấn đề này là dung đạo hàm để
xét tính đơn điệu của hàm số và dựa vào chiều biến thiên
của hàm số để kết luận về nghiệm của phương trình, hệ
phương trình và bất phương trình…
Ngoài ra, để chứng minh phương trình có nghiệm
duy nhất có thể dựa vào nhận xét sau đây:
1. Giả sử hàm số
( )f x
đơn điệu trên khoảng (a; b)
thì trên khoảng (a; b) phương trình
( ) 0f x =
có nhiều nhất
một nghiệm.
Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 2
Sáng kiến kinh nghiệm
2. Nếu hàm số
( )f x
đơn điệu trên khoảng (a; b) thì
1 2
, ( ; )x x a b∀ ∈
ta có
1 2 1 2
( ) ( ) .f x f x x x= ⇔ =
Sau đây là một số bài toán minh họa cho các
phương pháp này.
Bài 1: Giải phương trình
5 7 16 14 (*)x x x x+ − + + + + =
Bài giải

Phương trình (*) tương đương
( ) 5 7 16 14 0.f x x x x x= + − + + + + − =
Tập xác định
[5; )D = +∞
Ta có
1 1 1 1
'( ) 0, [5; ).
2 2 5 2 7 2 16
f x x
x x x x
= + + + > ∀ ∈ +∞
− + +
Vậy hàm số
( )f x
đồng biến trên
[5; )+∞
(1)
Mặt khác,
(9) 0f =
(2). Từ (1) và (2) phương trình (*)
có nghiệm duy nhất
9.x =
Bài 2: Giải phương trình
2 sin cos 1 0 (*)x x x+ + − =
Bài giải
Xét hàm số
( ) 2 sin cos 1f x x x x= + + −
Ta có
'( ) 2 cos sin 2 2 cos 2 2 0.
4

f x x x x
π
 
= + − = + + ≥ − >
 ÷
 
Vậy hàm số
( )f x
đồng biến trên
R
(1)
Mặt khác,
(0) 0 sin 0 cos0 1 0f = + + − =
(2). Từ (1) và (2)
phương trình (*) có nghiệm duy nhất
0.x
=
Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 3
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài 3: Chứng minh rằng với n là số tự nhiên chẵn và
3a
>
thì phương trình
2 1 2
( 1) 3( 2) 0
n n n
n x n x a
+ + +
+ − + + =
vô nghiệm

Bài giải
Xét
2 1 2
( ) ( 1) 3( 2)
n n n
f x n x n x a
+ + +
= + − + +
Tập xác định
D = R
Ta có
1
'( ) ( 1)( 2) 3( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 3)
n n n
f x n n x n n x n n x x
+
= + + − + + = + + −
Cho
'( ) 0 3f x x= ⇔ =
Bảng xét dấu
x
−∞
3
+∞
'( )f x
- 0 +
( )f x
+∞
+∞

2 2
3
n n
a
+ +
−
Dựa vào bảng biến thiên ta có
2 2
( ) 3 0, (Do 3)
n n
f x a x a
+ +
≥ − > ∀ ∈ >R
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 4: Định m để phương trình
4 3 2
2 1 0 (*)x mx mx mx+ + + + =

có nghiệm
Bài giải
Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 4
Sáng kiến kinh nghiệm
Ta thấy
0x =
không là nghiệm của phương trình (*).
Chia hai vế phương trình (*) cho
2
x
ta được
2

2
1
2 0
m
x mx m
x x
+ + + + =

2
2
1 1
2 0.x m x m
x x
   
⇔ + + + + =
 ÷  ÷
   
Đặt
1
t x
x
= +
thì
2.t ≥
Bài toán trở thành định m để
2
2 2 0
2
t mt m
t


+ + − =


≥


có
nghiệm. Khi đó tương đương
2
2
( )
2
2
t
m f t
t
t

−
= =

+


≥

có nghiệm.
Ta có
2

2
4 2
'( )
( 2)
t t
f t
t
− − −
=
+
Cho
2 2
'( ) 0
2 2
t
f t
t

= − +
= ⇔

= − −


Bảng biến thiên:
x
-∞
2 2− −
-2
2 2− +

2 +∞
'( )f x
- 0 +
+ 0
-
-
( )f x
+∞
+∞

4 2 2+
-
1
2

-∞
Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 5
Sáng kiến kinh nghiệm
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có
nghiệm thì
1
2
m ≤ −
hoặc
4 2 2.m ≥ +
Ngoài ra, chúng ta cũng có thể giải bài toán bằng
cách so sánh các nghiệm của phương trình
2
2 2 0t mt m+ + − =

với hai số 2 và -2, thì cũng đi đến kết quả
như trên, tuy nhiên phải tính toán phực tạp nhiều hơn.
Bài 5: Giải bất phương trình
5 2 3 9 (*)x x+ + + <
Bài giải
Phương trình (*) tương đương
( ) 5 2 3 9 0f x x x= + + + − <
Tập xác định
3
[ ; )
2
D = − +∞
Ta có
1 1 3
'( ) 0, [ ; ).
2
2 5 2 3
f x x
x x
= + > ∀ ∈ − +∞
+ −
Vậy hàm số
( )f x
đồng biến trên
3
[ ; )
2
− +∞
(1)
Mặt khác

(11) 16 25 9 0f = + − =
(2). Từ (1) và (2) bất
phương trình (*) tương đương
3 3
2 2
( ) (11) 11
x x
f x f x
 
≥ − ≥ −
 
⇔
 
 
< <
 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (*) là
3
;11 .
2
S
 
= −
÷

 
Bài 6: Tìm m để bất phương trình
3 1(*)mx x m− − ≤ +
có
nghiệm

Bài giải
Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 6
Sáng kiến kinh nghiệm
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi
2
2 1 0
0
mt t m
t

− + − ≤

≥

có nghiệm. Khi đó hệ trên tương đương
2
1
2
0
t
m
t
t
+

≤

+



≥

có nghiệm.
Ta có
( )
2
2
2
2
1 2 2
( ) '( )
2
2
t t t
f t f t
t
t
+ + −
= ⇒ =
+
+
Cho
'( ) 0 3 1 ( 0)f t t t= ⇔ = − >
Bảng biến thiên:

t
0

3 1−

+∞
'( )f t
+ 0 -
( )f t

3 1
4
+

1
2

0
Vậy bất phương trình có nghiệm khi
3 1
4
m
+
≤
.
Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 7
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài tập tương tự
1/ Giải phương trình
1 2 2 3 2.x x x− + − + − =
2/ Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương
trình
2
3 1x m x+ = +
.

3/ Tìm a để phương trình
3 2
18 2 0x x ax a− + − =
có ba
nghiệm dương phân biệt.
4/ Giải bất phương trình
9 5 2 4.x x+ > − +
5/ Tìm a để bất phương trình
2
2 7a x x a+ < +
nghiệm
đúng với mọi x.
6/ Định a để bất phương trình
2
2 2
log 1 log ( )x ax a+ < +
có
nghiệm.
7. Tìm m để phương trình
4 3 2
1 0x mx x mx+ + + + =
có
không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau.
8. Tìm a để phương trình sau đây có đúng hai
nghiệm
( )
2
2 2 2
ln 2 2ln ln 4 ln ln 4 3 0x x x a x+ + + − + − =
.

Tân phú, ngày 02 tháng 10 năm 2012
Người viết
Quách Thanh
Thưởng
Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 8
Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 9
Sáng kiến kinh nghiệm
Ý KIẾN CỦA BGH











Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 10