một số dạng bài tập và phương pháp giải về số hữu tỉ và tỷ lệ thức trong Đại số lớp 7

Phần a: mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
Trong hệ thống các môn học ở bậc THCS, môn toán đóng một vai trò hết sức
quan trọng, bởi lẽ học môn Toán giúp cho học sinh dần hình thành và phát triển đợc
sự linh hoạt, sáng tạo và t duy trừu tợng. Học toán giúp con ngời nâng cao trình độ
tính toán, giúp khả năng t duy logic, sáng tạo ngày càng nâng cao và phát triển. Khi
học toán là qua hoạt động giải bài tập giúp học sinh nâng cao dần khả năng suy luận,
đào sâu, tìm hiểu và trình bày các vấn đề một cách logic.
Trong chơng trình môn Đại số lớp 7 phần kiến thức về số hữu tỉ và tỷ lệ thức là
hết sức cơ bản. Các phép tính số hữu tỉ đã giải quyết đớc các bài toán thực tế mà
trong số nguyên không thực hiện đợc, chúng đợc sử dụng để học tiếp các phần sau
của môn toán THCS và các môn khoa học tự nhiên khác. Đặc biệt từ một tỷ lệ thức ta
có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết đợc 3 số
hạng ta có thể tính đợc số hạng thứ t. Trong chơng II, khi học về đại lợng tỷ lệ thuận,
tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong
phân môn Hình học, để học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không
thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Trong hoá học, vật lý tỉ lệ thức cũng là phơng tiện
để giải các bài toán. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau
còn rèn t duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra
bài toán mới.
Qua quá trình dạy học tôi thấy rất nhiều học sinh còn cha có kĩ năng thực hiện
các phép tính số hữu tỉ nh: quy đồng, cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, tìm số hạng
trong một tỉ lệ thức.
Với những lý do trên đây, tôi đa ra một số dạng bài tập và phơng pháp giải về
số hữu tỉ và tỷ lệ thức trong Đại số lớp 7.
II. Mục tiêu nghiên cứu:
1. Mục đích nghiên cứu.
Trong chuyên đề này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm số hữu tỉ, hệ thống lại
một số định nghĩa, quy tắc về phép toán số hữu tỉ và tỉ lệ thức, phơng pháp giải, các
bớc giải các dạng toán về số hữu tỉ và tỉ lệ thức. Bằng cách sắp xếp các dạng toán,
phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học

sinh, giúp học sinh làm đợc một số dạng toán về phép tính số hữu tỉ và tỷ lệ thức nh:
tìm số hạng cha biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia tỷ lệ,
tránh những sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng nhau.
Học sinh có khả năng t duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận, chính xác
trong tính toán.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Khảo sát chất lợng học sinh học môn toán đầu năm học, khảo sát chất lợng
thực hiện phép tính phân số khi bắt đầu học chơng I.
Nghiên cứu tài liệu, lựa chọn phân loại các bài tập, tìm phơng án giải, cách h-
ớng dẫn học sinh.
Đa các bài tập đã lựa chọn vào các tiết dạy học lý thuyết mới, các tiết luyện
tập, các buổi phụ đạo, bồi dỡng học sinh ngoài giờ chính khoá.
Tổ chức khảo sát chất lợng học sinh sau khi học xong chơng I, phân loại chất
lợng học sinh.
Từ kết quả thực tiễn, viết sáng kiến kinh nghiệm.
III. Phạm vi nghiên cứu:
1. Phạm vi của đề tài:
1
Chơng I, môn đại số lớp 7
2. Thời gian thực hiện:
Từ ngày 17/8/2009 đến ngày 21/11/2009.
Phần b: Nội dung

Chơng I. Cơ sở lý luận khoa học của đề tài
A. Định nghĩa số hữu tỉ, các phép toán về số hữu tỉ.
I. Định nghĩa số hữu tỉ.
Số hữu tỉ là số viết đợc dới dạng phân số
b
a
với a, b

Z; b

0.
II. Cộng, trừ số hữu tỉ.
1. Quy tắc cộng, trừ.
Viết các số hu tỉ dới dạng các phân số cùng mẫu dơng rồi thực hiện công, trừ phân
số:
Với x=
m
a
; y=
m
b
( a, b, m

Z; m

0), ta có:
x+y=
m
a
+
m
b
=
m
ba +
; x-y=
m

a
-
m
b
=
m
ba
2. Quy tắc "chuyển vế"
Với mọi x, y, z

Q ta có x+ y=z

x = z- y.

III. Nhân, chia số hữu tỉ.
1. Nhân số hữu tỉ.
Với x=
b
a
; y=
d
c
, ta có: x. y=
b
a
.
d
c
=
db

ca
.
.
2. Chia số hữu tỉ.
Với x=
b
a
; y=
d
c
, ( y

0) ta có: x:y=
b
a
:
d
c
=
b
a
.
c
d
B. Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức.
I. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
d
c
b

a
=
Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ.
II. Tính chất
1. Tính chất 1( tính chất cơ bản): Nếu
a c
b d
=
thì ad = bc
2. Tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a
b
c
d
a
c
b
d
d
b
c
a
d
c
b
a
==== ;;;
3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
+ từ tỉ lệ thức

d
c
b
a
=
ta suy ra
( )
db
db
ca
db
ca
d
c
b
a



=
+
+
==
+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau
f
e
d
c
b
a

==
2
ta suy ra
=
+
+
=
++
++
===
fdb
eca
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
4. Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số
532
cba
==
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết
a:b:c = 2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức,
từ tỉ lệ thức

d
c
b
a
=
suy ra
( )
2 2
1 2
1 2
1 2
. ; . . 0 ; ( , 0)
k a k ca c a c a c
k k k k k
b d b d b d k b k d

= = = =
ữ ữ

từ
f
e
d
c
b
a
==
suy ra
3
3 3 2

;
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f


= = = ì ì = ì
ữ
ữ ữ ữ


C. Các bớc thực hiện phơng pháp luyện tập thực hành giải toán.
Bớc 1. xác định tài liệu cho luyện tập và thực hành.
Tập chung chú ý của học sinh về một kỹ năng hoặc sự kiện cho luyện tập.
Bớc 2. Giới thiệu mô hình luyện tập hoặc thực hành.
Thông qua ví dụ, khuôn mẫu để học sinh bắt trớc làm theo.
Bớc 3. Thực hành hoặc luyện tập sơ bộ.
HS tìm hiểu để luyện tập thực hành. Thử kỹ năng, đặt câu hỏi về những kỹ năng đó.
Việc nhắc lại kỹ năng có thể thông qua hoạt động của cả lớp với sự hớng dẫn của GV.
Bớc 4. Thực hành đa dạng.
Đa ra các bài tập đòi hỏi hoc sinh phải sử dụng nhiều định lý, công thức,. . .
Bớc 5. Bài tập cá nhân.
HS luyện tập các bài toán có trong SGK, SBT nhằm phát triển kỹ năng giải toán và
rèn luyện t duy.
Chơng II. Thực trạng giải toán về số hữu tỉ của học sinh.
I. Đánh giá chung.
Qua khảo sát chất lợng đầu năm học và quá trình dạy học chơng I Đại số 7 thấy
rằng:
1. Đa số học sinh cha biết thực hiện quy đồng mẫu số của phân số, vì vậy gây khó
khăn cho việc học và thực hiện phép cộng trừ số hữu tỉ.
2. Kỹ năng thực hiện phép tính về phân số và số hữu tỉ còn hạn chế, có những học

sinh không biết trình bày các bớc biến đổi của một dãy phép tính, không thực hiện đ-
ợc phép cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ.
3. Có những học sinh không nhớ các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng
nhau do đó gặp khó khăn trong giải toán về tỉ lệ thức.
4. Kỹ năng biến đổi một tỉ lệ thức để tìm số hạng chu biết, chứng minh đẳng
thức, tính toán thực tế, . . . còn hạn chế.
5. Phần lớn học sinh còn mơ hồ về phơng pháp giải, các bớc giải khi đứng trớc
một bài toán về số hữu tỉ và tỉ lệ thức.
II. Kết quả khảo sát chất lợng học sinh đầu chơng I
Lớp
sĩ số
Giỏi Khá TB Yếu- Kém
SL % SL % SL % SL %
7A 27 0 0 2 7, 4 10 37, 03 15 55, 57
Qua khảo sát chất lợng học sinh thấy rằng: tỉ lệ học sinh giỏi không có, tỉ lệ học
sinh trung bình và khá nhỏ hơn tỉ lệ học sinh yếu kém.
3
Nguyên nhân có thể do trong hè học sinh không đợc ôn tập, nhng chủ yếu là do học
sinh bị lỗ hổng kiến thức và kĩ năng từ các lớp dới.
Trớc thực trạng đó rất cần có một chuyên đề bồi dỡng, phụ đạo cho học sinh về
phép toán số hữu tỉ và tỉ lệ thức.
Chơng III. giải pháp thực hiện.
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đa ra một số một số dạng toán và phơng
pháp giải sau:
I. Các phép toán về số hữu tỉ.
Dạng 1 . Phép cộng, trừ số h u tỉ.
1. Phơng pháp.
Viết các số hữu tỉ dới dạng phân số cùng mẫu dơng, thực hiện phép cộng, trừ theo
quy tắc cộng, trừ các phân số.
Công thức nh sau: Với x=

m
a
; y=
m
b
( a, b, m

Z; m

0), ta có:
x+y=
m
a
+
m
b
=
m
ba +
; x-y=
m
a
-
m
b
=
m
ba
Đối với học sinh miền núi, việc thực hiện quy đồng mẫu số là rất khó khăn, trong
khi lên lớp, cùng với thời gian phụ đạo ngoài giờ cần nhắc lại, luyện tập việc

thực hiện quy đồng mẫu số để đa về phân số cùng mẫu.
Việc trình bày lời giải cần hớng dẫn học sinh viết một dãy các đẳng thức số bằng
nhau, biểu thức sau là kết quả của phép toán trớc.
Quá trình lên lớp cần vận dụng linh hoạt phơng pháp thực hành giải toán, phù hợp
với trình độ các đối tợng học sinh trong lớp. Nếu cần có thể đa ra các hớng dẫn, các
mức độ bài toán khác nhau cho từng đối tợng học sinh.
2. Bài tập minh hoạ:
Tính: a, 0, 6+
3
2

; b,
3
1
- (-0, 4); c,
18
8
-
27
15
Giải.
a, 0, 6+
3
2

=
10
6
+
3

2
=
5
3
+
3
2
=
15
9
+
15
10
=
15
1
b,
3
1
- (-0, 4)=
3
1
+0, 4=
3
1
+
10
4
=
3

1
+
5
2
=
15
65 +
=
15
11
c,
18
8
-
27
15
=
9
4
-
9
5
=-1
Dạng 2. Phép nhân, chia số h u tỉ.
1. Phơng pháp.
Viết số hữu tỉ dới dạng các phân số, áp dụng quy tắc nhân, chia và các tính chất
phép nhân để thực hiện.
Đối với phép nhân, chia học sinh thực hiện rễ rằng hơn. Trong các bài tập cần chú
ý rèn luyện cho học sinh rút gọn kết quả(nếu cần), khi thực hiện phép chia học sinh
hay nhầm lẫn không nhân với nghịch đảo của số chia.

Với x=
b
a
; y=
d
c
, ta có: x. y=
b
a
.
d
c
=
db
ca
.
.
Với x=
b
a
; y=
d
c
, ( y

0) ta có: x:y=
b
a
:
d

c
=
b
a
.
c
d
2. Bài tập minh hoạ:
Thực hiện phép tính. a,
7
2
.
8
21
; b) 0, 24.
4
15
; c, (-2). (-
12
7
); d,
23
5
: (-2)
Giải.
4
a.
7
2
.

8
21
=
8.7
21.2
=
4.1
3.1
=
4
3
b. 0, 24.
4
15
=
100
24
.
4
15
=
25
6
.
4
15
=
10
9
c, (-2). (-

12
7
)=
1
2
.
2
7
= 7
d,
23
5
: (-2)=
23
5
.
2
1

=
46
5
Dạng 3. Thực hiện phối hợp các phép tính.
1. Phơng pháp.
Vận dụng linh hoạt các quy tắc, tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của các
phép tính thực hiện liên tiếp một dãy các phép tính theo thứ tự thực hiện.
Khi trình bày lời giải cần rèn luyện cho học sinh viết các biểu thức bằng nhau liên
tiếp, biểu thức sau là kết quả của phép toán đứng trớc, phép toán nào cha thực hiện
thì viết lại.
2. Bài tập minh hoạ: Tính giá trị các biểu thức.

a, A =
2 1 5 3 7 5
6 5 3
3 2 3 2 3 2

+ + +
ữ ữ ữ

; b, B =
4 5 4 16
1 0.5
23 21 23 21
+ + +
c, C=
1 5 1 5
15 : 25 :
4 7 4 7


ữ ữ

; d, D= (
7
3
+
2
1
)
2
e, E= -5, 13: (5

28
5
-
8
1
9
. 1, 25 + 1
63
16
)
Giải.
a, Có thể hớng dẫn học sinh giải theo hai cách sau:
Cách 1. Trớc hết tính giá trị các biểu thức trong ngoặc.
36 4 3 30 10 9 18 14 15
6 6 6
A
+ + +
=
=
35 31 19 15 5 1
2
6 6 6 6 2 2

= = =
Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng thích hợp.
2 1 5 3 7 5
6 5 3
3 2 3 2 3 2
A = + + + =
( )

2 5 7 1 3 5
6 5 3
3 3 3 2 2 2

+ + +
ữ ữ

=
1 1 1
2 0 2 2
2 2 2

= + =
ữ

b, B =
4 5 4 16 4 4 5 16
1 0.5 1 0.5 1 1 0.5 2.5
23 21 23 21 23 23 21 21

+ + + = + + + = + + =
ữ ữ

c, C =
1 5 1 5 1 1 5 7
15 : 25 : 15 25 : ( 10) 14
4 7 4 7 4 4 7 5

= = ì =
ữ ữ ữ ữ ữ

d, D = (
7
3
+
2
1
)
2
= (
14
13
)
2
=
196
169
e, E = -5, 13: (5
28
5
-
9
17
.
4
5
+ 1
63
16
) = -5, 13: (5

28
5
-2
36
13
+ 1
63
16
)
= -5, 13 [(5-2+1)+ (
28
5
+
36
13
+
63
16
)] = - 1, 26
Dạng 4. Tìm x trong đẳng thức.
1. Phơng pháp.
Vận dụng quy tắc chuyển vế đa các số hạng chứa x sang một vế, các số hạng không
chứa x sang một vế rồi thực hiện các phép tính trong các biểu thức.
5
Quy tắc "chuyển vế": Với mọi x, y, z

Q ta có x+ y=z

x = z- y.
Học sinh thờng mắc sai lầm khi chuyển vế nhng không đổi dấu, hay chuyển vế các

số hạng không hợp lý. Khi lên lớp cần thờng xuyên yêu cầu học sinh nhắc lại quy tắc
và vận dụng quy tắc.
2. Bài tập minh hoạ:
Tìm x, biết:
a, x-
2
1
=
3
2
; b,
7
2
- x = -
4
3
; c, x +
3
1
=
4
3
; d, x -
5
2
=
7
5
Giải.
a, x=

3
2
+
2
1
=
6
34 +
=
6
1
; b, x=
7
2
+
4
3
=
28
2114 +
=
28
35
c, x=
4
3
-
3
1
=

12
5
; d, x=
7
5
+
5
2
=
35
39
II. Các bài toán về tỉ lệ thức.
Dạng 1. Tìm số hạng ch a biết
1. Tìm một số hạng cha biết
a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu
. . .
. . ; ;
a c b c a d a d
a d b c a b c
b d d c b
= = = = =
Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết,
muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.

b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 SGK 26 b)
- 0, 52 : x = - 9, 36 : 16, 38

( )

. 9,36 0.52.16,38
0,52.16,38
0,91
9,36
x
x
=

= =

Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó
hơn nh sau :
a)
1 2 3 2
: 1 :
3 3 4 5
x

=
ữ

' b)
( )
1 2
0, 2 :1 : 6 7
5 3
x= +
có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 a)
60

15
x
x

=

Giải : từ
( ) ( )
2
2 2
60
15
. 15 . 60
900
30
x
x
x x
x
x

=

=
=
=
Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng cha biết nhng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đa
về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
1 60

15 1
x
x

=

;
1 9
7 1
x
x

=
+
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
6
3 5
5 7
x
x

=

Giải:
Cách 1: từ

( ) ( )
3 5
3 .7 5 .5
5 7

7 21 25 5
12 46
5
3
6
x
x x
x
x x
x
x

= =

=
=
=
Cách 2: từ
3 5 3 5
5 7 5 7
x x x
x

= =

áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có
( )
3 5 3 5 2 1
5 7 5 7 12 6
3 1

6 3 5
5 6
5 5
3 3
6 6
x x x x
x
x
x x
+
= = = =
+

= =
= =
Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 4
1 7
2 7 4 1
7 2 14 4 4
5 14 3 4
5 3 4 14 2 10 5
x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x

x x x x
+
=
+
+ = +
+ = +
=
= + = =
Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x
2
bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau
2. Tìm nhiều số hạng cha biết
a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
a b c
= =
(1) và x +y + z =d (2)
( trong đó a, b, c, a+b+c
0
và a, b, c, d là các số cho trớc)
Cách giải:
- Cách 1: đặt
. ; . ; .
x y z
k
a b c
x k a y k b z k c

= = =
= = =
thay vào (2)
Ta có k. a + k. b + k. c = d
( )
d
k a b c d k
a b c
+ + = =
+ +
Từ đó tìm đợc
.
; ;
a d bd cd
x y z
a b c a b c a b c
= = =
+ + + + + +
- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
. . .
; ;
x y z x y z d
a b c a b c a b c
a d b d c d
x y z
a b c a b c a b c
+ +
= = = =
+ + + +
= = =

+ + + + + +
b). Hớng khai thác từ bài trên nh sau.
7
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:
*
1 2 3
k x k y k z e+ + =
*
2 2 2
1 2 3
k x k y k z f+ + =
*x. y. z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:
-
1 2 3 4
;
x y y z
a a a a
= =
-
2 1 4 3
;a x a y a y a z= =
-
1 2 3
b x b y b z= =
-
1 3 3 2
2 1
b x b z b z b y
b y b x

a b c


= =
-
3 3
1 2 2
1 2 3
z b
x b y b
a a a


= =
+Thay đổi cả hai điều kiện
c). Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và x +y + z = 27
Giải: Cách 1.
Đặt
2 , 3 , 4
2 3 4
x y z
k x k y k z k= = = = = =
Từ x + y + z = 27 ta suy ra
2 3 4 27 9 27 3k k k k k+ + = = =
Khi đó x = 2. 3 = 6; y = 3. 3 = 9; z = 4. 3 = 12

Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.

27
3
2 3 4 2 3 4 9
2.3 6; 3.3 9; 4.3 12
x y z x y z
x y z
+ +
= = = = =
+ +
= = = = = =
Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và 2x + 3y 5z = -21
Giải:
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x y z
= =
=k
- Cách 2: Từ
2 3 4
x y z
= =
suy ra

2 3 5
4 9 20
x y z
= =
áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 3 5 2 3 5 21
3
4 9 20 4 9 20 7
6; 9; 12
x y z x y z
x y z
+
= = = = =
+
= = =
Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1)Các phơng pháp :
Để Chứng minh tỷ lệ thức :
a c
b d
=
Ta có các phơng pháp sau :
Phơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc.
Phơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số
;
a c
b d
có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trớc
một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị

của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
8
Phơng pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.
Phơng pháp 4: dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:
a c
b d
=
hãy suy ra tỷ lệ thức:
a b c d
a c

=
.
Giải:
Cách 1: Xét tích
( )
( )
(1)
(2)
a b c ac bc
a c d ac ad
=
=

Từ

(3)
a c
ad bc
b d
= =
Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
a b c d
a c

=
- Cách 2: Đặt
,
a c
k a bk c dk
b d
= = = =
Ta có:

( )
( )
1
1
(1),( 0)
1
1
(2),( 0)
b k
a b bk b k
b
a bk bk k

d k
c d dk d k
d
c dk dk k


= = =


= = =
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c d
a c

=
- Cách 3: từ
a c b d
b d a c
= =
Ta có:
1 1
a b a b b d c d
a a a a c c

= = = =
Do đó:
a b c d
a c

=

- Cách 4:
Từ

a c a b a b
b d c d c d
a a b a b c d
c c d a c

= = =


= =

- Cách 5: từ
1 1
a c b d b d
b d a c a c
a b c d
a c
= = =

=
Bằng cách chứng minh tơng tự từ tỉ lệ thức
a c
b d
=
ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
9
;
a b c d a b c d

b d a c
+ +
= =
(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Bài tập 2: chứng minh rằng nếu
2
a bc=
thì
a)
2 2
2 2
; ) ,( 0)
a b c a a c c
b b
a b c a b a b
+ + +
= =
+
(với a
, )b a c
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
- Cách 2: từ
2
a c
a bc
b a
= =
Đặt
,

a c
k a bk c ak
b a
= = = =
Ta có:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
, 0 (1)
1 1
1
1
0 ,(2)
1 1
b k
a b bk b k
b
a b bk b b k k
a k
c a ak a k
a
c a ak a a k k
+
+ + +

= = =

+
+ + +
= = =

Từ (1) và (2) suy ra:
a b c a
a b c a
+ +
=

- Cách 3: Ta có

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
,
, 0
a a b
a b a ab bc ab
do a bc
a b a a b a ab bc ab
b c a

c a
a b
b c a c a
+
+ + +
= = = =

+
+
= =

Do đó:
a b c a
a b c b
+ +
=

Ngợc lại từ
a b c a
a b c b
+ +
=

ta cũng suy ra đợc a
2
= bc
Từ đó ta có bài toán cho
a b c a
a b c b
+ +

=

chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
từ 3 số a, b, c có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a
2
= bc

a c a b a b a b
b a c a c a c a
a b c a
a b c a
+
= = = = =
+
+ +
=

b)- Cách 1: xét tích chéo ( a
2
+ c
2
)b = a
2
b + c
2
b = bc. b + c
2
b = bc (b +c)
= (b

2
+ a
2
)c = b
2
c + a
2
c = b
2
c + bc. c= bc ( b+c)
Do đó (a
2
+ c
2
)b = ( b
2
+ a
2
)c
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
- Cách 2: Từ a
2
= bc
a c

b a
=
Đặt
a c
k
b a
= =
suy ra a = bk, c = ak = bk
2

10
Ta có

( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 4
2
2 2 2 2 2
2 2
2
2
1
, 0
1
b k k
a c b k b k
k b
b a b b k

b k
c k b
k
b b
+
+ +
= = =
+ +
+
= =
Do đó:
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
- Cách 3: từ a
2
= bc
a c
b a
=
2 2 2 2
2 2 2 2
(1)
a c a c
b a b a
+

= =
+
Từ
2
2
(2),( 0)
a c a a c c
a
b a b b a b
= = ì =
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
- Cách 4: Ta có
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
, 0
c b c
a c bc c c
b c
b a b bc b b c b
+

+ +
= = = +
+ + +
Do đó:
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
Bài tập 3: Biết
bz cy cx az ay bx
a b c

= =
Chứng minh rằng
x y z
a b c
= =
Giải: Ta có
2 2 2
bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx
a b c a b c

= = = = =
2 2 2
0
abz acy bcx bay cay cbx
a b c

+ +
= =
+ +
2
0 (1)
abz acy y z
abz acy bz cy
a b c

= = = =

2
0 (2)
bcx baz z x
bcx baz cx az
b c a

= = = =
Từ (1) và (2) suy ra:
x y z
a b c
= =
Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1. Phơng pháp giải
Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết
Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết
Bớc 4:Kết luận.
2. Bài tập
Bài tập 1: Trong một đợt lao động ba khối 7, 8, 9 chuyển đợc 912

3
m

đất, trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm đợc
3 3 3
1, 2 ;1,4 ;1,6m m m
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và
5. Tính số học sinh của mỗi khối.
Lời giải:
11
Gọi số học sinh của khối 7, 8, 9 lần lợt là a, b, c(h/s)(a, b, c là số nguyên dơng)
Số đất khối 7 chuyển đợc là 1, 2a
Số đất khối 8 chuyển đợc là 1, 4b
Số đất khối 9 chuyển đợc là 1, 6c
Theo bài rat a có
;
1 3 4 5
a b b c
= =
Và 1, 2a +1, 4b + 1, 6c = 912 giải ra ta đợc a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7, 8, 9 lần lợt là 80 h/s, 240h/s, 300h/s
Bài tập 2:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c (cm, a, b, c
0
>
)
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22

Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
542
cba
==
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

2
11
22
542542
==
++
++
===
cbacba
Suy ra

102
5
42
4
42
2
==
==
==
c
c
b
b

a
a
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm, 8cm, 10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) nh sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ
nhất bằng 3. Khi đó ta có đợc: c-a=3
Bài tập 3:
Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây, số cây mỗi lớp trồng đợc tỉ lệ
với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số
cây của lớp 7C là 119 cây. Tính số cây mỗi lớp trồng đợc.
Lời giải:
Gọi số cây trồng đợc của lớp 7A, 7B, 7C lần lợt là a, b, c (cây, a, b, c nguyên dơng)
Theo bài ra ta có
7
17
119
5166
42
516
4
6
2
542
==
+
+
======
cbacbacba
Suy ra

357
5
287
4
217
3
==
==
==
c
c
b
b
a
a
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng đợc của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lợt là 21cây, 28cây, 35cây
12
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi
1
5

số thóc ở kho I,
1
6
số thóc ở kho II và
1
11
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau. Hỏi
lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc

Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I, II, III lúc đầu lần lợt là a, b, c (tấn, a, b, c>0)
Số thóc của kho I sau khi chuyển là
1 4
5 5
a a a =
Số thóc của kho II sau khi chuyển là
1 5
6 6
b b b =
Số thóc của kho III sau khi chuyển là
1 10
11 11
c c c
=
theo bài ra ta có
4 5 10
5 6 11
a b c= =
và a+b+c=710
từ
4 5 10 4 5 10
5 6 11 5.20 6.20 11.20
a b c a b
c
= = = =
710
10
25 24 22 25 24 22 71
a b c a b c

+ +
= = = = =
+ +
Suy ra a=25. 10=250; b=24. 10=240 ; c=22. 10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lợt là 250tấn, 240 tấn, 220 tấn.
Dạng 4 :Một số sai lầm th ờng gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
1) Sai lầm khi áp dụng tơng tự
H/s áp dụng
.
.
x y x y
a b a b
= =
hay
. .
. .
x y z x y z
a b c a b c
= = =
Bài tập 1: (Bài 62 SGKT31) tìm 2 số x, y biết rằng
2 5
x y
=
và x. y=10
H/s sai lầm nh sau :
. 10
1
2 5 2.5 10
x y x y

= = = =
suy ra x=2, y=5
Bài làm đúng nh sau:
Từ
2
2
. . 10
4 2
2 5 2 5 2 5
x y x x x y x
x x
= = = = =
từ đó suy ra
5y
=
vậy x= 2, y= 5 hoặc x=-2, y= -5
hoặc từ
2 2
2 2
10
. 1 4 2
2 5 4 2 5 4 10
x y x x y x
x x
= = = = =
hoặc đặt
2 , 5
2 5
x y
x x x y x

= = = =
vì xy=10 nên 2x. 5x=10
2
1 1x x = =
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện số chia khác 0
Khi rút gọn h/s thờng bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm
Bài tập 2: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
a b c
b c c a a b
= =
+ + +
.
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có
a b c
b c c a a b
= =
+ + +
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
13
( ) ( ) ( ) ( )
2
a b c a b c a b c
b c c a a b b c c a a b a b c
+ + + +
= = = =
+ + + + + + + + + +
Học sinh thờng bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng
1
2

ta phải làm nh sau
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
nên mỗi tỉ số
; ;
a b c
b c c a a b+ + +
đều bằng -1
+ Nếu a+b+c

0 khi đó
( )
1
2 2
a b c a b c
b c c a a b a b c
+ +
= = = =
+ + + + +
Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1
Bài tập 3: Cho biểu thức
x y y z z t t x
P
z t t x x y z y
+ + + +
= + + +
+ + + +
Tính giá trị của P biết rằng
(1)
x y z t
y z t z t x t x y x y z

= = =
+ + + + + + + +

Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
3( )
x y z t x y z t
y z t z t x t x y x y z x y z t
+ + +
= = = =
+ + + + + + + + + + +
Cách 2:Từ (1) suy ra
1 1 1 1
x y z t
x z t z t x t x y x y z
+ = + = + = +
+ + + + + + + +
x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x x y t x y z
+ + + + + + + + + + + +
= = =
+ + + + + + + +
ở cách 1 học sinh mắc sai lầm nh bài tập 3
ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng nh sau :
Nếu x+y+z+t
0
suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0

x+y=-(z+t);y+z=-(t+x). Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách nh nhau. Nhng ở bài tập 3 nên dùng cách 1, bài tập 4
nên dùng cách 2
Bài tập tơng tự :
1)Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện
a b c b c a c a b
c a b
+ + +
= =
Hãy tính giá trị của biểu thức
1 1 1
b a c
B
a c b

= + + +
ữ ữ ữ

2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
2 2 2 2a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
= = =
Tìm giá trị của biểu thức M biết :
a b b c c d d a
M
c d d a a b b c
+ + + +
= + + +
+ + + +

Cần lu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhng
khác 0) thì các số hạng dới bằng nhau và ngợc lại, nếu các số hạng dới bằng nhau thì
các số hạng trên bằng nhau.
3. Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thờng sai lầm nếu A
2
=B
2
suy ra A=B
Bài tập 4:Tìm x biết
1 60
15 1
x
x

=

14
Giải:
1 60
15 1
x
x

=

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 15 . 60 1 900x x = =
Học sinh thờng sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31

phải suy ra 2 trờng hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29
chơng iv hiệu quả sáng kiến.
I. Quá trình áp dụng của bản thân
Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấp mình hiểu sâu sắc hơn về
các phép tính số hữu tỉ và tỷ lệ thức.
Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 4 đối tợng học sinh giỏi, trung bình, khá và yếu
tuỳ từng đối tợng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung
trong chuyên đề một cách dề dàng, các em rất hứng thu khi tự mình có thể lập ra các
bài toán.
II. Hiệu quả khi áp dụng đề tài:
Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài
kiểm tra và kết quả thu đợc nh sau
Lớp
sĩ số
Giỏi Khá TB Yếu- Kém
SL % SL % SL % SL %
7A 27 1 3, 7 7 33, 4 12 44, 4 5 18, 5
Phần C. Kết luận
I. ý nghĩa sáng kiến.
Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về phép toán số hữu tỉ và tỉ lệ thức
trong môn Đại số lớp 7 tôi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả, học sinh
dễ hiểu và hứng thú trong quá trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác sâu
bài toán, biết tự đặt ra các bài toán mới, tránh đợc những sai lầm mà mình hay mắc
phải.
II. Những bài học kinh nghiệm rút ra.
Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng một
vấn đề nào đó trớc hết ngời thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc vì vậy ngời thầy
phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng cao
trình độ cho bản thân.
Iii. Những kiến nghị, đề xuất

Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng
phù hợp với đối tợng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học
sinh.
Mặc dù đã rất cố gắng nhng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi cha thể đa
ra vấn đề một cách trọn vẹn đợc, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng để
đề tài này đợc hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 11 năm 2009
Ngời thực hiện
Lý Xuân Tùng
15
16