Tải bản đầy đủ (.pdf) (13 trang)

Bài tập môn toán lớp 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (258.58 KB, 13 trang )

Chuyên đề 8: LƯNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Độ:

.
y
x
o
180
O
bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=

33
2. Radian: (rad)

ra
d

0
180
π
=



3.
Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:

Độ 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Radian 0
6
π

4
π


3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2


II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Đònh nghóa:
x
y
B
α

M
α
(điểm gốc)
+
t
O
A
(điểm ngọn)
π
α
2kAB
+
=

x
y


+







2.
Đường tròn lượng giác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:



π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
k
CA
k
C
k
A
+→

+→
+→
+→

2
DB,
k ,
2
2
- D
2k

2
2
B
2k

(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+=
π
α
kOyOx
t
(tia ngọn)
O
α
+

x
y
O
C
A
B
D


34
III. Đònh nghóa hàm số lượng giác:

1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc

• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )
+

x
y
O
C
A
B
D
1
1
1
=
R
1

1

'x
'u
u
t
't
'y
• y
'
Oy : trục sin ( trục tung )

• t
'
At : trục tang
• u
'
Bu : trục cotang

2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác:
a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
α
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'
Ox vàø y
'
Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t
'
At và u
'
Bu
Ta đònh nghóa:





cos
sin
tg

cot
OP
OQ
A
T
gB
U
α
α
α
α
=
=
=
=


t
't
t
y

b. Các tính chất :

• Với mọi
α
ta có :

1 sin 1 hay sin 1
αα

−≤ ≤ ≤


1 cos 1 hay cos 1
αα
−≤ ≤ ≤



tg xác đònh
2
k
π
α
απ
∀≠ +



cotg xác đònh k
α
απ
∀≠


c. Tính tuần hoàn



sin( 2 ) sin

cos( 2 ) cos
( )
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
gk g
α
πα
α
πα
α
πα
α
πα
+=
+=
+=
+=

)( Zk


'u
x
u
'y
t
1−
Q

'xO
B
T
α
M
α
A
P
U
Trục cosin
Trục sin
Trục cotang
+

Trục tang
IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt

-3
-1
-3
/
3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'

u
u'
-3
-1
-3
/
3
1
1
-1
-1
-
π
/
2
π
5
π
/6
3
π
/
4
2
π
/3
-
π
/
6

-
π
/
4
-
π
/
3
-1/2
-2
/
2
-3
/
2
-1/2-2
/
2-3
/
2
3
/
2
2
/
2
1/2
3
/
2

2
/
2
1/2
A
π
/3
π
/
4
π
/6
3
/
3
3
B
π
/
2
3
/
3
1
3
O

+





35
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Góc

Hslg
0
6
π


4
π

3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2

sin
α
0
2

1

2
2
2
3
1
2
3

2
2

2
1

0 0
cos
α
1
2
3

2
2
2
1

0
2

1


2
2

2
3


-1 1
tg
α
0
3
3

1
3
kxđ
3−
-1
3
3


0 0
cotg
α
kxđ

3
1
3
3
0
3
3

-1
3−
kxđ kxđ


V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1.
Cung đối nhau :
va
ø
-
α
α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
π
π

,…)

2.
Cung bù nhau :
va
ø
-
α
πα
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
π
π
,…)

3.
Cung phụ nhau :

2
π
α
α

( tổng bằng
2
π
) (Vd:

3
&
6
π
π
,…)

4.
Cung hơn kém
2
π
:

2
π
α
α
+
(Vd:
3
2
&
6
π
π
,…)

5.
Cung hơn kém
π

: và
α
πα
+
(Vd:
6
7
&
6
π
π
,…)

1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :


cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
α
α
α
α
αα
α
α
−=

−=−
−=−
−=−

cos( ) cos
sin( ) sin
()
cot ( ) cot
tg tg
gg
π
αα
π
αα
πα α
π
αα

=−
−=
−=−
−=−


36


3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
π




cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
gg
π
α
α
π
α
α
π
α
α
π
α
α
−=
−=
−=
−=


cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
gg
π
α
α
π
α
α
π
α
α
π
α
α
+=−
+=
+=−
+=−


5. Cung hơn kém
π

:


cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
π
αα
π
αα
πα α
π
αα
+=−
+=−
+=
+=

tang , cotang
Hơn kém
π
Hơn kém
2
π

sin bằng cos
cos bằng trừ sin

Phụ chéo
Bù sin
Đối cos
Ví dụ 1: Tính
)
4
11
cos(
π

,
4
21
π
tg

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
)3cos()2cos()
2
cos( xxxA ++−++=
ππ
π

VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
2
2
2
2
1

1 tg =
cos
1
1

cotg =
sin
tg . cotg = 1
α
α
α
α
αα
+
+
22
cos sin 1
sin
tg =
cos
cos
cotg =
sin
αα
α
α
α
α
α
α

+=


37

Ví dụ: Chứng minh rằng:
1.
xxxx
2244
cossin1sincos −=+
2.

xxxx
2266
cossin31sincos −=+
2. Công thức cộng :

cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tg
tg( + ) =
1.
tg tg
tg( ) =
1.
tg tg
tg tg
α

βαβαβ
α
βαβαβ
α
βαββα
α
βαββα
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
+= −
−= +
+= +
−= −



+




Ví dụ: Chứng minh rằng:

π
αα α
π

αα α
+= −
−= +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )

4
3. Công thức nhân đôi:


α
αα
α
α
α
α
α
αα
α
α
α
=−
=−
=−
=−
=
=

22

2
2
44
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin2 2sin .cos
2
2
1
tg
tg
tg

2
2cos1
cos
2
α
+
=
α
2
2cos1
sin
2
α
α


=
ααα
2sin
2
1
cossin =
4 Công thức nhân ba:

38


3
3
cos3 4cos 3cos
sin3 3sin 4sin
α
αα
α
αα
=−
=−


5. Công thức hạ bậc:


α
α
α

α
α
α
α
2cos1
2cos1
;
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos
222
+

=

=
+
= tg


6.Công thức tính sin ,cos ,tg
α
αα
theo
2
ttg
α

=



22
2
2
1
2
;
1
1
cos;
1
2
sin
t
t
tg
t
t
t
t
+
=
+

=
+
=

ααα


7. Công thức biến đổi tích thành tổng :


[]
[]
[]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
α
βαβαβ
α
βαβαβ
αβ αβ αβ
=++−
=−−+
=++−


Ví dụ:
1. Biến đổi thành tổng biểu thức:

xxA 3cos.5cos
=

2. Tính giá trò của biểu thức:
12
7
sin
12
5
cos
π
π
=B

8. Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos 2cos .cos
22
cos cos 2sin .sin
22
sin sin 2sin .cos
22
sin sin 2cos .sin
22
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg

α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
+

+=
+

−=−
+−
+=
+−
−=
+
+=


−=


4
3sinsin3
sin
3
α
α
α

=

4
cos33cos
cos
3
α
α
α
+
=
Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức:
3xsin 2x sinsin
+
+
=
xA


9. Các công thức thường dùng khác:


cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44
π
π
αα α α
π
π
αα α α
+= −= +
−= +=− −

8
4cos35
sincos
4
4cos3
sincos
66
44
α
αα
α
αα
+
=+

+
=+

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I.
Đònh lý cơ bản: ( Quan trọng )


u = v+k2
sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
ππ
π
π
π
π
π

ππ








⇔≠

+
⇔≠

39

( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk

)

Ví dụ : Giải phương trình:
1.
sin3 sin( 2 )
4
x
x
π
=−
2.

4
3
cos)
4
cos(
π
π
=−x

3. 4.
xx 2sin3cos =
44
1
sin cos (3 cos6 )
4
xx+=−

x
II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m (
Rm


)


* Gpt : sinx = m (1)


Nếu

1m >
thì pt(1) vô nghiệm

Nếu
1m ≤
thì ta đặt m = sin
α
và ta có

x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
απ
α
π
απ

⇔⇔




* Gpt : cosx = m (2)


Nếu
1m >
thì pt(2) vô nghiệm

Nếu

1m ≤
thì ta đặt m = cos
β
và ta có

x = +k2
(2) cosx=cos
x = +k2
β
π
β
β
π

⇔⇔




* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm
Rm


)


Đặt m = tg
γ
thì


(3) tgx = tg x = +k
γ
γπ
⇔⇔


* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm
Rm


)


Đặt m = cotg
δ
thì

(4) cotgx = cotg x = +k
δ
δπ
⇔⇔


Các trường hợp đặc biệt:


sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2

2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x
k
xk
xk
x
k
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
=− ⇔ − +

=⇔ +
=− ⇔ +

=⇔


Ví dụ:


1) Giải các phương trình :

a)
=
1
sin2
2
x
b)
2
cos( )
42
x
π
−=−

c)
03)
6
2sin(2 =+−
π
x
d)
03)
3
cos(2 =−+
π
x


e) f)
12cos2sin =+ xx
xxx 2cossincos
44
=+

2) Giải các phương trình:
a)
44
1cos sin 2cos2
x
x+−=x
c) 024sin)cos(sin4
44
=−++ xxx
b)
66
sin cos cos4
x
x+=x
d)
33
1
sin .cos cos .sin
4
xx xx

=

e)

4)
2
.1(sincot =++
x
tgtgxxgx


40
2. Dạng 2:

2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
0
cot cot 0
axbxc
axbxc
atg x btgx c
agxbgxc
++=
++=
++=
+
+=
(
0a


)

Cách giải

41
:

Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình :
2
0at bt c
+
+=
(1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)


Ví dụ :
a) b)
2
2cos 5sin 4 0xx+−=
5
cos2 4cos 0
2
xx

+=

c)

2
2sin 4 5cos
x
x=+
d)
2cos cos2 1 cos2 cos3
x
xx=+ + x


e)
44
1
sin cos sin2
2
xxx+=−
f)
0)2
2
cos()cos(sin2
44
=−−+ xxx
π

g)
44
sin cos 1 2sin
22
x
x

x
+=−
h)
0cos.sincossin
44
=++ xxxx
k)
0
sin22
cos.sin)sin(cos2
66
=

−+
x
xxxx
l)
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+ x
x
xx
x



3. Dạng 3:

cos sin (1) ( a;b 0)axbxc+= ≠
Cách giải:

• Chia hai vế của phương trình cho
22
ab
+
thì pt

22 22 22
(1) cos sin
ab
xx
ab ab ab
⇔+=
++
c
+
(2)


Đặt
22 22
b
cos và sin
a
a
ab b

α
α
==
++
với
[
)
0;2
α
π

thì :

22
22
c
(2) cosx.cos + sinx.sin =
a
c
cos(x- ) = (3)
a
b
b
αα
α

+

+


Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.


Chú ý :

222
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a bc

+≥


42



Ví dụ : Giải các phương trình :
a)
+=−3sin 1xxcos b) 2sin3cos =+ xx
c)
44
4(
d)
sin cos ) 3sin4 2xx x++ =
x
tgx

cos
1
3
=−

e)
3
1sincos2
2sincos
2
=
−−

x
x
xx


d. Dạng 4:
(1)
22
sin sin .cos cos 0 (a;c 0)axbxxc x++=≠

Cách giải 1:

22
1cos2 1cos2
sin và cos
22
x
x
xx

+
==

p dụng công thức hạ bậc :
và công thức nhân đôi :
1
sin .cos sin2
2
xx=
thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
x

Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )

Chia hai vế của pt (1) cho ta được pt:
2
cos
x

2
0atg x btgx c++=
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải

Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem
x
2
k
π
=

có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:


031coscos.sin)31(sin3
22
=−+−−+ xxxx

d. Dạng 5:
(1)
(cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc++ +=

Cách giải :
• Đặt
cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
txx x t
π
=+= − ≤≤

Do
2
2
t1
(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
xx xx

+=+ ⇒

• Thay vào (1) ta được phương trình :

2
1

0
2
t
at b c

++
=
(2)

Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt:
2cos( )
4
x
t
π
−=
tìm x.


Ví dụ : Giải phương trình :

sin2 2 2(sin cos ) 5 0xxx−+−=


Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng :
(cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc

++=




Ví dụ : Giải phương trình :


sin2 4(cos sin ) 4
x
xx+−=


43

4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết
Ví dụ: Giải phương trình:

0
2
3
2sincossin
44
=−++ xxx

b. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây:

hoặc
A=0
.0
B=0
AB


=⇔


A=0
0 B=0
C=0
ABC


=⇔




Ví dụ : Giải các phương trình :
a.
si
b.
22 2
n sin 2 sin 3 2xxx++=
2222
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x
xx−=−x
in cos2 cos 0xxx
+−=

c.
2s

d.
3
03)
4
sin(2cos222sin =++++
π
xxx

c. Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)

Ví dụ : Giải các phương trình :
a.
cos 01cos2cos3


=
+ xxx
3
=+−− xxx

b.
4

01cos42coscos
c.
1
2cos2 8cos 7
cos

xx
x
−+=

d.
22cossin
24
=+ xx
* Phương trình có chứa
(cos sin ) và sinx.cosx
x
x
±

Ví dụ : Giải phương trình : a.
++ =
33
3
1

sin cos sin2x
2
xx
b.
1)cos(sin2cossin
33
−+=+ xxxx
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác
Sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau

• Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản

Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích số

Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ chuyển về phương trình đại số
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
03)
4
sin(2cos222sin =++++
π
xxx
2)
07cos2sin
2
5
cos
2
sin
2
3
cos
2
7
sin
=++ xx
xxxx

3)
6

cos.3)
2
3(cos)
2
2(cos)
2
(cos
222
π
π
π
π
=−++++ xxx

4)
)
4
(sin2
2sin1
2sin
2
sin
2
cos
2
44
π
+
+
=


x
x
x
xx
5)
xxxx 2sin3cos8sin7cos −
=
+

6)
12sincossin2 +=+ xxx

Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau
1. 8.
3
2sin cos2 cos 0xxx++=
222
sin ( ). cos 0
24 2
x
x
tg x
π

−=

2.
22
7

sin .cos4 sin 2 4sin ( )
42 2
x
xx x
π
−= −−
9.
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
xx
x
xx

=+
+

3.
9sin 6cos 3sin2 cos2 8
x
xxx+− +=
10.
1
2cos.s
3
tg x tgx x x
−=
in3


4.
44
sin cos 1 1
cot 2
5sin2 2 8sin2
xx
gx
x
x
+
=−
11.
1
2cos2 8cos 7
cos
xx
x
−+=

5.
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
1
cos
x
x
tg x
x


+=
12.
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
12
x
gx x x
tgx
−= + −
+

6.
3(
13.
2sin)6costgx tgx x x−++ 0=
2
cot 4sin2
sin2
gx tgx x
x
−+ =

7. 14.
2
cos2 cos .(2 1) 2xxtgx+−=
2
cos cos sin .(1 . )
2

x
tgx x x x tgx tg+− = +

DẠNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số
Sử dụng phương pháp sau
• Chọn ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x)

Chuyển phương trình về phương trình đại số

Lập luận để chuyển bài toán đã cho theo ẩn phụ vừa chọn

Sử dụng phương pháp giải tích hoặc đại số để tìm tham số theo yêu cầu của đề bài
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

02sin
4
1
2coscossin
244
=++−+ mxxxx

Bài 2: Đònh m để phương trình :
m
x
x
gxtgxxx =++++++ )
cos
1
sin
1

cot(
2
1
1cossin


44
có nghiệm







2
;0
π
x

Bài 3: Cho hàm số:
1)cos
cos
2
()cos
cos
4
(2
2
2

=−++ x
x
mx
x

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc
).
2
;0(
π

Bài 4: Cho phương trình :
01)cot(3
sin
3
2
2
=−+++ gxtgxmxtg
x

Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình có nghiệm.
Bài 5: Xác đònh m để phương trình :

44
2(sin x cos x) cos4x 2sin2x m 0+++−=
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
[0; ]
2
π


Bài 6: Cho phương trình :
mxxx
=

− )sin(cos42sin
(1)
Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 7: Tìm m để phương trình :
44 662
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m
+
−+−=
có nghiệm.
Bài 8: Cho phương trình
cos4 6sin cos 0
x
xxm+−=

Đònh m để phương trình có nghiệm
0;
4
x
π








.
Bài 9: Tìm m để phương trình :
0)cos)(sincos.(sin2cos2
=
+

+
xxmxxx

có nghiệm trên đoạn






2
;0
π

Bài 10: Cho phương trình:
mtgx
x
x
xx
=

+
22
66

sincos
sincos

Với giá trò nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 11: Cho phương trình:
mxx =−+
44
)1(sinsin
Với giá trò nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 12: Tìm m để phương trình : có nghiệm
2
22sin2xm(1cosx)+=+
x[ ;]
22
ππ
∈−


Hết


45

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×