Bài tập môn toán lớp 12

Chuyên đề 8: LƯNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Độ:

.
y
x
o
180
O
bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=

33
2. Radian: (rad)

ra
d

0
180
π
=

3.
Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:

Độ 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Radian 0
6
π

4
π

3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2


II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Đònh nghóa:
x
y
B
α

M
α
(điểm gốc)
+
t
O
A
(điểm ngọn)
π
α
2kAB
+
=

x
y


+







2.
Đường tròn lượng giác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:

π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2
DB,
k ,
2
2
- D
2k

2
2
B
2k

(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+=
π
α
kOyOx
t
(tia ngọn)
O
α
+
−
x
y
O
C
A
B
D


34
III. Đònh nghóa hàm số lượng giác:

1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc

• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )
+
−
x
y
O
C
A
B
D
1
1
1
=
R
1
−
1
−
'x
'u
u
t
't
'y
• y
'
Oy : trục sin ( trục tung )

• t
'
At : trục tang
• u
'
Bu : trục cotang

2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác:
a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
α
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'
Ox vàø y
'
Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t
'
At và u
'
Bu
Ta đònh nghóa:





cos
sin
tg

cot
OP
OQ
A
T
gB
U
α
α
α
α
=
=
=
=


t
't
t
y

b. Các tính chất :

• Với mọi
α
ta có :

1 sin 1 hay sin 1
αα

−≤ ≤ ≤


1 cos 1 hay cos 1
αα
−≤ ≤ ≤

•

tg xác đònh
2
k
π
α
απ
∀≠ +

•

cotg xác đònh k
α
απ
∀≠


c. Tính tuần hoàn



sin( 2 ) sin

cos( 2 ) cos
( )
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
gk g
α
πα
α
πα
α
πα
α
πα
+=
+=
+=
+=

)( Zk
∈

'u
x
u
'y
t
1−
Q

'xO
B
T
α
M
α
A
P
U
Trục cosin
Trục sin
Trục cotang
+
−
Trục tang
IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt

-3
-1
-3
/
3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'

u
u'
-3
-1
-3
/
3
1
1
-1
-1
-
π
/
2
π
5
π
/6
3
π
/
4
2
π
/3
-
π
/
6

-
π
/
4
-
π
/
3
-1/2
-2
/
2
-3
/
2
-1/2-2
/
2-3
/
2
3
/
2
2
/
2
1/2
3
/
2

2
/
2
1/2
A
π
/3
π
/
4
π
/6
3
/
3
3
B
π
/
2
3
/
3
1
3
O

+
−

35
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Góc

Hslg
0
6
π

4
π

3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2

sin
α
0
2

1

2
2
2
3
1
2
3

2
2

2
1

0 0
cos
α
1
2
3

2
2
2
1

0
2

1
−

2
2
−
2
3
−

-1 1
tg
α
0
3
3

1
3
kxđ
3−
-1
3
3
−

0 0
cotg
α
kxđ

3
1
3
3
0
3
3
−
-1
3−
kxđ kxđ


V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1.
Cung đối nhau :
va
ø
-
α
α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
π
π
−
,…)

2.
Cung bù nhau :
va
ø
-
α
πα
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
π
π
,…)

3.
Cung phụ nhau :
và
2
π
α
α
−
( tổng bằng
2
π
) (Vd:

3
&
6
π
π
,…)

4.
Cung hơn kém
2
π
:
và
2
π
α
α
+
(Vd:
3
2
&
6
π
π
,…)

5.
Cung hơn kém
π

: và
α
πα
+
(Vd:
6
7
&
6
π
π
,…)

1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :


cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
α
α
α
α
αα
α
α
−=

−=−
−=−
−=−

cos( ) cos
sin( ) sin
()
cot ( ) cot
tg tg
gg
π
αα
π
αα
πα α
π
αα
−
=−
−=
−=−
−=−


36


3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
π

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
gg
π
α
α
π
α
α
π
α
α
π
α
α
−=
−=
−=
−=

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
gg
π
α
α
π
α
α
π
α
α
π
α
α
+=−
+=
+=−
+=−


5. Cung hơn kém
π

:


cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
π
αα
π
αα
πα α
π
αα
+=−
+=−
+=
+=

tang , cotang
Hơn kém
π
Hơn kém
2
π

sin bằng cos
cos bằng trừ sin

Phụ chéo
Bù sin
Đối cos
Ví dụ 1: Tính
)
4
11
cos(
π
−
,
4
21
π
tg

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
)3cos()2cos()
2
cos( xxxA ++−++=
ππ
π

VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
2
2
2
2
1

1 tg =
cos
1
1

cotg =
sin
tg . cotg = 1
α
α
α
α
αα
+
+
22
cos sin 1
sin
tg =
cos
cos
cotg =
sin
αα
α
α
α
α
α
α

+=


37

Ví dụ: Chứng minh rằng:
1.
xxxx
2244
cossin1sincos −=+
2.

xxxx
2266
cossin31sincos −=+
2. Công thức cộng :

cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tg
tg( + ) =
1.
tg tg
tg( ) =
1.
tg tg
tg tg
α

βαβαβ
α
βαβαβ
α
βαββα
α
βαββα
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
+= −
−= +
+= +
−= −
−
−
−
+




Ví dụ: Chứng minh rằng:

π
αα α
π

αα α
+= −
−= +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )

4
3. Công thức nhân đôi:


α
αα
α
α
α
α
α
αα
α
α
α
=−
=−
=−
=−
=
=
−
22

2
2
44
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin2 2sin .cos
2
2
1
tg
tg
tg

2
2cos1
cos
2
α
+
=
α
2
2cos1
sin
2
α
α

−
=
ααα
2sin
2
1
cossin =
4 Công thức nhân ba:

38


3
3
cos3 4cos 3cos
sin3 3sin 4sin
α
αα
α
αα
=−
=−


5. Công thức hạ bậc:


α
α
α

α
α
α
α
2cos1
2cos1
;
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos
222
+
−
=
−
=
+
= tg


6.Công thức tính sin ,cos ,tg
α
αα
theo
2
ttg
α

=



22
2
2
1
2
;
1
1
cos;
1
2
sin
t
t
tg
t
t
t
t
+
=
+
−
=
+
=

ααα


7. Công thức biến đổi tích thành tổng :


[]
[]
[]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
α
βαβαβ
α
βαβαβ
αβ αβ αβ
=++−
=−−+
=++−


Ví dụ:
1. Biến đổi thành tổng biểu thức:

xxA 3cos.5cos
=

2. Tính giá trò của biểu thức:
12
7
sin
12
5
cos
π
π
=B

8. Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos 2cos .cos
22
cos cos 2sin .sin
22
sin sin 2sin .cos
22
sin sin 2cos .sin
22
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg

α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
+
−
+=
+
−
−=−
+−
+=
+−
−=
+
+=

−
−=


4
3sinsin3
sin
3
α
α
α
−
=

4
cos33cos
cos
3
α
α
α
+
=
Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức:
3xsin 2x sinsin
+
+
=
xA

9. Các công thức thường dùng khác:


cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44
π
π
αα α α
π
π
αα α α
+= −= +
−= +=− −

8
4cos35
sincos
4
4cos3
sincos
66
44
α
αα
α
αα
+
=+

+
=+

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I.
Đònh lý cơ bản: ( Quan trọng )


u = v+k2
sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
ππ
π
π
π
π
π

ππ
⎡
⇔
⎢
⎣
⎡
⇔
⎢
⎣
⇔≠

+
⇔≠

39

( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk
∈
)

Ví dụ : Giải phương trình:
1.
sin3 sin( 2 )
4
x
x
π
=−
2.

4
3
cos)
4
cos(
π
π
=−x

3. 4.
xx 2sin3cos =
44
1
sin cos (3 cos6 )
4
xx+=−

x
II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m (
Rm
∈
∀
)


* Gpt : sinx = m (1)

•
Nếu

1m >
thì pt(1) vô nghiệm
•
Nếu
1m ≤
thì ta đặt m = sin
α
và ta có

x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
απ
α
π
απ
⎡
⇔⇔
⎢
⎣


* Gpt : cosx = m (2)

•
Nếu
1m >
thì pt(2) vô nghiệm
•
Nếu

1m ≤
thì ta đặt m = cos
β
và ta có

x = +k2
(2) cosx=cos
x = +k2
β
π
β
β
π
⎡
⇔⇔
⎢
−
⎣

* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm
Rm
∈
∀
)

•
Đặt m = tg
γ
thì

(3) tgx = tg x = +k
γ
γπ
⇔⇔


* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm
Rm
∈
∀
)

•
Đặt m = cotg
δ
thì

(4) cotgx = cotg x = +k
δ
δπ
⇔⇔


Các trường hợp đặc biệt:


sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2

2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x
k
xk
xk
x
k
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
=− ⇔ − +
⇔
=⇔ +
=− ⇔ +
⇔
=⇔


Ví dụ:

1) Giải các phương trình :

a)
=
1
sin2
2
x
b)
2
cos( )
42
x
π
−=−

c)
03)
6
2sin(2 =+−
π
x
d)
03)
3
cos(2 =−+
π
x

e) f)
12cos2sin =+ xx
xxx 2cossincos
44
=+

2) Giải các phương trình:
a)
44
1cos sin 2cos2
x
x+−=x
c) 024sin)cos(sin4
44
=−++ xxx
b)
66
sin cos cos4
x
x+=x
d)
33
1
sin .cos cos .sin
4
xx xx
−
=

e)

4)
2
.1(sincot =++
x
tgtgxxgx


40
2. Dạng 2:

2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
0
cot cot 0
axbxc
axbxc
atg x btgx c
agxbgxc
++=
++=
++=
+
+=
(
0a
≠

)

Cách giải

41
:

Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình :
2
0at bt c
+
+=
(1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)


Ví dụ :
a) b)
2
2cos 5sin 4 0xx+−=
5
cos2 4cos 0
2
xx
−
+=

c)

2
2sin 4 5cos
x
x=+
d)
2cos cos2 1 cos2 cos3
x
xx=+ + x


e)
44
1
sin cos sin2
2
xxx+=−
f)
0)2
2
cos()cos(sin2
44
=−−+ xxx
π

g)
44
sin cos 1 2sin
22
x
x

x
+=−
h)
0cos.sincossin
44
=++ xxxx
k)
0
sin22
cos.sin)sin(cos2
66
=
−
−+
x
xxxx
l)
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+ x
x
xx
x

3. Dạng 3:

cos sin (1) ( a;b 0)axbxc+= ≠
Cách giải:

• Chia hai vế của phương trình cho
22
ab
+
thì pt

22 22 22
(1) cos sin
ab
xx
ab ab ab
⇔+=
++
c
+
(2)

•
Đặt
22 22
b
cos và sin
a
a
ab b

α
α
==
++
với
[
)
0;2
α
π
∈
thì :

22
22
c
(2) cosx.cos + sinx.sin =
a
c
cos(x- ) = (3)
a
b
b
αα
α
⇔
+
⇔
+

Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.


Chú ý :

222
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a bc
⇔
+≥


42



Ví dụ : Giải các phương trình :
a)
+=−3sin 1xxcos b) 2sin3cos =+ xx
c)
44
4(
d)
sin cos ) 3sin4 2xx x++ =
x
tgx

cos
1
3
=−

e)
3
1sincos2
2sincos
2
=
−−
−
x
x
xx


d. Dạng 4:
(1)
22
sin sin .cos cos 0 (a;c 0)axbxxc x++=≠

Cách giải 1:

22
1cos2 1cos2
sin và cos
22
x
x
xx
−
+
==

p dụng công thức hạ bậc :
và công thức nhân đôi :
1
sin .cos sin2
2
xx=
thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
x

Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )

Chia hai vế của pt (1) cho ta được pt:
2
cos
x

2
0atg x btgx c++=
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải

Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem
x
2
k
π
=
+π
có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:

031coscos.sin)31(sin3
22
=−+−−+ xxxx

d. Dạng 5:
(1)
(cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc++ +=

Cách giải :
• Đặt
cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
txx x t
π
=+= − ≤≤

Do
2
2
t1
(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
xx xx
−
+=+ ⇒

• Thay vào (1) ta được phương trình :

2
1

0
2
t
at b c
−
++
=
(2)
•
Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt:
2cos( )
4
x
t
π
−=
tìm x.


Ví dụ : Giải phương trình :

sin2 2 2(sin cos ) 5 0xxx−+−=


Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng :
(cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc
−
++=

Ví dụ : Giải phương trình :


sin2 4(cos sin ) 4
x
xx+−=


43

4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết
Ví dụ: Giải phương trình:

0
2
3
2sincossin
44
=−++ xxx

b. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây:

hoặc
A=0
.0
B=0
AB

⎡
=⇔
⎢
⎣
A=0
0 B=0
C=0
ABC
⎡
⎢
=⇔
⎢
⎢
⎣

Ví dụ : Giải các phương trình :
a.
si
b.
22 2
n sin 2 sin 3 2xxx++=
2222
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x
xx−=−x
in cos2 cos 0xxx
+−=

c.
2s

d.
3
03)
4
sin(2cos222sin =++++
π
xxx

c. Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)

Ví dụ : Giải các phương trình :
a.
cos 01cos2cos3
−
−
=
+ xxx
3
=+−− xxx

b.
4

01cos42coscos
c.
1
2cos2 8cos 7
cos

xx
x
−+=

d.
22cossin
24
=+ xx
* Phương trình có chứa
(cos sin ) và sinx.cosx
x
x
±

Ví dụ : Giải phương trình : a.
++ =
33
3
1

sin cos sin2x
2
xx
b.
1)cos(sin2cossin
33
−+=+ xxxx
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác
Sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau

• Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản
•
Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích số
•
Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ chuyển về phương trình đại số
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
03)
4
sin(2cos222sin =++++
π
xxx
2)
07cos2sin
2
5
cos
2
sin
2
3
cos
2
7
sin
=++ xx
xxxx

3)
6

cos.3)
2
3(cos)
2
2(cos)
2
(cos
222
π
π
π
π
=−++++ xxx

4)
)
4
(sin2
2sin1
2sin
2
sin
2
cos
2
44
π
+
+
=

−
x
x
x
xx
5)
xxxx 2sin3cos8sin7cos −
=
+

6)
12sincossin2 +=+ xxx

Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau
1. 8.
3
2sin cos2 cos 0xxx++=
222
sin ( ). cos 0
24 2
x
x
tg x
π
−
−=

2.
22
7

sin .cos4 sin 2 4sin ( )
42 2
x
xx x
π
−= −−
9.
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
xx
x
xx
−
=+
+

3.
9sin 6cos 3sin2 cos2 8
x
xxx+− +=
10.
1
2cos.s
3
tg x tgx x x
−=
in3

4.
44
sin cos 1 1
cot 2
5sin2 2 8sin2
xx
gx
x
x
+
=−
11.
1
2cos2 8cos 7
cos
xx
x
−+=

5.
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
1
cos
x
x
tg x
x

−
+=
12.
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
12
x
gx x x
tgx
−= + −
+

6.
3(
13.
2sin)6costgx tgx x x−++ 0=
2
cot 4sin2
sin2
gx tgx x
x
−+ =

7. 14.
2
cos2 cos .(2 1) 2xxtgx+−=
2
cos cos sin .(1 . )
2

x
tgx x x x tgx tg+− = +

DẠNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số
Sử dụng phương pháp sau
• Chọn ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x)
•
Chuyển phương trình về phương trình đại số
•
Lập luận để chuyển bài toán đã cho theo ẩn phụ vừa chọn
•
Sử dụng phương pháp giải tích hoặc đại số để tìm tham số theo yêu cầu của đề bài
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

02sin
4
1
2coscossin
244
=++−+ mxxxx

Bài 2: Đònh m để phương trình :
m
x
x
gxtgxxx =++++++ )
cos
1
sin
1

cot(
2
1
1cossin


44
có nghiệm
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈
2
;0
π
x

Bài 3: Cho hàm số:
1)cos
cos
2
()cos
cos
4
(2
2
2

=−++ x
x
mx
x

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc
).
2
;0(
π

Bài 4: Cho phương trình :
01)cot(3
sin
3
2
2
=−+++ gxtgxmxtg
x

Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình có nghiệm.
Bài 5: Xác đònh m để phương trình :

44
2(sin x cos x) cos4x 2sin2x m 0+++−=
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
[0; ]
2
π

Bài 6: Cho phương trình :
mxxx
=
−
− )sin(cos42sin
(1)
Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 7: Tìm m để phương trình :
44 662
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m
+
−+−=
có nghiệm.
Bài 8: Cho phương trình
cos4 6sin cos 0
x
xxm+−=

Đònh m để phương trình có nghiệm
0;
4
x
π
⎡
⎤
∈
⎢
⎥
⎣
⎦

.
Bài 9: Tìm m để phương trình :
0)cos)(sincos.(sin2cos2
=
+
−
+
xxmxxx

có nghiệm trên đoạn
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
;0
π

Bài 10: Cho phương trình:
mtgx
x
x
xx
=
−
+
22
66

sincos
sincos

Với giá trò nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 11: Cho phương trình:
mxx =−+
44
)1(sinsin
Với giá trò nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 12: Tìm m để phương trình : có nghiệm
2
22sin2xm(1cosx)+=+
x[ ;]
22
ππ
∈−


Hết


45