Sáng kiến kinh nghiệm: Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
A. PHN M U
Bt ng thc l mt trong nhng dng toỏn hay v khú i vi hc sinh
trong quỏ trỡnh hc tp cng nh trong cỏc k thi, trc ht l k thi i hc m
hu ht hc sinh THPT u phi vt qua. Ngoi ra bt ng thc cng l mt
dng thng gp trong cỏc k thi hc sinh gii toỏn cỏc cp: Tnh, Quc gia,
Olympic khu vc v Olympic quc t.
giỳp cỏc em cú thờm mt s kinh nghim trong quỏ trỡnh hc tp nhm
nm vng cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc ng thi s dng linh
hot hn trong vic gii cỏc bi toỏn v bt ng thc, tụi quyt nh vit ti
ny nhm chia s cựng ng nghip, hc sinh v c gi mt s phng phỏp,
kinh nghim gii bi toỏn bt ng thc.
ti gm 2 phn c bn:
Phn I: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc.
Phn II: Bt ng thc lng giỏc trong tam giỏc.
Do khuụn kh ca ti, mi phn tụi xin min nhc li cỏc kin thc
c bn v bt ng thc vỡ nhng kin thc ny c trỡnh by chi tit trong
sỏch giỏo khoa trung hc ph thụng, m ch tp trung vo cỏc phng phỏp bin
i ng thi nờu mt s vớ d minh ha.
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
1
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
B. NI DUNG
Phn I: MT S PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC
1) Dựng cỏc phộp bin i thớch hp
2) Tam thc bc 2
3) Phng phỏp o hm, cc tr hm s
4) Quy np
5) Lng giỏc húa
6) Phng phỏp hỡnh hc
7) Cỏc BT thụng dng

8) Mt s phng phỏp khỏc
I. S dng cỏc phộp bin i.
Vớ d 1: CM vi a,b,c l 3 s dng thỡ
21 <
+
+
+
+
+
<
ac
c
cb
b
ba
a
Gii: Vỡ a,b,c l 3 s dng nờn ta cú
cba
c
ac
c
cba
b
cb
b
cba
a
ba
a
++

>
+++
>
+++
>
+
Cng v theo v ta c
ac
c
cb
b
ba
a
+
+
+
+
+
<1
Mt khỏc ta cú
cba
cb
ac
c
cba
ba
cb
b
cba
ca

ba
a
++
+
<
+++
+
<
+++
+
<
+
Cng v theo v ta c
2<
+
+
+
+
+ ac
c
cb
b
ba
a
Vớ d 2: CM
Rx
ta luụn cú
3
2
258

>+ xxxx
Gii:
Rxx
x
x
x
xxx
xxxxxx
>+








+






=
++++=++
0
3
1
3

1
3
1
2
3
2
3
1
3
1
3
1
.
2
3
.2
4
3
42
.2
3
2
2
2
4
22
48258
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
2
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Do ú
3
2
258
>+ xxxx
(pcm)
Vớ d 3: CMR
Nn
nn
<
+
+++ 1
)1(
1

3.2
1
2.1
1
Gii: Ta cú
)(
1
11
)1(
1
*
Nk
kkkk

+

=
+
Cho k=1, 2, n ri cng cỏc ng thc theo v ta cú
1
1
1
1
1
11

3
1
2
1
2
1
1
)1(
1

3.2
1
2.1
1
<
+
=
+
+++=
+

+++
nnnnn
Vy ta cú pcm.
II. Phng phỏp Tam thc bc 2.
Vớ d 1: CMR
11
5913
423
25
11
5913
2
2
+

++
+


xx
x
Gii: TX:
Rx
Gi
423
25
2
2
++
+

=
xx
x
P
thỡ
0242)53(
2
=++ PPxxP
(*)
(*) cú nghim x thỡ
11
5913
11
5913
0102611
0)53)(24(0
2
2'
+



+

P
PP
PPP
Vy
11
5913

423
25
11
5913
2
2
+

++
+


xx
x
Du t bờn trỏi xy ra
121
)5913(13
= x
Du t bờn phi xy ra
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
3
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
121
)5913(13 +
= x
III. Phng phỏp hm s, dựng o hm.
Vớ d 1 : CMR
0>x
thỡ
xx <sin

Gii : Xột hm s
( ) sin
'( ) 1 cos 0
f x x x
f x x
=
=
)(xf
ng bin
Mt khỏc f(0)=0. Vy f(x)>0 vi mi x>0 hay vi mi x>0 thỡ
xx <sin
Vớ d 2: CMR nu 0<b<a thỡ
b
ba
b
a
a
ba
<<

ln
Gii: Xột hm s f(x)=lnx liờn tc v cú o hm trờn
( )
+,0
x
xf
1
)(' =
. Theo nh lớ Lagrange tn ti x
0

vi b<x
0
<a sao cho
ab
afbf
xf


=
)()(
)('
0
b
a
x
ba
ba
ba
x
ln
lnln1
00
=




=
Vỡ b<x
0

<a nờn
bxa
111
0
<<
suy ra pcm.
Vớ d 3: Cho a,b,c,d l 4 s dng bt kỡ. CM
64
3
cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++

+++
Gii: Khụng mt tớnh TQ gi s
dcba
Xột hm s
))()()(()( dxcxbxaxxfy ==
f(x) l mt hm s liờn tc v cú o hm trờn R
Vỡ f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0 v f(x) l mt hm bc 3 nờn tn ti
321
,, yyy
sao cho
dycybya
321
sao cho
0)(')(')('
321
=== yfyfyf
Vy
))()((4)('
321

yxyxyxxf =
Trong khai trin ta cú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
4
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
)(2)(4
)(4
133221
321
cdbdbcadacabyyyyyy
bcdabdacdabcyyy
+++++=++
+++=
Theo BT Cauchy
3
2
321
133221
)(
3
yyy
yyyyyy

++
64
3
cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++

+++

IV. Phng phỏp quy np.
Phng phỏp ny c ỏp dng khi BT ph thuc 1 tham s
Nn
, vi
cỏc bc chng minh nh sau:
+ Bc 1. C/m BT ỳng vi n=n
0
+ Bc 2. Gi s BT ỳng vi n=k
)(
0
nk
ta cn chng minh BT
ỳng vi n = k+1.
+ Bc 3. Kt lun BT ỳng vi mi
Nn

.
Vớ d 1 : C/m
*
,2 Nnn
ta cú :
(*)
13
1
2
12

6
5
.

4
3
.
2
1
+
<

n
n
n
Gii: + Khi n=2 ta cú
<
7
1
8
3
(*)
ỳng.
+ Gi s BT ỳng vi n=k tc l
13
1
2
12

6
5
.
4
3

.
2
1
+
<

k
k
k
Ta cn chng minh (*) cng ỳng vi n=k+1
)2( k
. Tht vy
1 3 5 2 1 1 1 3 2 1 2 1 1 2 1
. . . . .
2 4 6 2 2 4 2 2 2 2 2
3 1 3 1
k k k k
k k k k
k k
+ +
< <
+ +
+ +
Ta cn chng minh
1420419
)484)(13()43)(144(
)22.(1343).12(
43
1
1)1(3

1
22
12
.
13
1
22
>+<+
+++<+++
++<++
+
=
++
<
+
+
+
kkk
kkkkkk
kkkk
kk
k
k
k
n õy ta thy (*) ỳng vi n=k+1.
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
5
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Vy theo gi thit quy np (*) ỳng vi
2n

Vớ d 2: Cho x>0 CMR vi
1n
ta cú
!

!3!2
1
32
n
xxx
xe
n
x
+++++>
Gii: +Vi n=1 ta cú
(
]
xye
y
,01
Vy
011
00
>+>>>

xxexedydye
xx
xx
x
Vy BT ỳng vi n=1.

+ Gi s BT ỳng vi n=k
0)1( > xk
tc l
!

!3!2
1
32
k
xxx
xe
k
x
+++++>
Ta c/m BT cng ỳng vi n=k+1 tc l :
)!1(

!3!2
1
132
+
+++++>
+
k
xxx
xe
k
x
Tht vy theo gi thit quy np ta cú:
0

!

!3!2
1
32
>+++++> x
k
xxx
xe
k
x
Nh vy ta cú
(
]
xy
k
yyy
ye
k
y
,0
!

!3!2
1
32
+++++>
Do ú ta cú:
2
0 0

2 3 1
(1 )
2! !
1
2! 3! ( 1)!
x x
k
y
k
x
y y
e dy y dy
k
x x x
e x
k
+
> + + + +
> + + + +
+

2 3 1
1
2! 3! ( 1)!
k
x
x x x
e x
k
+

> + + + + +
+
+Vy theo nguyờn lớ quy np ta cú BT ỳng vi
1

n
V. S dng phng phỏp lng giỏc húa.
s dng phng phỏp lng giỏc húa, trc ht hc sinh phi nm
vng cỏc tớnh cht, cụng thc v cỏc phộp bin i lng giỏc. Trờn c s ú,
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
6
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
trong mt s bi toỏn nu t cỏc giỏ tr n thớch hp qua cỏc hm s lng giỏc
thỡ rt thun tin.
Vớ d 1: CMR
yx,
ta cú:
4
1
1()1(
)1)((
4
1
2
)222
2222

++

yx
yxyx
Gii: t







<<

==
2
,
2

tgytgx
Ta cú:
dpcmA
b
tgtg
tgtgtgtg
yx
yxyx
A

+=
++=
=

++

=
++

=
4
1
)22sin()22sin(
2
1
)cos()cos()sin()sin(
)sinsincos)(coscossincos(sin
)1()1(
).1)((
1()1(
)1)((
22222222
2222
2222
)222
2222
2





*) Mt s bi tp:
1. CMR

Ryx ,
thỡ
2
1
)1)(1(
)1)((
2
1
22

++
+

yx
xyyx
2. Cho 4 s thc a, b, c, d thừa món





=+
=+
1
1
22
22
dc
ba
CMR

11 + bdac
VI. Phng phỏp hỡnh hc.
a) S dng cỏc BT v vect
1.
vuvu ++
Du = xy ra
vu,
cựng chiu
2.
vuvuvuvu
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
7
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Vớ d 1: Cho a, b, c l 3 s thc bt kỡ CM
222222
2)()( cacbacba +++++
Gii: t
);();( cbavcbau +==
thỡ
)2;2( cavu =+
Ta cú
vuvu ++
suy ra pcm.
Vớ d 2: CM
Ryx ,
thỡ
5101224964
2222
++++++ yxyxxyx
Gii: t

)23;1()2;3( yxvyxu =+=
thỡ
)3;4(=+ vu
Li ỏp dng
vuvu ++
suy ra pcm.
Vớ d 3: CM
cba ,,
thỡ
444
)( cbacbaabc ++++
Chỳ ý: Phng phỏp vect c ỏp dng trong cỏc trng hp ta cú th biu
din cỏc thnh phn ca bt thnh di cỏc vect tuy nhiờn nú ch ỏp dng
thng thi khi khụng cú s rng buc no ca cỏc biờn cũn nu cú s rng buc
thỡ ta thng dựng phng phỏp ta .
b) Phng phỏp ta :
Vớ d 4: Cho a,b thừa món a 2b + 2 = 0.
CMR
6)7()5()5()3(
2222
+++ baba
Gii: Chn A(3; 5) B(5; 7)
M(a; b) vỡ thừa món a 2b + 2 = 0 nờn nm trờn ng thng x- 2y + 2=0
)(
. Ly A

i xng A qua
)(
ta cú A

(5; 1)
Ta cú MA+MB=MA

+MB

A

B
Hay
6)7()5()5()3(
2222
+++ baba
Du = xy ra
2
7
5 = ba
c) Cỏc phng phỏp khỏc:
Vớ d 5: Cho 0<x, y, z<1. CM
1)1()1(()1( <++ xzzyyx
Gii: Dng tam giỏc u cnh 1 nh hỡnh v
Ta cú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
8
x
y
M
A
A
B
A

C
P
N
A
z
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
[ ]
1)1()1()1(
1.1.60sin.
2
1
)1()1()1(60sin
2
1
00
<++
<++
<++

xzzyyx
xzzyyx
SSSS
ABCBNMCPNAMP

Vớ d 6: Cho a, b, c dng. CM
222222
3232 cacacbcbbaba ++++
Gii: Dng hỡnh nh hỡnh v sao cho:
OA=a ; OB=b ; OC=c
00

3045 == BOCAOB
p dng nh lớ hm s cosin
trong tam giỏc ta cú:
2 2
2 2
2
3
AB a ab b
BC b bc c
= +
= +
0 0 0 0 0 0
cos cos(45 30 ) cos45 cos30 sin 45 sin30
1 3 1 1 1 3 1 1
. . . 2 3
2 2 2 2
2 2 2
AOC = + =

= = =
Vy
22
32 cacaAC +=
tc l
222222
3232 cacacbcbbaba ++++
Du ng thc xy ra
0
2 1 2 3
sin75

4 4 2
AOB BOC AOC
ab bc ac
S S S ac b
a c

+
+ = + = =
+
*) Mt s bi tp
1. Cho a, b, c, d l 4 s thc thừa món





+=++
+=++
)(1236
)(21
22
22
dcdc
baba
CM:
6226
)12()()()12( ++ dbca
2. CMR
x

ta cú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
9
c
b
a
A
O
B
C
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
31)13(21)13(2122
222
+++++++ xxxxxx
3. Cho x, y thừa






++
+
042
02
082
xy
yx
yx
C/m

20
5
16
22
+ yx
4. Cho x, y, z dng thừa món xyz(x+y+z)=1
Tỡm MIN (x+y)(x+z)
VII. S dng cỏc BT quen thuc.
1. Bt ng thc Cauchy
a. Cho 2 s khụng õm x, y ta cú
xy
yx

+
2
. Du =
yx
=
Dng khỏc
baba +
+
411
Du =
ba
=
b. Tng quỏt cho n s khụng õm
n
aaa , ,,
21
ta cú

n
n
n
aaa
n
aaa


21
21

+++
Vớ d 1 : Cho a, b, c l 3 s dng tựy ý
CMR
Rx
ta cú
xxx
xxx
cba
b
ca
a
bc
c
ab
++

+






+






Gii : p dng BT Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú :
x
xxx
x
xxx
x
xxx
a
bc
abca
c
ab
b
ca

c
ab
cabc
b
ca
a
bc
b
ca
bcab
a
bc
c
ab
2
.
2
2
.
2
2
.
2
=

+






=













+

=













+






Cng v theo v ta cú ta cú pcm.
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
10
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Du = xy ra khi v ch khi x=0.
Vớ d 2 : Vi a, b, c dng CM
cabcab
a
c
c
b
b
a
++++
333
Gii : ỏp dng BT Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú :
2
33
2
33
2
33
2.2
2.2
2.2
cca
a
c
ca
a
c
bbc
c
b

bc
c
b
aab
b
a
ab
b
a
=+
=+
=+
Cng v theo v ta cú :
)1()(2
222
333
cbacabcab
a
c
c
b
b
a
+++++++
Mt khỏc ta cú
[ ]
cabcabcba
accbbabcacabcba
++++
++=++

222
222222
0)()()(
2
1
Thay vo (1) suy ra pcm. Du = xy ra khi v ch khi a=b=c.
c. Mt s dng toỏn c bn s dng BT Cauchy tng quỏt c/m.
1) Cho n s thc dng
n
aaa , ,,
21
thừa món
0(
1

11
21
>=+++ kk
aaa
n
cho trc)
CMR
1 1 2 2 2 1 3 2 1
1 1 2 1 1 2
1 1


1

n n n

n n n n
m a m a m a m a m a m a
k
m a m a m a m m m

+ +
+ + + + + +
+
+ + + + + +
Vi
n
mmm , ,,
21
l cỏc s nguyờn dng tựy ý.
Gii: ỏp dng BT Cauchy cho
n
mmmm +++=
21
s ta cú:
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
11
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
)1(
21
212211
m
m
n
mm
nn

n
aaamamamam +++
Li ỏp dng cho m s dng ta cú
)2(


21
21
2
2
1
1
m
m
n
mm
n
n
n
aaa
m
a
m
a
m
a
m
+++
T (1) v (2) ta cú
(

nn
amamam +++
2211
)
2
2
2
1
1
m
a
m
a
m
a
m
n
n









+++
(*)
1

1
2
2
1
1
2
2211








++++
+++

n
n
nn
a
m
a
m
a
m
m
amamam

Tng t cho cỏc phõn thc cũn li cui cựng cng cỏc bt dng nh (*)
li v theo v ta cú
nnnnnn
mm
k
km
m
amamamamamam ++
=
+++
++
+++


).(
1

1


1
1
2
12112211
*) Mt s bi tp
1. Cho 3 s dng a, b, c. CMR
accbbacba +
+
+
+

+
++
222111
2. CMR
3
abc
cba
a
c
c
b
b
a ++
++
Tng quỏt
n
n
n
kkk
aaa
aaa
a
a
a
a
a
a

21
21
2
1
2
1
2
1
+++









++








+

3. Cho



+
>
1
0,
ba
ba
. Tỡm MIN
ab
abS
1
+=
2. S dng BT Bunhiacopxki(BCS)
Vi 2 b s
( )
n
aaa , ,,
21
v
( )
n

bbb , ,,
21
bt kỡ ta cú
( )
) )( (
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa +++++++++
ng thc xy ra
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2
1
1

Vi quy c a
i
=0 thỡ b
i
=0
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
12
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Chng minh:
+Nu
22
2
2
1

n
aaa +++
=0 suy ra BT luụn luụn ỳng
+Nu
22
2
2
1

n
aaa +++
>0. Xột tam thc
) )( () (
00)(
) () (2) ()(

)( )()()(
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211
'
22
2
2
12211
222
2
2
1
22
22
2
11
nnnn
nnnn
nn
bbbaaabababa
Rxxf
bbbxbababaxaaaxf

bxabxabxaxf
+++++++++

++++++++++=
+++=
Vớ d 1: Cho 2 s thc x, y thừa món
23 =+ yx
.
CMR
3
8
32
22
+ yx
Gii: Theo BT BCS ta cú
( )
3
8
32321
2
1
3.12.
2
1
2222
2
++

+






+ yxyxyx
Du = xy ra







=
=
=
33
4
3
2
1
3
2
1

2
y
x
yx
Vớ d 2: a) Cho n s thc
( )
n
aaa , ,,
21
v n s dng
( )
n
bbb , ,,
21
CMR
( )
n
n
n
n
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
+++
+++

+++



21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
b) CMR
0,1
21
1
22
2
2
2
2
>
+
+
+
+
+
ba

ab
ba
b
ab
a
Gii: a) p dng BT BCS cho 2 b s dng








n
n
b
a
b
a
b
a
; ;;
2
2
1
1
v
( )
n

bbb ; ;;
21
Ta cú
( )
) (
) (

) (
21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2
2
1
2
1
2
21
n
n

n
n
n
n
n
n
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
bbb
b
a
b
a
b
a
aaa
+++
+++
+++
+++

++++++
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
13
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
b) p dng kt qu a) ta cú
=
+++++
++

+
+
+
+
+
1
1222
)1(
21
1
22
22
2
2
2
2
2

abbaab
ba
ab
ba
b
ab
a
pcm
Vớ d 3: Cho ab+bc+ca=1 a, b, c l 3 s dng
CMR
2
)( cba
a
c
c
b
b
a
++++
Gii: p dng BT BCS ta cú a, b, c dng nờn
( )
2
2
2
)(
)(
cba
a
c
c

b
b
a
a
c
c
b
b
a
cabcab
a
c
ca
c
b
bc
b
a
abcba
++++






++++

++=++
=
3
1
===== cba
a
c
ac
c
b
bc
b
a
ab
VII. Cỏc phng phỏp khỏc
1. S dng khai trin nh thc Newton
c/m A

B ta cú th lm nh sau
a) Nu a A v dng

=

=+=
n

i
iini
n
n
baCbaA
0
)(
Ta tỡm cỏch c/m B khụng ln hn tng T ca mt s phn t ca chui
thỡ
ATB
(cỏch ngt chui dng)
b) Nu a c B v dng
(*))(
0

=

=+=
n
i
iini
n
n
yxCyxB
Ta tỡm cỏch ỏnh giỏ mi s hng ca chui (*) khụng ln hn cỏc biu
thc T
J
m
AT
n

j
j


=0
lỳc ú
ATB
n
j
j


=0
Vớ d 1: Nu
1<x
v n nguyờn, n>1 thỡ
nnn
xx 2)1()1( <++
Gii: Ta cú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
14
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

=

++++=++=
n
i
iini
n

nnnn
xxCxxxx
1
)1()1()1()1()11(2
Vỡ
1<x
nờn
1, 2,10)1()1( >+

nixx
iin
. Vy
nnn
xx )1()1(2 ++>
Vớ d 2: CMR
m
nguyờn dng, m

2 ta cú:
)1(1
1
1
1.
1
2
12
2
2
<

+









+
m
m
m
m
Gii:
2 1 2 2 1
2 2 2
1 1 1 2 1
(1) 1 1 1 1
1 1 1 1 ( 1)
m m
m m m m m
+ +

+ > + + > + +
ữ ữ ữ


2 2 1
1 2 2 1
2 1 2 1 2 1
2 2 2 2
1 1 1 2 1
1 1
1 1 1 1 ( 1)
m
m
m m m
C C C
m m m m m
+
+
+ + +

+ + + + > + +
ữ ữ


Mt khỏc ta cú:
1
2
)1(
1

)1(3
)12)(12(
)1(
)12(
1
12
3314
232222
22

+

>

+
+

+
+

+

>
m
mm
mmm
m
mm
m
m

mm

pcm
Vớ d 3: Nu n l s t nhiờn ln hn 1. CM
n
n
n
2
1+<
Gii: Vỡ
11 >>
n
nn
. t
)0(1 >+= xxn
n
. Lỳc ú ta cú
n
n
n
x
n
x
n
xx
nn
nxx
nn
nxxn
n

nn
2
1
2
11
22
2
)1(
1
2
)1(
1)1(
222
+<+<+
<<

+>++

++=+=
2. S dng phng phỏp phõn chia.
a) Nu hm s bin thiờn phc tp trong tp xỏc nh ta chia tp xỏc nh D
thnh cỏc tp con D
1
, D
2
,.sao cho vic tỡm cc tr ca hm s trờn cỏc tp con
d dng hn.
b) Nu tớnh cht ca hm thay i c trờn cỏc tp con thỡ ta phõn tớch hm
thnh tng ca cỏc hm n gin hn tỡm cc tr ca cỏc hm thnh phn.
Vớ d 1: Tỡm Max ca

)4(),(
2002
yxyxyxF =
vi x,y l cỏc s thc thừa món
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
15
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức





+


6
0
0
yx
y
x
Gii:
+ Khi
4+ yx
ta cú
0F
. Du = xy ra
4=+ yx
+ Khi
4<+ yx

ta cú
04,0,0 yxyx
p dng BT Cauchy cho 2004 s khụng õm ta c
2002
2004
2002
2002
2004
2002 . . . .(4 )
2002 2002 2002
2002. 4
2002
2002
2002
2004 501
x x x
F y x y
x
y x y
F
=

+ +
ữ
=
ữ
ữ

2002
501

' ' 4
1
2002
501
x
x
y x y
y

=


= = =


=


Vy
2004
2002
501
2002
F
Vớ d 2: Tỡm Min
RxxxxF += 200220011)(
Gii: Xột cỏc trng hp:
+
2002x
. Lỳc ú

2002''
1)(40032)(
==
=
x
xFxxF
+
( )
1)(2002,2001 = xFx
+
124003)(2001 = xxFx
2001'' == x
Vy Min
[ ]
2002,20011)( = xxF
Vớ d 3: Tỡm Min
)()( yxzzyxA +++=
trong ú x, y, z l cỏc s thc thừa món
1
222
=++ zyx
.
Gii: t
2121
; AAAzxAzxyzxyA +==++=
Ta cú:
2
1
020)(
11

2222
+++++ AAzyxzyx
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
16
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
ng thc xy ra



=++
=++

1
0
222
zyx
zyx
(1)
Ta cng cú
2 2 2
2 2
1 1 1 1 1
( ) (1 )
2 2 2 2 2
A z x z x y A= + =
ng thc xy ra

=++
=
=

1
0
222
zyx
zx
y
(2)
1
2
(1)
1 1
1; ' ' 0
(2)
2 2
1
2
x
A y
z

=

+ = = =

ữ ữ




=


3. S dng mi quan h gia cỏc bt ng thc:
Vớ d t ng thc
1=++ zxyzxy
ta cú bt
20)(
2222
++++ zyxzyx
.
T ú ta cú th chng minh d dng cỏc BT
Vớ d : t
ac
ac
z
cb
cb
y
ba
ba
x

+
=

+
=

+
= ;;

Ta cú
)2(
2
5
)()()(
)1(2
2
22
2
22
2
22
222


+
+

+
+

+









+
+







+
+







+

ac
ac
cb
cb
ba
ba
ac
ac
cb
cb
ba
ba
v
)3(
4
1
)()()(
222


+

+
ac
ca
cb
bc
ba
ab
Cng (2) v (3) ri bin i ta cú:

4
9
)()()(
3
33
3
33
3
33



+


+


ac
ac
cb
cb
ba
ba
Vi mt s mi quan h nh trờn ta cú nhiu bt. Vỡ vy trong c/m cn
s dng khộo lộo quan h ú.
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
17
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Phn II: BT NG THC LNG GIC TRONG TAM GIC

I. S liờn quan gia cỏc bt ng thc trong tam giỏc:
Trong quỏ trỡnh chng minh cỏc BT trong tam giỏc, bng cỏc phộp bin
i tng ng ta cú th tỡm c mi quan h mt thit t nhng bt ng
thc cú v hon ton khỏc nhau.
Vớ d 1: Xột BT
8
))()((
abc
cpbpap
(1)
trong ú
cba ,,
l di 3 cnh 1 tam giỏc ;
p
l na chu vi.
CM: Theo BT Cauchy ta cú
44
)(
))((
44
)(
))((
44
)(
))((
22
22
22
bapcp
apcp

acpbp
cpbp
cbpap
bpap
=
+

=
+

=
+

Nhõn tng ng theo v cỏc s khụng õm ta c
[ ]
2
2
8
))()((







abc
cpbpap
suy ra pcm.
Bõy gi ta bin i (1) nh sau :

)2(2
84
.
8
8
.))()(()1(
2
rR
abc
p
R
abc
prabc
p
S
abc
pcpbpapp



(2) l BT mi v hon ton khỏc so vi (1)
CM (2) nh sau: Ta cú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
18
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
)(2
2
1
1
2

3
1coscoscos
2
sin
2
sin
2
sin4
2
cos
2
cos
2
cos4
sinsinsin2
sinsinsin
sinsinsin2
2
sinsinsin2
sinsinsin2sin
2
1
2
2
dpcmrRCBA
R
r
CBA
CBA
CBA

CBA
CBA
R
r
r
cba
CBAR
prCBARCabS
=++=
==
++
=
++
=
===
(
2
3
coscoscos ++ CBA
l BT c bn)
Tip tc bin i theo hng khỏc :
)3(
848
)1(
2
2
2
cba
R
abc

abc
p
R
abc
abc
p
S
++








)4(sinsinsinsinsinsin4 CBACBA ++
(4) l mt BT mi liờn quan gia cỏc gúc. CM (4) nh sau :
2
3
coscoscos
1
2
sin
2
sin
2
sin8
2
cos

2
cos
2
cossinsinsin)4(
++


CBA
CBA
CBA
CBA
Suy ra pcm.
Tip tc bin i (1) :
)5(
4
1
4
1111
1
)3()1(
2
2
222
2
R
S
hhhhhh
RS
hhhhhh
R

abcabc
R
abc
cba
accbba
accbba
++

++
++

++

(5) l mt BT mi liờn quan n cỏc ng cao.
Ta bin i (1)
1 8 2 8( )
(1)
( )( )( ) ( )( )( )
p a b c
p a p b p c abc p a p b p c abc
+ +


Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
19
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 1 1 1
8
( )( )( )

1 1 1 1 1 1
8
( )( ) ( )( ) ( )( )
8
4
2( ) (6)
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a a b b c c a
p a p b p c
p a p b p c ab bc ca
p b p c p c p a p a p b ab bc ca
r r r r r r h h h h h h
S S S S
r r r r r r h h h h h h
+ +

+ +
ữ



+ + + +
ữ


+ +
+ +
+ + + +
( ) ( ) ( ) 1 1 1
8

( )( )( )
1 1 1 1 1 1
8
( )( ) ( )( ) ( )( )
p a p b p c
p a p b p c ab bc ca
p b p c p c p a p a p b ab bc ca
+ +

+ +
ữ



+ + + +
ữ


(6) l BT liờn quan n bỏn kớnh ng trũn bng tip v ng cao.
T cỏc bin i ta thy cỏc BT sau l tng ng :
8
))()((
abc
cpbpap
(1)
rR 2
(2)
cba
R
abc

++
2
(3)
CBACBA sinsinsinsinsinsin4 ++
(4)
2
2
4
R
S
hhhhhh
accbba
++
(5)
)(2
accbbaaccbba
hhhhhhrrrrrr ++++
(6)
T (5) v (6) suy ra
2
2
8
R
S
rrrrrr
accbba
++
(7)
Túm li, gia cỏc BT tam giỏc trụng rt khỏc nhau nhng li cú mt mi
quan h tng ng hoc h qu.

d nh v CM cỏc BT ta thng i t mt h thc hoc mt BT
quen thuc ri bin i v cỏc BT mi, t ú suy ra cỏch CM BT ú khi gp.
Vớ d 2: Ta cú 2 h thc trong tam giỏc
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
20
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức





=++
=++
)2(1
222222
)1(
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
tgAtgBtgCtgCtgBtgA
T (1) ta cú th suy ra cỏc BT

33++ tgCtgBtgA
(3)
33tgAtgBtgC
(4)
)6(9)5(
)5(93)4(
222
3
222
++++
++
tgCtgAtgBtgCtgAtgBCtgBtgAtg
CBtgAtgtgtgCtgAtgBtgCtgAtgB
Vy t (1) cú c (3),(4),(5),(6).
Xut phỏt t (2) ta cú:
)9(
33
1
222
1
222222222
3
)8(1
2223
1
222
)7(
)7(3
222
3

222222
3
222
3
2
2
222
2

=






++






=

++++
++
=






++






++
C
tg
B
tg
A
tg
A
tg
C
tg
C
tg
B

tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
A

tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
T (3) v (9)
222
27
C
tg
B
tg
A
tgtgCtgBtgA ++
(10)
Túm li t mt s h thc ta cú th thy trong nú n cha nhiu BT cn
c khai thỏc.
II. Nhng phng phỏp chng minh chn lc cỏc BT tam giỏc.

Vic la chn phng phỏp chng minh cỏc BT c bn quen thuc
trong tam giỏc giỳp rỳt ngn thi gian lm bi.
Vớ d 1 : CM BT:
2
33
sinsinsin ++ CBA
(1)
Gii : (1) c CM theo nhiu phng phỏp, sau õy l phng phỏp ngn gn:
Ta cú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
21
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
2
33
1
2
1
3
2
62
cos
2
1
3
2
2
1
2
sin1
2

cos3
3
2
2
sin1
2
cos3
3
2
2
sin
2
cos
2
cos2sinsinsin
2
22
=






+

+=












++






+

+

=++
CCC
CCCBAC
CBA
Vớ d 2 : CM BT
)2(
2
3
coscoscos ++ CBA
(2) c CM n gin nh sau :
2
cos cos cos 2cos cos 1 2sin
2 2 2
A B A B C
A B C
+

+ + = + =
2sin cos sin 1
2 2 2
C A B C

+
ữ

2
1 3
2sin 1 sin 1 sin 1 sin 1
2 2 2 2 2 2
C C C C

+ + + =
ữ ữ

Vớ d 3: CM BT
)3(
8
33
sinsinsin CBA
(3) c cm d dng t (1), nhng ta cng cú th cm (3) nh sau
( )
8
33
3
cos21
8
3

3.
3
sin
cos1
4
1
.
2
1
3
3
sin
)cos1(
2
1
sin.cos)cos(
2
1
sinsinsin
22

+=








++








++=
C
C
C
C
CCCBACBA

Vớ d 4: CM BT
)4(
8
1
coscoscos CBA
Ta cú
8
1
)coscos1(
4
1
.
2
1
cos)cos1(
2
1
coscos
2
cos
2
1
coscoscos
2
=+

=
CC
CCCC
BA
CBA
Vớ d 5 : CM
2
3
2
sin
2
sin
2
sin ++
CBA
Ta cú
4
sin21
4
cos
4
sin2
2
sin
2
sin

2
sin
2
BABABACBA +
+
+
=++
2
3
2
3
2
1
4
sin2
4
sin21
4
sin2
2
2
+







+

=
+
+
+

BABABA
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
22
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
C. KT LUN
Trờn õy l mt s kinh nghim ỳc rỳt trong quỏ trỡnh ging dy hn 30
nm qua, c bit l trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii. T nhng vn
trỡnh by trờn õy cú th rỳt ra kt lun rng: vic nghiờn cu gii cỏc bi toỏn
v bt ng thc i vi hc sinh phi l mt quỏ trỡnh thng xuyờn v c bit
l phi c nghiờn cu chu ỏo ngay t nhng kin thc c bn lp 10.
Trong ú phng phỏp chng minh BT theo sut chng trỡnh t lp 10 v
c hon thin lp 12 l tỡm cc tr v GTLN, GTNN ca hm s. BT
lng giỏc trong tam giỏc l mt s vn dng ca BT v cỏc h thc lng
trong tam giỏc nhng li n cha nhng phộp bin i rt tinh vi m ớt ngi cú
th thy c.
Mc dự cú th cũn nhiu hn ch nhng tụi hy vng rng ti ny s
úng gúp rt tt cho cỏc bn ng nghip v hc sinh cú th tỡm hiu sõu sc
hn v bt ng thc nhm nõng cao hiu qu trong ging dy v hc tp. Tụi
rt mong nhn c ý kin úng gúp ca c gi.
D. TI LIU THAM KHO
1. B sỏch giỏo khoa hp nht nm 2000.
2. B sỏch giỏo khoa-Ban khoa hc t nhiờn-B sỏch th nht-NXBGD
2003.
3. Phng phỏp tỡm GTLN v GTNN ca Phan Huy Khi
4. Ti liu bi dng giỏo viờn THPT chuyờn. Bt ng thc v cỏc vn

liờn quan ca Trn Nam Dung, Nguyn Vn Mu
5. Bt ng thc: suy lun v khỏm phỏ - Phm Vn Thun Lờ V
6. 500 Bt ng thc ca Cao Minh Quang.
7. Sỏng to bt ng thc - Phm Kim Hựng
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
23