SKKN Một số biện pháp giúp HS khắc phục sai lầm khi giải phương trình và bất phương trình ở Toán 10

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HS KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TOÁN 10”

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết đã học để giải bài toán của học sinh còn
gặp một số khó khăn và sai lầm.Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng
phương pháp nào để giúp học sinh giải bài toán mà không mắc phải sai lầm là cần thiết
và phù hợp .
Mặt khác khi đứng trước một bài toán về phương trình hay bất phương trình thì học
sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai do không nắm vững lý thuyết
vừa học.Việc giải hay sai nhất là học sinh lớp 10 khi giải một phương trình hoặc bất
phương trình thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà không ghi thêm điều kiện nào.Những sai sót đó
là do trước đây ở THCS học sinh giải phương trình hoặc bất phương trình mà mẫu
thường là hằng số nên học sinh rút gọn hoặc bỏ mẫu được
Vì lí do trên tôi chọn đề tài: Một số biện pháp giúp HS khắc phục sai lầm khi giải
phương trình và bất phương trình ở Toán 10.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Ở trường phổ thông,dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể
xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau, có
thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc
kiểm tra …
Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng những
chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển,
chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích
dạy học.
1. Yêu cầu đối với lời giải bài toán
+ Lời giải không có sai lầm;
+ Lập luận phải có căn cứ chính xác;

+ Lời giải phải đầy đủ.
Ngoài ba yêu cầu nói trên,trong dạy học bài tập,cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn
giản nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lí.
Tìm được một lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác được những đặc điểm
riêng của bài toán,điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng
tạo cùng niềm vui thắng lợi” (G. Polya – 1975)
2. Phương pháp tìm tòi lời giải bài toán
- Tìm hiểu nội dung bài toán:
+ Giả thiết là gì ? Kết luận là gì ? Sử dụng kí hiệu như thế nào ?
+ Dạng toán nào ? (toán chứng minh hay toán tìm tòi )
+ Kiến thức cơ bản cần có là gì ? (các khái niệm, các định lí, các điều kiện tương
đương, các phương pháp chứng minh, …)
- Xây dựng chương trình giải (tức là chỉ rõ các bước tiến hành): Bước 1 là gì ? Bước 2
giải quyết vấn đề gì ? …
- Thực hiện chương trình giải: Trình bày bài làm theo các bước đã chỉ ra. Chú ý sai lầm
thường gặp trong tính toán, trong biến đổi, …
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: xét xem có sai lầm không ? Có biện luận kết quả tìm
được không ? Nếu bài toán có nội dung thực tiễn thì kết quả tìm được có phù hợp với
thực tiễn không ? Một điều quan trọng là cần luyện tập cho học sinh thói quen đọc lại yêu
cầu của bài toán sau khi đã giải xong bài toán đó, để học sinh một lần nữa hiểu rõ hơn
chương trình giải đề xuất, hiểu sâu sắc hơn kiến thức cơ bản đã ngầm cho trong giả thiết.
3. Trình tự dạy học bài tập toán. Trình tự dạy học bài tập toán thường bao gồm các
bước sau:
Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải
Hoạt động 3: Thực hiện chương trình giải
Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
4. Quan niệm về tiến trình giải toán
Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài toán là sự kết
hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ toán học, cần có sự chọn lọc sáng tạo các

phương pháp giải quyết vấn đề. Như vậy giải bài toán là tìm kiếm một cách có ý thức các
phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập. Đó là một quá trình tìm tòi sáng
tạo, huy động kiến thức, kỹ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn
đề đã cho.
Theo Howard Gardner, G. Polya, … thì tiến trình lao động của học sinh khi giải một
bài toán có thể theo các hướng sau:
- Hướng tổng quát hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp, chuyển từ một
tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng tập hợp
ban đầu.
- Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển bài toán ban
đầu thành những bài toán thành phần có quan hệ logic với nhau. Chuyển tập hợp các đối
tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của nó, rồi từ tập con đó tìm ra lời
giải của bài toán hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài toán đã cho.
- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài toán phức tạp, học
sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải bài toán đã
cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán đang tìm cách giải và xác định hệ quả
của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ hơn, một bài toán tương tự hoặc
một phần bài toán, từ đó rút ra những điều hữu ích để giải bài toán đã cho.
Theo G. Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động: hiểu rõ bài
toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảo sát lời giải đã tìm
được. Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toán là qua đó học sinh nảy sinh
lòng say mê, khát vọng giải toán, thu nhận và hình thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận,
phát hiện và sáng tạo.
III. CƠ SỞ THỰC TIỂN
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10 tôi thấy khi học sinh giải các bài toán về phương
trình hoặc bất phương trình thì học sinh vận dụng thường biến đổi tương đương mà
không chú ý đến điều kiện xác định . Từ thực trạng trên nên trong quá trình dạy tôi đã
dần dần hình thành phương pháp bằng cách trước tiên học sinh cần nắm vững lý thuyết
về phương trình tương đương và bất phương trình tương đương từ đó áp dụng vào bài
toán cơ bản đến bài toán ở mức độ khó hơn. Do đó trong giảng dạy chính khoá cũng như

dạy bồi dưỡng, tôi thường trang bị đầy đủ kiến thức phổ thông và phương pháp giải toán
đại số cho học sinh.Như vậy khi giải bài toán về phương trình hay bất phương trình học
sinh có thể tự tin lựa chọn một phương pháp để giải phù hợp mà không mắc sai lầm.
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:
CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10
I. SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10:
1. DẠNG:
( )
0 ( ) 0
( )
f x
f x
g x
= ⇔ =

?
Ví dụ: Giải phương trình:
2
2
6
0
2 3 2
x x
x x
− −
=
+ −
(1)
Sai lầm thường gặp :

2
2
6
0
2 3 2
x x
x x
− −
=
+ −
2
2
6 0
3
x
x x
x
= −

⇔ − − = ⇔

=

Nguyên nhân sai: x=-2 thì 2x
2
+3x-2=0 nên loại nghiệm x=-2
Lời giải đúng:

2

2
6
0
2 3 2
x x
x x
− −
=
+ −
2
2
3
6 0
2( )
3
2 3 2 0
1
2;
2
x
x x
x loai
x
x x
x x

=





− − =
  = −

⇔ ⇔ ⇔ =
 
+ − ≠



≠ − ≠


KẾT LUẬN:
( ) 0
( )
0
( ) 0
( )
f x
f x
g x
g x
=

= ⇔

≠

Bài tập tương tự: Giải phương trình:

2
7 6
5
6
x x
x
− +
=
−
2. DẠNG:
Ví dụ: Giải phương trình:
2
2( 6) 0x x x− − − =
(2)
Sai lầm thường gặp:
Pt(2)
2
2
2 0
2
6 0
3
x
x
x
x x
x
=



− =

⇔ ⇔ = −


− + =



=

Nguyên nhân sai lầm:với x=-2 thì
2x −
vô nghĩa.
Lời giải đúng: pt(2)
2
x 2 0
x x 6 0
x 2 0

− =

⇔

− + =



− ≥



2
2 2
3 3
2
x
x x
x x
x
=


 = − =
 

⇔ ⇔

 

= =

 


≥



KẾT LUẬN: f(x).g(x)=0
( ) 0

( ) 0
f x
g x
=

⇔

=

với x thuộc tập xác định của phương trình
f(x).g(x)=0.
Bài tâp tương tự: Giải phương trình
(x+1)
2
2 2 2x x x+ − = +

f(x).g(x)=0
( ) 0
( ) 0
f x
g x
=

⇔

=

?
3. DẠNG :

( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )f x g x f x h x g x h x= ⇔ =
?
Ví dụ: Giải phương trình:

2 2
3 2 1 4 3x x x x x− + + − + = −
(3)
Sai lầm thường gặp:
Pt(3)
⇔
2 2
( 3 2)x x− +
+ (
2
1x x− +
)
2
=(4x-3)(
2 2
3 2 1x x x x− + + − +
)

⇔
(x
2
3 2x− +
) - (x
2
1x− +
)=(4x-3)(

2 2
3 2 1x x x x− + + − +
)

⇔
4x-3=(4x-3)(
2 2
3 2 1x x x x− + + − +
)

2
2 2
2 2
4 3 0
3
3 2 0
4
3 2 1 1(*)
3 2 1 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
 − =


=




− + ≥
⇔ ⇔





− + = − + +

− + − − + =

Pt(*)
2 2 2
3 2 ( 1 1)x x x x⇔ − + = − + +

2 2 2
2
2 2
3 2 1 2 1 1
0
0
1 ( )
1
1 ( )
x x x x x x
x
x
x x x vn
x

x x x
⇔ − + = − + + − + +
− ≥
≤


⇔ − + = − ⇔ ⇔
 
=
− + = −


Vậy phương trình (3)có nghiệm: x=
3
4
Nguyên nhân sai lầm:
Thử lại : x=
3
4
không thỏa mãn phương trình (3)
Lời giải dúng:
Pt(3)
2 2
4 3
1
3 2 1
x
x x x x
−
⇔ =

− + + − +

2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
( 3 2) ( 1)
1
3 2 1
( 3 2) ( 1)
1
3 2 1
3 2 1 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− + − − +
⇔ =
− + + − +
− + − − +
⇔ =
− + + − +
⇔ − + − − + =

2 2
2 2 2
2 2 2

3 2 1 1
3 2 ( 1 1)
3 2 1 2 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x x
⇔ − + = − + +
⇔ − + = − + +
⇔ − + = − + + − + +

2
2 2
0
0
1 ( )
1
1 ( )
x
x
x x x vn
x
x x x
− ≥
≤


⇔ − + = − ⇔ ⇔
 
=
− + = −



Vậy pt(3) vô nghiệm
KẾT LUẬN:
( ). ( ) ( ). ( )
( ) ( )
( ) 0
f x h x g x h x
f x g x
h x
=

= ⇔

≠

Bài tập tương tự: Giải phương trình:

a.
( 1 1)( 10 4)x x x+ + + − =
b.
2
( 1 1)( 1 7)x x x x x+ + + + + − =
4. DẠNG:

. . ;
A A
A B A B
B
B

= =
?

Ví dụ: Giải phương trình
2
( 1)( 2) 1x x x x+ − − = +
(4)
Sai lầm thường gặp: Pt (3)
( 1)[(x+1)(x+2)] 1x x⇔ + = +

2
( 1) ( 2) 1
1 2 1
1 0
2 0
2 1
1 0
x x x
x x x
x
x
x
x
⇔ + − = +
⇔ + − = +
 + =



− ≥



⇔


− =




+ >



2 1
3
1
x
x
x

− =

⇔ ⇔ =

> −


Nguyên nhân sai lầm: x=-1 là nghiệm của phương trình.
Lời giải đúng:

Pt(4)
( 1)[(x+1)(x+2)] 1x x⇔ + = +


2
( 1) ( 2) 1
1 0
1 2 1
1 0
1
1
2 1
3
1
x x x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
⇔ + − = +
+ =



⇔
+ − = +





+ ≠



= −

= −



⇔ ⇔
− =



=



> −



2.Giải phương trình: 2
2
3

9 ( 5)
3
x
x x
x
+
− = +
−
(5)
Sai lầm thường gặp:
pt (5)
3
2 ( 3)( 3) ( 5)
3
x
x x x
x
+
⇔ − + = +
−

3
2 3 3 ( 5)
3
x
x x x
x
+
⇔ − + = +
−

5
3(2 3 ) 0
3
x
x x
x
+
⇔ + − − =
−

3
(2( 3) ( 5) 0
3
3
( 11) 0
3
3 0 3
11
11 0 11
3 0 3
x
x x
x
x
x
x
x x
x
x x

x x
+
⇔ − − + =
−
+
⇔ − =
−
− > >
 
 
⇔ ⇔ ⇔ =
− = =
 
 
 
 
+ = =−
 
 
Nguyên nhân sai lầm:x=-3 là nghiệm của pt(5) cách giải trên đã làm mất nghiệm x=-3
Lời giải đúng:
3
(5) 2 ( 3)( 3) ( 5)
3
x
pt x x x
x
+
⇔ − + = +
−

11 0; 3
1 3 0; 3
11
3
3
3
3
x x
x x
x
x
x
x
x

 − = ≥




− = ≤


=



⇔ ⇔

>




= −



≤ −




= −

KẾT LUẬN:
2
3 3 3 3
2 ( 3) ( 5) 2 . 3 ( 5)
3 3
3 3
3
(2 3 ( 5)) 0
3
2( 3) ( 5) 0; 3 0
2 3 ( 5) 0
2(3 ) ( 5) 0; 3 0
3
0

3
3
3
3
0
3
3 0
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x x
x
x x x
x x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
+ + + +
⇔ − = + ⇔ − = +
− −
− −
+
⇔ − − + =

−

 − − + = − ≥


 − − + =





− − + = − ≤



+


≥


⇔ ⇔
>


−







≤−

+



=


−

+ =

ê 0, 0
. ê , 0
. ;
. ê , 0
ê 0, 0
A
n uA B
A Bn uA B
A
B
A B
B
A Bn uA B A
n uA B
B


≥ >


≥

= =


− − ≤ −


≤ <

−

Các bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
a.
2
5
3 25 (2 1)
5
x
x x
x
−
− = −
+
b.

2
2
2 6 ( 5)
3
x
x x x
x
+
− − = +
−
c.
2
(3 1)(3 4 1) 1x x x x− − + = −
d.
2
(2 3)(2 3) 1x x x x− − − = +
5.DẠNG:
. .
0
A C
A B AC
A

=
= ⇔

=

?
Ví dụ: Giải phương trình sau:

3 2
2 3 2x x x x− = −
(6)
Sai lầm thường gặp:
Pt(6)
2 2
(2 3) ( 2) 2 3 2x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ − = −

2
2
2
( 2 3 2) 0
0
0
2 3 2
2 3 2 0
x x x
x
x
x x
x x
⇔ − − − =

=

=
⇔ ⇔


− = −



− − − =



2
0
2 3 2
x
x x
=

⇔

− = −




2 2
0 0
2 2
2 3 2 2 3 0
x x
x x
x x x x
= =
 
 

≥ ≥
⇔ ⇔
 
 
 
 
− = − − − =
 
 


0
2
0
1
1
2
x
x
x
x
x
=


≥





⇔ ⇔ =
 =







= −





Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi phương trình sau không phải là phép biến đổi
tương đương
2 2
(2 3) ( 2) 2 3 2x x x x x x x x− = − ⇔ − = −
Lời giải đúng: pt(6)
⇔
2
(2 3) ( 2)x x x x− = −
2
2
0
0
0
2 1 0
2 3 2

1
2
( 2) 0
2
0
x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x
=

=


=


− − =



⇔ ⇔ ⇔

− = −





= −
≥

 


− ≥





≤




KẾT LUẬN:

0
. .
0; . 0
A
A B AC
B C
A A B
=



= ⇔
=




≠ ≥




II. SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP
10
1. DẠNG:


( ) 0
( )
. ( ) . ( )
( )
g x
f x a
b f x a g x
g x b
≠

≥ ⇔


≥

;
( ) 0; ( ) 0
1 1
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
f x g x
≠ ≠

≥ ⇔

≤

?
Ví dụ: Giải bất phương trình:
2
1 1
12 2
x
x x
+
≥ −
+ −
(7)
Sai lầm thường gặp:Bpt(7)
2
2

2
4; 3
12 0
3 10 0
2( 1) ( 12)
x x
x x
x x
x x x
≠ − ≠

+ − =


⇔ ⇔
 
+ − ≥
+ ≥ − + −




4; 3
2
5 3
2
5
x x
x
x x

x
x
≠ − ≠
  ≥

 

⇔ ⇔
≤ − ≠







≥
≤ −

 
Nguyên nhân sai lầm: Với x
∈
(-4;3) thì x
2
+x-12<0 nên khi nhân 2 vế với biểu thức này
thì bất phương trình đổi dấu.
Lời giải đúng:
Bpt(7)
2 2
2 2 2

1 1 2( 1) ( 12) 3 10
0 0 0
12 2 12 12
x x x x x x
x x x x x x
+ + + + − + −
⇔ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
+ − + − + −
Lập bảng xét dấu:
x
−∞
-5 -4 2 3
+∞
2
3 10x x+ −
+ 0 - - 0
+ +
2
12x x+ −
+ + 0 - - 0 +
VT + 0 -
P
+ 0 -
P
+
Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm bất phương trình:
S=(
−∞
;-5]
∪

(-4;2]
∪
(3;
+∞
)

2.Giải bất phương trình:
1 1
3 4 6x x
≥
+ −
(8)
Sai lầm thường gặp:
Bpt(8)
3 3
( 3)(4 6) 0
3; 3;
3
2 2
3 4 6
3 9 3
x x
x x x x
x
x x
x x
 
+ − ≠
≠ − ≠ ≠ − ≠


 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥
  
+ ≤ −

 
≥ ≥
 

Nguyên nhân sai lầm:Với x
3
( 3; )
2
∈ −
thì x+3>0>4x-6 và bất phương trình nghiệm
đúng.Cách giải trên đã làm mất nghiệm.
Lời giải đúng:
Bpt(8)
1 1 4 6 ( 3) 3( 3)
0 0 0
3 4 6 ( 3)(4 6) ( 3)(4 6)
x x x
x x x x x x
− − + −
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
+ − + − + −
Lập bảng xét dấu:
x -
∞
-3 3/2 3 +

∞
x-3 - - - 0 +
x+3 - 0 + + +
4x-6 - - 0 + +
VT -
P
+
P
- 0 +
Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm của bất phương trình là:
S=(-3;3/2)
∪
[3;
+∞
)
KẾT LUẬN:
( ) ( )
0 . ( )[bf(x)-ag(x)]>0
( ) ( )
1 1
( ). ( )[ ( ) ( )] 0
( ) ( )
f x a f x a
b g x
g x b g x b
f x g x g x f x
f x g x
> ⇔ − > ⇔
> ⇔ − >
2. DẠNG:

Ví dụ: Giải bất phương trình:x
2
(2x
2
-3x+1)
≥
0 (9)
Sai lầm thường gặp:Bpt(9)
2
1
2 3 1 0
1
2
x
x x
x
≥


⇔ − + ≥ ⇔

≤

Nguyên nhân sai lầm: Với x=0 thì x
2
(2x
2
-3x+1)=0 nên (9) thỏa mãn.Cách giải trên đã
làm mất nghiệm.

Lời giải đúng: Bpt(9)
2
0
1
( ; ] [1; ) {0}
2
2 3 1 0
x
x
x x
=

⇔ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ ∪

− + ≥

KẾT LUẬN:
2 2
( ) 0 ( ) 0
( ) ( ) 0 ; ( ) ( ) 0
( ) 0 ( ) 0
f x f x
f x g x f x g x
g x g x
= =
 
≥ ⇔ ≤ ⇔
 
≥ ≤
 

Bài tập tương tự: Giải bất phương trình:

2 4 2
(2 1) (4 3) (3 5 2) 0x x x x− + − + ≤
2 2
( ) ( ) 0 ( ) 0; ( ) ( ) 0 ( ) 0f x g x g x f x g x g x≥ ⇔ ≥ ≤ ⇔ ≤
?
3. DẠNG

Ví dụ: Giải bất trình :
2 2
( 3 ) 2 3 2 0x x x x− − − ≥
(10)
Sai lầm thường gặp:
Bpt(10)
2
2
2
1
3
2 3 2 0
2
1
3 0
3
2
0
x
x
x

x x
x
x x
x
x
 ≥



≥




≤ −
− − ≥
 

⇔ ⇔ ⇔

 

≤ −
− ≥



≥





≤



Nguyên nhân sai lầm: x=2 cũng là nghiệm của bất phương trình(10)
Lời giải đúng:Bpt(10)
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2 3 2 0
( 3 ) 2 3 2 0 3 0
2 3 2 0
( 3 ) 2 3 2 0
2 3 2 0
3 0
x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x


− − =





− − − = − =


⇔ ⇔


− − >

− − − >





− − >



− >





f (x) 0 f (x) 0
f (x).g(x) 0 ; f(x).g(x) 0
g(x) 0 g(x) 0

≥ ≥
 
≥ ⇔ ≤ ⇔
 
≥ ≤
 
?

2
1
2
2
3 3
1
3
2
1
2
x
x
x
x x
x
x
x
 =







= −

=




⇔ = ⇔ ≥ −




>

≤ −






< −



KẾT LUẬN:
( )
( ) 0;

( ) ( ) 0
( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
( ) 0
g x
f x x D
f x g x
g x
f x g x
f x
f x g x
f x
g x


= ∈



=
=


≥ ⇔ ⇔


≥



>



>




>


Bài tập tương tự:Giải bất phương trình:
2
(2 5) 2 5 2 0x x x− − + ≥
4. DẠNG:

Ví dụ: Giải bất phương trình sau:
2
2 2
2
4 4
2 4
x
x x x
x
− − + − ≤
− −

(11)
Sai lầm thường gặp:
Bpt(11)
2 2
2 2
2
(2 4 )
4 4
x x
x x x
x
+ −
⇔ − − + − ≤

2 2 2
0
4 4 2 4
x
x x x x
≠


⇔

− − + − ≤ + −


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x h x g x h x

f x h x g x h x f x g x
≥ ⇔ + ≥ +
+ ≥ + ⇔ ≥
?

2
0
0
2 3
6 0
x
x
x
x x
≠
≠


⇔ ⇔
 
− ≤ ≤
− − ≤


Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi
2 2 2
4 4 2 4x x x x− − + − ≤ + −
thành
2

6 0x x− − ≤
là không tương đương.
Lời giải đúng: ĐKXĐ:
{ }
0; 2 2x x≠ − < <
Bpt(11)
2 2
2 2
2
(2 4 )
4 4
x x
x x x
x
+ −
⇔ − − + − ≤

2 2 2
0
4 4 2 4
x
x x x x
≠


⇔

− − + − ≤ + −



2
2
0
0
0
4 0 2 2
2 2
2 3
6 0
x
x
x
x x
x
x
x x
≠

≠

≠



⇔ − ≥ ⇔ − ≤ ≤ ⇔
  
− ≤ ≤

 

− ≤ ≤
− − ≤


KẾT LUẬN:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x g x h x≥ ⇔ + ≥ +
;h(x)
∈
D với D là tập xác định của
( ) ( )f x g x≥

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x h x f x g x
+ ≥ + ⇔ ≥
;với x thuộc tập xác định
của
( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x h x+ ≥ +
Bài tập tương tự:Giải bất phương trình:

2
2 2
2
3 2 1 25
5 25
x
x x x
x
− + − − ≥
+ −
V. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Sau khi tôi dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng thì tôi cho tiến hành

kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh trên các lớp tôi dạy thì thu được kết quả
sau:
Lớp Năm học Số học sinh đạt yêu cầu
10C1 2009-2010 38/51 (74,5 %)
10C2 2009-2010 41/52 (78,8%)
10A3 2009-2010 41/50 (82,0%)
VI. KẾT LUẬN:
Được giảng dạy các lớp 10 nên tôi đã nhận thấy được một số khuyết điểm, sai lầm
mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài tập,nhất là những bài toán về phương
trình và bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu và có chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai.
Khi hướng dẫn học sinh sửa bài tập gặp những bài toán về phương trình và bất
phương trình có chứa ẩn ở mẫu và có chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai tôi thường trăn
trở phải làm sao cho các em thấu suốt một cách triệt để,biết phân loại các bài toán,phân
tích mỗi loại và tìm phương pháp vận dụng lý thuyết vào mỗi loại bài.Trên cơ sở đó tôi
luôn tích luỹ kinh nghiệm sau mỗi tiết dạy ,tìm tòi đổi mới và đưa các bài tập áp dụng
vào một tiết học giải bài tập,luyện tập hoặc ôn tập chương nên phần nào các em đã hiểu
đựơc . Qua đó các em phần nào tự tin hơn khi giải một bài toán mà không sợ mình mắc
phải sai làm nào.
Trong bài viết này , tôi chỉ giới thiệu một số dạng toán cơ bản mà các em thường
mắc sai lầm khi giải để cho các em nắm được một cách chắc chắn hơn. Mong rằng có
những ý kiến chia sẻ đóng góp kinh nghiệm của đồng nghiệp để bài viết hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng
Thắng, Trần Văn Vuông (2006), Đại số 10 nâng cao, NXBGD.
2. Trần văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường,Đỗ Mạnh Hùng,Nguyễn Tiến Tài (2006),
Đại số 10 cơ bản, NXBGD.
3. Nguyễn Huy Đoan,Phạm Thị Bạch Ngọc,Đoàn Quỳnh,Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân
Tình.(2006),Bài Tập Đại số 10 nâng cao, NXBGD.
4. Nguyễn Thái Hòe (1998), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXBGD.
5. G.Polia (1975), Giải một bài toán như thế nào, NXBGD.

6. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải
toán, NXB Hà Nội.