Giáo án Toán học theo chương trình mới Phần hình học

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
I. MỤC TIÊU.
1. Kiến thức: Học sinh nắm được
- Toạ độ của điểm và của vectơ, biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ; tích vô hướng, tích có hướng và
ứng dụng của nó của hai vectơ.
- Khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Phương trình mặt cầu, mặt phẳng và đường thẳng.
- Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc; khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Điều kiện để hai đường thẳng song song, vuông góc; khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Vị trí tương đối giữa mặt cầu, mặt phẳng và đường thẳng.
2. Kỹ năng:
- Biết tìm toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ.
- Biết tính toán các biểu thức toạ độ dựa trên các phép toán vector.
- Biết tính tích vô hướng của hai vectơ.
- Biết viết phương trình của mặt cầu khi biết tâm và bán kính.
- Biết tìm toạ độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Biết viết phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Biết chứng minh hai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vuông góc.
- Biết tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Biết tìm toạ độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian.
- Biết viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian khi biết
được một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
- Xác định được toạ độ một điểm và toạ độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương
trình tham số hoặc phương trình chính tắc của đường thẳng đó.
- Biết xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian.
- Tính được diện tích tam giác,thể tích khối tứ diện và khối hộp, khoảng cách giữa các đối tượng hình học
trong không gian.
3. Tư duy, thái độ:
- Có tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy logic
- Cẩn thận, chính xác trong tính toán, vẽ hình.
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS.

1. Học sinh: Các kiến thức về toạ độ trong phẳng và về vectơ trong không gian.
2. Giáo viên : SGK, sách bài tập, bút, thước kẻ và hệ thống ví dụ , bài tập.
III. TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP.
1. Ổn đinh lớp. Kiểm tra sĩ số trước mỗi tiết dạy.
2. Kiểm tra bài cũ. Trong quá trình giải bài toán vận dụng, giáo viên gọi học sinh phát biểu các công thức
liên quan bài toán.
3. Tiến trình bài học:
*. CHỦ ĐỀ 1: TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ
( Thực hiện: 2 tiết)
Hoạt động
của giáo viên và học sinh
Nội dung ghi nhận
H?. Hãy dựa vào khái niệm trên hệ trục tọa
độ vuông góc trong mặt phẳng để phát biểu
các khái niệm hệ trục tọa độ vuông góc
trong không gian?.
1. Hệ trục toạ độ vuông góc trong khô ng gian

“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 1

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
+ Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau.
+
, ,i j k
r r r
: là các véctơ đơn vị trên Ox, Oy,
Oz .
Hay:
2 2 2
1i j k

= = =
r r r

. . . 0i j j k i k
= = =
rr r r uur
z




k
r

j
r
y

i
r
O

x
H?. Hãy dựa vào khái niệm trên hệ trục tọa
độ vuông góc trong mặt phẳng để phát biểu
các khái niệm hệ trục tọa độ vuông góc
trong không gian?.
+
( ; ; )M x y z OM xi y j zk
⇔ = + +

uuuur r r r
+ Điểm M nằm trên trục tọa độ hay mặt
phẳng tọa độ nào thì có tọa độ đó và phần
tọa độ còn lại bằng 0.
+
( ; ; )u x y z u xi y j zk
= ⇔ = + +
r r r r r
+
(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)i j k
= = =
r r r
H?. Cho
(1; 1;1), (0;1; 2), (1;0;1), (4;5; 5)A B C D
− −
hãy cho biết kết quả:
+
( 1;2;1), (3;5; 6), 6, 70AB CD AB CD
= − = − = =
uuur uuur
+
3 ( 3;6;3)AB
= −
uuur
,
3 2 (3;16; 9)AB CD
+ = −
uuur uuur
+
AB CD

≠
uuur uuur
+
,AB CD
uuur uuur
không cùng phương
+ Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số
3k
= −
:
1 1 7
; ;
4 2 4
M
 
 ÷
 
+ Điểm I là trung điểm của đoạn AB:
1 3
;0;
2 2
I
 
 ÷
 
+ Điểm G là trọng tâm của
ABC
∆
:
2 4

;0;
3 3
G
 
 ÷
 
+ Điểm F là trọng tâm của tứ diện
ABCD
:
2. Toạ độ của điểm – Tọa độ của vectơ
• Tọa độ của điểm:
( ; ; )M x y z OM xi y j zk
⇔ = + +
uuuur r r r
Chú ý:
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )M Ox M x M Oy M y M Oz M z
∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈ ⇔
( ) ( ; ;0), ( ) ( ;0; ), ( ) (0; ; )M Oxy M x y M Oxz M x z M Oyz M y z
∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈ ⇔
• Tọa độ của vectơ:
( ; ; )u x y z u xi y j zk
= ⇔ = + +
r r r r r
Chú ý:
(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)i j k
= = =
r r r
• Cho
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B

A x y z B x y z
,
1 1 1 1 2 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )u x y z u x y z
= =
ur uur
Khi đó:
+
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur

2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB AB x x y y z z
= = − + − + −
uuur
+
1 1 1 1
. ( ; ; ),k u kx ky kz k
= ∈
ur
¡

1 2 1 2 1 2 1 2
( ; ; )u u x x y y z z
± = ± ± ±

ur uur
+
1 2
1 2 1 2
1 2
x x
u u y y
z z
=


= ⇔ =


=

ur uur

1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
.
x kx
u u u k u y ky
z kz
=


⇔ = ⇔ =



=

ur uur ur uur
[Z
hay
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
= =
*. Đặc biệt:
+ Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số
1k
≠

MA
k
MB
 
=
 ÷
 
uuur
uuur
:
; ;
1 1 1
A B A B A B
x kx y ky z kz

M
k k k
− − −
 
 ÷
− − −
 
+ Điểm I là trung điểm của đoạn AB:
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
 
 ÷
 
+ Điểm G là trọng tâm của
ABC
∆
:
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
 
 ÷
 

+ Điểm F là trọng tâm của tứ diện
ABCD
:
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 2

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
3 5 1
; ;
2 4 4
F
−
 
 ÷
 
; ;
4 4 4
A B C D A B C D A B C D
x x x x y y y y z z z z
F
+ + + + + + + + +
 
 ÷
 
H?. Cho
(1; 1;1), (0;1; 2), (1;0;1), (4;5; 5)A B C D
− −
hãy cho biết kết quả:
+
. 1AB CD
=

uuur uuur
,
420
cos( , )
420
AB CD
=
uuur uuur
+
,AB CD
uuur uuur
không vuông góc nhau
+
, ( 17; 3; 11)AB CD
 
= − − −
 
uuur uuur

, (17;3;11)CD AB
 
=
 
uuur uuur
+
, 419AB CD
 
=
 
uuur uuur

,
175980
sin( , )
420
AB CD
=
uuur uuur
+
, .AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur
3
A, B, C, D không đồng phẳng
+
2
2
ABC
S
=
+
1
2
ABCD
V
=
3. Tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ
Cho
1 1 1 1 2 2 2 2

( ; ; ), ( ; ; )u x y z u x y z
= =
ur uur
. Khi đó:
• Tích vô hướng:
1 2 1 2 1 2 1 2
.u u x x y y z z
= + +
uruur
hay
1 2 1 2 1 2
. . .cos( , )u u u u u u
=
uruur ur uur ur uur
Chú ý:
1 2 1 2
. 0u u u u
⊥ ⇔ =
ur uur ur uur
• Tích có hướng:
1 1 1 1 1 1
1 2
2 2 2 2 2 2
, ; ;
y z z x x y
u u
y z z x x y
 
 
=

 ÷
 
 
ur uur
Nhận xét:
, ; , ; ,i j k j k i k i j
     
= = =
     
r r r r r r r r r
Chú ý:
+
1 2 2 1
, ,u u u u
   
= −
   
ur uur uur ur
+
1
1 2
2
,
u u
u u u
u u

⊥

 

= ⇔

 
⊥


r ur
r ur uur
r uur
+
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 2
2 2 2 2 2 2
,
y z z x x y
u u
y z z x x y
 
= + +
 
ur uur
hay
1 2 1 2 1 2
, . .sin( , )u u u u u u
 
=
 
ur uur ur uur ur uur
+

1
u
ur
và
2
u
uur
cùng phương
1 2
, 0u u
 
⇔ =
 
ur uur r
+
1
u
ur
,
2
u
uur
và
3
u
uur
đồng phẳng
1 2 3
, . 0u u u
 

⇔ =
 
ur uur uur
• Ứng dụng của tích có hướng:
+ A, B, C, D đồng phẳng
, . 0AB AC AD
 
⇔ =
 
uuur uuur uuur
+ Diện tích tam giác ABC:
1
,
2
ABC
S AB AC
 
=
 
uuur uuur
hay
2 2 2
1
. ( . )
2
ABC
S AB AC AB AC
= −
uuuruuur
+ Diện tích hình bình hành ABCD:

,
ABCD
S AB AD
 
=
 
uuur uuur
+ Thể tích tứ diện ABCD:
1
, .
6
V AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur
+ Thể tích hình hộp
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
:
, .V AB AD AA
 
′
=
 
uuur uuur uuur
GV: Vẽ hình minh họa bài 1)
4. Các bài toán vận dụng
*. Bài 1: Cho ba điểm
(1; 1;2), ( 1;0;3), (0;2;1)A B C

− −
1) Chứng minh A, B, C tạo thành một tam giác
2) Tính diện tích
ABC
∆
. Suy ra chiều cao AH của
ABC
∆
Giải
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 3

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
H?. Một em đại diện nêu hướng giải câu 1)?
, 0AB AC
 
≠
 
uuur uuur r
,AB AC
⇒
uuur uuur
không cùng phương
H?. Một em đại diện nêu hướng giải câu 2)?
1
,
2
ABC
S AB AC
 
=

 
uuur uuur
,
1
.
2
ABC
S BC AH
=
và công
thức tính độ dài đoạn thẳng, chẳng hạn:
2 2 2
( ) ( ) ( )
C B C B C B
BC x x y y z z
= − + − + −
GV: Vẽ hình minh họa bài 2)
H?. Một em đại diện nêu hướng giải câu 1)?
HS:
, . 0BC BD BA
 
≠
 
uuur uuur uuur
, ,BC BD BA
⇒
uuur uuur uuur
không
đồng phẳng
H?. Hãy nêu kiến thức giải câu 2)?

1
, .
6
ABC
V BC BD BA
 
=
 
uuur uuur uuur
,
1
.
3
ABC BCD
V S AH
=
với
1
,
2
BCD
S BC BD
 
=
 
uuur uuur
và công thức tính độ
dài vectơ, chẳng hạn:
2 2 2
( ) ( ) ( )

C B C B C B
BC x x y y z z
= − + − + −
uuur
GV: Vẽ hình minh họa bài 3)
H?. Hãy cho biết quan hệ giữa vectơ
DH
uuuur

với hai vectơ
,AB AC
uuur uuur
? Từ quan hệ đó ta có
kiến thức nào?
+
. 0DH AB DH AB
⊥ ⇒ =
uuuur uuur uuuur uuur
+
. 0DH AC DH AC
⊥ ⇒ =
uuuur uuur uuuuruuur

H?. Hãy cho biết quan hệ giữa các vectơ
, ,AH AB AC
uuur uuur uuur
? Từ quan hệ đó ta có kiến thức
1) Ta có:
( 2;1;1), ( 1;3; 1)AB AC
= − = − −

uuur uuur
, ( 4; 3; 5) 0AB AC
 
⇒ = − − − ≠
 
uuur uuur r
,AB AC
⇒
uuur uuur
không cùng phương
, ,A B C⇒
không thẳng hàng
Vậy A, B, C tạo thành một tam giác
2) Ta có:
1 1 5 2
, 16 9 25
2 2 2
ABC
S AB AC
 
= = + + =
 
uuur uuur
Mà
2
1 5 2
. 3
2
1 4 4
ABC

ABC
S
S BC AH AH
BC
= ⇒ = = =
+ +
Vậy
5 2
, 3
2
ABC
S AH
= =
*. Bài 2: Cho bốn điểm
(1;0;1), ( 1;1;2), ( 1; 1;0), (2; 1; 2)A B C D
− − − − −
1) Chứng minh A, B, C, D tạo thành một tứ diện
2) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra chiều cao AH của tứ
diện ABCD.
Giải
1) Ta có:
(0;0; 2), (3;2; 4), (2; 1; 1)BC BD BA
= − = − = − −
uuur uuur uuur

, ( 4; 6;0)BC BD
 
= − −
 
uuur uuur

Nên
, . 2BC BD BA
 
= −
 
uuur uuur uuur
, ,BC BD BA
⇒
uuur uuur uuur
không đồng phẳng
Vậy A, B, C, D tạo thành một tứ diện
2) Ta có:
1 1 1
, . 2
6 6 3
ABC
V BC BD BA
 
= = − =
 
uuur uuur uuur
Mà
3
1 1
.
3
ABC
ABC BCD
BCD BCD
V

V S AH AH
S S
= ⇒ = =
với
1 1 1
, 16 36 0 13
2 2
13
BCD
S BC BD AH
 
= = + + = ⇒ =
 
uuur uuur
Vậy
1
, 13
3
ABCD
V AH
= =
*. Bài 3: Cho bốn điểm
(2;3;1), (4;1; 2), (6;3;7), ( 5; 4;8)A B C D
− − −
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm D lên mặt
phẳng (ABC)
Giải
Gọi
( ; ; )H x y z
là điểm cần tìm

Ta có:
(2; 2;3), (4;0;6)AB AC
= − =
uuur uuur

( 5; 4; 8), ( 2; 3; 1)DH x y z AH x y z
= + + − = − − −
uuuur uuur
Mà
. 0 2 2 3 26DH AB DH AB x y z
⊥ ⇒ = ⇒ − − = −
uuuur uuur uuuuruuur
(1)

. 0 2 3 14DH AC DH AC x z
⊥ ⇒ = ⇒ + =
uuuur uuur uuuuruuur
(2)
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 4

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
nào?
+ Ba vectơ
, ,AH AB AC
uuur uuur uuur
đồng phẳng nên
, . 0AB AC AH
 
=
 

uuur uuur uuur
+ Giải hệ phương trình ba ẩn, suy ra được
tọa độ điểm cần tìm.
Mặt khác
, ( 12; 24;8)AB AC
 
= − −
 
uuur uuur
Vì
, ,AH AB AC
uuur uuur uuur
đồng phẳng nên
, . 0AB AC AH
 
=
 
uuur uuur uuur

3 6 2 22x y z
⇒ + − =
(3)
Giải hệ gồm (1), (2), (3) ta được
20 33 52
, ,
7 7 7
x y z
= = =
Vậy
20 33 52

( ; ; )
7 7 7
H
Tổng kết và hướng dẫn học tập:
+ A, B, C tạo thành một tam giác
, ,A B C⇔
không thẳng hàng
,AB AC
⇔
uuur uuur
không cùng phương
+ A, B, C, D tạo thành một tứ diện
, , ,A B C D⇔
không đồng phẳng
, ,AC AC AD
⇔
uuur uuur uuur
không đồng phẳng
+ Bài tập tự luyện để nắm vững các công thức đã học: Bài 1, 2, 3, 4 – SGK trang 68.
+ Bài tập tự luyện để nắm vững các dạng toán vận dụng đã học: Bài 1 – SGK trang 91.
*. CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
( Thực hiện: 3 tiết)
Hoạt động
của giáo viên và học sinh
Nội dung ghi nhận
H?. Em hãy nhắc lại định nghĩa vtpt của
đường thẳng trong mp?
HS:Vectơ
0n
≠

r r
được gọi là một vectơ pháp
tuyến của đường thẳng d nếu giá của nó
vuông góc với d
GV: Vẽ hình minh họa mục a)
H?. Nếu
,n a b
 
=
 
r r r
thì ta có mối quan hệ gì
giữa
n
r
với
,a b
r r
?
HS:
,
n a
n a b
n b

⊥

 
= ⇒


 
⊥


r r
r r r
r r
H?. Em hãy cho một phương trình được gọi
phương trình mặt phẳng? Từ đó hãy cho
biết tọa độ của một vtpt và một điểm của
mp?
+
( ) : 3 2 4 0pt x y z
α
− + − =
+ Một vtpt của
( )
α
là
(3; 2;1)n
= −
r
+ Chọn
0, 0 4 (0;0;4) ( )x y z M
α
= = ⇒ = → ∈
H?. Em hãy cho biết các yếu tố cần thiết để
viết được một phương trình mp?
HS: Các yếu tố cần thiết để viết được một
phương trình mp là một vtpt và một điểm

của mp.
1. Phương trình mặt phẳng
a). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Vectơ
0n
≠
r r
được gọi là một vectơ pháp tuyến của mp
( )
α

nếu giá của nó vuông góc với mp
( )
α
*. Nhận xét: Nếu hai vectơ
,a b
r r
không cùng phương và có giá
song song hoặc nằm trong mp
( )
α
thì mp
( )
α
có một vectơ pháp
tuyến là
,n a b
 
=
 

r r r
b). Phương trình của mặt phẳng
• Phương trình của mp
( )
α
đi qua
0 0 0
( ; ; )M x y z
và có một vtpt
( ; ; )n A B C
=
r
là:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
− + − + − =
• Phương trình tổng quát của mp
( )
α
:
0Ax By Cz D
+ + + =
+ Một vtpt của mp
( )
α
là
( ; ; )n A B C
=
r
+

0 0 0 0 0 0
( ; ; ) ( ) 0M x y z Ax By Cz D
α
∈ ⇔ + + + =
• Phương trình của mp
( )
α
đi qua
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )A a B b C c
với
( 0)abc
≠
là :
1
x y z
a b c
+ + =

*. Chú ý:
+ Phương trình mp
( )Oxy
là:
0z
=
+ Phương trình mp
( )Oxz
là:
0y
=
+ Phương trình mp

( )Oyz
là:
0x
=
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 5

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
GV: Vẽ hình minh họa mục 2)
H?. Em hãy cho ba cặp phương trình mặt
phẳng
( ),( )
α β
cho thấy chúng song song,
trùng, cắt nhau?
( ) : 3 2 1 0
( ) ( )
( ) : 3 9 6 3 0
x y z
x y z
α
α β
β
− + − =

+ ⇒ ≡

− + − =

( ) : 3 2 1 0
( ) / /( )

( ) : 3 9 6 1 0
x y z
x y z
α
α β
β
− + − =

+ ⇒

− + + =

( ) : 3 2 1 0
( )
( ) : 2 6 1 0
x y z
x y z
α
α
β
− + − =

+ ⇒

+ − + =

cắt
( )
β
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mp
1 1 1 1
( ) : 0A x B y C z D
α
+ + + =
và

2 2 2 2
( ) : 0A x B y C z D
β
+ + + =
Khi đó:
•
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( )
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =
•
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) / /( )
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠
•
( )

α
cắt
( )
β
1 1
2 2
A B
A B
⇔ ≠
hoặc
1 1
2 2
B C
B C
≠
hoặc
1 1
2 2
C A
C A
≠
GV: Vẽ hình minh họa mục 3)
H?. Em hãy cho biết các kết quả sau?
+
(0;1;2)M
,
( ) : 2 2 3 0x y z
α
+ − − =
( )

,( ) 2d M
α
⇒ =
( )
( ) : 2 2 1 0
4
( ),( )
( ) : 3 6 6 9 0
3
x y z
d
x y z
α
α β
β
− + − =

+ ⇒ =

− + + =

3. Khoảng cách
• Khoảng cách từ điểm
0 0 0
( ; ; )M x y z
đến mặt phẳng
( )
α
có
phương trình

0Ax By Cz D
+ + + =
là:
( )
0 0 0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( ),( )
α β
song song nhau có
pt
1
( ): 0Ax By Cz D
α
+ + + =
và
2
( ) : 0Ax By Cz D
β
+ + + =
là:
( )

1 2
2 2 2
( ),( )
D D
d
A B C
α β
−
=
+ +
GV: Vẽ hình minh họa mục 4)
H?. Em hãy cho biết kết quả sau?
( ) : 3 4 1 0
cos( , ) 0
( ): 2 2 1 0
x y z
n n
x y z
α β
α
β
− + − =

+ ⇒ =

+ + + =

uur uur
⇒
Góc giữa hai mp

( ),( )
α β
bằng 90
0
⇒
( ) ( )
α β
⊥
4. Góc giữa hai mặt phẳng (góc nhị diện)
Cho hai mp
( ),( )
α β
lần lượt có vtpt
1
n
ur
và
2
n
uur
. Khi đó
ϕ
là
góc giữa hai mp
( ),( )
α β
được xác định bởi:
1 2
1 2
.

cos
.
n n
n n
ϕ
=
uruur
ur uur

0 0
(0 90 )
ϕ
≤ ≤
*. Nhận xét: Góc giữa hai mp
( ),( )
α β
bằng hoặc bù với góc
giữa hai vtpt
1
n
ur
và
2
n
uur
GV: Vẽ hình minh họa câu 1)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtpt của mp
( )
α

ở câu 1)?
HS: Vì
( ) ( 4; 2;6)MN MN
α
⊥ ⇒ = − −
uuuur
là một
vtpt của mp
( )
α
GV: Vẽ hình minh họa câu 2)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtpt của mp
( )
α
ở câu 2)?
HS: Vì mp trung trực là mp vuông góc với
5. Các bài toán vận dụng
*. Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau
1). Mp
( )
α
đi qua điểm M và vuông góc với MN, biết
(1;3; 1), ( 3;1;5)M N
− −
Giải
Ta có:
(1;3; 1) ( )M
α
− ∈

( ) ( 4; 2;6)MN MN
α
⊥ ⇒ = − −
uuuur
là một vtpt của mp
( )
α
Vậy pt
( )
α
:
4( 1) 2( 3) 3( 1) 0x y z
− − − − + + =

2 3 8 0x y z
⇔ + − − =
2) Mặt phẳng
( )
α
là mặt phẳng trung trực của đoạn MN, biết
(1;3; 1), ( 3;1;5)M N
− −
Giải
Ta có:
( ) ( 4; 2;6)MN MN
α
⊥ ⇒ = − −
uuuur
là một vtpt của mp

( )
α
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 6

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó
nên
( ) ( 4; 2;6)MN MN
α
⊥ ⇒ = − −
uuuur
là một vtpt
của mp
( )
α
GV: Vẽ hình minh họa câu 3)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtpt của mp
( )
α
ở câu 3)?
HS: Vì
( ) / /( )Q
α
⇒
một vectơ pháp tuyến
của mp
( )
α
là

(2; 3;1)n
= −
r
GV: Vẽ hình minh họa câu 4)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtpt của mp
( )Q
ở câu 4)?
HS:
( )Q
chứa giá
a
r
và song song giá
b
⇒
r

một vtpt của mp
( )Q
là
, (1; 6;9)n a b
 
= = −
 
r r r
GV: Vẽ hình minh họa câu 5)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtpt của mp
( )Q

ở câu 5)?
HS: Vì mp
( )Q
qua A, B, C nên giá của
,AB AC
uuur uuur
nằm trong mp(Q)
⇒
một vectơ
pháp tuyến của mp
( )Q
là
,n AB AC
 
=
 
r uuur uuur
GV: Vẽ hình minh họa câu 6)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtpt của mp
( )Q
ở câu 6)?
HS: Vì mp
( )Q
qua A, B nên giá của
AB
uuur

nằm trong mp(Q), đồng thời
( ) ( )Q P

⊥
nên
giá vtpt của (P) nằm trong hoặc song song
mp(Q)
⇒
một vectơ pháp tuyến của mp
( )Q
là
,n AB AC
 
=
 
r uuur uuur
Gọi I là trung điểm đoạn MN
( 1;2;2) ( )I
α
⇒ − ∈
Vậy pt
( )
α
:
4( 1) 2( 2) 3( 2) 0x y z
− + − − + − =

2 3 6 0x y z
⇔ + − + =
3) Mp
( )
α
đi qua

(1; 2;3)E
−
và song song với mp
( )Q
có phương
trình
2 3 5 0x y z
− + + =
Giải
Ta có:
(1; 2;3) ( )E
α
− ∈

( ) / /( )Q
α
⇒
một vtpt của mp
( )
α
là
(2; 3;1)n
= −
r

Vậy pt
( )
α
:
2( 1) 3( 2) 1( 3) 0x y z

− − + + − =

2 3 11 0x y z
⇔ − + − =
Cách khác
Ta có:
( ) / /( )Q
α
⇒
pt
( ) : 2 3 0x y z D
α
′
− + + =
Mà
(1; 2;3) ( ) 11 0 11E D D
α
′ ′
− ∈ ⇒ + = ⇒ = −
Vậy
( ) : 2 3 11 0pt x y z
α
− + − =
4) Mp
( )Q
đi qua
(2; 1;4)A
−
và chứa giá
(3;2;1)a

=
r
, đồng thời
song song với giá
( 3;1;1)b
= −
r
Giải
Ta có:
(2; 1;4) ( )M Q
− ∈
Mp
( )Q
chứa giá
a
r
và song song giá
b
⇒
r
một vtpt của
mp
( )Q
là
, (1; 6;9)n a b
 
= = −
 
r r r

Vậy pt
( )Q
:
1( 2) 6( 1) 9( 4) 0x y z
− − + + − =

6 9 44 0x y z
⇔ − + − =
5) Mp
( )Q
đi qua ba điểm
(1; 2;3), (2;0;1), ( 1;1; 2)A B C
− − −

Giải
Ta có:
(1;2; 2), ( 2;3; 5)AB AC
= − = − −
uuur uuur
Mp
( )Q
đi qua A, B, C
⇒
một vectơ pháp tuyến của
mp
( )Q
là
, ( 4;9;7)n AB AC
 
= = −

 
r uuur uuur
Ta lại có:
(1; 2;3) ( )A Q
− ∈
Vậy pt
( )Q
:
4( 1) 9( 2) 7( 3) 0x y z
− − + + + − =

4 9 7 1 0x y z
⇔ − + + + =
6) Mp
( )Q
đi qua hai điểm
(3;1; 1), (2; 1;4)A B
− −
và vuông góc
với mp
( ) : 2 3 0P x y z
− + =
Giải
Ta có:
( 1; 2;5)AB
= − −
uuur

(2; 1;3)
P

n
= −
uur
là vtpt của mp(P)
Mp
( )Q
đi qua A, B và vuông góc với mp(P)
⇒
một
vtpt của mp
( )Q
là
, ( 1;13;5)
P
n AB n
 
= = −
 
r uuur uur
Ta lại có:
(3;1; 1) ( )A Q
− ∈
Vậy pt
( )Q
:
1( 3) 13( 1) 5( 1) 0x y z
− − + − + + =
13 5 5 0x y z
⇔ − − + =
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 7

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
GV: Vẽ hình minh họa câu 1)
H?. Một em đại diện cho biết phương trình
của mp
( )Oxy
ở câu 1)? và hai mp song song
có quan hệ như thế nào?
+
( ) : 0pt Oxy z
=
+
( ) / /( ) : 0 ( ) : 0Oxy z pt z D
α α
′
= ⇒ + =
GV: Vẽ hình minh họa câu 2)
H?. Một em đại diện cho biết mp
( )
α
vuông
với Oy thì nó song song với mp tọa độ nào
ở câu 2)?
( ) ( ) / /( ) : 0 ( ) : 0Oy Oxz y pt y D
α α α
′
⊥ ⇒ = ⇒ + =
GV: Vẽ hình minh họa câu 3)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtpt của mp

( )Q
ở câu 3)?
Vì mp
( )Q
qua K và chứa trục Ox nên giá
của
,OK i
uuur r
nằm trong mp(Q)
⇒
một vtpt
của mp
( )Q
là
, (0; 1; 3)n OK i
 
= = − −
 
r uuur r
GV: Vẽ hình minh họa câu 4)
H?. Một em đại diện cho biết tọa độ A, B, C
là hình chiếu của điểm M ở câu 4)? và
phương trình mp theo đoạn chắn?
+
(2;0;0) , (0; 3;0) , (0;0;4)A Ox B Oy C Oz
∈ − ∈ ∈
+
( ;0;0) , (0; ;0) , (0;0; )A a Ox B b Oy C c Oz
∈ ∈ ∈
1

x y z
a b c
⇒ + + =
là pt mp theo đoạn chắn
GV: Vẽ hình minh họa câu 5)
H?. Một em đại diện cho biết tọa độ A, B, C
là hình chiếu của điểm M ở câu 5)? và cách
xác định một vtpt của mp(Q)?
(2; 3;0) ( ), (2;0;4) ( ), (0; 3;4) ( )A Oxy B Oxz C Oyz
− ∈ ∈ − ∈
+ vì mp
( )Q
qua A, B, C nên giá của
,AB AC
uuur uuur

nằm trong mp(Q)
⇒
một vtpt của mp
( )Q
là
,n AB AC
 
=
 
r uuur uuur
GV: Vẽ hình minh họa bài 3)
H?. Một em đại diện cho biết dạng phương
trình của mp(P) ở bài 3?
HS: Vì mp(P) chứa trục Oz nên

*. Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau
1). Mp
( )
α
đi qua điểm
(2;5; 4)I
−
và song song với mp(Oxy)
Giải
Ta có:
( ) / /( ) : 0 ( ) : 0Oxy z pt z D
α α
′
= ⇒ + =

Mà
(2;5; 4) ( ) 4 0 4I D D
α
′ ′
− ∈ ⇒ − + = ⇒ =
Vậy
( ) : 4 0pt z
α
+ =
2). Mp
( )
α
đi qua điểm
(2;5; 4)I
−

và vuông góc với trục Oy
Giải
Ta có:
( ) ( ) / /( ) : 0 ( ) : 0Oy Oxz y pt y D
α α α
′
⊥ ⇒ = ⇒ + =

Mà
(2;5; 4) ( ) 6 0 5I D D
α
′ ′
− ∈ ⇒ + = ⇒ = −
Vậy
( ) : 5 0pt z
α
− =
3). Mp
( )Q
đi qua điểm
(2;3; 1)K
−
và chứa trục Ox
Giải
Ta có:
(2;3; 1)OK
= −
uuur

(1;0;0)i

=
r
là vectơ đơn vị trên trục Ox
Mp
( )Q
đi qua K và chứa trục Ox
⇒
một vtpt của mp
( )Q
là
, (0; 1; 3)n OK i
 
= = − −
 
r uuur r
Ta lại có:
(0;0;0) ( )O Q
∈
Vậy pt
( )Q
:
3 0y z
− − =

3 0y z
⇔ + =
4). Mp
( )Q
đi qua ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông
góc của điểm

(2; 3;4)M
−
lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz
Giải
Ta có:
(2;0;0) , (0; 3;0) , (0;0;4)A Ox B Oy C Oz
∈ − ∈ ∈
Mp
( )Q
đi qua A, B, C
Vậy
( ) : 1
2 3 4
x y z
pt
α
+ + =
−
6 4 3 12 0x y z
⇔ − + − =
5). Mp
( )Q
đi qua ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông
góc của điểm
(2; 3;4)M
−
lên các mp tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz)
Giải
Ta có:
(2; 3;0) ( ), (2;0;4) ( ), (0; 3;4) ( )A Oxy B Oxz C Oyz

− ∈ ∈ − ∈

(0;3;4), ( 2;0;4)AB AC
= = −
uuur uuur
Mp
( )Q
đi qua A, B, C
⇒
một vectơ pháp tuyến của
mp
( )Q
là
, (12; 8;6)n AB AC
 
= = −
 
r uuur uuur
Ta lại có:
(2; 3;0) ( )A Q
− ∈
Vậy pt
( )Q
:
12( 2) 8( 3) 6( 0) 0x y z
− − + + − =
6 4 3 24 0x y z
⇔ − + − =
*. Bài 3: Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và hợp với mặt
phẳng

( ) : 2 5 0x y z
α
+ − =
một góc 60
0
Giải
Vì mp(P) chứa trục Oz nên
( ) : 0pt P Ax By
+ =
(ĐK
. 0A B
≠
)
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 8

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
( ) : 0P Ax By
+ =
H?. Em hãy nhắc lại công thức tính góc giữa
hai mp?
HS:
( )
.
cos ( ),( )
.
P
P
n n
P
n n

α
α
β
=
uuruur
uur uur
GV: Vẽ hình minh họa bài 4)
H?. Một em đại diện cho biết dạng phương
trình của mp(P) ở bài 4?
HS: Vì mp(P) chứa
, ,A Ox B Oy C Oz
∈ ∈ ∈

nên viết theo pt mp theo đoạn chắn.
H?. Em hãy nhắc lại công thức tính thể tích
tứ diện OABC? và từ đó nêu các công thức
liên quan?
+
1
.
3
OABC OBC
V OA S
∆
=
+
2 2 2
A A A
OA x y z
= + +

+
OBC∆
vuông tại O
1
.
2
OBC
S OB OC
∆
⇒ =
GV: Vẽ hình minh họa bài 5)
H?. Một em đại diện cho biết kiến thức liên
quan đến 2 mp vuông góc và góc của hai
mp ở bài 5?
+
( ) ( ) . 0
P Q
P Q n n
⊥ ⇒ =
uuruur
+
( )
0
.
2
cos ( ),( ) cos45
2
.
P R
P R

n n
P R
n n
= ⇔ =
uuruur
uur uur
Ta có:
( ; ;0)
P
n A B
=
uur
là vtpt của mp(P)

(2;1; 5)n
α
= −
uur
là vtpt của mp
( )
α
Do đó
0
2 2
.
2
1
cos60
2
.

10.
P
P
n n
A B
n n
A B
α
α
+
= ⇔ =
+
uur uur
uur uur

2 2
3
6 16 6 0
3
A B
A AB B
B
A
= −


⇔ + − = ⇔

=


Vậy ta có hai mp(P) thỏa ycbt

1
( ) : 3 0 3 0P Bx By x y
− + = ⇔ − =
vì
0B
≠

2
( ) : 0 3 0
3
B
P x By x y
+ = ⇔ + =
vì
0B
≠
*. Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm
(2;0;0)A
,
(0; 3;6)M
−
và cắt Oy, Oz lần lượt tại B, C sao cho thể
tích tứ diện OABC bẳng 3
Giải
Gọi
(0; ;0) , (0;0; )B b Oy C c Oz
∈ ∈
với

0bc
≠
Ta có:
(2;0;0)A Ox
∈
Mp
( )P
đi qua A, B
( ) : 1
2
x y z
P
b c
⇒ + + =
Vì
(0; 3;6) ( ) 6 3M P b c bc
− ∈ ⇒ − =
(1)

1 1 1
3 . 3 .2. 3 9
3 3 2
OABC OBC
V OA S bc bc
∆
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
(2)
Giải hệ gồm (1) và (2) ta được
3
3

, 6
2
b c
b c
= =



= − = −

Vậy có hai pt(P) thỏa ycbt
1
( ) : 1 3 2 2 6 0
2 3 3
x y z
P x y z
+ + = ⇔ + + − =
2
2
( ) : 1 3 4 6 0
2 3 6
x y z
P x y z
− − = ⇔ − − − =
*. Bài 5: Viết phương trình mp(P) đi qua gốc tọa độ O, vuông
góc mp
( ) :5 2 5 1 0Q x y z
− + + =
và tạo với mp
( ): 4 8 1 0R x y z

− − + =

một góc là 45
0
Giải
Gọi
( ) : 0P Ax By Cz D
+ + + =
là mp cần tìm
Ta có: (P) đi qua gốc tọa độ O nên
0D
=
(1)

5
( ) ( ) . 0 5 2 5 0 ( )
2
P Q
P Q n n A B C B A C
⊥ ⇒ = ⇒ − + = ⇒ = +
uuruur
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
5
( ) : ( ) 0
2
P Ax A C y Cz
+ + + =
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 9

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
H?. Em hãy nhắc lại định nghĩa vtpt của
mp? từ đó có kết luận gì về giá trị C?
+Vectơ
0n
≠
r r
được gọi là một vectơ pháp
tuyến của mp
( )
α
nếu giá của nó vuông góc
với mp
( )
α
+ vì
( ;0; )
Q
n A C
=
uur
và
A C
= −
hoặc
7
C
A
=
nên

0C
≠
.
Mặt khác:
( )
0
.
2
cos ( ),( ) cos 45
2
.
P R
P R
n n
P R
n n
= ⇔ =
uur uur
uur uur
2 2 2
10( ) 8
2
2
25
51. ( )
4
A A C C
A A C C
− + −
⇔ =

+ + +
2 2
21 18 3 0
7
A C
A AC C
C
A
= −


⇔ + − = ⇔

=

Vậy ta có hai mp(P) thỏa ycbt

1
( ) : 0 0P Cx Oy Cz x z
− + + = ⇔ − =
vì
0C
≠

2
20
( ) : 0 20 7 0
7 7
C C
P x y Cz x y z

+ + = ⇔ + + =
vì
0C
≠
Tổng kết và hướng dẫn học tập:
+ Thông thường để viết phương trình mp thì ta cần phân tích giả thiết bài toán nhằm: Xác định một điểm và
một vtpt của mp. Khi đó: Phương trình của mp
( )
α
đi qua
0 0 0
( ; ; )M x y z
và có một vtpt
( ; ; )n A B C
=
r
là:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
− + − + − =
+ Ngoài ra để viết phương trình mp thì ta cần vận dụng tốt các kiến thức liên quan như: ptmp chứa các trục
tọa độ, mp tọa độ, khoảng cách, góc nhị diện, thể tích khối tứ diện, ptmp theo đoạn chắn, . . .
+ Bài tập tự luyện để nắm vững các công thức đã học: Bài 8, 9 – SGK trang 81
+ Bài tập tự luyện để nắm vững các dạng toán vận dụng đã học: Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 – SGK trang 80
*. CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
( Thực hiện: 3 tiết)
Hoạt động
của giáo viên và học sinh
Nội dung ghi nhận
H?. Em hãy nhắc lại định nghĩa vtcp của

đường thẳng trong mp?
HS: Vectơ
0u
≠
r r
được gọi là một vectơ chỉ
phương của đường thẳng d nếu giá của nó
song song hoặc trùng với d
GV: Vẽ hình minh họa mục a)
H?. Em hãy nêu lại ptts và ptct của đường
thẳng trong hình học phẳng?
ptts
0
0
x x at
y y bt
= +


= +

, ptct
0 0
x x y y
a b
− −
=
H?. Em hãy cho biết các yếu tố cần thiết để
viết được một phương trình đt?
HS: Các yếu tố cần thiết để viết được một

1. Phương trình đường thẳng
a). Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ
0u
≠
r r
được gọi là một vectơ chỉ phương của đường
thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với d
*. Nhận xét: Nếu hai vectơ
,a b
r r
không cùng phương và có giá
vuông góc với đường thẳng d thì đt d có một vtcp là
,u a b
 
=
 
r r r
b). Phương trình của đường thẳng
• Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua
0 0 0
( ; ; )M x y z
và có một vtcp
( ; ; )u a b c
=
r
là:
0

0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +


( )t ∈¡
• Phương trình chính tắc của đường thẳng
∆
đi qua
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 10
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
phương trình đt là một vtcp và một điểm
của đt.
0 0 0
( ; ; )M x y z
và có một vtcp
( ; ; )u a b c
=
r
là:
0 0 0

x x y y z z
a b c
− − −
= =

( 0)abc ≠
GV: Vẽ hình minh họa mục 2)
H?. Em hãy cho hai cặp phương trình đường
thẳng
1 2
,d d
cho thấy chúng song song hoặc
trùng và cắt nhau hoặc chéo nhau?
1
2
3 6 4
:
2 4 1
2 1 5
:
6 12 3
x y z
d
x y z
d
− − −

= =



+

− − −

= =


Vì chúng có
1 2
, 0u u
 
=
 
ur uur r
nên chúng song
song hoặc trùng nhau
1
2
3 6 4
:
2 4 1
2 1 5
:
1 1 2
x y z
d
x y z
d
− − −


= =


+

− − −

= =

 −

Vì chúng có
1 2
, 0u u
 
≠
 
ur uur r
nên chúng cắt hoặc
chéo nhau
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đt:
1
d
đi qua điểm M
1
và có một vtcp
1
u
ur

2
d
đi qua điểm M
2
và có một vtcp
2
u
uur
Khi đó:
•
1 2
1 2
1 1 2
, 0
, 0
u u
d d
u M M

 
=
  
≡ ⇔

 
=

 


ur uur r
ur uuuuuur r
•
1 2
1 2
1 1 2
, 0
/ /
, 0
u u
d d
u M M

 
=
  
⇔

 
≠

 

ur uur r
ur uuuuuur r
•
1 2
,d d
cắt nhau
1 2

1 2 1 2
, 0
, . 0
u u
u u M M

 
≠
  
⇔

 
=

 

ur uur r
ur uur uuuuuur
•
1 2
,d d
chéo nhau
1 2
1 2 1 2
, 0
, . 0
u u
u u M M

 

≠
  
⇔

 
≠

 

ur uur r
ur uur uuuuuur
*. Đặc biệt:
1 2 1 2
. 0d d u u
⊥ ⇔ =
ur uur
GV: Vẽ hình minh họa mục 3)
H?. Em hãy cho hai cặp phương trình đường
thẳng
d
và mp(P) cho thấy chúng cắt nhau
và song song hoặc trùng nhau?
1 1 1
:
5 4 3
( ) : 3 0
x y z
d
P x y z
− − −


= =

+
−


+ + − =

Vì chúng có
. 0u n ≠
r r
nên chúng cắt nhau
2
: 3
1
( ): 3 0
x t
d y t
z
P x y z
 = +



= −
 
+



=



+ + − =

( )t ∈¡
Vì chúng có
. 0u n =
r r
nên chúng cắt hoặc
chéo nhau
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đt và mp: d đi qua điểm M và có một vtcp
u
r

( )
α
có một vtpt
n
r
Khi đó:
• d cắt
( )
α

. 0u n
⇔ ≠
r r

•
. 0
/ /( )
( )
u n
d
M
α
α

=

⇔

∉


r r
•
. 0
( )
( )
u n
d
M
α
α

=


⊂ ⇔

∈


r r
*. Chú ý: Ta có thể xét vị trí tương đối của đt
0
0
:
x x at
d y y bt
z z ct
= +


= +


= +

(1)
và mp
( ) : 0Ax By Cz D
α
+ + + =
(2) bằng cách giải hệ gồm (1) và
(2)
0 0 0
: ( ) ( ) ( ) 0pt A x at B y bt C z ct D

⇒ + + + + + + =
(*)
+ pt (*) có đúng 1 nghiệm
⇔
d cắt
( )
α
+ pt (*) vô nghiệm
⇔
d //
( )
α
+ pt (*) vô số nghiệm
⇔

( )d
α
⊂
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 11
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
GV: Vẽ hình minh họa mục 4)
H?. Một em đại diện cho biết các kết quả
sau?
+ Tọa độ một điểm và một vtcp của đt
2
: 3
1 2
x t
d y t
z t

= +


= −


= +


( )t ∈¡
?

d⇒
đi qua điểm
(2;3;1)M
và có một vtcp
là
(1; 1;2)a = −
r
+ Tọa độ một điểm và một vtcp của đt
1 1
:
2 2 4
x y z− +
∆ = =
−
?
⇒ ∆
đi qua điểm
(1;0; 1)N −

và có một vtcp
là
(2; 2;4)b = −
r
+ Quan hệ giữa d và
∆
, khoảng cách giữa
chúng?
/ /d
⇒ ∆
và
( )
,
2 30
,
3
a MN
d d
a
 
 
∆ = =
r uuuur
r
4. Khoảng cách
Giả sử:
1
∆
đi qua điểm M
1

và có một vtcp
1
u
ur

2
∆
đi qua điểm M
2
và có một vtcp
2
u
uur
Khi đó:
• Khoảng cách từ một điểm I đến đt
1
∆
là:
( )
1 1
1
1
,
,
u M I
d I
u
 
 
∆ =

ur uuuur
ur
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
1
∆
,
2
∆
là:
( )
1 1 2
1 2
1
,
,
u M M
d
u
 
 
∆ ∆ =
ur uuuuuur
ur
( hoặc
2 1 2
2
,u M M
u
 
 

uur uuuuuur
uur
)
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1
∆
,
2
∆
là:
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
,
,
u u M M
d
u u
 
 
∆ ∆ =
 
 
ur uur uuuuuur
ur uur
Chú ý:
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng
cách giữa đường thẳng này với mặt phẳng chứa đường thẳng

còn lại và song song với nó
+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng
khoảng từ một điểm của đường thẳng đến mặt phẳng
GV: Vẽ hình minh họa mục 5)
H?. Hãy nhắc lại công tính tính góc của hai
vectơ?
HS:
( )
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
u u
u u
u u
=
ur uur
ur uur
ur uur

0 0
(0 180 )
ϕ
≤ ≤
5. Góc giữa hai đường thẳng, giữa đt và mp
Giả sử:
1
∆

có một vtcp
1
u
ur
và
2
∆
có một vtcp
2
u
uur

( )
α
có một vtpt
n
r
Khi đó:
• Góc
ϕ
giữa hai đt
1
∆
,
2
∆
được xác định bởi công thức:
1 2
1 2
.

cos
.
u u
u u
ϕ
=
uruur
ur uur

0 0
(0 90 )
ϕ
≤ ≤
• Góc
ω
giữa đt
1
∆
và mp
( )
α
được xác định bởi công thức:
1
1
.
sin
.
u n
u n
ω

=
ur r
ur r

0 0
(0 90 )
ω
≤ ≤
GV: Vẽ hình minh họa câu 1)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtcp của đt
∆
ở câu 1)?
HS: Vì
∆
đi qua M, N
(1;1;5)MN⇒ =
uuuur
là
một vtcp của đt
∆
6. Các bài toán vận dụng
*. Bài 1: Viết ptts, ptct (nếu có) đt trong các trường hợp sau
1).
∆
đi qua hai điểm
(1;2; 1), (2;3;4)M N
−
Giải
Ta có:

(1;2; 1)M
− ∈ ∆

∆
đi qua M, N
(1;1;5)MN⇒ =
uuuur
là một vtcp của đt
∆
Vậy có
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 12
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
GV: Vẽ hình minh họa câu 2)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtcp của đt
∆
ở câu 2)?
/ /Ox
∆

(1;0;0)i⇒ =
r
là một vtcp của đt
∆
GV: Vẽ hình minh họa câu 3)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtcp của đt
∆
ở câu 3)?
( )

α
∆ ⊥ ⇒
một vtcp của đt
∆
là
(1;2; 2)n
α
= −
uur
GV: Vẽ hình minh họa câu 4)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtcp của đt
∆
ở câu 4)?
/ /d
∆ ⇒
một vtcp của đt
∆
là
(1;2;0)
d
a =
uur
GV: Vẽ hình minh họa câu 5)
H?. Một em đại diện nêu lại khái niệm
đường thẳng trung trực của đoạn thẳng ? rồi
cho biết cách xác định một vtcp của đt
∆
ở
câu 5)?

+
∆
là đường trung trực của đoạn thẳng MN
ptts
1
: 2
1 5
x t
y t
z t
= +


∆ = +


= − +


( )t
∈
¡
ptct
1 2 1
:
1 1 5
x y z
− − +
∆ = =
2).

∆
đi qua điểm
(1;3;0)A
và song song trục Ox
Giải
Ta có:
(1;3;0)A
∈ ∆

/ /Ox
∆

(1;0;0)i⇒ =
r
là một vtcp của đt
∆
Vậy có ptts

: 3
1
x t
y
z
=


∆ =


= −



( )t
∈
¡
3).
∆
đi qua điểm
( 2;1;0)B
−
và vuông góc với mặt phẳng
( )
α

có phương trình
2 2 9 0x y z
+ − − =
Giải
Ta có:
( 2;1;0)B
− ∈ ∆

( )
α
∆ ⊥ ⇒
một vtcp của đt
∆
là
(1;2; 2)n
α

= −
uur
Vậy có
ptts
2
: 1 2
2
x t
y t
z t
= − +


∆ = +


= −


( )t
∈
¡
ptct
2 1
:
1 2 2
x y z
+ −
∆ = =
−

4).
∆
đi qua điểm
(2;1;4)C
và song song với đường thẳng d có
phương trình
2
1 2
3
x t
y t
z
= +


= − +


=

Giải
Ta có:
(2;1;4)C
∈ ∆

/ /d
∆ ⇒
một vtcp của đt
∆
là

(1;2;0)
d
a =
uur
Vậy có ptts
2
: 1 2
4
x t
y t
z
= +


∆ = +


=


( )t
∈
¡
5).
∆
đi qua điểm
( 2;0;1)D
−
và là đường thẳng trung trực của
đoạn thẳng MN với

(1;2; 1), (3; 4;1)M N
− −
Giải
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN
(2; 1;0)I⇒ −
Ta có:
( 2;0;1)D
− ∈ ∆

∆
đi qua điểm D và là đường thẳng trung trực của đoạn
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 13
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
nếu nó vuông góc với đoạn thẳng MN tại
trung điểm của MN.
+ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN
(2; 1;0)I⇒ − ∈∆
và
∆
đi qua điểm D
⇒
một vtcp của đt
∆
là
( 4;1;1)ID = −
uur
GV: Vẽ hình minh họa câu 1)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtcp của đt
∆

ở câu 1)?
HS: Vì
∆
vuông góc với mặt phẳng (ABC)
tại A nên
∆
vuông với giá hai vectơ không
cùng phương
,AB AC
uuur uuur

⇒
một vectơ chỉ
phương của của đt
∆
là
,u AB AC
 
=
 
r uuur uuur
GV: Vẽ hình minh họa câu 2)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtcp của đt
∆
ở câu 2)?
HS: Vì
∆
song song với giao tuyến mp(P)
và mp(Q) nên

∆
vuông với giá hai vectơ
không cùng phương
,
P Q
n n
uur uur

⇒
một vectơ
chỉ phương của của đt
∆
là
,
P Q
u n n
 
=
 
r uur uur
GV: Vẽ hình minh họa câu 3)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
một vtcp của đt
∆
ở câu 3)?
HS: Vì
∆
là giao tuyến của mp(P) và mp(Q)
nên
∆

vuông với giá hai vectơ không cùng
thẳng MN
⇒
một vtcp của đt
∆
là
( 4;1;1)ID = −
uur
Vậy có
ptts
2 4
:
1
x t
y t
z t
= − −


∆ =


= +


( )t
∈
¡
ptct
2 1

:
4 1 1
x y z
+ −
∆ = =
−
*. Bài 2: Viết ptts, ptct (nếu có) đt trong các trường hợp sau
1).
∆
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A với
(3; 1;0),A −

(1;2; 1), ( 2;0;3)B C
− −
Giải
Ta có:
( 2;3; 1), ( 5;1;3)AB AC
= − − = −
uuur uuur
Mà
(3; 1;0)A
− ∈ ∆

( )ABC
∆ ⊥ ⇒
một vtcp của đt
∆
là
( )
,

ABC
n AB AC
 
=
 
uuuuur uuur uuur

(10;11;13)=
Vậy có
ptts
3 10
: 1 11
13
x t
y t
z t
= +


∆ = − +


=


( )t
∈
¡
ptct
3 1

:
10 11 13
x y z
− +
∆ = =
2).
∆
đi qua
(1;2; 1)B −
và song song với giao tuyến của hai mặt
phẳng
( ) : 3 2 2 0,( ) : 4 5 1 0P x y z Q x y z− + = + − + =
Giải
Ta có:
(3; 2;2)
P
n
= −
uur
là một vtpt của mp(P)

(4;5; 1)
Q
n
= −
uur
là một vtpt của mp(Q)
Mà
(1;2; 1)B
− ∈ ∆

∆
song song với giao tuyến mp(P) và mp(Q)
⇒
một vtcp
của đt
∆
là
, ( 8;11;23)
P Q
u n n
 
= = −
 
r uur uur
Vậy có
ptts
1 8
: 2 11
1 23
x t
y t
z t
= −


∆ = +


= − +



( )t
∈
¡
ptct
1 2 1
:
8 11 23
x y z
− − +
∆ = =
−
3).
∆
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương
trình
( ) : 3 4 15 0,( ) : 2 7 0P x y z Q x y z+ + − = + − − =
Giải
Ta có:
(3;4;1)
P
n
=
uur
là một vtpt của mp(P)
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 14
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
phương
,

P Q
n n
uur uur

⇒
một vectơ chỉ phương
của của đt
∆
là
,
P Q
u n n
 
=
 
r uur uur
GV: Hướng dẫn hs cách giải hệ từ hai pt của
mp(P) và mp(Q)
3 4 15 0 3 4 15
2 7 0 2 7
x y z x y z
x y z x y z
+ + − = + = − +
 
⇒
 
+ − − = + = +
 
3 1
2 3

x z
y z
= − +

⇒

= +

GV: Vẽ hình minh họa bài 3)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
hình chiếu vuông góc của đt
∆
ở bài 3)?
+ Viết pt của mp(Q) chứa đt
∆
và vuông góc
với mp
( )
α
+ Khi đó: đt
∆
thỏa ycbt là giao tuyến của
mp(Q) và mp
( )
α
GV: Hướng dẫn hs cách giải hệ từ hai pt của
mp(Q) và mp
( )
α
4 3 5 0 4 3 5

10 0 10
x y z x z y
x y z x z y
+ − − = − = − +
 
⇒
 
− + + = + = −
 
2
1
5
7
9
5
x y
z y

= − −


⇒


= −



(1;2; 1)
Q

n
= −
uur
là một vtpt của mp(Q)
Mà
∆
là giao tuyến của mp(P) và mp(Q)
⇒
một vtcp của đt
∆

là
, ( 6;4;2)
P Q
u n n
 
= = −
 
r uur uur
Gọi
( ) ( ) (1;3;0)M P Q M
∈ ∩ ⇒ ∈ ∆
Vậy có
ptts
1 6
: 3 4
2
x t
y t
z t

= −


∆ = +


=


( )t
∈
¡
ptct
1 3
:
6 4 2
x y z
− −
∆ = =
−
Cách khác
Từ hai pt của mp(P) và mp(Q), ta lập được hệ pt:
3 4 15 0 3 4 15 3 1
2 7 0 2 7 2 3
x y z x y z x z
x y z x y z y z
+ + − = + = − + = − +
  
⇒ ⇒
  

+ − − = + = + = +
  
Đặt
z t
=
, ta được ptts của giao tuyến
1 3
: 3 2

x t
y t
z t
= −


∆ = +


=

( )t
∈
¡
Từ ptts
∆ ⇒
ptct
1 3
:
3 2 1
x y z

− −
∆ = =
−
*. Bài 3: Viết ptđt
′
∆
là hình chiếu của đt
1 1 4
:
1 3 5
x y z
− + +
∆ = =
− −
trên mặt phẳng
( ) : 10 0x y z
α
− + + =
Giải
+ Viết pt của mp(Q) chứa đt
∆
và vuông góc với mp
( )
α
Ta có:
(1; 3; 5)u
= − −
r
là một vtcp của đt
∆

(1; 1;1)n
α
= −
uur
là một vtpt của mp(Q)
Mà mp(Q) chứa đt
∆
và vuông góc với mp
( )
α
⇒
một vtpt của
mp(Q) là
, ( 8;6;2)n u n
α
 
= = −
 
r r uur
Gọi
(1; 1;4) ( )M M Q
∈ ∆ ⇒ − ∈
Do đó pt(Q):
8( 1) 6( 1) 2( 4) 0x y z
− − + + + − =

4 3 5 0x y z
⇔ + − − =
+ Khi đó: đt

∆
thỏa ycbt là giao tuyến của mp(Q) và mp
( )
α
Từ hai pt của mp(Q) và mp
( )
α
, ta lập được hệ pt:
2
1
4 3 5 0 4 3 5
5
10 0 10 7
9
5
x y
x y z x z y
x y z x z y
z y

= − −

+ − − = − = − +
 

⇒ ⇒
  
− + + = + = −
 


= −


“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 15
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
GV: Vẽ hình minh họa bài 4)
H?. Một em đại diện cho biết nếu gọi B là
giao điểm của
∆
và d thì ta có kết luận gì về
dạng tọa độ của B và mối quan hệ giữa hai
vectơ
,AB a
uuur r
?
+
(1 3 ; 1 2 ;3 5 )B d B t t t
= ∆ ∩ ⇒ + − + −
+
∆
vuông góc với giá của
a
r
nên
AB a
⊥
uuur r
GV: Vẽ hình minh họa bài 5)
H?. Một em đại diện cho biết nếu gọi B là
giao điểm của

∆
và d thì ta có kết luận gì về
dạng tọa độ của B và mối quan hệ giữa hai
vectơ
,AB n
α
uuur uur
?
+
(2 3 ; 4 2 ;1 2 )B d B t t t
= ∆ ∩ ⇒ + − − +
+ Vì
/ /( )
α
∆
nên
AB n
α
⊥
uuur uur
GV: Vẽ hình minh họa bài 6)
H?. Một em đại diện cho biết nếu gọi A, B
lần lượt là giao điểm của
1 2
,d d
và mp(P) thì
ta có kết luận gì về mối quan hệ giữa đt
∆
và
đt AB?

Đặt
5y t
= −
, ta được ptts
1 2
: 5
9 7
x t
y t
z t
= − +


′
∆ = −


= − −

( )t
∈
¡
*. Bài 4: Cho điểm
( 1;2; 3)A
− −
, vectơ
(6; 2; 3)a
= − −
r
và đường

thẳng d có phương trình
1 3
1 2
3 5
x t
y t
z t
= +


= − +


= −

( )t
∈
¡
. Viết phương trình
đường thẳng
∆
đi qua điểm A, vuông góc với giá của
a
r
và cắt
đường thẳng d
Giải
Gọi
(1 3 ; 1 2 ;3 5 )B d B t t t
= ∆ ∩ ⇒ + − + −

Ta có
(2 3 ; 3 2 ;6 5 )AB t t t
= + − + −
uuur
Vì
∆
vuông góc với giá của
a
r
nên
AB a
⊥
uuur r
6(2 3 ) 2( 3 2 ) 3(6 5 ) 0t t t⇒ + − − + − − =

29 0 0t t
⇒ = ⇒ =
Do đó
(2; 3;6)AB
= −
uuur
là một vtcp của đt
∆

( 1;2; 3)A
− − ∈ ∆
Vậy ptts
1 2
: 2 3
3 6

x t
y t
z t
= − +


∆ = −


= − +


( )t
∈
¡
*. Bài 5: Lập phương trình đt
∆
đi qua điểm
(3; 2; 4)A
− −
, song
song với mp
( ) : 3 2 3 7 0x y z
α
− − − =
đồng thời cắt đường thẳng
2 4 1
:
3 2 2
x y z

d
− + −
= =
−
Giải
Gọi
(2 3 ; 4 2 ;1 2 )B d B t t t
= ∆ ∩ ⇒ + − − +
Ta có
( 1 3 ; 2 2 ;5 2 )AB t t t
= − + − − +
uuur

(3; 2; 3)n
α
= − −
uur
là một vtpt của mp
( )
α
Vì
/ /( )
α
∆
nên
3( 1 3 ) 2( 2 2 ) 3(5 2 ) 0AB n t t t
α
⊥ ⇒ − + − − − − + =
uuur uur

7 14 0 2t t
⇒ − = ⇒ =
Do đó
(5; 6;9)AB
= −
uuur
là một vtcp của đt
∆

(3; 2; 4)A
− − ∈ ∆
Vậy ptts
3 5
: 2 6
4 9
x t
y t
z t
= +


∆ = − −


= − +


( )t
∈
¡

*. Bài 6: Lập phương trình đt
∆
nằm trong mp(P):
2 0y z
+ =
và
cắt hai đường thẳng
1
2
: 4 2
1
x t
d y t
z
= −


= +


=

,
2
1
:
1 1 4
x y z
d
−

= =
−
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 16
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
HS: Vì A, B lần lượt là giao điểm của
1 2
,d d

và mp(P) nên đt AB nằm trong mp(P) và cắt
1 2
,d d
. Như vậy: đt
∆
thỏa ycbt là đt đi qua
A, B
GV: Vẽ hình minh họa bài 7)
H?. Một em đại diện cho biết ta lập được
bao nhiêu mp(Q) qua A và song song với
(P)? Từ đó có kết luận gì về mối quan hệ
giữa đt
∆
và mp(Q)?
HS: Có duy nhất một mp(Q) và
( )Q
∆ ⊂
H?. Một em đại diện cho biết điều kiện cần
để có khoảng cách từ B đến đt
∆
là nhỏ
nhất?

HS: Điều kiện cần để có khoảng cách từ B
đến đt
∆
là nhỏ nhất là H là hình chiếu
vuông góc của điểm B trên mp(Q)
H?. Như vậy, hãy cho biết một điểm và một
vtcp của đt
∆
thỏa ycbt?
HS: đt
∆
thỏa ycbt là đt đi qua A, H
⇒
một
vtcp của đt
∆
là
26 11 2
( ; ; )
9 9 9
AH
−
=
uuur
và
( 3;0;1)A
− ∈ ∆
Giải
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (P) với
1 2

,d d
Từ ptct
2 2
1
:
4
x t
d pttsd y t
z t
′
= −


′
⇒ =


′
=

Tọa độ điểm A thỏa hệ pt
2 5
4 2 2
(5; 2;1)
1 1
2 0 3
x t x
y t y
A
z z

y z t
= − =
 
 
= + = −
 
⇒ ⇒ −
 
= =
 
 
+ = = −
 
Tọa độ điểm B thỏa hệ pt
1 1
0
(1;0;0)
4 0
2 0 0
x t x
y t y
B
z t z
y z t
′
= − =
 
 
′
= =

 
⇒ ⇒
 
′
= =
 
 
′
+ = =
 
Khi đó: đt
∆
thỏa ycbt là đt đi qua A, B
⇒
một vtcp của
∆
là
( 4;2; 1)AB
= − −
uuur
và
(1;0;0)B
∈ ∆
Vậy ptts
3 5
: 2 6
4 9
x t
y t
z t

= +


∆ = − −


= − +


( )t
∈
¡
*. Bài 7: Trong không gian Oxyz cho mp(P):
2 2 5 0x y z
− + − =

và hai điểm
( 3;0;1), (1; 1;3)A B
− −
. Hãy phương trình đt
∆
đi qua
A và song song với mp(P), đồng thời có khoảng cách với điểm
B là nhỏ nhất
Giải
+ Lập pt mp(Q) qua A và song song mp(P)
Ta có:
( 3;0;1) ( )A Q
− ∈

( ) / /( )Q P
⇒
một vtpt của mp(Q) là
(1; 2;2)
P
n
= −
uur
Do đó pt(Q):
( ) ( ) ( )
1 3 2 0 2 1 0x y z
+ − − + − =

2 2 1 0x y z
⇔ − + + =
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm B trên mp(Q)
• Lập ptts d đi qua B và vuông góc mp(Q)
Ta có:
(1; 1;3)B d
− ∈

( )d Q
⊥ ⇒
một vtcp của đt d là
(1; 2;2)
Q
n
= −
uur
Do đó ptts

1
: 1 2
3 2
x t
y t
z t
= +


∆ = − −


= +


( )t
∈
¡
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 17
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
• Khi đó: Tọa độ H thỏa hpt
1

9
1
11
1 2
9
3 2 7

9
2 2 1 0
10
9
x
x t
y
y t
z t
z
x y z
t
−

=


= +


=

= − −


⇒
 
= +
 
=

 
− + + =


−

=

1 11 7
( ; ; )
9 9 9
H
−
⇒
+ Khi đó: đt
∆
thỏa ycbt là đt đi qua A, H
⇒
một vtcp của đt
∆

là
26 11 2
( ; ; )
9 9 9
AH
−
=
uuur
và

( 3;0;1)A
− ∈ ∆
Vậy ptts
26
3
9
11
:
9
2
1
9
x t
y t
z t

= − +



∆ =



= −


hay
3 26
11

1 2
x t
y t
z t
= − +


=


= −


( )t
∈
¡
Tổng kết và hướng dẫn học tập:
+ Thông thường để viết phương trình đt thì ta cần phân tích giả thiết bài toán nhằm: Xác định một điểm và
một vtcp của đt. Khi đó: Đường thẳng
∆
đi qua
0 0 0
( ; ; )M x y z
và có một vtcp
( ; ; )u a b c
=
r
có:
ptts
0

0
:
x x at
y y bt
z z ct
= +


∆ = +


= +


( )t ∈¡
và ptct
0 0 0
:
x x y y z z
a b c
− − −
∆ = =
( nếu
0)abc ≠
+ Ngoài ra để viết phương trình đt thì ta cần vận dụng tốt các kiến thức liên quan như: khoảng cách, góc, sự
tương giao, . . .
+ Bài tập tự luyện để nắm vững các công thức đã học: Bài 3, 4, 5, 6 – SGK trang 90.
+ Bài tập tự luyện để nắm vững các dạng toán vận dụng đã học: Bài 1, 2, – SGK trang 89; : Bài 7, 11 – SGK
trang 92, 93.
*. CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

(Thực hiện: 2 tiết)
Hoạt động
của giáo viên và học sinh
Nội dung ghi nhận
H?. Một em đại diện nhắc lại phương trình
đường tròn trong hình học phẳng?
HS: Phương trình đường tròn (C) có tâm
( ; )I a b
và bán kính R là:
( ) ( )
2 2
2
x a y b R
− + − =
1. Phương trình mặt cầu
• Phương trình mặt cầu (S) có tâm
( ; ; )I a b c
và bán kính r là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r
− + − + − =
• Phương trình có dạng
2 2 2
0x y z Ax By Cz D
+ + + + + + =
với
2 2 2
4 0A B C D

+ + − >
là phương trình mặt cầu S(I;r)
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 18
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
GV: Hình minh họa mục 1): Hình 3.3 –
SGK trang 67
H?. Một em đại diện cho biết các yếu tố để
xác định được mc?
HS: Các yếu tố để xác định được mc là tâm
và bán kính hoặc đường kính
+ Tâm
( ; ; )I a b c
với
2
2
2
A
a
B
b
C
c

=

−


=


−


=

−

+ Bán kính
2 2 2
r a b c D
= + + −
GV: Hình minh họa mục 2): Hình 2.22,
2.23, 2.24 – SGK trang 46, 47
2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳng
∆
và mặt cầu S(I,r), gọi điểm H là hình
chiếu vuông góc của I trên
∆
. Khi đó:
• Nếu
( )
,d I r
∆ >
thì đt
∆
không có điểm chung với mc S(I,r)
• Nếu
( )
,d I r

∆ =
thì đt
∆
tiếp xúc mc S(I,R) tại H. Ta nói đt
∆

là tiếp tuyến của mc S(I,r), H là tiếp điểm
• Nếu
( )
,d I r
∆ <
thì đt
∆
cắt mc S(I,r) tại hai điểm A, B và
tọa độ của A, B thỏa hệ pt gồm pt của
∆
và pt mc S(I,r)
GV: Hình minh họa mục 3): Hình 2.18,
2.19, 2.20 – SGK trang 43, 44
3. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Cho mp
( )
α
và mặt cầu S(I,r), gọi điểm H là hình chiếu vuông
góc của I trên
( )
α
. Khi đó:
• Nếu
( )

,( )d I r
α
>
thì
( )
α
không có điểm chung với S(I,r)
• Nếu
( )
,( )d I r
α
=
thì mp
( )
α
tiếp xúc mc S(I,r) tại H. Ta nói
mp
( )
α
là tiếp diện của mc S(I,r), H là tiếp điểm
• Nếu
( )
,( )d I r
α
<
thì mp
( )
α
cắt mc S(I,r) theo giao tuyến là
đường tròn (C) có tâm H và bán kính

2 2
( ,( ))R r d I
α
= −
H?. Một em đại diện nhắc lại pt mc?
+Phương trình mặt cầu (S) có tâm
( ; ; )I a b c

và bán kính r là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r
− + − + − =
+Pt có dạng
2 2 2
0x y z Ax By Cz D
+ + + + + + =

với
2 2 2
4 0A B C D
+ + − >
là phương trình
mặt cầu S(I;r)
Tâm
( ; ; )I a b c
với
, ,
2 2

A B
a b
= =
− −

2
C
c =
−
Bán kính
2 2 2
r a b c D
= + + −
GV: Vẽ hình minh họa bài 2)
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
bán kính mc của câu 1)?
4. Các bài toán
*. Bài 1: Tìm tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình
1)
2 2 2
( 1) ( 3) ( 1) 20x y z
+ + − + − =
2)
2 2 2
2 4 6 11 0x y z x y z
+ + − + − − =
Giải
1) Tâm
( 1;3;1)I
−

Bán kính
20 2 5r
= =
2) Ta có
2
1
2
a
−
= =
−
,
4
2
2
b = = −
−
,
6
3
2
c
−
= =
−
,
11D = −
Vậy Tâm
(1; 2;3)I
−

Bán kính
2 2 2
1 ( 2) ( 3) ( 11) 5r
= + − + − − − =
*. Bài 2: Viết phương trình mc(S) trong các trường hợp sau:
1) Có tâm
( 1;2; 3)I
− −
và đi qua điểm
(0;1;2)M
2) Nhận đoạn thẳng PQ làm đường kính với
(3; 1;4), (1; 1;2)P Q
− −
Giải
1) Ta có : Tâm
( 1;3;1)I
−
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 19
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
HS: Vì (S) có tâm I và đi qua điểm M nên
bán kính
r IM
=
H?. Một em đại diện cho biết cách xác định
tâm và bán kính mc của câu 2)?
HS: Vì PQ là đường kính của mc(S)nên bán
kính
2
PQ
r

=
và tâm I là trung điểm của PQ
GV: Vẽ hình minh họa bài 3)
H?. Một em đại diện cho biết pt dạng khai
triển của mc?
HS:
2 2 2
0x y z Ax By Cz D
+ + + + + + =
(ĐK:
2 2 2
4 0A B C D
+ + − >
)
H?. Một em đại diện cho biết khi mc đi qua
một điểm nào đó thì ta có kiến thức nào?
HS: Tọa độ của điểm đó thỏa ptmc
GV: Hướng dẫn hs sử dụng máy tính cầm
tay để giải hệ pt bốn ẩn.
GV: Vẽ hình minh họa bài 4)
H?. Một em đại diện cho biết, điều kiện cần
để mc tiếp xúc mp(ABC)?
HS: Vì (S) tiếp xúc mp(ABC)
⇒
Bán kính
( ,( ))r d D ABC
=
H?. Một em đại diện nhắc lại công thức tính
khoảng cách từ một điểm đến mp?
HS: Khoảng cách từ điểm

0 0 0
( ; ; )M x y z
đến
mp
( )
α
:
0Ax By Cz D
+ + + =
là
( )
0 0 0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
GV: Vẽ hình minh họa bài 5)
Bán kính
2 2 2
(0 1) (1 2) (2 3) 27r IM
= = + + − + + =
Vậy pt(S):
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 27x y z
+ + − + + =

2) Ta có: PQ là đường kính của mc(S)
⇒
Bán kính
2 2 2
1
(1 3) ( 1 1) (2 4) 2
2 2
PQ
r
= = − + − + + − =
và gọi I là trung điểm của PQ
(2; 1;3)I
⇒ −
là tâm của mc(S)
Vậy pt(S):
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 2x y z
− + + + − =
*. Bài 3: Viết phương trình mc(S) đi qua bốn điểm
(6; 2;3)M
−
,
(0;1;6), (2;0; 1), (4;1;0)N P Q
−
Giải
Pt mc(S) có dạng:
2 2 2
0x y z Ax By Cz D
+ + + + + + =

(ĐK:
2 2 2
4 0A B C D
+ + − >
)
Vì mc(S) đi qua M, N, P, Q nên ta có hệ pt:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
6 2 3 49
6 ( 2) 3 6 2 3 0
6 37
0 1 6 0 1 6 0
2 5
2 0 ( 1) 2 0 0
4 17
4 1 0 4 1 0 0
A B C D
A B C D
B C D
A B C D
A C D
A B C D
A B D
A B C D
− + + = −

+ − + + − + + =




+ + = −
+ + + + + + =
 
⇒
 
− + = −
+ + − + + − + =
 
 
+ + = −
+ + + + + + =


4
2
6
3
A
B
C
D
= −


=

⇒


= −


= −

Vậy pt(S):
2 2 2
4 2 6 3 0x y z x y z
+ + − + − − =
*. Bài 4: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm
( 2;0;1)A
−
,
(0;10;3), (2;0; 1), (5;3; 1)B C D
− −
. Viết phương trình mặt cầu tâm D
và tiếp xúc mp(ABC).
Giải
+ Lập phương trình mp(ABC)
Ta có:
(2;10;2)AB
=
uuur
,
(4;0; 2)AC
= −
uuur
⇒

, ( 20;12; 40)n AB AC

 
= = − −
 
r uuur uuur
là một vtpt của mp(ABC
Mà
( 2;0;1) ( )A ABC
− ∈
Do đó pt(ABC):
20( 2) 12( 0) 40( 1) 0x y z
− + + − − − =

5 3 10 0x y z
⇔ − + =
+ Gọi (S) là mc cần tìm
Ta có: Tâm
(5;3; 1)D
−
(S) tiếp xúc mp(ABC)
⇒
Bán kính
( ,( ))r d D ABC
=

2 2 2
5.5 3.3 10.( 1)
6
134
5 ( 3) 10
− + −

= =
+ − +
Vậy pt(S):
2 2 2
18
( 5) ( 3) ( 1)
67
x y z
− + − + + =
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 20
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
H?. Một em đại diện cho biết, điều kiện cần
để mc tiếp xúc đt
∆
?
HS: Vì (S) tiếp xúc với đt
∆

⇒
Bán kính
( , )r d A
= ∆
H?. Một em đại diện nhắc lại công thức tính
khoảng cách từ một điểm đt?
HS: Giả sử: đt
∆
đi qua điểm M và có một
vtcp
u
r

. Khoảng cách từ một điểm I đến đt
∆
là
( )
,
,
u MI
d I
u
 
 
∆ =
r uuur
r
*. Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm
(1; 2;3)A
−
và đường
thẳng
∆
có phương trình
1 2 3
2 1 1
x y z
+ − +
= =
−
. Viết phương trình
mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d.
Giải

+ Tính khoảng cách từ A đến đt
∆
Ta có:
∆
đi qua
( 1;2; 3)M
− −
và có một vtcp
(2;1; 1)u
= −
r

(2; 4;6)MA
= −
uuur


, (2; 14; 10)u MA
 
= − −
 
r uuur
Do đó
( )
2 2 2
2 2 2
,
2 ( 14) ( 10)
, 5 2
2 1 ( 1)

u MA
d A
u
 
+ − + −
 
∆ = = =
+ + −
r uuur
r
+ Gọi (S) là mc cần tìm
Ta có: Tâm
(1; 2;3)A
−
(S) tiếp xúc với
∆

⇒
Bán kính
( , ) 5 2r d A
= ∆ =
Vậy pt(S):
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 50x y z
− + + + − =
Tổng kết và hướng dẫn học tập:
+ Thông thường để viết phương trình mc thì ta cần phân tích giả thiết bài toán nhằm: Xác định tâm và bán
kính của mc. Khi đó: Phương trình mặt cầu (S) có tâm
( ; ; )I a b c
và bán kính r là:

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r
− + − + − =
+ Ngoài ra để viết phương trình mc thì ta cần vận dụng tốt các kiến thức liên quan như: khoảng cách, điều
kiện tiếp xúc, . . .
+ Bài tập tự luyện để nắm vững các công thức đã học: 5 – SGK trang 68.
+ Bài tập tự luyện để nắm vững các dạng toán vận dụng đã học: Bài 6 – SGK trang 68; Bài 2 – SGK trang 91
*. CHỦ ĐỀ 5: TỔNG HỢP KIẾN THỨC
LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU
( Thực hiện: 5 tiết)
Hoạt động
của giáo viên và học sinh
Nội dung ghi nhận
GV: Vẽ hình minh họa bài 1)
H?. Một em đại diện nêu điều kiện cần để đt
∆
cắt mp
( )
α
?
HS:
. 0u n
α
∆
≠
uuruur
1. Vấn đề 1: Vị trí tương đối giữa đt, mp và mc.
*. Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho đt

1 2 3
:
3 1 2
x y z
− + −
∆ = =
−

và mp
( ): 3 2 3 3 0x y z
α
+ − − =
1) Chứng tỏ đt
∆
cắt mp
( )
α
2) Tìm tọa độ giao điểm của đt
∆
và mp
( )
α
Giải
1) Ta có:
( 3;1;2)u
= −
r
là một vtcp của đt
∆

(3;2; 3)n
= −
r
là một vtpt của mp
( )
α
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 21
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
H?. Một em đại diện nêu phương pháp giải
câu 2)?
HS: Gọi
( )M
α
= ∆ ∩
, ta có:
+
M
∈ ∆ ⇒
Tọa độ của M theo t
+
( )M
α
∈ ⇒
pt theo t
GV: Vẽ hình minh họa bài 2)
H?. Một em đại diện nêu điều kiện cần để đt
∆
là một tiếp của mc(S)?
HS:
( )

,d I r
∆ =
H?. Một em đại diện nhắc lại công thức tính
khoảng cách từ một điểm đt?
HS: Giả sử: đt
∆
đi qua điểm M và có một
vtcp
u
r
. Khoảng cách từ một điểm I đến đt
∆
là
( )
,
,
u MI
d I
u
 
 
∆ =
r uuur
r
H?. Một em đại diện nêu phương pháp giải
câu 2)?
HS: Gọi
( )H S
= ∆ ∩
, ta có:

+
H
∈ ∆ ⇒
Tọa độ của H theo t
+
( )H S
∈ ⇒
pt theo t
GV: Vẽ hình minh họa bài 3)
H?. Một em đại diện nêu điều kiện cần để
mp(P) cắt mc(S) theo một đường tròn (C)?
HS:
( )
,( )d I P r
<
H?. Một em đại diện nhắc lại công thức tính
khoảng cách từ một điểm đến mp?
HS: Khoảng cách từ điểm
0 0 0
( ; ; )M x y z
đến
mp
( )
α
:
0Ax By Cz D
+ + + =
là
Do đó:
. 3.3 1.2 2.( 3) 13 0u n

= − + + − = − ≠
r r
Vậy đt
∆
cắt mp
( )
α
2) Từ ptct
∆ ⇒
ptts
1 3
: 2
3 2
x t
y t
z t
= −


∆ = − +


= +


( )t
∈
¡
Gọi
( )M

α
= ∆ ∩
, ta có:
+
(1 3 ; 2 ;3 2 )M M t t t
∈ ∆ ⇒ − − + +
+
( ) 3(1 3 ) 2( 2 ) 3(3 2 ) 3 0M t t t
α
∈ ⇒ − + − + − + − =

13 13 0 1t t
⇒ − − = ⇒ =
Vậy
( 2; 1;5)M
− −
*. Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho đt
3
: 2 2
3
x t
y t
z t
=


∆ = +


= −



( )t
∈
¡
và
mc
2 2 2
( ): ( 1) ( 1) 5S x y z
+ − + − =
1) Chứng minh đt
∆
là một tiếp của mc(S)
2) Tìm tọa độ tiếp điểm của đt
∆
và mc(S)
Giải
1) Ta có: đt
∆
đi qua
(0;2;3)M
và có một vtcp là
(3;2; 1)u
= −
r

mc(S) có tâm
(0;1;1)I
và bán kính
5r

=

(0; 1; 2)MI
= − −
uuur

, ( 5;6; 3)u MI
 
= − −
 
r uuur
Do đó
( )
2 2 2
2 2 2
,
( 5) 6 ( 3)
, 5
3 2 ( 1)
u MI
d I r
u
 
− + + −
 
∆ = = = =
+ + −
r uuur
r
Vậy đt

∆
là một tiếp của mc(S)
2) Gọi
( )H S
= ∆ ∩
, ta có:
+
(3 ;2 2 ;3 )H H t t t
∈ ∆ ⇒ + −
+
2 2 2
( ) (3 ) (1 2 ) (2 ) 5H S t t t
∈ ⇒ + + + − =

2
14 0 0t t
⇒ = ⇒ =
Vậy
(0;2;3)H
*. Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho mp
( ) : 2 2 4 0P x y z
− − − =

và mc
2 2 2
( ): 2 4 6 11 0S x y z x y z
+ + − − − − =
1) Chứng minh mp(P) cắt mc(S) theo một đường tròn (C)
2) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C)
Giải

1) Ta có:
2 4 6
1, 2, 3, 11
2 2 2
a b c D
− − −
= = = = = = = −
− − −
⇒
mc(S) có tâm
(1;2;3)I
và bán kính
2 2 2
1 2 3 ( 11) 5r
= + + − − =
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 22
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
( )
0 0 0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
H?. Một em đại diện nhắc lại cách xác định
tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao

tuyến của mc(S) và mp(P)?
+ Tâm H là hình chiếu vuông góc của tâm
mc(S) lên mp(P).
+ Bán kính
2 2
( ,( ))R r d I P
= −
GV: Vẽ hình minh họa bài 4)
H?. Một em đại diện nêu điều kiện để hai
đường thẳng chéo nhau?
HS: Cho hai đt:

1
d
đi qua điểm M
1
và có một vtcp
1
u
ur

2
d
đi qua điểm M
2
và có một vtcp
2
u
uur
Khi đó:

1 2
,d d
chéo nhau
1 2
1 2 1 2
, 0
, . 0
u u
u u M M

 
≠
  
⇔

 
≠

 

ur uur r
ur uur uuuuuur
H?. Một em đại diện nêu công thức tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau?
HS:
( )
1 2 1 2
1 2

1 2
, .
,
,
u u M M
d d d
u u
 
 
=
 
 
ur uur uuuuuur
ur uur
GV: Vẽ hình minh họa bài 5)
H?. Một em đại diện nêu phương pháp giải
bài 5)?
HS: Gọi
1 2
M d d
= ∩
. Xét hệ pt có 3 pt theo t
Do đó:
( )
2 2 2
2.1 2.2 3 4
,( ) 3
2 ( 2) ( 1)
d I P r
− − −

= = <
+ − + −
Vậy mp(P) cắt mc(S) theo một đường tròn (C)
2) + Lập pt d đi qua I và vuông góc với mp(P)
Ta có:
(1;2;3)I d
∈

( )d P
⊥ ⇒
d có một vtcp là
(2; 2; 1)
P
n
= − −
uur
Do đó pttsd:
1 2
2 2
3
x t
y t
z t
= +


= −


= −



( )t
∈
¡
+ Gọi H là tâm đường tròn (C)
( )H d P
⇒ = ∩
o
(1 2 ;2 2 ;3 )H d H t t t
∈ ⇒ + − −
o
( ) 2(1 2 ) 2(2 2 ) (3 ) 4 0H P t t t
∈ ⇒ + − − − − − =

9 9 0 1t t
⇒ − = ⇒ =
Vậy đường tròn (C) có tâm
(3;0;2)H
và bán kính
2 2 2 2
( ,( )) 5 3 4R r d I P
= − = − =
*. Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1 2
: 1 3
5
x t
d y t

z t
= +


= − +


= +


( )t
∈
¡
và
2
1 2 1
:
3 2 2
x y z
d
− + +
= =
1) Chứng minh
1 2
,d d
chéo nhau
2) Tính khoảng cách giữa
1 2
,d d
Giải

1) Ta có:
1
d
đi qua điểm
1
(1; 1;5)M
−
và có một vtcp là
1
(2;3;1)u
=
ur

2
d
đi qua điểm
2
(1; 2; 1)M
− −
và có một vtcp là
2
(3;2;2)u
=
uur

1 2
(0; 1; 6)M M
= − −
uuuuuur
Do đó:

1 2
, (4; 1; 5) 0u u
 
= − − ≠
 
ur uur r
(1)

1 2 1 2
, . 4.0 ( 1).( 1) ( 5).( 6) 12 0u u M M
 
= + − − + − − = ≠
 
ur uur uuuuuur
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
1 2
,d d
chéo nhau
2)
( )
1 2 1 2
1 2
2 2 2
1 2
, .
12
2 2
,
7

4 ( 1) ( 5)
,
u u M M
d d d
u u
 
 
= = =
 
+ − + −
 
ur uur uuuuuur
ur uur
*. Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1
: 2 3
3
x t
d y t
z t
= +


= +


= −


( )t
∈
¡
và
2
2 2
: 2
1 3
x t
d y t
z t
′
= −


′
= − +


′
= +


( )t
′
∈
¡
. Tìm tọa độ giao
điểm của
1 2

,d d
Giải
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 23
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
và
t
′
+ Từ hai pt trong hệ giải được t và
t
′
+ Thế t và
t
′
vừa tìm được vào pt còn lại
trong hệ pt. Từ đó kết luận được nghiệm
của hệ pt (nếu có) và thế t vào ptts
1
d
hoặc
thế
t
′
vào ptts
2
d
ta có tọa độ của M
Gọi
1 2
M d d
= ∩

. Xét hệ pt
1 2 2 (1)
2 3 2 (2)
3 1 3 (3)
t t
t t
t t
′
+ = −


′
+ = − +


′
− = +

(*)
Từ (1) và (2)
2 1 1
3 4 1
t t t
t t t
′
+ = = −
 
⇒
 
′ ′

− = − =
 
thế vào (3), ta có:
4VT VP
= =
Do đó nghiệm của hệ pt (*) là
1
1
t
t
= −


′
=

Thế
1t
= −
vào pt
1
d
ta được
0
1
4
x
y
z
=



= −


=

Vậy
(0; 1;4)M
−

GV: Vẽ hình minh họa bài 1)
H?. Một em đại diện nêu phương pháp giải
câu 1)?
+ Lập pt d đi qua M và vuông góc với mp
( )
α
+ Khi đó
( )H d
α
= ∩
H?. Một em đại diện nêu kiến thức phép đối
xứng qua mp ?
HS:
M
′
đối xứng với M qua mp
( ) H
α
⇔

là
trung điểm của
MM
′
H?. Một em đại diện nêu công thức tính tọa
độ trung điểm của đoạn thẳng ?
HS:
2
2
2
H M M
H M M
H M M
x x x
y y y
z z z
′
′
′
= +


= +


= +

GV: Vẽ hình minh họa bài 2)
2. Vấn đề 2: Tìm tọa độ hình chiếu điểm trên mp, đt. Từ đó
suy ra tọa độ điểm đối xứng qua mp, đt.

*. Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm
(1; 1;2)M
−
và mặt
phẳng
( ): 2 2 11 0x y z
α
− + + =
1) Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M lên mp
( )
α
2) Tìm tọa độ điểm
M
′
đối xứng với M qua mp
( )
α
Giải
1) + Lập pt d đi qua M và vuông góc với mp
( )
α
Ta có:
(1; 1;2)M d
− ∈

( )d
α
⊥ ⇒
d có một vtcp là
(2; 1;2)n

α
= −
uur
Do đó pttsd:
1 2
1
2 2
x t
y t
z t
= +


= − −


= +


( )t
∈
¡
+ Khi đó
( )H d
α
= ∩
o
(1 2 ; 1 ;2 2 )H d H t t t
∈ ⇒ + − − +
o

( ) 2(1 2 ) ( 1 ) 2(2 2 ) 11 0H P t t t
∈ ⇒ + − − − + + + =

9 18 0 2t t
⇒ + = ⇒ = −
Vậy
( 3;1; 2)H
− −
2)
M
′
đối xứng với M qua mp
( ) H
α
⇔
là trung điểm của
MM
′
Ta có:
2 2.( 3) 1 7
2 2.1 1 3
2 2.( 2) 2 6
H M M M M
H M M M M
H M M M M
x x x x x
y y y y y
z z z z z
′ ′ ′
′ ′ ′

′ ′ ′
= + − = + = −
  
  
= + ⇒ = − + ⇒ =
  
  
= + − = + = −
  
Vậy
( 7;3; 6)M
′
− −
*. Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm
(1;2; 1)N
−
và đường
thẳng
1 2 2
:
3 2 2
x y z
+ − −
∆ = =
−
1) Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của N lên đt
∆
2) Tìm tọa độ điểm
N
′

đối xứng với N qua đt
∆
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 24
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - THỰC HIỆN: 15 TIẾT
H?. Một em đại diện nêu phương pháp giải
câu 1)?
HS: H là hình chiếu vuông góc của N lên đt
∆
nên
. 0u NH
∆
=
uur uuuur
H?. Một em đại diện nêu kiến thức phép đối
xứng qua đt ?
HS:
N
′
đối xứng với N qua mp
( ) H
α
⇔
là
trung điểm của
NN
′
Giải
1) Từ ptct
∆ ⇒
ptts

1 3
: 2 2
2 2
x t
y t
z t
= − +


∆ = −


= +


( )t
∈
¡
Ta có:
( 1 3 ;2 2 ;2 2 )H H t t t
∈ ∆ ⇒ − + − +

( 2 3 ; 2 ;3 2 )NH t t t
= − + − +
uuuur

(3; 2;2)u
= −
r
là một vtcp của đt

∆
Vì H là hình chiếu vuông góc của N lên đt
∆
nên
. 0u NH
=
r uuuur
3( 2 3 ) 2( 2 ) 2(3 2 ) 0 17 0 0t t t t t
⇒ − + − − + + = ⇒ = ⇒ =
Vậy
( 1;2;2)H
−
2)
N
′
đối xứng với N qua mp
( ) H
α
⇔
là trung điểm của
NN
′
Ta có:
2 2.( 1) 1 3
2 2.2 2 2
2 2.2 1 5
H N N N N
H N N N N
H N N N N
x x x x x

y y y y y
z z z z z
′ ′ ′
′ ′ ′
′ ′ ′
= + − = + = −
  
  
= + ⇒ = + ⇒ =
  
  
= + = − + =
  
Vậy
( 3;2;5)N
′
−
GV: Vẽ hình minh họa bài 1)
H?. Một em đại diện cho biết nếu M cách
đều hai mp (P) và mp(Q) thì ta có kết luận
gì ở bài 5?
M cách đều (P) và (Q)
( ,( )) ( ,( ))d M P d M Q
⇔ =
H?. Em hãy nhắc lại công thức tính thể tính
khoảng cách từ M đến mp(P)?
( )
0 0 0
2 2 2
,( )

Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
GV: Vẽ hình minh họa bài 2)
H?. Một em đại diện cho biết nếu M cách
đều A và mp(P) thì ta có kết luận gì ở bài 6?
HS: M cách đều A và (Q)
( ,( ))MA d M Q
⇔ =
H?. Em hãy cho dạng tọa độ của điểm M
nằm trên trục Oz?
HS:
(0;0; )M c Oz
∈
GV: Vẽ hình minh họa bài 3)
H?. Em hãy cho dạng tọa độ của điểm M
nằm trên trục Oy?
HS:
(0; ;0)M b Oy
∈
H?. Em hãy nêu công thức tương đương với
3. Vấn đề 3: Tìm tọa độ điểm thỏa ycbt.
*. Bài 1: Cho hai mp
( ): 2 4 5 0P x y z
− + + =
và
( ) : 2 4 1 0Q x y z

+ + + =
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mp đã cho
Giải
Xét
( ; ; )M x y z
cách đều (P) và (Q)
( ,( )) ( ,( ))d M P d M Q
⇔ =
2 4 5 2 4 1
4 1 16 4 16 1
x y z x y z
− + + + + +
⇔ =
+ + + +
5 3 4 0
2 4 5 2 4 1
4 3 5 6 0
y z
x y z x y z
x y z
− − =

⇔ − + + = + + + ⇔

+ + + =

Vậy tập hợp các điểm thỏa ycbt là hai mp có phương trình
5 3 4 0;4 3 5 6 0y z x y z
− − = + + + =
*. Bài 2: Trên trục Oz, tìm điểm M cách đều điểm

(2;3;4)A
và
mp
( ) : 2 3 17 0P x y z
+ + − =
Giải
Xét
(0;0; )M c Oz
∈

Ta có
2
17
( ,( )) 4 9 (4 )
4 9 1
c
MA d M P c
−
= ⇔ + + − =
+ +
2
13 78 117 0 3c c c
⇔ − + = ⇔ =
Vậy
(0;0;3)M
thỏa ycbt
*. Bài 3: Trên trục Oy, tìm điểm M cách đều hai mặt phẳng sau
( ) : 1 0P x y z
+ − + =
và

( ) : 5 0Q x y z
− + − =
Giải
Xét
(0; ;0)M b Oy
∈
Ta có
( ,( )) ( ,( ))d M P d M Q
=
1 5
1 1 1 1 1 1
b b
+ − −
⇔ =
+ + + +
“ Đổ mồ hôi ở hiện tại để ngăn dòng nước mắt ở tương lai” Trang 25