SKKN HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT CÁC BÀI TOÁN VỀ “ CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU ” LỚP 5

HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT CÁC BÀI TOÁN
VỀ “ CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU ” LỚP 5
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận:
Như chúng ta đã biết môn Toán đóng một vai trò rất quan trọng trong việc
dạy học. Nó không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn hình thành cho
các em kỹ năng tư duy, sáng tạo, góp phần phát triển trí thông minh từ việc phân
tích so sánh, tổng hợp đến khái quát hoá, trừu tượng hoá. Việc hướng dẫn học
sinh giải các bài toán không những giúp các em nắm vững kiến thức toán trong
từng nội dung bài học mà còn góp phần tích cực giúp các em hiểu và vận dụng
tốt những hiểu biết đó vào cuộc sống.
2. Cơ sở thực tiễn:
Qua thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 tôi thấy chương
trình môn Toán có nhiều dạng như: Các dạng toán về phân số; số thập phân; tìm
tỉ số phần trăm; các dạng toán về hình học; toán chuyển động đều
Từ mỗi dạng toán cơ bản phát triển ra thành nhiều bài toán hay nhiều khi
chỉ sử dụng kiến thức cơ bản ta khó có thể giải được.
Đặc biệt dạng toán “ Chuyển động đều ” là một trong những dạng toán
khó khi gặp giáo viên và học sinh cũng thường thấy ngại. Không những học sinh
không làm được mà ngay cả giáo viên cũng băn khoăn, trăn trở. Để giúp học
sinh giải được dạng toán này với những bài toán phát triển mở rộng, trong phạm
vi bài viết này tôi xin đưa ra một số phương pháp " Hướng dẫn Học sinh học
tốt các bài toán về chuyển động đều ” từ các bài tập cơ bản đến các bài toán
ph¸t triÓn vµ mở rộng, giúp học sinh nắm vững kiến thức một cách có hệ thống
khoa học và không còn ngại khi gặp dạng “Toán chuyển động đều”.
PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A. THỰC TRẠNG
Trong quá trình dạy bồi dưỡng tôi thấy học sinh thường mắc phải những
sai lầm khi giải các bài toán về chuyển động đều.
a) Do học sinh không đọc kĩ đề bài, thiếu sự suy nghĩ cặn kẽ dữ kiện và điều
kiện đưa ra trong bài toán.

Ví dụ: (trang 140 SGK Toán lớp 5)
Quãng đường AB dài 25 km. Trên đường đi từ A đến B, một người đi bộ
5 km rồi tiếp tục đi ô tô trong nửa giờ thì đến B. Tính vận tốc của ô tô.
1
Có một số học sinh lớp 5 đã giải như sau:
Vận tốc của ô tô: 25 :
2
1
= 50 (km/h)
Đáp số: 50km/h
Còn hầu hết học sinh làm đúng bài toán với lời giải như sau:
Quảng đường người đó đi bằng ô tô là: 25 – 5 = 20 (km)
Vận tốc của ô tô là: 20 :
2
1
= 40 (km/h)
Đáp số: 40 km/h
Học sinh mắc sai lầm trên đều do các em chưa đọc kĩ đề bài, bỏ sót 1 dữ
kiện quan trọng của bài toán "Người đó đi bộ 5 km rồi mới đi ô tô".
b) Do học sinh còn nặng về trí nhớ máy móc, tư duy chưa linh hoạt.
Ví dụ: (trang 145 SGK Toán lớp 5)
Một người đi xe đạp từ B đến C với vận tốc 12 km/h, cùng lúc đó một
người đi xe máy từ A cách B là 48 km với vận tốc 36 km/h và đuổi theo xe
đạp (xem hình dưới đây). Hỏi kể từ lúc bắt đầu đi, sau mấy giờ xe máy đuổi
kịp xe đạp?
Khi gặp bài toán trên học sinh rất lúng túng, không biết vận dụng công
thức gì để tính. Qua kiểm tra chỉ thấy có một số ít em làm được bài toán theo
cách giải sau:
Sau mỗi giờ xe máy gần xe đạp là : 36 – 12 = 24 (km)
Thời gian để xe máy đuổi kịp xe đạp là : 48 : 24 = 2 (giờ)

Đáp số : 2 giờ
Khi vận dụng những công thức tự bản thân suy nghĩ, đúc kết học sinh
trong lớp làm dạng toán này chỉ 50% số học sinh trong lớp làm nhanh, chính xác,
số học sinh còn lại lúng túng, phải có sự gởi mở của giáo viên mới giải quyết
được. Đặc điểm các bài toán chuyển động đều là dạng toán có liên quan và ứng
dụng trong thực tế, học sinh phải tư duy, phải có suy diễn và phải có đôi chút hiểu
biết về thực tế cuộc sống.
Với những trăn trở, băn khoăn của bản thân, qua nhiều năm giảng dạy, với tâm
huyết nghề nghiệp, tôi đã chắt lọc hệ thống mạch kiến thức về dạng toán này từ đơn
giản đến phức tạp, từ cụ thể đến khái quát nhằm giúp giáo viên và học sinh có tầm
nhìn tổng quát về mạch đi kiến thức của dạng toán “Chuyển động đều” ở tiểu học.
2
A B C
Xe máy
Xe đạp
48 km
B. GIẢI PHÁP
I. Các bài toán cơ bản về chuyển động đều trong chương trình SGK toán 5.
1. Lý thuyết.
a. Các đại lượng trong toán chuyển động
- Quãng đường: kí hiệu là s.
- Thời gian: kí hiệu là t.
- Vận tốc: kí hiệu là v.
b. Các công thức cần nhớ:
s = v x t; v = s : t; t = s : v
c. Chú ý :
Khi sử dụng các đại lượng trong một hệ thống đơn vị cần lưu ý cho
học sinh :
1. - Nếu quãng đường là km, thời gian là giờ thì vận tốc là km/giờ.
- Nếu quãng đường là m, thời gian là phút thì vận tốc là m/phút.

2. Với cùng một vận tốc thì quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian.
3. Trong cùng một thời gian thì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc.
4. Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch.
2. Bài tập vận dụng
a. Bài toán về tính quảng đường : công thức s = v x t
Ví dụ 1: Một người phải đi 95 km bằng xe lửa, ô tô, đi bộ. Lúc đầu người ấy đi
xe lửa trong 2 giờ với vận tốc 35 km/giờ, sau đó đi ô tô trong 30 phút với vận
tốc 44 km/giờ. Hỏi người ấy còn phải đi bộ bao nhiêu km nữa mới đến nơi?
Phân tích: Với bài tập này GV hướng dẫn HS tính quảng đường đi bằng xe lửa,
ô tô, sau đó tìm quảng đường đi bộ.
Ví dụ 2: Một người dự định đi từ A đến B trong 3 giờ. Người đó đã tăng vận tốc
thêm 6 km/giờ nên tới B chỉ hết 2 giờ. Tính quãng đường AB?
Giải:
Do AB không đổi, thời gian và vận tốc là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch lên ta có :
T (thực) : T (dự định) = V (dự định) : V (thực) = 2 : 3
Nếu coi vận tốc dự định là 2 phần thì vận tốc thực đi là 3 phần, mà một
phần ứng với vận tốc 6 km/giờ;
Nên vận tốc thực đi là: 6 x 3 = 18 (km/h)
Vậy đoạn đường AB dài là: 18 x 2 = 36 (km)
3
Đáp số : 36 km
Ví dụ 3: Một ô tô dự kiến đi từ A với vận tốc 45 km/giờ để đến B lúc 12 giờ
trưa. Do trời trở gió mưa to nên mỗi giờ chỉ đi được 35 km và đến B chậm 40
phút so với dự kiến. Tính quãng đường AB?
Giải:
Trên cùng một quãng đường vận tốc và thời gian tỷ lệ nghịch với nhau.
Vậy ta có:
1 45
2 35

v
v
=
9
7
=
hay
1 7
2 9
t
t
=
( v1 là vận tốc dự kiến, v2 là vận tốc
thực, t1 là thời gian dự kiến, t2 là thời gian thực).
Ta có sơ đồ:
T1:
T2:
Thời gian dự kiến là: 40 : ( 9 - 7 ) x 7 = 140 (phút ) =
7
3
(giờ )
Quãng đường AB là:
7
3
x 45 = 105 (km)
Đáp số: 105 km
b. Bài toán về tính vận tốc: Công thức v = s : t
Ví dụ 1 : Lúc 8 giờ 15 phút cha tôi đi từ nhà ga ra đường dài 6 km. Đi được nữa
đường thì sực nhớ ra là đã để quên giấy chứng minh nhân dân ở nhà, ông bèn
quay lại lấy và tới ga lúc 10 giờ 55 phút. Tính vận tốc đi bộ của cha tôi?

Phân tích: Bài này mấu chốt GV giúp HS hiểu được quảng đường đi của người
cha là: đi được
2
1
quảng đường rồi quay về sau đó đi ra đường, như vậy quảng
đường từ nhà ra đường người cha đã đi sẽ bằng 2 lần quảng đường từ nhà ra đường.
Ví dụ 2: Ngày nghỉ anh Thành về quê, quê ở cách nơi làm việc 140 km. Anh đi
xe đạp 1 giờ 20 phút rồi đi tiếp ô tô trong 2 giờ thì tới nơi, biết ô tô đi nhanh gấp
4 lần xe đạp. Tìm vận tốc mỗi xe?
Ta giả sử rằng anh Thành đi cả quãng đường bằng xe đạp thì thời gian
phải đi là: 1 giờ 20 phút + 2 x 4 = 9 giờ 20 phút = 560 phút
Vậy V(xe đạp) là: 140 : (560 : 60) = 15 (km/h);
Ta tìm được V(ô tô) là: 15 x 4 = 60 (km/h)
Ví dụ 3: Quảng đường từ A đến B dài 17 km. Một người đi bộ từ A hết 30 phút
rồi gặp bạn đi xe đạp đèo đi tiếp 75 phút nữa thì tới B. Tính vận tốc của mỗi
4
40 phút
người. Biết rằng vận tốc của người đi bộ bằng
3
1
vận tốc người đi xe đạp.
Giải:
Vì vận tốc người đi bộ bằng
3
1
vận tốc người đi xe đạp nên quảng đường
đi xe đạp nếu đi bộ thì hết thời gian là: 75 x 3 = 225 (phút)
Người đó đi bộ quảng đường AB thì hết thời gian là:
225 + 30 = 255 (phút)
Đổi 255 phút = 4,25 giờ.

Vận tốc của người đi bộ là: 17 : 4,25 = 4 (km/h)
Vận tốc của người đi xe đạp là: 4 x 3 = 12 (km/h)
Đáp số: 4 km/h và 12 km/h
c. Bài toán về tính thời gian
Ví dụ 1 : Trên đoạn đường dài 12 km, Phúc chạy mỗi giờ được 8 km. Cũng trên
đoạn đường này, Kiệt chạy với tốc độ 6 km mỗi giờ. Hỏi Phúc chạy nhanh hơn
Kiệt bao nhiêu phút trên đoạn đường đó?
Giải:
Thời gian Phúc chạy trên đoạn đường 12 km là:
12 : 8 = 1,5 (giờ)
Thời gian Kiệt chạy trên đoạn đường 12 km là:
12 : 6 = 2 (giờ)
Thời gian Phúc chạy nhanh hơn Kiệt là:
2 – 1,5 = 0,5 (giờ) = 30 phút
Đáp số: 30 phút
Ví dụ 2 : Đường từ nhà đến trường dài 100 km. Một người đi xe máy với vận
tốc 30 km/giờ khởi hành từ nhà lúc 7 giờ 40 phút, đến trường giải quyết công
việc trong 1 giờ 20 phút, sau đó trở về nhà bằng ô tô với vận tốc 40 km/giờ. Hỏi
người đó về tới nhà lúc mấy giờ?
Phân tích: Với bài toán này GV cần lưu ý HS tính thời điểm về đến nhà: thời
gian đi + thời gian giải quyết công việc + thời gian về.
Ví dụ 3: Một ôtô đi quãng đường dài 255 km. Lúc đầu đi với vận tốc là 60 km/h.
Sau đó vì đường xấu và dốc nên vận tốc giảm xuống còn 35 km/h. Vì thế ô tô đi
hết quãng đường đó hết 5 giờ. Tính thời gian ô tô đi với vận tốc 60 km/h?
Giải:
Giả sử cả 5 giờ xe đi với vận tốc 60 km/h thì quãng đường đi được là:
5
60 x 5 = 300 (km)
Do ô tô đi với vận tốc 60 km/h nên đã đi vượt quãng đường là:
300 – 225 = 75 (km)

Vậy thời gian xe đi với vận tốc 35 km/h là: 75: (60 - 35) = 3 (giờ).
Từ đó ta có thời gian ô tô đi với vận tốc 60 km/h là: 5 - 3 = 2 (giờ)
II. Các bài toán có hai hoặc ba chuyển động cùng chiều
a. Kiến thức cần nhớ:
- Vận tốc vật thứ nhất: kí hiệu v1
- Vận tốc vật thứ hai: kí hiệu v2.
- Nếu hai vật chuyển động cùng chiều cách nhau quãng đường s
cùng xuất phát một lúc thì thời gian để chúng đuổi kịp nhau là:
t = s : (v1 – v2)
- Nếu vật thứ hai xuất phát trước một thời gian t0 sau đó vật thứ
nhất mới xuất phát thì thời gian vật thứ nhất đuổi kịp vật thứ hai là:
t = v2 x t0 : (v1 – v2)
Với v2 x t0 là quãng đường vật thứ hai xuất phát trước vật thứ nhất
trong thời gian t0).
b. Các loại bài:
1. Hai vật cùng xuất phát một lúc nhưng ở cách nhau một quãng đường S.
2. Hai vật cùng xuất phát ở một địa điểm nhưng một vật xuất phát trước
một thời gian t0 nào đó.
3. Dạng toán có ba chuyển động cùng chiều tham gia.
Bài 1 (Loại 1)
Lúc 12 giờ trưa, một ô tô xuất phát từ điểm A với vận tốc 60 km/giờ và dự
định đến B lúc 3 giờ 30 phút chiều. Cùng lúc đó, từ điểm C trên đường từ A đến
B và cách A 40 km, một người đi xe máy với vận tốc 45 km/giờ về B. Hỏi lúc
mấy giờ ô tô đuổi kịp người đi xe máy và địa điểm gặp nhau cách A bao nhiêu?
Giải:
Sơ đồ tóm tắt:
40km
A C B
V
1

= 60 km/giờ V
2
= 45 km/giờ
6
Mỗi giờ xe ô tô lại gần xe máy được là: 60 – 45 = 15 (km)
Thời gian để ô tô đuổi kịp xe máy là:
40 : 15 = 2
3
2
= 2 giờ 40 phút
Hai xe gặp nhau lúc: 12 giờ + 2 giờ 40 phút = 14 giờ 40 phút
Địa điểm gặp nhau cách A là: 60 x 2
3
2
= 160 (km).
Đáp số: 160 km.
Bài 2 (Loại 2)
Nhân dịp nghỉ hè lớp 5A tổ chức đi cắm trại ở một địa điểm cách trường
8 km. Các bạn chia làm hai tốp. Tốp thứ nhất đi bộ khởi hành từ 6 giờ sáng với
vận tốc 4 km/giờ, tốp thứ hai đi xe đạp chở dụng cụ với vận tốc 10 km/giờ. Hỏi
tốp xe đạp khởi hành lúc mấy giờ để tới nơi cùng một lúc với tốp đi bộ?
Giải:
Vì hai tốp đến nơi cùng một lúc có nghĩa là thời gian tốp đi xe đạp từ trường
tới nơi cắm trại chính bằng thời gian hai nhóm đuổi kịp nhau tại địa điểm cắm trại.
Thời gian tốp đi xe đạp đi hết là: 8 : 10 = 0,8 (giờ)
Thời gian tốp đi bộ đi hết là: 8 : 4 = 2 (giờ)
Khi tốp đi xe đạp xuất phát thì tốp đi bộ đã đi được là: 2 – 0,8 = 1,2 (giờ)
Thời gian tốp xe đạp phải xuất phát là: 6 + 1,2 = 7,2 (giờ)
Hay 7 giờ 12 phút.
Đáp số: 7 giờ 12 phút.

Bài 3 (Loại 3)
Một người đi xe đạp với vận tốc 12 km/giờ và một ô tô đi với vận tốc
28 km/giờ cùng khởi hành lúc 8 giờ từ địa điểm A tới B. Sau đó nửa giờ một xe
máy đi với vận tốc 24 km/giờ cũng xuất phát từ A để đi đến B. Hỏi trên đường
từ A đến B vào lúc mấy giờ xe máy ở đúng điểm chính giữa xe đạp và ô tô.
Lưu ý: Muốn tìm thời điểm 1 vật nào đó nằm giữa khoảng cách 2 xe ta thêm
một vật chuyển động với vận tốc bằng TBC của hai vật đã cho.
Giải:
Ta có sơ đồ:
A C D E B
Trong sơ đồ trên thời điểm phải tìm xe đạp đi đến điểm C, xe máy đi đến
điểm D và ô tô đi đến điểm E (CD = DE).
Giả sử có một vật thứ tư là xe X nào đó cũng xuất phát từ A lúc 6 giờ và
có vận tốc = vận tốc trung bình của xe đạp và ô tô thì xe X luôn nằm ở điểm
7
chính giữa khoảng cách xe đạp và ô tô.
Vậy khi xe máy đuổi kịp xe X có nghĩa là lúc đó xe máy nằm vào khoảng
cách chính giữa xe đạp và ô tô. Vận tốc của xe X là: (12 + 28 ) : 2 = 20 (km/giờ)
Sau nửa giờ xe X đi trước xe máy là: 20 x 0,5 = 10 (km)
Để đuổi kịp xe X, xe máy phải đi trong thời gian là:
10 : (24 - 20) = 2,5 (giờ)
Lúc xe máy đuổi kịp xe X chính là lúc xe máy nằm vào khoảng chính
giữa xe đạp và ôtô và lúc đó là: 6 giờ + 0,5 giờ + 2,5 giờ = 9 giờ.
Đáp số: 9 giờ.
III. Các bài toán có hai chuyển động ngược chiều
1. Kiến thức cần ghi nhớ:
- Vận tốc vật thứ nhất kí hiệu là v1.
- Vân tốc vật thứ hai kí hiệu là v2.
- Quãng đường hai vật cách nhau trong cùng thời điểm xuất phát là s.
- Thời gian để hai vật gặp nhau là t, thì: t = s : (v1 + v2)

Chú ý: s là quãng đường hai vật cách nhau trong cùng thời điểm xuất
phát. Nếu vật nào xuất phát trước thì phải trừ quãng đường xuất phát trước đó.
2. Các loại bài:
- Loại 1: Hai vật chuyển động ngược chiều nhau trên cùng một đoạn
đường và gặp nhau một lần.
- Loại 2: Hai vật chuyển động ngược chiều nhau và gặp nhau hai lần.
- Loại 3: Hai vật chuyển động ngược chiều và gặp nhau 3 lần trên một
đường tròn.
Bài 1 (Loại 1)
Hai thành phố A và B cách nhau 186 km. Lúc 6 giờ sáng một người đi xe
máy từ A với vận tốc 30 km/giờ về B. Lúc 7 giờ một người khác đi xe máy từ B
về A với vận tốc 35 km/giờ. Hỏi lúc mấy giờ thì hai người gặp nhau và chỗ gặp
nhau cách A bao xa?
Giải: :
Cách 1:
Thời gian người thứ nhất xuất phát trước người thứ hai là:
7 giờ – 6 giờ = 1 (giờ)
Khi người thứ hai xuất phát thì người thứ nhất đã đi được quãng đường là:
30 x 1 = 30 (km)
Khi người thứ hai bắt đầu xuất phát thì khoảng cách giữa hai người là:
186 – 30 = 156 (km)
8
6km
6km
Thời gian để hai người gặp nhau là:
156 : (30 + 35 ) = 2
5
2
(giờ) = 2 giờ 24 phút.
Vậy hai người gặp nhau lúc:

7giờ + 2giờ 24 phút = 9 giờ 24 phút
Chỗ gặp nhau cách điểm A: 30 + 2
5
2
x 30 = 102 (km)
Đáp số: 102 km.
Cách 2: Giải theo toán tỉ lệ thuận.
Bài 2 (Loại 2)
Hai người đi xe đạp ngược chiều nhau cùng khởi hành một lúc. Người thứ
nhất đi từ A, người thứ hai đi từ B và đi nhanh hơn người thứ nhất. Họ gặp nhau
cách A 6 km và tiếp tục đi không nghỉ. Sau khi gặp nhau người thứ nhất đi tới B
thì quay trở lại và người thứ hai đi tới A cũng quay trở lại. Họ gặp nhau lần thứ
hai cách B 4 km. Tính quãng đường AB.
Giải:
Ta biết rằng từ lúc khởi hành đến lúc hai người gặp nhau lần thứ hai thì cả
hai người đã đi hết 3 lần quãng đường AB.
Ta có sơ đồ biểu thị quãng đường đi được của người thứ nhất, người thứ
hai, chỗ hai người gặp nhau là C:
A B
C
Nhìn vào sơ đồ ta thấy cứ mỗi lần hai người đi được một đoạn đường
AB thì người thứ nhất đi được 6 km. Do đó đến khi gặp nhau lần thứ hai thì
người thứ nhất đi được: 6 x 3 = 18 (km)
Quãng đường người thứ nhất đi được chính bằng quãng đường AB cộng
thêm 4 km nữa. Vậy quãng đường AB dài là: 18 – 4 = 14 (km)
Đáp số: 14 km
Bài 3 (Loại 3)
Hai anh em xuất phát cùng nhau ở vạch đích và chạy ngược chiều nhau
trên một đường đua vòng tròn quanh sân vận động. Anh chạy nhanh hơn và khi
chạy được 900 m thì gặp em lần thứ nhất. Họ tiếp tục chạy như vậy và gặp nhau

lần thứ 2, lần thứ 3. Đúng lần gặp nhau lần thứ 3 thì họ dừng lại ở đúng vạch xuất
phát ban đầu. Tìm vận tốc mỗi người, biết người em đã chạy tất cả mất 9 phút.
Giải:
9
4km
Sau mỗi lần gặp nhau thì cả hai người đã chạy được một quãng đường
đúng bằng một vòng đua. Vậy 3 lần gặp nhau thì cả hai người chạy được 3 vòng
đua. Mà hai người xuất phát cùng một lúc tại cùng một điểm rồi lại dừng lại tại
đúng điểm xuất phát nên mỗi người chạy được một số nguyên vòng đua.
Mà 3 = 1 + 2 và anh chạy nhanh hơn em nên anh chạy được 2 vòng đua
và em chạy được 2 vòng đua.
Vậy sau 3 lần gặp nhau anh chạy được quãng đường là:
900 x 3 = 2700 (m)
Một vòng đua dài là: 2700 : 2 = 1350 (m)
Vận tốc của em là: 1350 : 9 = 150 (m/phút)
Vận tốc của anh là: 2700 : 9 = 300 (m/phút)
Đáp số: Anh: 300 m/phút; Em: 150 m/phút
IV. Các bài toán tính vận tốc trung bình của 1 vật chuyển động trên một
quãng đường.
Cần hiểu rõ bản chất của khái niệm vận tốc trung bình. "Vận tốc trung
bình" là quãng đường cả đi lẫn về trong thời gian 1 giờ (hoặc 1 phút ).
Vận tốc trung bình bằng tổng quãng đường đi được chia cho tổng thời
gian đi trên quãng đường đó.
Dạng 1: Cho biết thời gian và vận tốc cụ thể từng đoạn đường:
V
TB
=
Dạng 2: Thời gian bằng nhau: T1 = T2
V
TB

=
Dạng 3: 2 quãng đường bằng nhau.
Các bước giải:
+ Tìm thời gian khi đi trên đoạn đường 1 km
+ Tìm thời gian khi về trên đoạn đường 1 km
+ Tìm thời gian cả đi và về trên đoạn đường 2 km
+ Tìm thời gian cả đi và về trên quãng đường 1 km
+ Tính vận tốc trung bình: 1 : T (cả đi lẫn về trên quãng đường 1km)
Ví dụ 1: Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 6km/giờ. Lúc về do đã mệt nên
người đó chỉ còn đi được với vận tốc 4 km/giờ. Tính vận tốc trung bình của
người đó trên cả quãng đường đi và về?
V
1
x t
1
+ V
2
x t
2
+ … + V
n
x t
n
t
1
+ t
2
+ … + t
n
V

1
+ V
2
2
10
Giải:
Khi đi người đó đi 1km hết: 1 : 6 =
1
6
( giờ )
Khi về người đó đi 1km hết: 1 : 4 =
1
4
( giờ )
Vừa đi vừa về trên quãng đường 2 km hết:
1 1 5
6 4 12
+ =
( giờ )
Vậy người đó vừa đi vừa về trên quãng đường 1km mất:
5 5
: 2
12 24
=
( giờ )
Vận tốc trung bình cả đi lẫn về là: (Quãng đường đi được trong 1 giờ trên
quãng đường cả đi và về ) 1 :
5
24
=

5
24
= 4,8 (km/giờ)
Đáp số: 4,8 km/giờ
Ví dụ 2: Hai người đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm cách nhau
216 km, đi ngược chiều nhau, và sau 6 giờ hai người gặp nhau.
a. Hỏi trung bình mỗi giờ cả hai người đi được bao nhiêu km?
b. Hỏi trung bình mỗi giờ một người đi được bao nhiêu km?
Phân tích:
Hai người có thể đi nhanh, chậm khác nhau, nhưng ở đây, ta tính trung bình.
Giải:
Trung bình mỗi giờ cả hai người đi được: 216 : 6 = 36 (km)
Tổng thời gian cả hai người đã đi từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau là:
6 + 6 = 12 (giờ)
Vậy trung bình mỗi giờ một người đi được: 216 : 12 = 18 (km)
Ví dụ 3: Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 6 km/h. Lúc về do đã mệt nên
người đó chỉ còn đi được với vận tốc 4 km/h. Tính vận tốc trung bình của người
đó trên cả quảng đường đi và về.
Giải:
Khi đi thì người ấy đi 1km hết: 60 : 6 = 10 (phút)
Khi về thì người ấy đi 1km hết: 60 : 4= 15 (phút)
Vừa đi vừa về trên quảng đường 1km thì hết: 10 + 15 = 25 ( phút)
Vậy người đó đi và về trên quảng đường 2km hết 25 phút.
Suy ra người đó đi và về trên quảng đường 1km hết: 25: 2 = 12,5 (phút)
Vậy vận tốc trung bình cả đi lẫn về là: 60 : 12,5 = 48 (km/h)
Ví dụ 4: Một ôtô đi từ A đến B. Nửa quãng đường đầu, ô tô đi với vận tốc
40 km/giờ. Nửa quãng đường sau ô tô phải đi với vận tốc bao nhiêu để trên
cả quãng đường đó vận tốc trung bình là 48 km/giờ.
11

Giải:
Nếu đi với vận tốc 48 km/giờ thì cứ 1 km đi hết: 60 : 48 = 1,25 (phút)
Vậy đi 2 km thì hết: 1,25 x 2 = 2,5 (phút)
1 km nửa đầu đi hết: 60 : 40 = 1,5 (phút)
Vậy 1 km nửa sau phải đi với thời gian là: 2,5 – 1,5 = 1 (phút).
1 phút đi được 1 km vậy 1 giờ đi được: 1 x 60 = 60 (km).
Vậy nửa quãng đường sau ô tô phải đi với vận tốc là 60 km/giờ.
Đáp số: 60 km/giờ.
V. Vật chuyển động trên dòng nước
1. Kiến thứ cần ghi nhớ:
- Nếu vật chuyển động ngược dòng thì có lực cản của dòng nước.
- Nếu vật chuyển động xuôi dòng thì có thêm vận tốc dòng nước.
- Vxuôi = Vvật + Vdòng.
- Vngược = Vvật – Vdòng.
- Vdòng = (Vxuôi – Vngược) : 2
- Vvật = (Vxuôi + Vngược) : 2
- Vxuôi - Vngược = Vdòng x 2
Ví dụ 1: Vận tốc dòng chảy của một con sông là 3 km/giờ. Vận tốc của ca nô
(khi nước đứng yên) là 15 km/giờ. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng và khi
ngược dòng.
Giải:
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là: 15 + 3 = 18 (km/giờ )
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: 15 – 3 = 12 (km/giờ )
Đáp số : 18 km/giờ ; 12 km/giờ
Ví dụ 2: Một ca nô khi ngược dòng từ A đến B mỗi giờ đi được 10 km. Sau
8 giờ 24 phút thì đến B. Biết vận tốc dòng chảy là 2 km/giờ. Hỏi ca nô đó đi
xuôi dòng từ B đến A thì hết bao nhiêu thời gian?
Giải:
Quãng sông AB dài là : 8 giờ 24 phú x 10 = 84 (km)
Vận tốc cua ca nô khi xuôi dòng là: 10 + 2 = 12 (km/giờ )

Thời gian ca nô đi xuôi dòng là: 84 : 2 = 7 (giờ )
Đáp số: 7 giờ
Ví dụ 3: Lúc 6h sáng, một chuyến tàu thuỷ chở khách xuôi dòng từ A đến B,
nghỉ lại 2h để trả và đón khách rồi lại ngược dòng về A lúc 3h20p chiều cùng
ngày. Hãy tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng thời gian đi xuôi
dòng nhanh hơn thời gian đi ngược dòng là 40p và vận tốc dòng nước là 50 m/p.
12
Giải:
Ta có: 3 giờ 20 phút chiều = 15 giờ 20 phút.
Thời gian tàu thuỷ đi xuôi dòng và ngược dòng hết là:
15 giờ 20 phút – (2giờ + 6giờ) = 7 giờ 20 phút
Thời gian tàu thủy đi xuôi dòng hết:
(7 giờ 20 phút – 40 phút) : 2 = 3 giờ 20 phút
3giờ 20 phút = 3
3
1
giờ =
3
10
giờ
Thời gian tàu thuỷ đi ngược dòng hết: 7h20p – 3h20p = 4 giờ
Tỉ số thời gian giữa xuôi dòng và ngược dòng là:
3
10
: 4 =
6
5
Vì trên cùng quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
với nhau nên tỉ số vận tốc xuôi dòng và ngược dòng là
6

5
. Coi vận tốc xuôi dòng là
6 phần thì vận tốc ngược dòng là 5 phần, hơn nhau bằng 2 x Vdòng.
Ta có sơ đồ:
2xVdòng
Vxuôi dòng :
Vngược dòng:
Vxuôi dòng hơn Vngược dòng là: 2 x 50 = 100 (m/phút)
Vngược dòng là: 5 x 100 = 500 (m/phút) = 30 (km/giờ)
Khoảng cách giữa hai bến A và B là: 30 x 4 = 120 (km)
Đáp số: 120 km.
Cách 2: Giải bằng phương pháp rút về tỉ số.
Ví dụ 4: Một tàu thủy đi từ một bến trên thượng nguồn đến một bến dưới hạ
nguồn hết 5 ngày đêm và đi ngược từ bến hạ nguồn về bến thượng nguồn mất 7
ngày đêm. Hỏi một bè nứa trôi từ bến thượng nguồn về bến hạ nguồn hết bao
nhiêu ngày đêm?
Giải:
Tính thời gian mà bè nứa trôi chính là thời gian mà dòng nước chảy (Vì
bè nứa trôi theo dòng nước). Ta có tỉ số thời gian tàu xuôi dòng và thời gian tàu
ngược dòng là: 5 : 7
Trên cùng một quãng đường, thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch. Do đó, tỉ số vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng là: 7: 5. Coi vận
tốc xuôi dòng là 7 phần thì vận tốc ngược dòng là 5 phần. Hiệu vận tốc xuôi
dòng và vận tốc ngược dòng là hai lần vận tốc dòng nước.
13
Ta có sơ đồ:
2xVdòng
Vxuôi:
Vngược:
Nhìn vào sơ đồ ta thấy tỉ số vận tốc dòng nước so với vận tốc tàu xuôi

dòng là 1: 7. Do đó, tỉ số bè nứa trôi so với thời gian tàu xuôi dòng là 7 lần.
Vậy thời gian bè nứa tự trôi theo dòng từ bến thượng nguồn đến bến hạ
nguồn là: 5 x 7 = 35 (ngày đêm)
Đáp số: 35 ngày đêm
Cách 2: Giải bằng phương pháp rút về tỉ số.
VI. Vật chuyển động có chiều dài đáng kể
1. Các loại bài và kiến thức cần ghi nhớ:
- Loại 1: Đoàn tàu chạy qua cột điện: Cột điện coi như là một điểm, đoàn
tàu vượt qua hết cột điện có nghĩa là từ lúc đầu tàu đến cột điện cho đến khi toa
cuối cùng qua khỏi cột điện.
+ Kí hiệu l là chiều dài của tàu; t là thời gian tàu chạy qua cột điện; v là
vận tốc tàu. Ta có: t = l : v
- Loại 2: Đoàn tàu chạy qua một cái cầu có chiều dài d: Thời gian tàu
chạy qua hết cầu có nghĩa là từ lúc đầu tàu bắt đầu đến cầu cho đến lúc toa cuối
cùng của tàu ra khỏi cầu hay Quãng đường = chiều dài tàu + chiều dài cầu.
t = (l + d) : v
- Loại 3: Đoàn tàu chạy qua một ô tô đang chạy ngược chiều (chiều dài ô
tô không đáng kể).
Trường hợp này xem như bài toán chuyển động ngược chiều nhau xuất
phát từ hai vị trí: A (đuôi tàu) và B (ô tô).
Trong đó: Quãng đường cách nhau của hai vật = quãng đường hai vật
cách nhau + chiều dài của đoàn tàu.
Thời gian để tàu vượt qua ô tô là: t = (l + d) : (Vôtô + Vtàu).
- Loại 4: Đoàn tàu vượt qua một ô tô đang chạy cùng chiều: Trường hợp
này xem như bài toán về chuyển động cùng chiều xuất phát từ hai vị trí là đuôi
tàu và ô tô: t = (l + d) : (Vtàu – Vôtô).
- Loại 5: Phối hợp các loại trên.
2. Bài tập:
Bài 1: Một người đứng ở chỗ chắn đường nhìn thấy đoàn tầu hoả chạy ngang
qua mặt mình hết 20 giây cũng với vận tốc đó, đoàn tàu chạy qua một cái cầu

dài 450 mét hết 65 giây. Tính chiều dài của đoàn tầu và vận tốc của đoàn tầu.
14
Giải:
Thời gian tầu chạy đoạn đường 450m : 65 - 20 = 45 giây
Vận tốc đoàn tàu là: 450 : 45 = 10 m/giây
Chiều dài của đoàn tàu là: 10 x 20 = 200 m
Đáp số: 200 m
Bài 2: Một đoàn tàu hoả chạy với vận tốc 48 km/h và vượt qua cây cầu dài 720 m
hết 63 giây. Tính chiều dài của tàu?
Giải:
48 km/h =
3
1
13
m/giây
Khi tàu chạy qua cầu dài 720 m hết 65 giây thì tàu đã đi được quãng
đường bằng chiều dài của tàu cộng với chiều dài của cây cầu.
Quãng đường tàu đi là:
3
1
13
x 63 = 840 (m)
Chiều dài của tàu là: 840 - 720 = 120 (m)
Đáp số 120 m
Bài 3: Một người lái ô tô với vận tốc ô tô 50 km/giờ nhìn thấy xe mình lướt qua
một đoàn tàu hoả đi cùng chiều với ô tô trong 36 giây. Tính chiều dài của đoàn
tàu hoả. Biết rằng vận tốc của tàu hoả là 40 km/giờ.
Giải:
Khi ô tô lướt qua tàu hoả trong 36 giây thì ô tô đã đi hơn tàu hoả một
quãng đường đúng bằng chiều dài tàu.

Trong 36 giây, ô tô đi hơn tàu hoả quãng đường là:
(50000 - 40000 ) : 3600 x 36 = 100 m
Như vậy chiều dài của tàu cũng bằng 100 m
Đáp số: 100 m
Bài 4: Một đoàn tàu chạy qua một cột điện hết 8 giây. Cũng với vận tốc đó đoàn
tàu chui qua một đường hầm dài 260m hết 1 phút. Tính chiều dài và vận tốc của
đoàn tàu.
Giải:
Ta thấy:
- Thời gian tàu chạy qua cột điện có nghĩa là tàu chạy được một đoạn
đường bằng chiều dài của đoàn tàu.
- Thời gian đoàn tàu chui qua đường hầm bằng thời gian tàu vượt qua cột
điện cộng thời gian qua chiều dài đường hầm.
- Tàu chui qua hết đường hầm có nghĩa là đuôi tàu ra hết đường hầm.
15
Vậy thời gian tàu qua hết đường hầm là: 1 phút – 8 giây = 52 giây
Vận tốc của đoàn tàu là: 260 : 52 = 5 (m/giây) = 18 (km/giờ)
Chiều dài của đoàn tàu là: 5 x 8 = 40 (m).
Đáp số: 40 m
18 km/giờ.
Bài 5: Một ô tô gặp một xe lửa chạy ngược chiều trên hai đoạn đường song
song. Một hành khách trên ô tô thấy từ lúc toa đầu cho tới lúc toa cuối của xe
lửa qua khỏi mình mất 7 giây. Tính vận tốc của xe lửa (theo km/giờ), biết xe lửa
dài 196 m và vận tốc ô tô là 960 m/phút.
Giải: :
Quãng đường xe lửa đi được trong 7 giây bằng chiều dài xe lửa trừ đi quãng
đường ôtô đi được trong 7 giây (Vì hai vật này chuyển động ngược chiều).
Ta có: 960 m/phút = 16 m/giây.
Quãng đường ô tô đi được trong 7 giây là: 16 x 7 = 112 (m)
Quãng đường xe lửa chạy trong 7 giây là: 196 -112 = 84 (m)

Vận tốc xe lửa là: 87 : 7 = 12 (m/giây) = 43,2 (km/giờ)
Đáp số: 43,2 km/giờ
VII. Loại toán về chuyển động lên dốc, xuống dốc
Ví dụ 1: Một ôtô đi trên đoạn đường từ A đến B rồi lại đi từ B về A mất 7,5
giờ. Ô tô lên dốc với vận tốc là 25 km/h và xuống dốc với vận tốc 50 km/h.
Tính đoạn đường AB?
Giải:
Tỉ số vận tốc lên dốc và vận tốc xuống dốc là:
V(lên dốc) : V(xuống dốc) = 25 : 50
Do AB không đổi, vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian. Nếu coi thời gian
xuống dốc là 1 phần thì thời gian lên dốc là 2 phần vậy thời gian xuống dốc là:
7,5 : ( 1 + 2) = 2,5 giờ
Từ đây ta tìm được đoạn đường AB dài là: 50 x 2,5 = 125 (km)
Ví dụ 2: Quảng đường AB gồm một đoạn lên dốc và một đoạn xuống dốc. Lúc
7h30p một ô tô đi từ A đến B, sau đó nghỉ 1h20p rồi lại đi từ B về A. Ô tô lên
dốc với vận tốc 30km/h và xuống dốc với vận tốc 60km/h. Tính quảng đường
AB biết ô tô về đến A lúc 13h20p.
Giải:
Thời gian cả đi lẫn về không kể thời gian nghỉ của ô tô là:
13h20p – 1h20p – 7h30p = 4h30p = 4,5 giờ
16
Tỉ số giữa vận tốc lên dốc và vận tốc xuống dốc là: 30 : 60 =
2
1
Ô tô đi từ A đến B rồi lại đi từ B về A nên quảng đường lên dốc bằng
quảng đường xuống dốc.
Do đó tỉ số giữa thời gian lên dốc và thời gian xuống dốc là 2.
Ta có sơ đồ:
Thời gian xuống dốc là: 4,5 : (1 + 2) = 1,5 (giờ)
Quảng đường AB dài là: 60 x 1,5 = 90 (km)

Ví dụ 3: Anh Hùng đi xe đạp qua một quãng đường gồm một đoạn lên dốc và
một đoạn xuống dốc. Vận tốc khi đi lên dốc là 6 km/giờ, khi xuống dốc là
15km/giờ. Biết rằng dốc xuống dài gấp đôi dốc lên và thời gian đi tất cả là 54
phút. Tính độ dài cả quãng đường.
Giải:
Giả sử dốc lên dài 1 km thì dốc xuống dài 2 km.
Thế thì quãng đường dài: 1 + 2 = 3 (km)
Lên 1 km dốc hết: 60 : 6 = 10 (phút)
Xuống 2 km dốc hết: (2 x 60) : 15 = 8 (phút)
Cả lên 1 km và xuống 2 km hết: 10 + 8 = 18 (phút)
54 phút so với 18 phút thì gấp: 54 : 18 = 3 (lần)
Quãng đường dài là: 3 x 3 = 9 (km)
Đáp số: 9km.
VIII. Bài toán chuyển động dạng “Vòi nước chảy vào bể”
Với loại toán này thường có 3 đại lượng chính là Thể tích của nước ta coi
tương tự như tính với quãng đường S; Thể tích này thường tính theo lít hoặc
m
3
hay dm
3
;
Lưu lượng nước vận dụng công thức tính tương tự như với vận tốc V; Đại
lượng này thường tính theo đơn vị lít/phút hoặc lít/ giây hay lít/giờ.
Thời gian chảy của vòi nước vận dụng tính tương tự như thời gian trong
toán chuyển động đều.
Cách giải loại toán này ta phải áp dụng các công thức sau:
- Thể tích = Lưu lượng x Thời gian;
- Thời gian = Thể tích : Lưu lượng;
- Lưu lượng = Thể tích : Thời gian
17

4,5 giờ
Thời gian lên dốc:
Thời gian xuống dốc:
Ví dụ 1: Một cái bể rộng chứa được 3000 lít. Lúc 7 giờ 30 phút cho hai vòi nước
chảy vào bể, vòi thứ nhất chảy mỗi phút 60 lít; vòi thứ 2 chảy mỗi phút 40 lít. Hỏi
đến mấy giờ thì bể đầy?
Phân tích:
Bài toán này giáo viên hướng dẫn học sinh “Hai động tử chuyển động
ngược chiều gặp nhau”. Ở đây:
- Thể tích nước tương tự với khoảng cách ban đầu.
- Lưu lượng của hai vòi tương tự với vận tốc của hai động tử.
Giải:
Số lít nước hai vòi chảy vào bể sau một phút là: 60 + 40 = 100 (lít)
Thời gian để bể đầy 3000 : 100 = 30 (phút );
Vậy Bể đầy lúc 7 giờ 30 phút + 30 phút = 8 giờ
Ví dụ 2: Một bể nước hình hộp chữ nhật dài 2m; rộng 1,2 m; cao 1,5 m, hiện đang
chứa 600 l nước. Lúc 6h45p người ta mở vòi nước chảy vào bể, mỗi phút chảy
được 15 phút. Do có một lỗ hổng ở đáy bể nên đến 10h55p bể mới đầy. Hỏi lỗ
hổng chảy ra ngoài bao nhiêu lít nước trong mỗi phút?
Phân tích:
Bài toán này giáo viên hướng dẫn học sinh “Hai động tử chuyển động cùng
chiều, đuổi nhau”. Ở đây:
- Thể tích nước tương tự với khoảng cách ban đầu.
- Lưu lượng nước chảy vào tương tự với vận tốc của hai động tử chạy
nhanh (đuổi theo).
- Lưu lượng nước chảy ra qua lỗ hổng tương tự vận tốc của động tử chạy chậm.
Giải:
Thể tích bể nước là: 2 x 1,2 x 1,5 = 3,6 (m
3
) = 3600 dm

3
= 3600 l
Phần bể trống chiếm: 3600 – 600 = 3000 (l)
Thời gian mở nước vào bể: 10h55p – 6h45p = 4h10p =250p
Số nước chảy vào bể là: 15 x 250 = 3750 (l)
Số nước chảy ra ngoài là: 3750 – 3000 = 750 (l)
Mỗi phút lỗ hổng chảy mất: 750 : 250 = 3 (l)
Đáp số: 3 lít
Ví dụ 3: Một cái bể có ba vòi nước chảy vào. Nếu vòi thứ nhất và vòi thứ hai cùng
chảy thì đầy bể trong 7h12p. Nếu vòi thứ hai cùng chảy với vòi thứ ba thì đầy bể
trong 10
7
2
giờ. Nếu vòi thứ ba và vòi thứ nhất cùng chảy thì đầy bể trong 8h. Hỏi
nếu mở riêng từng vòi thì sau mấy giờ bể sẽ đầy?
18
Giải:
Ta có: 7h12p = 7
5
1
giờ =
5
36
giờ; 10
7
2
giờ =
7
72
giờ

Theo đầu bài thì:
Mỗi giờ vòi I và vòi II chảy được
36
5
bể.
Mỗi giờ vòi II và vòi III chảy được
72
7
bể
Mỗi giờ vòi III và vòi I chảy được
8
1
bể
Vậy mỗi giờ cả ba vòi chảy được: (
36
5

+
72
7
+
8
1
) : 2 =
72
13
(bể)
Mỗi giờ vòi I chảy được:
72
13

-
72
7
=
72
6
=
12
1
(bể)
Mỗi giờ vòi II chảy được:
72
13
-
8
1
=
72
4
=
18
1
(bể)
Mỗi giờ vòi III chảy được:
72
13
-
36
5
=

72
3
=
24
1
(bể)
Vậy:
- Riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 12 giờ.
- Riêng vòi thứ nhì chảy đầy bể trong 18 giờ.
- Riêng vòi thứ ba chảy đầy bể trong 24 giờ.
Đáp số: Vòi thứ nhất: 12 giờ
Vòi thứ hai: 18 giờ
Vòi thứ ba: 24 giờ.
19
PHẦN 3: KẾT LUẬN
Toán chuyển động đều là một dạng toán khó, nó bao hàm nhiều vấn đề
có nhiều dạng toán khác nhau. Đây là một trong những dạng toán điển hình ở
tiểu học. Vì thế muốn học được, người học phải tư duy, phải biết áp dụng công
thức thích hợp cho từng dạng. Toán chuyển động đều là loại toán góp phần
nâng cao óc tư duy cho học sinh, mang tính hệ thống hoá và khái quát hóa, nó
là cầu nối cho học sinh lên lớp trên. Các bài toán điển hình về tìm vận tốc,
quãng đường, thời gian trong chuyển động đều là rất thiết thực với cuộc sống.
Để giúp học sinh học tốt dạng toán này trong quá trình giảng dạy giáo
viên cần giúp học sinh:
+ Nắm vững mối liên quan giữa: quãng đường - vận tốc - thời gian.
+ Xác định đúng yêu cầu bài toán và đưa bài toán về dạng cơ bản.
+ Tìm các cách giải khác nhau của bài toán.
+ Dự kiến những khó khăn sai lầm của học sinh
+ Tìm cách hướng dẫn học sinh tháo gỡ khó khăn và gợi ý để học sinh tìm
được cách giải hay.

+ Hướng dẫn học sinh lập bài toán tương tự (hoặc bài toán ngược) với bài
toán đã giải.
Trên đây là một vài kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải các bài toán về
chuyển động đều. Qua tìm tòi, nghiên cứu cũng như qua thực tế giảng dạy và
bồi dưỡng HS giỏi, tôi thấy để giúp cho học sinh nắm chắc được kiến thức cơ
bản thì người giáo viên phải cung cấp cho HS hiểu được cơ sở toán học, các dữ
kiện trong từng bài toán, từng phần lý thuyết. Phải biết đi từ bài dễ đến khó, rút
ra cách làm cho mỗi bài toán và qua cách hướng dẫn tôi thấy học sinh biết giải
các bài toán về chuyển động đều từ các bài toán cơ bản đến các bài toán phát
triển mở rộng. Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải nhưng giáo viên cần
hướng cho học sinh chọn cách giải đơn giản, dễ hiểu và thuận lợi với mình
nhất.
PHẦN 4: KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT
Với kinh nghiệm nhỏ này tôi đã áp dụng và thực hiện tốt trong công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 mong được trao đổi và góp ý của bạn bè đồng
nghiệp nhằm giúp học sinh có được phương pháp giải toán hay nhất và có hiệu
quả nhất.
20