SKKN Một số biện pháp giúp HS áp dụng phép biến hình để giải một số bài toán quỹ tích

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
“MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HS ÁP DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN QUỸ TÍCH”


MỞ ĐẦU

I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thơng Việt Nam là hình thành những cơ sở
ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và
điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thơng Việt Nam
đã được cụ thể hố trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII
Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn
với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát
triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hố mới và con người mới…”
“Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng
nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…”
Mơn Tốn trong trường phổ thơng giữ một vai trị, vị trí hết sức quan trọng là môn
học công cụ nếu học tốt mơn Tốn thì những tri thức trong Tốn cùng với phương pháp
làm việc trong tốn sẽ trở thành cơng cụ để học tốt những mơn học khác.
Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ
thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức
tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê
phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Trong chương I hình học 11 , các phép biến hình đã là cơng cụ hữu hiệu để giải
các bài tốn quỹ tích , dựng hình ....Đây là một vấn đề khó khăn vì học sinh lần đầu tiên

làm quen với khái niệm biến hình và hầu hết các em đều “ngại” làm những bài toán liên
quan đến quỹ tích .
Nhưng nội dung của phép biến hình đưa vào chương trình khơng chỉ là cơng cụ để
để giải tốn mà cịn giúp các em làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới biết
nhìn sự vật hiện tượng xung quanh với quan điểm vận động biến đổi góp phần rèn luyện
cho học sinh tính sáng tạo trong học tập . Do vậy với đề tài : “Ứng dụng phép biến hình
để giải một số bài tốn quỹ tích” tơi rất mong muốn một phần nào đó giúp học sinh thích
thú hơn trong học tốn .

II/ MỤC TIÊU VÀ PHẠM VI ỨNG DỤNG:
1. Mục tiêu :
Với đặc điểm của chương này là: Kiến thức mới , học sinh tiếp cận khá khó khăn và
chất lượng học sinh khơng đồng đều . Mặc dù chương trình mới đã giảm tải về mặt lý
thuyết rất nhiều. Nhưng để áp dụng được lý thuyết để giải một số bài toán quỹ tích thì
thực sự là một vấn đề khó khăn đối với nhiều học sinh . Do vậy qua quá trình giảng dạy,
để đảm bảo được mục đích dạy học là tất cả đối tượng học sinh , đồng thời phát hiện
được năng lực học tập đối với một số cá nhân học sinh địi hỏi người thầy phải có phương
pháp truyền thụ thích hợp đến mọi đối tượng học sinh . Từ đó nâng cao được chất lượng
học tập của học sinh trong các tiết học .
2. Phạm vi thực hiện :
Mọi đối tượng học sinh .
3. Phạm vi đề tài :
Một số bài tập về quỹ tích ở chương biến hình .


4. Hướng phát triển :
Hoàn thiện hệ thống bài tập đa dạng phong phú hơn, bổ sung thêm phép đồng dạng.
5. Phương pháp nghiên cứu :
Nghiên cứu các loại tài liệu có liên quan đến đề tài .
Phương pháp điều tra .

Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo và học sinh)
Phương pháp quan sát (công việc dạy và học của giáo viên và học sinh) .
6. Thời gian thực hiện đề tài :
Năm học 2010-2011

NỘI DUNG

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN :
1. Cơ sở triết học :
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển .
Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập để
các em thấy được những điều mình chưa biết và khả năng nhận thức của mình, phát huy
tính chủ động sáng tạo trong việc lĩnh hội tri thức . Từ đó kích thích các em phát triển tốt
hơn .
2.C ơ sở tâm lý học :


Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì từ
những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối
với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có khả năng và ham
thích Tốn học, các mơn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các mơn
khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngồi ra cịn có những học sinh thể hiện năng khiếu
trong những lĩnh vực đặc biệt…
Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép biến hình và ứng
dụng nó để giải bài tốn quỹ tích, các em thường có tâm lí: khơng biết ứng dụng của
phép biến hình để làm gì, nói cách khác các em khơng gắn được lý thuyết vào thực hành,
do đó các em khơng muốn học phần này.Vì vậy Giáo viên cần chỉ rõ, cụ thể và hướng
dẫn cho học sinh ứng dụng các phép biến hình vào giải bài tốn Quỹ tích.
3. Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần cho

học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải
có tri thức cần phải học hỏi. Giáo biết định hướng, giúp đỡ từng đối tượng học sinh.

II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI:
1. Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2010-2011.
2. Khảo sát chất lượng đầu năm mơn hình học:
Thơng qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như sau:
Trên trung bình 25%.


3. Tìm hiểu ngun nhân dẫn đến kết quả trên:
Tơi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và
rèn luyện kĩ năng ở học sinh địi hỏi nhiều cơng sức và thời gian.Sự nhận thức của học
sinh thể hiện khá rõ:
- Các em cịn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy lơgíc cịn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học mơn hình học.
Đây là mơn học địi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó khơng chỉ
đối với HS mà cịn khó đối với cả GV trong việc truyền tải kiến thức tới các em. Nhiều
em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ
học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của mơn hình học trong đời sống.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng
đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh
khá không nhàm chán.
III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình, ứng dụng của nó để giải các bài
tốn quỹ tích , học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất. Vì vậy học sinh cịn lúng

túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh. Để các em tiếp
thu bài một cách có hiệu quả tơi xin đưa ra một vài bài tốn quỹ tích sử dụng phép phép
biến hình để giải trong chương I hình học lớp 11.


1. Phép tịnh tiến :
r

.

Định nghĩa : M’ ur ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ v
là
uuu r
u
khi và chỉ khi MM ' = v .

r

Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra được véctơ v cố định, xét
r
phép tịnh tiến Tv điểm M’ cần tìm quỹ tích là ảnh của điểm M
. Biết M chạy trên đường (C) thì M’ chạy trên đường (C’) là
r
ảnh của (C) qua phép Tv .Vậy quỹ tích điểm M’ là đường (C’)

Bài toán 1:

Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay

đổi trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC .

Hướng dẫn :

Nhìn nhận được vấn đề là điểm H “liên quan” với điểm A qua phép tịnh

tiến với véctơ nào?
A
B'

H

O

C
B
O'


-Nếu BC là đường kính thì
trực tâm H của tam giác ABC chính là A . Vậy H nằm trên đường trịn (O;R).
-Nếu BC khơng là đường kính , vẽ đường kính BB’ của đường trịn. Ta có :
AH = B ' C

mà

B' C

( Do tứ giác AHCB’ là hình bình hành )
cố định Vậy

u

r
TuuuC :
B'

biến A thành H . Do đó A chay trên đường trịn (O;R)

⇔

H

chạy trên đường tròn (O’;R) ,
O’ được xác định :

OO' = B ' C

.

Kết luận : Quỹ tích điểm H là đường trịn tâm O’, bán kính R là ảnh của đường trịn
(O;R) qua phép tịnh tiến theo véc tơ

B' C .

Bài toán 2 :
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M chạy trên đường trịn đó, cho một đoạn AB có
A,B khơng nằm trên đường trịn đó. Tìm quỹ tích các điểm M’ là đỉnh thứ tư của hình
bình hành ABMM’.
Hướng dẫn :

Hướng cho học sinh tìm thấy M có mối quan hệ với điểm nào? Qua

phép tịnh tiến nào?

O'
M'

A

O
M

B


Ta có tứ giác ABMM’ là hình bình hành nên :
r
Tuuu
BA

u u u uu
u ur u
r
MM ' = BA

: biến M thành M’. Do đó M chạy trên đường trịn (O;R)

(O’;R) . O’ được xác định :

, mà
⇔

uu
u
r
BA

cố định . Vậy phép

M’ chạy trên đường tròn

OO' = BA

Kết luận : Quỹ tích điểm M’ là đường trịn tâm O’, bán kính R là ảnh của đường trịn
(O;R) qua phép tịnh tiến theo véc tơ

BA .

Bài tập tự luyện :
1) Cho hình bình hành ABCD có AB cố định , đường chéo AC có độ dài bằng m
khơng đổi. Khi C thay đổi , tìm quỹ tích điểm D.
2) Cho đường tròn tâm O và hai điểm A,B. Một điểm M thay đổi trên đường trịn (O).
Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho : MM ' + MA = MB
3) Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Cho biết A và B cố định, AD=a,
DC=b (a,b là hằng số dương). Tìm quỹ tích điểm D và C.
4) Cho đường trịn (O;R) cố định AB là đường kính cố định, MN là đường kính lưu
động. Tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt AM, AN lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ
tích trực tâm H của tam giác MPQ.
5) Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, vẽ tam giác đều CDN với M,A,B
ở cùng phía đối với CD. Tìm quỹ tích của D và M biết :
a) Điểm C chạy trên đường thẳng d
b) Điểm C chạy trên đường trịn (O;R)

6) Cho hình bình hành ABCD có A cố định, B và D lưu động trên đường trịn tâm O
bán kính R=OA, dây BD=

R 2
2


a) Chứng minh trực tâm K của tam giác BCD cố đinh.
b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABD.
c) Tìm quỹ tích điểm C.
2.Phép đối xứng trục :

Định nghĩa: M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục d khi
và chỉ khi d là đường trung trực của MM’

Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra một đường thẳng d cố định
. Điểm M cần tìm quỹ tích là ảnh của điểm M’ qua phép , biết
M’ chạy trên đường (C’) thì M chạy trên đường (C) là ảnh của
(C’) qua phép .

Bài toán 1:
Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên đường
trịn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC .
Hướng dẫn :


A

O

H

C
I
B
O'

H'

Gọi I, H’ theo thứ tự là giao của tia AH với BC và đường trịn.
Ta có
∠BAH = ∠HCB

(tương ứng vng góc)

∠BAH = ∠BCH '

(cùng chắn một cung)

Vậy tam giác CHH’ cân tại C, suy ra H và H’ đối xứng nhau qua đường thẳng BC
Khi A chạy trên đường trịn (O) thì H’ cũng chạy trên đường trịn (O). Do đó H phải
chạy trên đường trịn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng qua đường thẳng
BC.
Kết luận : Quỹ tích điểm H là đường trịn tâm O’, bán kính R là ảnh của đường trịn
(O;R) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC.
3.Phép quay và phép đối xứng tâm:

Định nghĩa phép quay: Điểm M’ là ảnh của M qua phép
quay khi và chỉ khi OM=OM’ và (OM,OM’)=

Định nghĩa phép đối xứng tâm : M’ là ảnh của M qua
phép đối xứng tâm O khi và chỉ khi

Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra một điểm O cố định và một
góc lượng giác khơng đổi. Điểm M cần tìm quỹ tích là ảnh của
điểm M’ qua phép , biết M’ chạy trên đường () thì M chạy trên
đường (’) là ảnh của () qua phép . Phép đối xứng tâm là trường
hợp đặc biệt của phép quay với góc quay là 1800 .

Bài tốn 1:
Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên
đường trịn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC .
Hướng dẫn :
Gọi I là trung điểm của BC vẽ đường kính AM của đường tròn, rồi chứng minh I là
trung điểm của HM. Ta đi tìm quỹ tích của điểm H dựa vào phép đối xứng tâm I
Bài toán 2 :
Xác định M’ sao cho
Hướng dẫn:

MM ' = MA + MB

. Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên (O;R).


M

O

B

I
A

O'

M'

Gọi I là trung điểm AB thì I cố định và
Do vậy

MM ' = MA + MB ⇔ MM ' = 2MI

MA + MB = 2MI .

tức là MM’ nhận I làm trung điểm hay phép Đ I

biến M thành M’. Vậy khi M chạy trên đường trịn (O;R) thì quỹ tích điểm M’ là đường
trịn (O’,R) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép ĐI . O’ được xác định

O' I = IO .

Bài toán 3 :
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC . Điểm A chạy trên nửa đường trịn đó.
Dựng về phía ngồi của tam giác ABC hình vng ABEF. Tìm quỹ tích điểm E.
Hướng dẫn :
Xem E là ảnh của A qua phép quay Q(B,90 0). Khi A chạy trên nửa đường trịn (O),
thì E chạy trên nửa đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép Q(B,900).
Bài tập tự luyện :
1)Cho đường tròn (O) và điểm I khơng nằm trên đường trịn đó. Với
thay đổi trên đường trịn , dựng hình vng ABCD có tâm I

a) Tìm quỹ tích điểm C.

mỗi điểm A


b) Tìm quỹ tích mỗi điểm B và D
c) Khi I trùng với O có nhận xét gì về ba quỹ tích nói trên .
2)Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên a ta
dựng tam giác đều ABC có tâm G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a.
3)Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên (O). Gọi M 1 là
điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của M1 qua B, M3 là điểm đối xứng
của của M2 qua C. Tìm quỹ tích điểm M3.
4.Phép vị tự :
Phương pháp : Chỉ ra được một điểm cố định O, một hằng số
k, Xét phép vị tự tâm O tỉ số k () điểm M’ cần tìm quỹ tích là
ảnh của M . Biết M chạy trên đường (C) thì M’ chạy trên
đường (C’) là ảnh của (C) qua V(O,k).

Bài tập :
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R. Các đỉnh B,C cố định cịn A
chạy trên đường trịn đó. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC.
Hướng dẫn:
A

O
G
O'
C

B

I


Gọi I là trung điểm của BC. Do B,C cố định nên I cố định.
Ta có :

IG =

1
IA .
3

Vậy G là ảnh của A qua qua phép vị tự tâm I, tỉ số vị tự

1
,
3

mà A chạy

1
3

trên đường tròn (O;R) nên G chạy trên đường tròn (O’; R). O’ được xác định : IO' =

1
IO
3

1

3

Kết luận: Quỹ tích điểm G là đường trịn tâm O’, bán kính R.
Bài tập tự luyện:
1) Trong tam giác ABC có hai đỉnh B,C cố định cịn A chạy trên đường trịn (O;R) cố
định khơng có điểm chung với đường BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC.
2)Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, điểm A lưu động trên một đường thẳng d
sao cho BC không cắt đường thẳng d. Tìm tập hợp
a) Trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Trung điểm I của BC.

3)Cho đường trịn (O;R) đường kính AB cố định , MN là đường kính lưu động. C là
trung điểm của bán kính OA. Tìm tập hợp các điểm Q là giao điểm của NC và BN.
4)Cho đường trịn (O;R) và điểm P cố định nằm ngồi đường tròn(O;R). Một dây cung
BC thay đổi của (O) nhưng có độ dài khơng đổi bằng

R 3.

Tìm quỹ tích trọng tâm của

tam giác PBC.
5) Cho tam giác ABC cố định , M là điểm lưu động trên cạnh BC sao cho M khơng
trùng B. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác MAB.


6) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Đường kính vẽ từ A gặp (O) ở
B và (O’) ở C. Một đường thẳng thay đổi đi qua A và cắt (O) tại M và (O’) tại N. Tìm tập
hợp giao điểm I của BN và C.

KẾT LUẬN

I. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM:
Năm học 2010-2011 , với phân phối chương trình bộ mơn tốn là 4 tiết/1 tuần và
một tiết bám sát . Ở chương I hình học 11 ,trong các giờ học hình , sau khi đã giới thiệu
lý thuyết và làm bài tập tôi dành thời gian luyện tập cho các em giải các bài tập như đã hệ
thống ở trên, tôi thấy học sinh rất dễ hiểu và tích cực làm bài tập hơn.
Xong mỗi phần đưa bài tập về nhà có khoảng 60% đến 70% học sinh làm bài đầy đủ ,
so với đầu năm khi kết thúc chương I tôi thấy kết quả trên trung bình tăng lên 50% , có
khả quan hơn nhiều.

II. KẾT LUẬN :
Với những kinh nghiệm dù là rất nhỏ của mình nhằm hệ thống cho học sinh một
phần kiến thức trong chương 1, để các em nắm chắc kiến thức hơn và sáng tạo hơn trong
học tập. Mặc dù đã đầu tư thời gian để có được một số bài tập song không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Tơi rất mong được sự chia sẻ và đóng góp ý kiến từ q thầy cơ để bài
viết được tốt hơn.


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Đồn Quỳnh-Hình học 11 nâng cao , NXB giáo dục ,2007.
2. Văn Như Cương-bài tập hình học 11 nâng cao, NXB giáo dục, 2009.
3. Nguyễn Mộng Hy-Bài tập hình học 11 cơ bản, NXB giáo dục,2007.
4. Trần Văn Hạo –Hình học 10, NXB giáo dục, 2000.