Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ

“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
MỘT SỐ GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN LỚP 5
GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CỦA KIM ĐỒNG HỒ
***
A/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
Toán học có một vai trò hết sức quan trọng trong đời sống thực tế của nhân
loại. Chính vì thế, môn Toán luôn được chú trọng và được dành một thời lượng
rất lớn trong việc giảng dạy chương trình Giáo dục phổ thông. Theo yêu cầu của
Bộ Giáo dục và Đào tạo về đổi mới nội dung và phương pháp dạy học ở Tiểu học,
ngoài việc tổ chức các hoạt động dạy học để học sinh nắm được kiến thức chuẩn
thì tùy vào năng lực của học sinh, giáo viên cần phải phát triển, khai thác, mở
rộng thêm kiến thức một cách phù hợp để đáp ứng nhu cầu học tập của các em.
Trong những năm học gần đây, Quỳnh Lưu là một trong những huyện đã
triển khai và tổ chức có hiệu quả việc dạy học 2buổi/ngày theo hướng phân hóa
đối tượng học sinh. Đây là điều kiện để giáo viên có thể lựa chọn, phân nhóm đối
tượng học sinh theo nguyện vọng, năng lực của các em để vừa phụ đạo, ôn tập
củng cố lại kiến thức chuẩn (đối với đối tượng học sinh yếu, trung bình) và nâng
cao kiến thức bồi dưỡng học sinh năng khiếu (đối với học sinh giỏi theo từng bộ
môn), góp phần đào tạo nhân tài cho đất nước.
Trong những năm học vừa qua, được Ban giám hiệu nhà trường phân công
đảm nhận công tác bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán, khi nghiên cứu mở rộng,
phát triển kiến thức để bồi dưỡng cho các em, chúng tôi nhận thấy ở chương trình
Toán 5, có nhiều mảng, nhiều dạng toán phong phú, đa dạng, trong đó toán về
chuyển động của kim đồng hồ là dạng khó. Nhưng đây là những bài toán rất lý
thú, hoàn toàn có thể hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp Tiểu học. Giáo
viên cần cho học sinh tiếp cận để mở mang kiến thức, rèn luyện tư duy và khả
năng nhanh nhạy cho các em khi học toán. Xuất phát từ vấn đề đó, chúng tôi đã
lựa chọn và dày công nghiên cứu tìm ra những giải pháp tốt nhất để giúp học sinh
học tốt dạng toán này.
B/ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
Trong hai năm học này, cuộc thi giải toán qua mạng Violympic được đông

đảo học sinh trong toàn tỉnh hưởng ứng. Riêng với lớp 5, một số vòng cuối (vòng
27, vòng 28, vòng 33 ) các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ xuất hiện
khá nhiều. Khi gặp những bài toán này, các em học sinh thực sự lúng túng, hay
nhầm lẫn, tốn mất nhiều thời gian làm ảnh hưởng đến kết quả chung cả vòng
thi Vậy nguyên nhân là do đâu? Qua thực tế giảng dạy và ý kiến trao đổi của
một số đồng nghiệp, chúng tôi rút ra được một số nguyên nhân cơ bản sau:
1) Về vấn đề tài liệu tham khảo: Thường ở các mảng toán khác, tài liệu nâng
cao để giáo viên và học sinh tham khảo khá phong phú, nhưng các bài toán về
chuyển động của kim đồng hồ lại ít được chú ý đến. Qua nghiên cứu rất nhiều tài
liệu, chúng tôi thấy cuốn “ Toán chuyên đề số đo thời gian & chuyển động”

1
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
của tác giả Phạm Đình Thực cho đến nay là cuốn duy nhất có chuyên đề dành
riêng cho phần “Các bài toán về kim đồng hồ” nhưng phần này lại viết quá ít chỉ
có duy nhất 1 bài mẫu liên quan đến sự chuyển động của các kim (các bài khác
viết về đồng hồ điện tử và sự xuất hiện các số trên màn hình) và 4 bài luyện tập
không cùng dạng với bài mẫu, trong đó có những bài phần hướng dẫn giải rất
phức tạp, khó hiểu đối với cả giáo viên và học sinh. Ngoài ra, cuốn “Toán nâng
cao lớp 5- Tập 2” của Vũ Dương Thụy, Đỗ Trung Hiệu có một số bài nữa, còn
các cuốn khác hầu như không đề cập đến. Nguồn kiến thức để giáo viên tham
khảo quá nghèo nàn.
2) Về phía giáo viên: Vì đây là dạng khó nên trong thực tế giảng dạy thông
thường các giáo viên chỉ dựa vào một số bài ở tài liệu ra bài rồi hướng dẫn học
sinh giải, chưa chịu khó trong việc khai thác, phát triển thêm kiến thức, chưa biết
cách phân chia thành các dạng bài, xây dựng cách thức tính thời gian cho mỗi
dạng bài để cung cấp cho học sinh
3) Đối với học sinh: Đây là dạng toán khó, trừu tượng đối với tư duy của học
sinh Tiểu học, lại chưa được giáo viên chú trọng khắc sâu kiến thức. Vì vậy khi
giải những bài toán này, các em thường gặp những khó khăn sau:

- Không nhận diện được các bài toán đã cho thuộc dạng toán nào trong mảng
toán chuyển động đều.
- Cách hiểu vận tốc, hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ còn mơ hồ.
- Lúng túng trong việc xác định khoảng cách ban đầu giữa hai kim.
- Nhầm lẫn cách tính thời gian giữa các dạng bài và các bài trong cùng dạng
(hai kim chuyển động để trùng khít lên nhau; để tạo với nhau thành một góc
vuông; tạo với nhau thành một đường thẳng;…)
Từ những nguyên nhân trên, chúng tôi đã cố gắng nghiên cứu tìm ra những
giải pháp tốt nhất để các giáo viên có thể tự tin khi lên lớp bồi dưỡng và học sinh
tiếp cận dạng toán này một cách hứng thú có hiệu quả.
C/ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
I/ Xây dựng các công thức của dạng toán “Chuyển động cùng chiều đuổi nhau”:
Dựa vào quan hệ chuyển động giữa các kim (được coi như là các động tử
chuyển động trên mặt số của đồng hồ), phần lớn các bài toán về kim đồng hồ
được xếp vào dạng “Chuyển động cùng chiều”. Giáo viên phải giúp học sinh xây
dựng, nắm vững và vận dụng các công thức thuộc dạng toán này một cách thành
thạo trước khi cho học sinh tiếp cận với các bài toán về kim đồng hồ. Việc xây
dựng các công thức chỉ cần thông qua một bài toán đơn giản.
* Ví dụ: Một người đi xe đạp từ B đến C với vận tốc 12km/giờ. Cùng lúc đó một
người đi xe đạp từ A cách B 48 km với vận tốc 36km/giờ và đuổi theo xe đạp. Hỏi
sau bao lâu xe máy đuổi kịp xe đạp? (B nằm trên AC)

2
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
* GV vẽ sơ đồ tóm tắt nội dung bài toán:
Giả sử N là điểm hai xe gặp nhau, ta có sơ đồ:
Xe máy Xe đạp Chỗ gặp nhau
A
48 km
B N C

* Hướng dẫn tìm hiểu: Cho học sinh quan sát sơ đồ:
- Khi xe máy đuổi kịp xe đạp tại C thì mỗi xe đã đi được đoạn đường nào?
(Xe máy đi được đoạn AN, xe đạp đi được đoạn BN)
- Như vậy xe máy đã đi được hơn xe đạp đoạn đường nào?
(Đoạn đường AB .Đó chính là khoảng cách lúc đầu giữa hai xe)
- Mỗi giờ xe máy đi hơn xe đạp bao nhiêu km? (36 – 12 = 24 km)
- Vậy thời gian cần thiết để xe máy đi hơn xe đạp 48 km (và cũng chính là thời
gian để xe máy đuổi kịp xe đạp) là bao nhiêu?
( 48 : 24 = 2 giờ.)
*Giáo viên viết gộp hai bước tính để có biểu thức:
48 : ( 36 – 12 ) = 2 ( giờ )
Cho học sinh nêu vai trò của mỗi sối liệu trên biểu thức, giáo viên ghi bảng;
48 : ( 36 – 12 ) = 2 ( giờ )
Khoảng cách giữa 2 động tử Hiệu vận tốc Thời gian đuổi kịp nhau
Từ đây, GV cho HS quan sát biểu thức để rút ra kết luận: Hai động tử có khoảng
cách AB cùng khởi hành một lúc để đuổi kịp nhau thì thời gian đuổi kịp được tính
như sau:
+ Thời gian = Khoảng cách : Hiệu hai vận tốc
(1)
.
Từ công thức
(1)
các em có thể dễ dàng suy ra được hai công thức tiếp theo:
+ Khoảng cách = Hiệu vận tốc x Thời gian đuổi kịp
(2)
.
+ Thời gian đuổi kịp = Khoảng cách : Hiệu hai vận tốc
(3)
.
* Giáo viên cho Hs đọc thuộc 3 công thức để áp dụng giải các bài toán “Chuyển

động cùng chiều đuổi nhau”, trong đó có các bài toán về kim đồng hồ.
II/ Hướng dẫn HS tìm hiểu vận tốc; hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ:
Thông thường các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ chỉ liên quan
đến quan hệ chuyển động giữa kim phút và kim giờ. Gv hướng dẫn HS xác định
vận tốc của kim phút, kim giờ và hiệu vận tốc giữa hai kim như sau:
* Vẽ một hình tròn tượng trưng cho bề mặt của đồng hồ.
12 * GV nêu câu hỏi dẫn dắt tìm hiểu:
Chia đường tròn bao quanh mặt đồng hồ
thành 12 phần bằng nhau (như hình vẽ).
9 3 - Trong 1 giờ, kim giờ di chuyển được quãng
đường bằng bao nhiêu phần của vòng đồng hồ?
(1 giờ, kim giờ di chuyển từ một vạch này
đến một vạch tiếp theo => Kim giờ đi được
6 đoạn đường bằng 1/12 vòng đồng hồ)

3
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
- Trong 1 giờ, kim phút đi được đoạn đường nào?
(1 giờ, kim phút quay đúng 1 vòng trên bề mặt đồng hồ)
- Trong 1 giờ kim phút đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu?
( 1 giờ kim phút đi hơn kim giờ là: 1 –
12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ) )
* Gv chốt: Ta xem:
- Vận tốc của kim giờ là
12

1
vòng đồng hồ/giờ.
- Vận tốc của kim phút là 1 vòng đồng hồ/giờ.
- Hiệu vận tốc hai kim là
12
11
vòng đồng hồ/giờ.
Vì tốc độ của kim giờ, kim phút (khi đồng hồ chạy chuẩn) là không thay đổi
nên vận tốc của kim phút, kim giờ và hiệu vận tốc hai kim là những đại lượng
không thay đổi. Các em cần nắm chắc điều này để áp dụng giải toán.
III/ Hướng dẫn học sinh xác định khoảng cách ban đầu giữa kim phút và
kim giờ:
* GV vẽ hình minh họa một số trường hợp như sau:
12 12 12
9 3 9 3 9 3
6 6 6
Hình 1 Hình 2 Hình 3
Ví dụ:
- Ở hình 1: Đồng hồ chỉ 3 giờ đúng. Lúc đó kim phút ở vị trí số 12, kim giờ ở vị
trí số 3. Vậy khoảng cách ban đầu (KCBĐ) giữa kim phút và kim giờ là 3/12 (hay
1/4) vòng đồng hồ.
- Ở hình 2: Đồng hồ chỉ 9 giờ đúng. Lúc đó kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 9.
Vậy KCBĐ giữa kim phút và kim giờ là 9/12 (hay 3/4) vòng đồng hồ.
- Ở hình 3: Đồng hồ chỉ 5 giờ 15 phút. Lúc 5 giờ đúng, kim phút chỉ số 12, kim
giờ chỉ số 5; thêm 15 phút nữa ( tức là 1/4 giờ) thì kim phút sẽ đi thêm 1/4 vòng
đồng hồ và nó sẽ chỉ vị trí số 3. Còn kim giờ sẽ đi thêm 1/4 khoảng cách từ số 5
đến số 6 và 1/4 khoảng cách này ứng với 1/12 x 1/4 = 1/48 vòng đồng hồ. Từ số
3 đến só 5 ứng với 1/6 vòng đồng hồ. Như vậy KCBĐ giữa kim phút và kim giờ
là 1/6 + 1/48 = 9/48 vòng đồng hồ.
* Vấn đề cần lưu ý:

- Cả hai kim chuyển động cùng chiều xoay vòng trên đường khép kín nhưng vì
kim phút có vận tốc lớn hơn kim giờ nên ta xem như kim phút chuyển động để

4
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
đuổi theo kim giờ. Vì thế ta quy ước khoảng cách ban đầu (KCBĐ) luôn luôn
được tính từ vị trí của kim phút đến vị trí kim giờ theo chiều quay của kim đồng
hồ. Cách xác định KCBĐ này được áp dụng cho tất cả các bài toán về kim đồng
hồ trình bày trong bản sáng kiến này.
- Có một số tài liệu, một số bài xác định KCBĐ như trên, một số bài lại xác định
KCBĐ là phần còn lại của vòng đồng hồ.Chính sự không đồng nhất đó đã gây
khó khăn cho HS trong quá trình làm bài tập.Vì vậy khi bồi dưỡng, chúng tôi đã
thống nhất xác định KCBĐ như trên để dễ dàng hơn cho HS khi giải toán.
- Hiểu được vận tốc, hiệu vận tốc giữa kim phút, kim giờ và nắm vững cách xác
định KCBĐ sẽ trợ giúp đắc lực cho các em trong quá trình giải các bài toán về
kim đồng hồ. Vì vậy, hai bước này GV cần tách riêng và hướng dẫn thật kĩ trước
khi ra những đề toán cụ thể cho HS.
III/ Áp dụng kiến thức mục I, II,III để giải các bài toán về chuyển động của
kim đồng hồ:
Để giúp HS phân biệt rạch ròi, nắm vững công thức và phương pháp giải một
cách chính xác, nhanh nhạy, chúng tôi đã chia các bài toán chuyển động của kim
đồng hồ thành các dạng sau để bồi dưỡng cho các em:
1) Dạng 1: Hai kim chuyển động để chồng khít lên nhau.
Ở dạng này chia làm hai trường hợp:
a) Trường hợp đề toán cho thời điểm ban đầu .
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 1 giờ. Hỏi kim phút sẽ đuổi kịp kim giờ sau bao lâu
thời gian nữa?
* Gv cho HS quan sát vị trí kim phút, kim giờ để
12 trả lời câu hỏi:
- Vào lúc 1 giờ đúng, kim phút, kim giờ nằm ở vị trí

nào? (Kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1)
- Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là bao nhiêu?
9 3 ( 1/12 vòng đồng hồ)
- Khi kim phút đuổi kịp kim giờ (hai kim trùng nhau) thì
kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu?
(1/12 vòng đồng hồ, tức là bằng KCBĐ giữa kim
6 phút và kim giờ.)
Từ đây, GV cho HS vận dụng kiến thức mục I, II, III để xác định vận tốc kim
phút, kim giờ, áp dụng công thức tìm thời gian đuổi kịp nhau và giải bài toán.

Bài giải:
Lúc 1 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1 => Khoảng cách ban đầu giữa
kim phút và kim giờ là
12
1
vòng đồng hồ. Đến khi kim phút và kim giờ trùng nhau

5
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
giữa 1 và 2 giờ thì kǩm phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường đúng bằng
3
1
vòng
đồng hồ.
Vận tốc của kim giờ là
12
1
vòng đồng hồ/giờ.
Vận tốc của kim phút là 1 vòng đồng hồ/giờ.
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là:

1 -
12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ/giờ)
Thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là:

12
1
:
12
11
=
11
1
(giờ)
Đáp số:
11
1
giờ.


* Các bài toán để luyện tập:
1/ Hiện nay là 2 giờ (3 giờ; 4 giờ; ;11 giờ; 12 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa thì
hai kim trùng khít lên nhau?
2/ Hiện nay là 5 giờ 15 phút. Hỏi sau bao lâu nữa thì kim phút đuổi kịp kim giờ?
Lúc đó là mấy giờ?
Cách giải các bài toán trên hoàn toàn tương tự bài toán mẫu. Chỉ cần HS

xác định đúng KCBĐ giữa hai kim sau đó lấy KCBĐ chia hiệu vận tốc (Hiệu vận
tốc luôn bằng
12
11
vòng đồng hồ/ giờ) là tìm được thời gian hai kim trùng khít lên
nhau (tức là thời gia cần thiết để kim phút đuổi kịp kim giờ). Chú ý trường hợp 12
giờ đúng, lúc đó cả kim phút và kim giờ đã trùng nhau ở vị trí số 12 => KCBĐ
bằng 0. Sau đó kim phút chạy vượt lên và đến khi cả hai kim trùng khít lên nhau
một lần nữa thì kim phút đã đi hơn kim giờ đúng 1 vòng đồng hồ. Ta lấy 1chia
11/12 là tìm được thời gian để hai kim trùng khít lên nhau một lần nữa Với bài
số 2, HS vận dụng cách tính KCBĐ đã hướng dẫn ở phần III khi thời điểm ban
đầu không phải là giờ đúng, sau đó áp dụng công thức để tìm đáp số.
b) Trường hợp đề toán không cho thời điểm ban đầu:
* Bài toán mẫu: Khi kim phút và kim giờ trùng nhau giữa 1 giờ và 2 giờ thì đồng
hồ chỉ mấy giờ?
* Hướng dẫn giải: Đưa về 1giờ đúng để suy luận sau đó hoàn toàn áp dụng cách
giải như bài toán mẫu của trường hợp a. Cụ thể như sau:
Bài giải:
Vào lúc 1 giờ đúng, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1 => Khoảng cách ban đầu
giữa kim phút và kim giờ là
12
1
vòng đồng hồ. Đến khi kim phút và kim giờ trùng

6
Kết luận: Thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ được tính như sau:
t = KCBĐ : Hiệu vận tốc.
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
nhau giữa 1 và 2 giờ thì kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường đúng bằng
12

1

vòng đồng hồ.
(Bước tiếp theo giải hoàn toàn tương tự bài toán mẫu ở trường hợp 1).
Đáp số: 1
11
1
giờ.
* Mẹo giải các bài toán mẫu này: Khi đề toán cho kim phút và kim giờ trùng
nhau giữa a và b giờ (0 < a < b < 12) thì đưa về a giờ đúng để suy luận và giải
bài toán như bài toán mẫu ở mục a.
* Các bài toán khác để luyện tập:
1/ Khi kim phút và kim giờ trùng nhau ở vị trí 2 và 3 giờ (3 và 4 giờ; 4 và 5
giờ; ; 10 và 11 giờ; 11 và 12 giờ) thì lúc đó là mấy giờ?
2/ Trong một ngày có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ trùng khít lên nhau?
2) Dạng 2: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một góc vuông.
Dạng này chia làm hai trường hợp sau:
a) Trường hợp 1: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một góc
vuông (tính theo chiều kim đồng hồ từ kim phút đến kim giờ hoặc từ kim giờ
đến kim phút) thì kim phút phải chuyển động vượt qua kim giờ.
Trường hợp này tương ứng với các bài toán cho thời điểm lúc đầu tạo nên:
KCBĐ < 1/4 vòng đồng hồ.
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 1 giờ . Hỏi sau bao lâu nữa thì kim phút và kim
giờ tạo với nhau thành một góc vuông?
* Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm hiểu:
12 - Vào lúc 1 giờ đúng, kim phút, kim giờ nằm ở vị trí
nào?
(Kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1)
3 - Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là bao nhiêu?
9 3 ( 1/12 vòng đồng hồ.)

- Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một
góc vuông thì khoảng cách từ kim phút đến kim giờ
là bao nhiêu?
6 ( bằng 1/4 vòng đồng hồ)
- Lúc đó, kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường
bằng bao nhiêu?
( Đây là câu hỏi khó, giáo viên cần hướng dẫn các em quan sát hình vẽ để nhận
thấy: khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì kim phút đã
chạy vượt lên gặp kim giờ ( như bài toán mẫu ở dạng 1). Tại thời điểm đó, kim
phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng KCBĐ là 1/12 vòng đồng hồ. Sau đó
kim phút tiếp tục vượt lên, đến khi khoảng cách giữa nó và kim giờ tạo với nhau
thành một góc vuông thì nó tiếp tục đi hơn kim giờ 1/4 vòng đồng hồ nữa. Như
vậy nó đã đi hơn kim giờ đoạn đường là:
3
1
4
1
12
1
=+
( vòng đồng hồ). )

7
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
Từ đây, áp dụng bài toán mẫu ở dạng 1, mục a, học sinh đã có thể dễ dàng tìm ra
đáp số của bài toán bằng cách lấy tổng quãng đường kim phút đi hơn kim giờ (1/3
vòng đồng hồ) chia cho hiệu vận tốc hai kim (11/12 vòng đồng hồ).
Bài giải:
Lúc 1 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1. Khoảng cách giữa kim
phút và kim giờ là

12
1
vòng đồng hồ. Khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành
một góc vuông thì kim phút đã đi hơn kim giờ là:

12
1
+
4
1
=
3
1
(vòng đồng hồ).
Trong 1 giờ, kim giờ đi được
12
1
vòng đồng hồ. kim phút đi được 1 vòng đồng
hồ.
Vậy trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
1 –
12
1
=
12
11
( vòng đồng hồ)
Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một góc vuông là:

11

4
12
11
:
3
1
=
(giờ )
Đáp số :
11
4
giờ
* Giáo viên gộp 3 bước giải cuối để có biểu thức:
(
12
1
+
4
1
) :
12
11
=
11
4
( giờ )
( KCBĐ + 1/4 ) : Hiệu vt = Thời gian.


Kết luận: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một góc vuông được tính

như sau: t = (KCBĐ + 1/4) : 11/12.

*Chú ý thêm là vào lúc 12 giờ đúng thì KCBĐ bằng 0. Muốn tìm thời gian
hai kim tạo với nhau thành một góc vuông, ta chỉ việc lấy 1/4 chia hiệu vận tốc.
* Các bài toán để luyện tâp:
Bài 1: Hiện nay là 12 giờ (hoặc 2 giờ; 3 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa khoảng
cách giữa hai kim tạo thành một góc vuông?
Bài 2:Đức bắt đầu từ nhà mình để đi đến nhà Tài lúc 7 giờ 20 phút.Khi Đức
đến nơi thì vừa lúc hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một góc vuông. Hỏi Đức
đến nhà Tài lúc mấy giờ?
Bài 3: Trong một ngày đêm có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ vuông góc với
nhau?

8
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
b) Trường hợp 2: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một góc
vuông (tính theo chiều kim đồng hồ từ kim phút đến kim giờ hoặc từ kim giờ
đến kim phút) thì kim phút chuyển động không phải vượt qua kim giờ.
Trường hợp này lại chia thành hai nhóm nhỏ:
Nhóm 1: Nhóm các bài toán có thời điểm lúc đầu tạo nên:
1/4vòng đồng hồ < KCBĐ < 3/4 vòng đồng hồ
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 9 giờ. Hỏi sau bao nhiêu thời gian thì khoảng
cách giữa hai kim tạo thành một góc vuông?
12
* Gv vẽ hình, cho HS quan sát hình và nhận xét:Vào
lúc 9 giờ đúng, kim phút nằm ở vị trí số 12, kim giờ
9 3 nằm ở vị trí số 9. Khoảng cách từ kim phút đến kim
6 giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là 3/4 vòng đồng
hồ. Đến khi khoảng cách giữa hai kim tạo với nhau
thành một góc vuông thì khoảng cách này được rút

6 ngắn còn 1/4 vòng đồng hồ.
Như vậy, trong khoảng thời gian đó, kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn
đường bằng KCBĐ trừ đi 1/4 (
2
1
4
1
4
3
=−
vòng đồng hồ). Từ đó, muốn tìm thời
gian để khoảng cách hai kim tạo với nhau thành một góc vuông ta chỉ việc lấy
quãng đường kim phút đi hơn kim giờ chia hiệu vận tốc hai kim.
Bài giải hoàn chỉnh như sau:
Bài giải:
Lúc 9 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 9. Khoảng cách giữa kim
phút và kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là
4
3
vòng đồng hồ. Khi kim phút
và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì khoảng cách này được rút ngắn
lại còn
4
1
vòng đồng hồ => Trong khoảng thời gian đó, kim phút đã đi hơn kim
giờ là:

2
1
4

1
4
3
=−
(vòng đồng hồ).
Trong 1 giờ, kim giờ đi được
12
1
vòng đồng hồ. Kim phút đi được 1 vòng đồng
hồ.
Vậy trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
1 –
12
1
=
12
11
( vòng đồng hồ)
Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một góc vuông là:

11
6
12
11
:
2
1
=
( giờ )
Đáp số :

11
6
giờ

9
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
* Giáo viên gộp 3 bước giải cuối để có biểu thức:
(
4
3
-
4
1
) :
12
11
=
11
6
( giờ )
( KCBĐ - 1/4 ) : Hiệu vt = Thời gian.
Kết luận: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một góc vuông được tính
như sau: t = (KCBĐ – 1/4): 11/12.

* Các bài toán để luyện tập:
1/ Hiện nay là 4 giờ ( hoặc5 giờ; 6 giờ; 7 giờ; 8 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa
khoảng cách giữa hai kim tạo thành một góc vuông?
2/ Khi Thông bắt đầu ngồi vào bàn làm bài tập Toán cô giáo ra về nhà thì bạn
xem giờ và thấy đồng hồ chỉ 2 giờ 45 phút. Thông dự định làm bài trong 30 phút.
Đến khi Thông giải xong thì thấy vừa lúc hai kim đồng hồ vuông góc với nhau.

Hỏi với thời gian dự định Thông có làm xong bài tập không?

Nhóm 2: Nhóm các bài toán có thời điểm lúc đầu tạo nên:
KCBĐ > 3/4 vòng đồng hồ.
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 10 giờ. Hỏi sau bao lâu nữa thì khoảng cách giữa
hai kim tạo với nhau thành một góc vuông?
12 * Gv vẽ hình, cho HS quan sát hình và nhận xét:Vào
lúc 10 giờ đúng, kim phút nằm ở vị trí số 12, kim giờ
nằm ở vị trí số 10. KCBĐ từ kim phút đến kim giờ
6 (tính theo chiều kim đồng hồ) là 5/6 vòng đồng hồ.
9 3 Đến khi hai kim tạo với nhau thành một góc vuông
thì khoảng cách tính từ kim giờ đến kim phút
(tính theo chiều quay của kim đồng hồ)
đúng bằng 1/4 vòng đồng hồ => KCBĐ từ kim
6 phút đến kim giờ (tính theo chiều quay của kim đồng
hồ) là 3/4 vòng đồng hồ. (1 -
4
3
4
1
=
).
Như vậy, trong khoảng thời gian đó kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn
đường bằng KCBĐ trừ đi 3/4 (
12
1
4
3
6
5

=−
vòng đồng hồ). Từ đó, tương tự các
bài toán như trên, muốn tìm thời gian để khoảng cách hai kim tạo với nhau thành
một góc vuông ta chỉ việc lấy quãng đường kim phút đi hơn kim giờ chia hiệu
vận tốc hai kim.

10
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
Bài giải:
Lúc 10 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 10. Khoảng cách giữa kim phút
và kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là
6
5
vòng đồng hồ. Khi kim phút và
kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì khoảng cách tính từ kim giờ đến
kim phút (tính theo chiều quay của kim đồng hồ) đúng bằng 1/4 vòng đồng hồ =>
Khoảng cách từ kim phút đến kim giờ (tính theo chiều quay của kim đồng hồ) lúc
này là:
1 -
4
3
4
1
=
(vòng đồng hồ).
Vậy trong khoảng thời gian đó, kim phút đã đi hơn kim giờ là:

12
1
4

3
6
5
=−
(vòng đồng hồ).
Trong 1 giờ, kim giờ đi được
12
1
vòng đồng hồ. kim phút đi được 1 vòng đồng
hồ.
=> Trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
1 –
12
1
=
12
11
( vòng đồng hồ)
Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một góc vuông là:

11
1
12
11
:
12
1
=
( giờ )
Đáp số :

11
1
giờ
* Giáo viên gộp 3 bước giải cuối để có biểu thức:
(
6
5
-
4
3
) :
12
11
=
11
1
( giờ )
( KCBĐ - 3/4 ) : Hiệu vt = Thời gian.

Kết luận: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một góc vuông được tính
như sau: t = (KCBĐ – 3/4) : 11/12.
*Các bài toán để luyện tập:
1/ Hiện nay là 11 giờ. Hỏi sau bao lâu nữa khoảng cách giữa hai kim tạo
thành một góc vuông?
2/ Hiện nay là 12 giờ 50 phút. Hỏi khi hai kim tạo với nhau thành một góc
vuông thì lúc đó là mấy giờ?
3) Dạng 3: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một đường thẳng.
Dạng này chia làm hai trường hợp sau:

11

“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
a) Trường hợp 1: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một đường
thẳng thì kim phút phải chuyển động vượt qua kim giờ.
Trường hợp này tương ứng với các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên:
KCBĐ < 1/2 vòng đồng hồ
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 4 giờ. Hỏi sau bao lâu nữa kim phút và kim giờ sẽ
tạo với nhau thành một đường thẳng?Lúc đó là mấy giờ?
* Gv hướng dẫn HS quan sát hình, nêu câu hỏi dẫn dắt để giúp các em giải bài
toán:
- Vào lúc 4 giờ đúng, kim phút; kim giờ ở vị trí nào?
(kim phút ở vị trí số 12, kim giờ ở vị trí số 4)
12 - Khoảng cách ban đầu tính từ kim phút đến kim giờ
(theo chiều quay của kim đồng hồ) là bao nhiêu?
(1/3 vòng đồng hồ)
9 3 - Đến khi hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng
thì kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao
nhiêu phần của vòng đồng hồ?
(Đây là câu hỏi khó, GV cần cho HS định hình
6 cách di chuyển của hai kim để thấy rõ:
khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút đã chạy
vượt lên gặp kim giờ (như bài toán mẫu ở dạng 1). Tại thời điểm đó, kim phút đã
đi hơn kim giờ đoạn đường bằng khoảng cách ban đầu là 1/3 vòng đồng hồ. Sau
đó kim phút tiếp tục vượt lên, đến khi khoảng cách giữa nó và kim giờ tạo với
nhau thành một đường thẳng thì nó tiếp tục đi hơn kim giờ 1/2 vòng đồng hồ nữa.
Như vậy nó đã đi hơn kim giờ đoạn đường là: 1/3 + 1/2 = 5/6 ( vòng đồng hồ). )
Từ đây, áp dụng bài toán mẫu ở dạng 1, mục a, học sinh đã có thể dễ dàng tìm
ra đáp số của bài toán bằng cách lấy tổng quãng đường kim phút đi hơn kim giờ
(5/6 vòng đồng hồ) chia cho hiệu vận tốc hai kim (11/12 vòng đồng hồ).

Bài giải:

Lúc 4 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 4. Khoảng cách giữa kim
phút và kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là
3
1
vòng đồng hồ.
Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút
đã đi hơn kim giờ là:

6
5
2
1
3
1
=+
(vòng đồng hồ).
Trong 1 giờ, kim giờ đi được
12
1
vòng đồng hồ. Kim phút đi được 1 vòng đồng
hồ.
Vậy trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
1 –
12
1
=
12
11
( vòng đồng hồ)
Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng là:

12
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”

11
10
12
11
:
6
5
=
( giờ )
Lúc đó là: 4 +
11
10
4
11
10
=
(giờ)
Đáp số:
11
10
giờ; 4
11
10
giờ.
* Giáo viên gộp 3 bước giải cuối để có biểu thức:
(

3
1
+
2
1
) :
12
11
=
11
10
( giờ )
( KCBĐ + 1/2 ) : Hiệu vt = Thời gian.

Kết luận: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng được tính
như sau: t = (KCBĐ + 1/2) : 11/12.
* Các bài toán để luyện tập:
1/ Hiện nay là 1 giờ (hoặc 2 giờ; 3 giờ;5 giờ; 6 giờ; 12 giờ). Hỏi sau bao lâu
nữa khoảng cách giữa hai kim tạo thành một tạo thành một đường thẳng?
2/ Bạn Lan gấp thuyền giấy làm đồ chơi, cứ 5 phút Lan gấp được một chiếc
thuyền . Khi bắt đầu gấp, Lan xem giờ thì thấy đồng hồ chỉ 2 giờ 45 phút. Đến
khi Lan dừng tay thì thấy vừa lúc hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một đường
thẳng. Hỏi lúc đó Lan đã gấp hoàn thành bao nhiêu chiếc thuyền?
b) Trường hợp 2: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một đường
thẳng thì kim phút không phải chuyển động vượt qua kim giờ.
Trường hợp này tương ứng với các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên:
KCBĐ > 1/2 vòng đồng hồ
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 8 giờ. Hỏi khi hai kim tạo với nhau thành một đường
thẳng thì lúc đó là mấy giờ?
12 Tương tự các bài toán trên HS sẽ nhanh chóng xác

định được KCBĐ giữa kim phút và kim giờ là 8/12
(hay 2/3) vòng đồng hồ. Đến khi hai kim tạo
9 3 với nhau thành một đường thẳng thì khoảng cách
9 3 được rút ngắn lại còn 1/2 vòng đồng hồ. Khi đó
kim phút đã đi hơn kim giờ là 1/6 vòng đồng hồ
6 (2/3 – 1/2 = 1/6). Sau đó lấy 1/6 chia hiệu vận tốc
là tìm được thời gian để hai kim thẳng hàng với
6 nhau.

13
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
Bài giải:
Lúc 8 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 8. Khoảng cách giữa kim
phút và kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là
3
2
vòng đồng hồ.
Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút
đã đi hơn kim giờ là:

6
1
2
1
3
2
=−
(vòng đồng hồ).
Trong 1 giờ, kim giờ đi được
12

1
vòng đồng hồ. kim phút đi được 1 vòng
đồng hồ.
Vậy trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
1 –
12
1
=
12
11
( vòng đồng hồ)
Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng là:

11
2
12
11
:
6
1
=
( giờ )
Lúc đó là: 8 +
11
2
8
11
2
=
(giờ)

Đáp số: 8
11
2
giờ.
* Giáo viên gộp 3 bước giải cuối để có biểu thức:
(
3
2
-
2
1
) :
12
11
=
11
2
( giờ )
(KCBĐ - 1/2 ) : Hiệu vt = Thời gian.
Kết luận: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng được tính
như sau: t = (KCBĐ - 1/2) : 11/12.
* Các bài toán sau:
1/ Hiện nay là 7 giờ (hoặc 9 giờ; 10 giờ;11 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa khoảng
cách giữa hai kim tạo thành một tạo thành một đường thẳng?
2/ Hiện nay là 12 giờ 40 phút. Hỏi đến khi hai kim tạo với nhau thành một
đường thẳng thì lúc đó là mấy giờ?
*3/ Nam bắt đầu giải một bài toán trong khoảng từ 4 đến 5 giờ chiều, khi kim
phút và kim giờ trùng nhau. Khi giải xong bài toán thì vừa lúc kim phút và kim
giờ thẳng hàng với nhau. Hỏi Nam đã giải bài toán mất bao nhiêu thời gian và
giải xong lúc mấy giờ?

14
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”

* Điểm lưu ý:
- Cả 3 dạng trên, bài toán mẫu chúng tôi chỉ đề cập đến những bài toán mà thời
điểm ban đầu là giờ đúng (VD: Hiện nay là 1 giờ, 2 giờ, 3 giờ, ). Trong tất cả
các bài đó, vị trí ban đầu của kim phút luôn cố định ở số 12 trên bề mặt đồng hồ.
Trên cơ sở đó, ở phần luyện tập chúng tôi có sáng tác thêm một số bài toán mà
thời điểm ban đầu là giờ hơn hoặc giờ kém. Ở những bài toán đó, việc xác định
quãng đường mà kim phút đi hơn kim giờ phức tạp hơn nhưng chỉ cần vận dụng
kiến thức đã được hướng dẫn ở mục III nhiều em vẫn giải tốt. Các bài tập này
khuyến khích những HS học khá hơn để phát triển thêm tư duy và sự sáng tạo của
các em. Khi sáng tác đề để luyện tập sau mỗi dạng bài, giáo viên cần nhẩm tính
thật chuẩn xác KCBĐ sao cho phù hợp dạng đang cung cấp cho học sinh để giúp
các em thực hành tốt.
- Khi học sinh làm bài không nhất thiết phải vẽ hình, chỉ cần các em vẽ phác ở
ngoài nháp, xác định KCBĐ, lấy số liệu phục vụ cho bài giải là được.

* Cách định hướng để tìm nhanh đáp số các bài toán thuộc 3 dạng trên khi
tham gia giải toán qua mạng:
Bước 1: Xác định vị trí ban đầu của kim phút, kim giờ.
Bước 2: Tìm KCBĐ giữa kim phút và kim giờ.
Bước 3: Đối chiếu với phần kết luận về cách tính thời gian của từng dạng bài
để bấm máy tính tìm nhanh đáp số.
4) Dạng 4: Hai kim chuyển động và đổi chỗ cho nhau (tham khảo thêm).
Ngoài 3 dạng đã trình bày ở trên, toán chuyển động của kim đồng hồ còn có
dạng bài hai kim chuyển động và đổi chỗ cho nhau. Ở dạng bài này hướng giải
hoàn toàn khác với 3 dạng trên. Cách xác định quãng đường đi đơn giản hơn,
chúng tôi xin được nêu một ví dụ sau:

Bài toán: Tuấn ngồi làm văn cô giáo cho về nhà. Khi Tuấn làm bài xong thì
thấy vừa lúc hai kim đồng hồ đã đổi chỗ cho nhau. Hỏi Tuấn làm bài văn hết bao
nhiêu phút?
* Phân tích: Khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau thì kim phút đã đi được
một quãng đường từ vị trí kim phút đến vị trí của kim giờ, còn kim giờ thì đi một
quãng đường từ vị trí kim giờ đến vị trí của kim phút. Như vậy, tổng quãng đường
mà hai kim đồng hồ đã đi là đúng bằng một vòng đồng hồ. Lấy tổng quãng đường
của hai kim đã đi chia cho quãng đường hai kim đi được trong một giờ là tính
được thời gian để hai kim đổi chỗ cho nhau…
Bài giải:
Từ khi Tuấn bắt đầu làm bài cho đến khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau thì:

15
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
- Kim phút đi được quãng đường từ vị trí kim phút đến vị trí kim giờ lúc đầu.
- Kim giờ đi được quãng đường từ vị trí kim giờ đến vị trí kim phút lúc đầu.
=> Tổng quãng đường hai kim đã đi đúng bằng một vòng đồng hồ.
- Trong 1 giờ: Kim phút đi được một vòng đồng hồ.
Kim giờ đi được
12
1
vòng đồng hồ.
=> Trong 1 giờ, cả hai kim chạy được:
1 +
12
1
=
12
13
(vòng đồng hồ)

Thời gian Tuấn làm bài là:
1 :
12
13
=
13
12
(giờ)

13
12
giờ =
13
5
55
phút
Đáp số:
13
5
55
phút.
Kết luận: Thời gian để hai kim đổi chỗ cho nhau được tính như sau:
t = 1 : Tổng vận tốc.
D. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Trong quá trình bồi dưỡng, khi áp dụng kinh nghiệm trên để hướng dẫn HS giải
các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ chúng tôi thấy thực sự có hiệu quả.
Dựa vào định hướng chung và các công thức của từng dạng bài. Khi tham dự các
kì thi HS giỏi (đặc biệt là giải toán qua mạng) có những bài toán này các em trong
đội tuyển toán của lớp đã nhanh chóng nhận diện dạng bài, áp dụng công thức
phù hợp để làm bài nhanh và chính xác.

Xin được phép trích dẫn lại bài toán và cách giải của tác giả Pham Đình Thực
mà chúng tôi đã đề cập đến ở phần “Đặt vấn đề”.
Bài toán: Bây giờ 15 giờ 40 phút. Hỏi sau bao nhiêu lâu nữa thì kim giờ và kim
phút làm thành một đường thẳng?
12 Bài giải của tác giả:
Trước hết ta tính xem lúc đầu kim giờ chạy
sau kim phút mấy phần vòng đồng hồ?
Lúc 15 giờ 40 phút thì kim phút chỉ đúng vào
9 3 số 8 còn kim giờ chỉ vào 2/3 khoảng cách từ số
3 đến số 4 (vì 40 phút = 2/3 giờ). Nói cách khác
Kim giờ chỉ vào 1/3 khoảng cách từ số 4 đến số 3
6 (vì 1 –
3
2
=
3
1
).

16
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
Khoảng cách từ số 4 đến số 8 là:
3
1
12
48
=
−
(vòng)
Khoảng cách từ kim giờ đến số 4 bằng

3
1
khoảng cách từ số 4 đến số 3, tức là
bằng:

36
1
12
1
3
1
=x
(vòng)
Vậy lúc 15 giờ 40 phút kim giờ còn cách kim phút:

36
13
36
1
3
1
=+
(vòng)
b) Bây giờ ta tính khoảng thời gian cho đến khi hai kim thẳng hàng:
Nhìn vào hình vẽ ta thấy cho đến lúc hai kim thẳng hàng thì:
(Quãng đường kim phút đi) + (KCBĐ) – (Quãng đường kim giờ đi) =
2
1
vòng.
Vậy:

(Quãng đường kim phút đi) – (Quãng đường kim giờ đi) =
2
1
vòng (KCBĐ)
=
2
1
vòng -
36
1
vòng =
36
5
vòng
Vì kim phút đi nhanh gấp 12 lần kim giờ nên ta có sơ đồ:
Quãng đường kim giờ đi: x
Quãng đường kim phút đi: x x x x x x x x x x x x

36
5
vòng
Vậy quãng đường kim giờ đã đi là:

36
5
: (12 – 1) =
36
5
: 11 =
396

5
(vòng)
Kim giờ đi một vòng trong 12 giờ. Vậy thời gian phải tìm là:

396
5
giờ x 12 =
396
3600
396
5720 phutphútx
=
= 9,09 phút.
Đáp số: 9,09 phút.

Chúng tôi yêu cầu nhóm học sinh giỏi toán của lớp 5C trường Tiểu học Cầu
Giát giải bài tập trên. Sau khi xác định được KCBĐ, các em đã nhanh chóng
nhận ra đây là bài toán thuộc dạng 3 (trường hợp 1) và làm bài rất tốt. Xin trích
dẫn bài giải của em Nguyễn Thanh Bình (năm nay tham gia thi giải toán qua
mạng cấp quốc gia đạt 280 điểm – cao nhất tỉnh) là bài làm có mạch lí luận tốt
nhất.

17
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
Giải:
Đổi 40 phút =
3
2
giờ.
Vào lúc 3 giờ đúng, kim giờ chỉ số 3, kim phút chỉ số 12. Vì 1 giờ kim phút

đi được đoạn đường bằng một vòng đông hồ, kim giờ đi được
12
1
vòng đông hồ
(tức là di chuyển được từ vạch này đến vạch tiếp theo). Vậy khi thời gian tăng
thêm 40 phút (tức là
3
2
giờ) thì kim giờ di chuyển
3
2
đoạn đường từ khoảng cách
giữa số 2 và số 3.
3
2
đoạn đường đó ứng với:
12
1
x
18
1
3
2
=
(vòng đồng hồ).
Còn kim phút đã di chuyển thêm được
3
2
vòng đồng hồ và nằm đúng vị trí số 8.
Khoảng cách từ số 8 đến số 3 tính theo chiều quay của kim đồng hồ ứng với

12
7

vòng đồng hồ.
=> Khoảng cách ban đầu giữa kim phút và kim giờ tính theo chiều quay của kim
đồng hồ là:

36
23
18
1
12
7
=+
(vòng đồng hồ).
Vì kim phút chạy nhanh hơn nên đến khi hai kim tạo với nhau thành một đường
thẳng thì khoảng cách này được thu hẹp lại còn
2
1
vòng đồng hồ.
Vậy thời gian để hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng là:
(
2
1
36
23
−
) :
12
11

=
33
5
(giờ)
Đổi:
33
5
giờ =
11
1
9
(phút)
Đáp số:
11
1
9
phút.
* Rõ ràng trong hai cách giải trên, cách mà HS trình bày vừa ngắn gọn lại
vừa dễ hiểu. Chúng tôi cảm thấy rất vui vì những cố gắng của mình đã đạt được
hiệu quả. Không chỉ ở dạng toán này, ở tất cả các phần khác, chúng tôi đều cố
gắng sưu tầm, sáng tác, tập hợp thành từng dạng, tìm cách hướng dẫn cho HS
từng dạng bài để giúp các em nắm và vận dụng kiến thức một cách chắc chắn.
Chính vì vậy, đội tuyển HS giỏi toán lớp 5 của chúng tôi trong những năm qua,
khi tham gia các kì thi cấp quốc gia, tỉnh huyện đều đạt giải cao. Xin được dẫn
một vài số liệu: Trong các kì giao lưu Toán Tuổi Thơ toàn quốc lần thứ nhất, thứ
hai, thứ ba có 9 em tham gia, kết quả: 4 em đạt huy chương vàng, 2 em đạt huy
chương bạc, 3 em đạt huy chương đồng.

18
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”

Năm học 2006 – 2007 , trong kì giao lưu Toán Tuổi Thơ cấp huyện do
Phòng GD&ĐT huyện Quỳnh Lưu tổ chức, đội tuyển có 10 em tham gia, trong đó
2 em đạt giải Nhất (toàn huyện chỉ có 2 giải Nhất), 7 em đạt giải Nhì, 1 em đạt
giải Ba. Năm học 2008 – 2009, Phòng GD&ĐT huyện Quỳnh Lưu tổ chức kì thì
H năng khiểu Tiếng Việt + Toán. Đội tuyển toán có 18 em tham gia, trong đó có
12 em đạt giải Nhất Năm học này, trong kì thi Giải toán qua mạng cấp tỉnh , có
3 em đạt điểm tối đa được dự thi cấp quốc gia. Kết quả, 1 em đạt số điểm cao
nhất tỉnh (tính riêng cho HS Tiểu học) với số điểm là 280 điểm, 1 em đạt 270
điểm, 1 em đạt 240 điểm.
Chúng tôi rất phấn khởi vì những nổ lực, những cố gắng của mình trong giảng
dạy và bồi dưỡng đã đem đến hiệu quả cao.
E: BÀI HỌC KINH NGHIỆM.
Trong những năm học này, chúng ta đang thực hiện cuộc vận động “Mỗi thầy
cô giáo là một tấm gương đạo đức tự học và sáng tạo” do Công đoàn Giáo dục
Việt Nam phát động. Để đáp ứng với yêu cầu trình độ của người GV trong thời
đại mới, mỗi thầy cô giáo cần phải vận động không ngừng, luôn tự học, tự nghiên
cứu sáng tạo để vốn kiến thức luôn được bổ sung, luôn được làm mới. Đặc biệt
trong công tác bồi dưỡng HS giỏi, vấn đề này lại càng hết sức quan trọng. Tài
năng của HS được ví như nguồn tài nguyên còn nằm trong lòng đất, cần được
thầy cô giáo phát hiện, khai thác và sử dụng. Muốn vậy năng lực và trình độ
chuyên môn của người thầy phải thật vững vàng để thực sự đáp ứng nhu cầu học
tập của các em.
Trong công tác bồi dưỡng HS giỏi môn toán ở Tiểu học, việc sưu tầm, tập
hợp, sáng tác, sắp xếp các bài bài toán theo dạng và định hướng “chìa khóa” giải
cho mỗi dạng bài là rất quan trọng. Với cách làm như vậy, HS sẽ rất thích thú khi
có cảm giác kho tàng kiến thức như mở ra vô tận trước mắt, tạo cho các em
những cuộc chạy đua thầm lặng trong việc kiếm tìm, phát hiện và chiếm lĩnh kiến
thức.
Với các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ, bước quan trọng đầu tiên
là tập cho các em định hình và tính được KCBĐ giữa kim phút và kim giờ.

Khoảng cách này luôn được tính từ vị trí kim phút đến vị trí kim giờ (Tính theo
chiều quay của kim đồng hồ). Sau đó sắp xếp, phân chia các bài toán theo từng
dạng, mỗi dạng lại chia ra các trường hợp và xây dựng công thức tính thời gian
cho từng trường hợp. Cụ thể như sau:
Dạng 1: Hai kim đồng hồ chuyển động để trùng khít lên nhau:
a) Trường hợp đề toán cho thời điểm ban đầu.
t = KCBĐ : Hiệu vận tốc
b) Trường hợp đề toán không cho thời điểm ban đầu.
Mẹo giải: Đưa về giờ đúng để suy luận và áp dụng công thức trường hợp a để
tính thời gian.

19
“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”
Dạng 2: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một góc vuông:
a) Trường hợp 1: Các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên:
KCBĐ < 1/4 vòng đồng hồ
t = (KCBĐ + 1/4) : 11/12
b) Trường hợp 2: Các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên:
1/4 vòng đồng hồ < KCBĐ < 3/4 vòng đồng hồ
t = (KCBĐ - 1/4) : 11/12
c) Trường hợp 3: Nhóm các bài toán có thời điểm ban đầu tạo nên:
KCBĐ > 3/4 vòng đồng hồ
t = (KCBĐ - 3/4) : 11/12
Dạng 3: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một đường thẳng:
a) Trường hợp 1: Các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên:
KCBĐ < 1/2 vòng đồng hồ
t = (KCBĐ + 1/2) : 11/12
b) Trường hợp 2: Các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên:
KCBĐ > 1/2 vòng đồng hồ
t = (KCBĐ - 1/2) : 11/12

Dạng 4: Hai kim đồng hồ chuyển động và đổi chỗ cho nhau:
t = 1 : Tổng vận tốc.
Với mỗi dạng bài, GV dẫn dắt các em tìm hiểu qua một bài toán mẫu, từ đó
xây dựng công thức và ra một số bài tập để các em áp dụng công thức thật thành
thạo.
Trên đây là một số kinh nghiệm của chúng tôi. Viết bản sáng kiến kinh
nghiệm này, chúng tôi muốn sẻ chia, tháo gỡ phần nào những khó khăn của đồng
nghiệp khi bồi dưỡng HS giỏi “Toán về chuyển động của kim đồng hồ” đồng thời
cũng mong muốn được tiếp nhận những ý kiến đóng góp, bổ sung của Hội đồng
khoa học các cấp để bản SKKN hoàn chỉnh hơn, mục đích cuối cùng là để đảm
bảo “quyền lợi được học” của học sinh.
Xin chân thành cảm ơn!
Cầu Giát, ngày 30 tháng 4 năm 2010
Người viết sáng kiến:

Đặng Thị Hồng Hồ Mạnh Hùng

20