bài giảng toán cao cấp

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
TOÁN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC
1. Đại cương về hàm số nhiều biến
2. Đạo hàm – Vi phân
3. Cực trị của hàm số nhiều biến
PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
Số tiết học: 30
GV: ThS. Đoàn Vương Nguyên

Chương 2. Tích phân bội
1. Tích phân bội hai (kép)
2. Tích phân bội ba
3. Ứng dụng của tích phân bội
 Chương 3. Tích phân đường
Tích phân mặt
1. Tích phân đường loại 1
2. Tích phân đường loại 2
3. Tích phân mặt loại 1
4. Tích phân mặt loại 2
 Chương 4
Phương trình vi phân
Hệ phương trình vi phân cấp 1
1. Khái niệm cơ bản về PTVP
2. Phương trình vi phân cấp 1
3. Phương trình vi phân cấp 2
4. Hệ phương trình vi phân cấp 1
 Tài liệu tham khảo
3. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 3)
– Đỗ Công Khanh (chủ biên)
– XBĐHQG TP. HCM.
4. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 4)

– Đỗ Công Khanh (chủ biên)
–
XBĐHQG TP. HCM
.
1. Giáo trình Toán cao cấp A3
– guyễn Phú Vinh – ĐHC TP. HCM.

2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp
–
guyễn Phú Vinh

–

ĐHC TP.HCM
.

5. Phép tính Vi tích phân (tập 2)
– Phan Quốc Khánh – XB Giáo dục.

6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến
–
guyễn Đình Trí (chủ biên)

–
XBG
D
.

7. Tích phân hàm nhiều biến
– Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh

– XB KH và Kỹ thuật.
8. Bài tập Giải tích (tập 2)
– guyễn Thủy Thanh – XB Giáo dục.
Download Slide bài giảng Toán A3 tại
dvntailieu.wordpress.com
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
§1. KHÁI IỆM CƠ BẢ
1.1. Định nghĩa
1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục
§2. ĐẠO HÀM RIÊG – VI PHÂ
2.1. Đạo hàm riêng
2.2. Vi phân
2.3. Đạo hàm của hàm số hợp
2.4. Đạo hàm của hàm số n
§3. CỰC TRN CỦA HÀM HAI BIẾ SỐ
3.1. Định nghĩa
3.2. Định lý điều kiện cần và đủ
3.3. Cực trị tự do
3.4. Cực trị có điều kiện
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
§1. KHÁI IỆM CƠ BẢ
1.1. Định nghĩa
• Cho
2
D
⊂
ℝ
. Tương ứng
f :D
→

ℝ
,

(x, y) z f (x, y)
=
֏

duy nhất, được gọi là hàm số 2 biến x và y.
• Tập D được gọi là MXĐ của hàm số và

{
}
f (D) z z f (x,y), (x, y) D
= ∈ = ∀ ∈
ℝ
là miền giá trị.
–
Nếu M(x, y) thì D là tập hợp điểm M trong
2
ℝ
sao cho
f(M) có nghĩa.
Miền D thường là miền liên thông, nghĩa là
nếu M, N thuộc miền D mà tồn tại 1 đường nối M với N
nằm hoàn toàn trong D thì D là liên thông.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
–
Trừ trường hợp
2
D

=
ℝ
, D thường được giới hạn bởi 1
đường cong kín
D
∂
(biên) hoặc không. Miền liên thông D
là đơn liên nếu D được giới hạn bởi 1 đường cong kín; đa
liên nếu được giới hạn bởi nhiều đường cong kín rời nhau
từng đôi một.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
–
D là miền đóng nếu
M D M D
∈∂ ⇒ ∈
,
miền

mở
nếu
M D M D
∈∂ ⇒ ∉
.

Chú ý
• Khi cho hàm số f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hiểu
MXĐ D là tập tất cả (x, y) sao cho f(x, y) có nghĩa.
• Hàm số n biến f(x
1

, x
2
,…, x
n
) được định nghĩa tương tự.
VD 1.
Hàm số z = f(x, y) = x
3
y + 2xy
2
– 1 xác định trên
2
ℝ
.
VD 2.
Hàm số
2 2
z f (x,y) 4 x y
= = − −
có MXĐ là hình
tròn đóng tâm O(0; 0), bán kính R = 2.
VD 3. Hàm số
2 2
z f (x, y) ln(4 x y )
= = − −
có MXĐ là hình
tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R = 2.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 4. Hàm số

z f (x,y) ln(2x y 3)
= = + −
có MXĐ là nửa
mp mở biên d: 2x + y – 3 không chứa O(0; 0).
1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục
• Dãy điểm M
n
(x
n
; y
n
) dần đến điểm M
0
(x
0
; y
0
) trong
2
ℝ
, ký
hiệu
n 0
M M
→
hay
n n 0 0
(x ;y ) (x ;y )
→
, khi

n
→ +∞
nếu
(
)
2 2
n 0 n 0 n 0
n n
limd M , M lim (x x ) (y y ) 0
→∞ →∞
= − + − =
.
• Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền D (có thể không
chứa M
0
), ta nói L là giới hạn của f(x, y) khi điểm M(x, y)
dần đến M
0
nếu mọi dãy điểm M
n
(M
n
khác M
0
) thuộc D
dần đến M
0
thì
n n
n

limf(x ,y ) L
→∞
=
.
Ký hiệu:
0 0 0
(x,y ) (x ,y ) M M
lim f(x,y) lim f (M) L
→ →
= =
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
hận xét

• Nếu khi
n 0
M M
→
trên 2 đường khác nhau mà dãy
{f(x
n
, y
n
)} có hai giới hạn khác nhau thì
0
M M
lim f (M)
→
∃
.

VD 5.
2
2
(x,y) (1, 1)
2x y 3x 1 3
lim
xy 3 2
→ −
− −
= −
+
.
VD 6. Cho
2 2
xy
f (x,y)
x y
=
+
, tính
(x,y) (0,0)
lim f (x,y)
→
.
Giải
Ta có:
x 0
y 0
2 2 2
xy xy

0 f(x,y) x 0
x y y
→
→
≤ = ≤ = →
+
.
Vậy
(x,y) (0,0)
lim f (x,y) 0
→
=
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 7. Cho hàm số
2 2
3xy
f (x,y)
x y
=
+
.
Chứng tỏ
(x,y) (0,0)
lim f (x,y)
→
không tồn tại.
Giải
Xét dãy điểm
(

)
{
}
n n n
M x ; y
.
Khi
n
M O(0; 0)
→
trên đường y = x thì
2
2
(x,y) (0,0) (x,y) (0,0)
3x 3
lim f (x,y) lim
2x 2
→ →
= =
.
Khi
n
M O(0; 0)
→
trên đường y = 2x thì
2
2
(x,y) (0,0) (x,y) (0,0)
6x 6
lim f (x,y) lim

5x 5
→ →
= =
.
Vậy
(x,y) (0,0)
lim f (x,y)
→
không tồn tại.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
Hàm số liên tục
• Hàm số f(x, y) xác định trong D chứa M
0
, ta nói f(x, y)
liên tục tại M
0
nếu tồn tại
0 0
(x,y) (x ,y )
lim f(x,y)
→
và
0 0
0 0
(x,y) (x ,y )
lim f(x,y) f (x , y )
→
=
.
• Hàm số f(x, y) liên tục trong D nếu liên tục tại mọi điểm

M thuộc D.

• Hàm số f(x, y) liên tục trong miền đóng giới nội D thì đạt
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong D.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 8. Xét tính liên tục của hàm số:
2 2
xy
, (x,y) (0,0)
x y
f (x,y)
0, (x,y) (0,0)

≠

+
=


=

.
Giải
Với
(x, y) (0,0)
≠
thì f(x, y) xác định nên liên tục.
Tại (0,0) ta có
(x,y) (0,0)

lim f (x,y)
→
không tồn tại (xem VD7).
Vậy f(x, y) liên tục trên
2
\{(0,0)}
ℝ
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
§2. ĐẠO HÀM RIÊG – VI PHÂ
2.1. Đạo hàm riêng
a) Đạo hàm riêng cấp 1
• Cho hàm số f(x, y) xác định trên D chứa M
0
(x
0
, y
0
).
Nếu
hàm số 1 biến f(x, y
0
) (y
0
là hằng số) có đạo hàm tại x = x
0
thì ta gọi đạo hàm đó là
đạo hàm riêng theo biến x của
hàm
số f(x, y) tại (x

0
, y
0
).
Ký hiệu:
x 0 0
f (x ,y )
hay
/
x 0 0
f (x ,y )
hay
0 0
f
(x ,y ).
x
∂
∂

Vậy
/
0 0 0 0
x 0 0
x 0
f (x x, y ) f(x , y )
f (x , y ) lim .
x
∆ →
+ ∆ −
=

∆

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
• Tương tự ta có đạo hàm riêng theo biến y tại (x
0
, y
0
) là:
/
0 0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim .
∆ →
+ ∆ −
=
∆
y
y
f x y y f x y
f x y
y

• Tại (x, y) tùy ý ta dùng ký hiệu:
x
f
hay
/
x

f
hay
.
∂
∂
f
x

VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm

f
(
x, y
)
= x
4

–
3x
3
y
2
+ 2y
3

–
3xy
tại (
–
1; 2).

Giải. Ta có:

/ 3 2 2 /
4 9 3 ( 1;2) 46
= − − ⇒ − = −
x x
f x x y y f
.

/ 3 2 /
6 6 3 ( 1;2) 39
= − + − ⇒ − =
y y
f x y y x f .
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 2.
Tính các đạo hàm riêng của
hàm
z
= x
y
(
x
> 0).

Giải
/ 1
,
−

=
y
x
z yx
/
ln .
=
y
y
z x x
VD 3. Tính các đạo hàm riêng của
cos
=
x
z
y
tại
( ; 4)
π
.
Giải
/
/ /
1 2
sin sin ( ;4)
8
π
 
= − = − ⇒ = −
 

 
x x
x
x x x
z z
y y y y
,
/
/ /
2
2
sin sin ( ;4)
32
y y
y
x x x x
z z
y y y y
π
π
 
= − = ⇒ =
 
 
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
Chú ý
• Với hàm n biến ta có định nghĩa tương tự.
VD 4. Tính các đạo hàm riêng của
2

( , , ) sin
x y
f x y z e z
= .
Giải
2 2
/ 2 /
( ) sin 2 sin
x y x y
x x
f x y e z xye z
= =


2 2
/ 2 / 2
( ) sin sin
x y x y
y y
f x y e z x e z
= =


2
/
cos
x y
z
f e z
=

.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
b) Đạo hàm riêng cấp cao
• Các hàm số f
x
, f
y
có các đạo hàm riêng (f
x
)
x
, (f
y
)
y
, (f
x
)
y
, (f
y
)
x

được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của
f
.

Ký hiệu:

( )
2
2
//
2
x xx
x
x
f f
f f f
x x x
∂ ∂ ∂
 
= = = =
 
∂ ∂ ∂
 
,
( )
2
2
//
2
y yy
y
y
f f
f f f
y y y
 

∂ ∂ ∂
= = = =
 
∂ ∂ ∂
 
,
( )
2
//
x xy xy
y
f f
f f f
y x y x
∂ ∂ ∂
 
= = = =
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
,
( )
2
//
y yx yx
x
f f
f f f
x y x y
 

∂ ∂ ∂
= = = =
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của
3 2 3 4
( , )
y
f x y x e x y y
= + −
tại
( 1; 1)
−
.
Giải
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
• Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm n biến và đạo
hàm riêng cấp cao hơn được định nghĩa tương tự.
Định lý (Schwarz)
• Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng fxy và fyx
liên tục trong miền D thì fxy = fyx.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
2.2. Vi phân
a) Vi phân cấp 1
• Cho hàm số f(x, y) xác định trong
2
D

⊂
ℝ
và
0 0 0
( , )
M x y D
∈
,
0 0
( , )
M x x y y D
+ ∆ + ∆ ∈
.
Nếu số gia
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , )
f x y f x x y y f x y
∆ = + ∆ + ∆ −
có
thể biểu diễn dưới dạng:
0 0
( , ) . .
f x y A x B y x y
α β
∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆
trong đó A, B là những số không phụ thuộc
,
x y
∆ ∆
và

, 0
α β
→
khi
( , ) (0,0)
x y
∆ ∆ →
, ta nói
f

khả vi
tại M
0
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
• Biểu thức
. .
A x B y
∆ + ∆
được gọi là vi phân cấp 1 (toàn
phần)
của
f
(
x, y
) tại
M
0
(
x

0
, y
0
) ứng với
,
x y
∆ ∆
.
Ký
hiệu
df
(
x
0
, y
0
).

• Hàm số f(x, y) khả vi trên miền D nếu f(x, y
) khả vi tại mọi
(
x, y
) thuộc D.

hận xét

• Nếu
f
(
x, y

) khả vi tại
M
0
thì
f
(
x, y
) liên tục tại
M
0
.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
• Từ
0 0
( , ) . .
f x y A x B y x y
α β
∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆
, ta suy ra:

0 0 0 0
( , ) ( , ) .
f x x y f x y A x x
α
+ ∆ − = ∆ + ∆


0 0 0 0
0

( , ) ( , )
lim
x
f x x y f x y
A
x
∆ →
+ ∆ −
⇒ =
∆
.
Tương tự
0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
y
f x y y f x y
B
y
∆ →
+ ∆ −
=
∆
.
Vậy
/ /
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ). ( , ).
x y

df x y f x y x f x y y
= ∆ + ∆

hay
/ /
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , )
x y
df x y f x y dx f x y dy
= +
.

Tổng quát:

/ /
( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) .
x y
df x y f x y dx f x y dy x y D
= + ∈

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 7.
Tính vi phân cấp 1 của
2 3 5
x y
z x e xy y
−
= + −
tại (–1; 1).
 Chương 1. Hàm số nhiều biến

VD 8. Tính vi phân cấp 1 của
2
2
( , ) sin( )
x y
f x y e xy
−
=
.
Giải

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
Định lý
• Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại M
0

trong miền D chứa
M
0
thì
f
(
x, y
) khả vi tại
M
0
.

b) Vi phân cấp cao
• Vi phân cấp 2:

(
)
2 2
2
// 2 // // 2
( , ) ( , )
( , ) 2 ( , ) ( , ) .
xy
x y
d f x y d df x y
f x y dx f x y dxdy f x y dy
=
= + +
• Vi phân cấp n:

( )
1 ( )
0
( , ) ( , ) ( , )
−
− −
=
= =
∑
k n k
n
n n k n k n k
n
x y

k
d f x y d df x y C f x y dx dy
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 9. Tính vi phân cấp 2 của
2 3 2 3 5
( , ) 3= + −
f x y x y xy x y
tại (2; –1).
Giải
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 10. Tính vi phân cấp 2 của
2
( , ) ln( )
=
f x y xy
.
Giải

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 11.
Tính vi phân cấp 3 của
3 2
z x y
=
.
Giải
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
2.3. ðạo hàm của hàm số hợp
• Cho hàm số f(u, v), trong đó u = u(x) và v = v(x) là những

hàm số của biến x. Nếu f(u, v) là hàm khả vi của biến u, v
và
u
(
x
),
v
(
x
)
các hàm
khả vi của
x
thì
:

/ /
. .
u v
df du dv
f f
dx dx dx
= +
Trong đó
, ,
df du dv
dx dx dx
là các đạo hàm toàn phần
theo
x

.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 12. Cho
2 2
( , ) 2 , , sin
x
f u v u uv v u e v x
−
= − + = =
.
Tính
df
dx
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
• Nếu hàm số f(x, y) khả vi của biến x, y và y = y(x) là hàm
khả vi của biến x thì:
/ /
.
x y
df dy
f f
dx dx
= +
VD 13.
Cho
2 2 2
( , ) ln( ), sin
= + =
f x y x y y x

. Tính
df
dx
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
2.4. ðạo hàm của hàm số ẩn
• Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*).
Nếu
y = y(x) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao
cho khi thế y(x) vào (*) ta được đồng nhất thức thì y = y(x)
là
hàm số n xác định bởi (*).
• Đạo hàm hai vế (*) theo x, ta được:
/ /
( , ) ( , ). 0
x y
F x y F x y y
′
+ =

/
/
/
( , )
( , )
, ( , ) 0
x
y
y
F x y

y
F x
F
y
x y
′
⇒ =
≠
− .
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 14.

Xác nh hàm s Nn
y
(
x
) trong phương trình
x
2
+ y
2

–
4 = 0
.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 15. Cho
0
− + =

x y
xy e e
. Tính
( )
y x
′
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 16. Cho
3 2 4
( 1) 0
+ + + =
y x y x
. Tính
′
y
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 17. Cho
2 2
ln + =
y
x y arctg
x
. Tính
′
y
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
Tương tự: đối với hàm ẩn hai biến

• Cho hàm s Nn hai bin z = f(x, y) xác nh bi
phương
trình F(x, y, z) = 0, vi
/
( , , ) 0
≠
z
F x y z
ta có:

/ / /
( , , ) ( , , ). ( , ) 0
x z x
F x y z F x y z z x y
+ =

/
/
/
( , , )
( , )
( , , )
x
x
z
F x y z
z x y
F x y z
= −⇒ .


/ / /
( , , ) ( , , ). ( , ) 0
y z y
F x y z F x y z z x y
+ =

/
/
/
( , , )
(
, , )
.
, )
(
y
y
z
F x y z
z x y
F x y z
= −⇒
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 18. Cho hàm Nn z(x, y) tha phương trình:
cos( )
= + +
xyz x y z
. Tính
/ /
,

x y
z z
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 19. Cho hàm Nn z(x, y) tha phương trình mt cu:
2 2 2
2 4 6 2 0
x y z x y z
+ + − + − − =
. Tính
/
y
z
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
§3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
3.1. Định nghĩa

• Hàm s z = f(x, y) t cc tr (địa phương) ti im
M
0
(x
0
; y
0
) nu vi mi im M(x, y) khá gn nhưng khác M
0
thì hiu
f
(

M
)
–

f
(
M
0
)
có du không i.

• N u hiu f(M) – f(M
0
) > 0 thì f(M
0
) là cực tiểu và M
0
là
điểm cực tiểu
ca
z.

• N u hiu f(M) – f(M
0
) < 0 thì f(M
0
) là cực đại và M
0
là
điểm cực đại

ca
z.

Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị.
VD 1.
Hàm s
f
(
x, y
)
= x
2
+ y
2

–
xy
t cc tiu ti O(0; 0).

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
3.2. Định lý
a) Điều kiện cần

• N u hàm s z = f(x, y) t cc tr ti M
0
(x
0
, y
0
) và ti ó

hàm s có o hàm riêng thì:
/ /
0 0 0 0
( , ) ( , ) 0.
x y
f x y f x y
= =

Chú ý


• im M
0
tha
/ /
0 0 0 0
( , ) ( , ) 0
= =
x y
f x y f x y
ưc gi là

điểm dừng
,
M
0

có th không là im cc tr ca
z
.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
b) Điều kiện đủ

• Gi s f(x, y) có im dng là M
0
và có o hàm riêng cp
hai ti lân cn im M
0
.
t
2 2
// // //
0 0 0 0 0 0
( , ), ( , ), ( , )
= = =
xy
x y
A f x y B f x y C f x y
.
Khi đó:

 N u AC – B
2
> 0 và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu

ti im
M
0
;

AC – B
2
> 0 và A < 0 thì hàm số đạt cực đại
ti im
M
0
.


N u AC – B
2
< 0 thì hàm s không có cực trị
(im
M
0
ưc gi là
điểm
yên ngựa
).

 N u AC – B
2
= 0 thì chưa th kt lun hàm s có
cc tr hay không (
ta
dùng nh nghĩa  xét).

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
3.3. Cực trị tự do

• Cho hàm s z = f(x, y).  tìm cc tr ca hàm f(x, y
) trên
MXĐ
D, ta thc hin các bưc sau:
Bước 1
. Tìm im dng M
0
(x
0
; y
0
) bng cách gii h:
/
0 0
/
0 0
( , ) 0
( , ) 0

=


=


x
y
f x y
f x y

.
Bước 2
. Tính
2
// //
0 0 0 0
( , ), ( , )
= =
xy
x
A f x y B f x y
,

2
// 2
0 0
( , )
= ⇒ ∆ = −
y
C f x y AC B
.
Bước 3
.
Da vào iu kin   kt lun.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 2.
Tìm im dng
ca hàm s
z = xy

(1

–
x
–
y
)
.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 3.
Tìm cc tr ca hàm s
z = x
2
+ y
2
+
4
x
–

2
y +
8
.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 4.
Tìm cc tr ca hàm s
z = x

3
+ y
3

–

3
xy
–

2
.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 5.

Tìm cc tr ca
hàm s
z =
3
x
2
y + y
3

–

3
x
2

–

3
y
2
+ 2.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
3.4. Cực trị có điều kiện
• Cho hàm s z = f(x, y
) xác nh trên lân cn ca im
M
0
(x
0
; y
0
) thuc ưng cong
( , ) 0
ϕ
=
x y
. N u ti im M
0
hàm s f(x, y) t cc tr thì ta nói im M
0
là im cc tr
ca f(x, y) vi iu kin
( , ) 0

ϕ
=
x y
.
•  tìm cc tr có iu kin ca hàm s f(x, y) ta dùng
phương pháp khử
hoc
nhân tử Lagrange
.

 Phương pháp khử

• T phương trình
( , ) 0
ϕ
=
x y
, ta rút x hoc y th vào f(x, y)


và tìm cc tr
ca
hàm 1 bin.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 6. Tìm cc tr ca hàm s:
f(x, y) = x
2
+ y
2

– xy + x + y vi iu kin x + y + 3 = 0.

VD 7.
Tìm cc tr ca hàm s:
f(x, y) = xy vi iu kin 2x + 3y – 5 = 0.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến
 Phương pháp nhân tử Lagrange

• Bước 1. Lp hàm Lagrange:
( , , ) ( , ) ( , )
λ λϕ
= +
L x y f x y x y
, λ là nhân tử Lagrange.
• Bước 2. Gii h:
/ / /
0, 0, 0
x y
L L L
λ
= = =


⇒

im dng
M
0
(
x

0
;
y
0
) ng
vi
λ
0
.

• Bước 3. Tính vi phân cp hai ti M
0
(x
0
; y
0
) ng vi λ
0
:

2 2
2 '' 2 '' '' 2
0 0 0 0
( ) ( ) 2 ( ) ( )
xy
x y
d L M L M dx L M dxdy L M dy
= + +
.
 Chương 1. Hàm số nhiều biến

Điều kiện ràng buộc:


/ /
0 0 0 0 0 0
( , ) 0 ( , ) ( , ) 0
x y
d x y x y dx x y dy
ϕ ϕ ϕ
= ⇒ + =
(1)
và


(
dx
)
2
+ (
dy
)
2
> 0
(2).

•
Bước 4
.

T iu kin

(1) và (2), ta có:

 N u
2
0 0
( , ) 0
>
d L x y
thì hàm s đạt cực tiểu ti M
0
.

 N u
2
0 0
( , ) 0
<
d L x y thì hàm s đạt cực đại ti M
0
.

 N u
2
0 0
( , ) 0
=
d L x y thì im M
0
không là im cc tr.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 8.
Tìm cc tr ca hàm s f(x, y) = 2x + y
vi iu kin

x
2
+ y
2
=
5.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến
VD 9.
Tìm cc tr ca hàm s z = xy
vi iu kin
2 2
1
8 2
+ =
x y
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
§1. TÍCH PHÂ BỘI HAI (KÉP)
1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)
1.2. Định nghĩa
1.3. Tính chất của tích phân kép
1.4. Phương pháp tính tích phân kép
§2. TÍCH PHÂ BỘI BA
2.1. Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể)

2.2. Định nghĩa
2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba
§3. ỨG DỤG CỦA TÍCH PHÂ BỘI
3.1. Diện tích, thể tích
3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền đóng
3.3. Khối lượng
3.4. Momen tĩnh
3.5. Trọng tâm
3.6. Momen quán tính
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
§1. Tích phân bội hai (kép)
1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)
• Xét hàm số z = f(x,y)
liên tục, không âm và
một mặt trụ có các
đường sinh song song
với Oz, đáy là miền
phẳng đóng D trong
mặt phẳng Oxy.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
 tính th tích khi tr, ta chia min D thành n phn
không dm nhau, din tích mi phn là ∆S
i

(
)
1,
i n
=
.

N hư vy khi tr cong ưc chia thành
n khi tr nh.
Trong mi
∆
S
i
ta ly im
M
i
(
x
i
;
y
i
) tùy ý.

Ta có th tích
∆
V
i
ca khi tr nh là:
1
( ; ) ( , )
n
i i i i i i i
i
V f x y S V f x y S
=
∆ ≈ ∆ ⇒ ≈ ∆

∑
.
Gi
{
}
max ( , ) ,
i i
d d A B A B S
= ∈ ∆

là đường kính ca
i
S
∆
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Ta có:
max 0
1
lim ( , )
i
n
i i i
d
i
V f x y S
→
=
= ∆
∑

.
Khi ó
1
( , )
n
n i i i
i
I f x y S
=
= ∆
∑
ưc gi là tổng tích phân
ca hàm f(x, y) trên D
(ng vi phân hoch
∆
S
i
và các im
M
i
).

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
1.2. Định nghĩa
• N u
max 0
1
lim ( , )
i
n

i i i
d
i
I f x y S
→
=
= ∆
∑
tn ti hu hn,
không ph thuc vào phân hoch ∆S
i
và cách chn
im M
i
thì s thc I ưc gi là tích phân bội hai

ca
f
(
x, y
) trên D.

Ký hiệu

( , )
D
I f x y dS
=
∫∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Chú ý
1) N u chia D bi các ưng thng song song vi các
trc ta  thì ∆S
i
= ∆x
i
.∆y
i
hay dS = dxdy.
Vy
( , ) ( , )
D D
I f x y dS f x y dxdy
= =
∫∫ ∫∫
.
2)
( , ) ( , )
D D
f x y dxdy f u v dudv
=
∫∫ ∫∫
.
hận xét

1)
( )
D
dxdy S D

=
∫∫
(din tích min D).
2) f(x, y) > 0, liên tc ∀(x, y) ∈ D thì
( , )
D
f x y dxdy
∫∫

là th tích hình tr có các ưng sinh song song vi


O
z
, hai áy gii hn bi các mt
z =
0 và
z = f
(
x, y
).

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
1.3. Tính chất của tích phân kép
• Tính chất 1
Hàm s
f
(
x, y
) liên tc

trên D thì
f
(
x, y
) kh tích trên D.

• Tính chất 2 (tính tuyn tính)
[ ( , ) ( , )]
D D D
f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy
± = ±
∫∫ ∫∫ ∫∫
;


( , ) ( , ) ,
D D
kf x y dxdy k f x y dxdy k
= ∈
∫∫ ∫∫
ℝ
.
• Tính chất 3
N u chia D thành D
1
và D
2
bi ưng cong có din
tích bng 0 thì:
1 2

( , ) ( , ) ( , )
D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy
= +
∫∫ ∫∫ ∫∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
1.4. Phương pháp tính tích phân kép

1.4.1. Đưa về tích phân lặp
Định lý (Fubini)
• Gi s tích phân
( , )
D
f x y dxdy
∫∫
tn ti, vi
1 2
{( , ) : , ( ) ( )}
D x y a x b y x y y x
= ≤ ≤ ≤ ≤

và vi mi
[ ; ]
x a b
∈
c nh
2
1
( )

( )
( , )
y x
y x
f x y dy
∫
tn ti.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Tương tự,

1 2
{( , ) : ( ) ( ), }
D x y x y x x y c y d
= ≤ ≤ ≤ ≤
,

2
1
2
1
( )
( )
( )
( )
( , ) ( , )
( , ) .
x y
d
D c x y
x y

d
c x y
f x y dxdy f x y dx dy
dy f x y dx
 





=








 
=
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫

Khi đó
:
2
1
2
1

( )
( )
( )
( )
( , ) ( , )
( , ) .
y x
b
D a y x
y x
b
a y x
f x y dxdy f x y dy dx
dx f x y dy
 





=








 

=
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Chú ý

1) Khi D là hình ch nht
{( , ) : , } [ , ] [ , ]
D x y a x b c y d a b c d
= ≤ ≤ ≤ ≤ = ×
thì:

( , ) = ( , ) = ( , ) .
b d d b
D a c c a
f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2) N u
1 2
{( , ) : , ( ) ( )}
D x y a x b y x y y x
= ≤ ≤ ≤ ≤

và
f(x, y) = u(x).v(y) thì:
2
1
( )

( )
( , ) ( ) ( ) .
y x
b
D a y x
f x y dxdy u x dx v y dy
=
∫∫ ∫ ∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Tương t, nu
1 2
{( , ) : ( ) ( ), }
D x y x y x x y c y d
= ≤ ≤ ≤ ≤

thì:
2
1
( )
( )
( , ) ( ) ( ) .
x y
d
D c x y
f x y dxdy v y dy u x dx
=
∫∫ ∫ ∫

3) N u D là min phc tp thì ta chia D ra thành nhng

min ơn gin
.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Giải
VD 1. Xác nh cn  tích phân lp khi tính tích phân


( , )
D
I f x y dxdy
=
∫∫
trong các trưng hp sau:
1) D gii hn bi các ưng y = 0, y = x và x = a > 0.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
2) D gii hn bi các ưng
y = x
2
và
x + y =
2.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 2. Tính
D
I xydxdy
=

∫∫
vi D gii hn bi
y = x – 4, y
2
= 2x.
Giải
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Đổi thứ tự lấy tích phân

2
1
( )
( )
( , )
y x
b
a y x
I dx f x y dy
=
∫ ∫
2
1
( )
( )
( , )
x y
d
c x y
I dy f x y dx
=

∫ ∫
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 3. i th t ly tích phân trong các tích phân sau:

1)
2
1 2
0
( , )
x
x
I dx f x y dy
−
=
∫ ∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 3. i th t ly tích phân trong các tích phân sau:

2)
2 2
1 3 1
0 1
9 9
( , ) ( , )
x
x x
I dx f x y dy dx f x y dy
= +
∫ ∫ ∫ ∫

.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
1.4.2. Phương pháp đổi biến
a) Công thức đổi biến tổng quát
Định lý
• Gi s x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm s có các
o hàm riêng liên tc trên min óng gii ni D
uv

trong mpOuv.
Gi
{( , ) : ( , ), ( , ),( , ) }
xy uv
D x y x x u v y y u v u v D
= = = ∈
.

N u hàm f(x, y) kh tích trên D
xy
và nh thc Jacobi
( , )
0
( , )
x y
J
u v
∂
= ≠
∂
trong D

uv
thì:
( , ) ( ( , ), ( , ))
xy uv
D D
f x y dxdy f x u v y u v J dudv
=
∫∫ ∫∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Trong đó:
/ /
/ /
/ /
/ /
( , ) 1 1
( , ) ( , )
( , )
u v
u v
x y
x y
x x
x y
J
u v u v
y y
u u
x y
v v

∂
= = = =
∂ ∂
∂

VD 4. Cho min D
uv
là hình tam giác O(0;0), A(2;0),
B
(0;2) trong mpOuv. Gi min D
xy
là nh ca D
uv
qua
phép bin hình g: (x, y) = g(u, v) = (u + v, u
2
– v).
Tính tích phân ca hàm
1
( , )
1 4 4
f x y
x y
=
+ +
trên
min bin hình
D
xy
=

g
(
D
uv
).

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 5. Cho min D
uv
là phn tư hình tròn ơn v trong
mpOuv. Gi min D
xy
là nh ca D
uv
qua phép bin
hình g: (x, y) = g(u, v) = (u
2
– v
2
, 2uv). Tính tích phân
ca hàm
2 2
1
( , )f x y
x y
=
+
trên min bin hình D
xy
.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 6.
Tính din tích hình phng gii hn bi 4
parapol:
y = x
2
,
y =
2
x
2
,
x = y
2
và
x =
3
y
2
.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
b) Đổi biến trong tọa độ cực
• i bin:
cos
sin
x r
y r



= ϕ



= ϕ



vi

0, 0 2
r
≥ ≤ ϕ ≤ π

hoc

0,
r
≥ − π ≤ ϕ ≤ π

Khi ó, min D
xy
tr thành:
1 2 1 2
{( , ) : , ( ) ( )}
r
D r r r r
ϕ
= ϕ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ ϕ ≤ ≤ ϕ
.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
/ /
/ /
cos sin
( , )
sin cos
( , )
r
r
x x r
x y
J r
r
r
y y
ϕ
ϕ
ϕ − ϕ
∂
⇒ = = = =
ϕ ϕ
∂ ϕ
.
Vy ta có:

2 2
1 1
( )
( )
( , ) ( cos , sin )

( cos , sin ) .
xy r
D D
r
r
f x y dxdy f r r rdrd
d f r r rdr
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= ϕ ϕ ϕ
= ϕ ϕ ϕ
∫∫ ∫∫
∫ ∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Chú ý

1) i bin trong ta  cc thưng dùng khi biên
D là ưng tròn hoc elip.
2)  tìm
1 2
( ), ( )
r r
ϕ ϕ
ta thay
cos
sin
x r
y r



= ϕ



= ϕ




vào phương trình ca biên D.

3) N u cc O nm trong D và mi tia t O ch ct biên

D tại 1 điểm thì:
( )
2
0 0
( cos , sin )
r
I d f r r rdr
ϕ
π
= ϕ ϕ ϕ
∫ ∫
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
4) N u cc O nm trên biên D thì:
2

1
( )
0
( cos , sin )
r
I d f r r rdr
ϕ
ϕ
ϕ
= ϕ ϕ ϕ
∫ ∫
.
5) N u biên D là elip thì t:
cos
sin
x r a
y r b


= ϕ



= ϕ



{( , ) : 0 2 , 0 1},
r
D r r

ϕ
⇒ = ϕ ≤ ϕ ≤ π ≤ ≤

2 1
0 0
( cos , sin )
J abr I d f ra rb abrdr
π
= ⇒ = ϕ ϕ ϕ
∫ ∫
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 7.
Biu din tích phân
( , )
D
f x y dxdy
∫∫
trong ta  cc.
Bit min D là min phng nm ngoài

(
C
1
): (
x
–
1)
2

+ y
2

=
1 và trong (
C
2
): (
x
–
2)
2

+ y
2

=
4.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 8. Tính din tích hình ellip:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ ≤
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 9. Tính tích phân

2 2
( )x y
D
I e dxdy
− +
=
∫∫
vi D là
hình tròn
2 2 2
x y R
+ ≤
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 10. Tính din tích min D (ct tia Oy) gii hn
bi: y = –x,
2 2 2 2
3 3
x y x y x
+ = + −
và
0
y
≥
.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 11. Tính th tích vt th V gii hn bi
phn hình tr
2 2

2 0
x y y
+ − =
nm trong
hình cu
2 2 2
4
x y z
+ + =
và
0
z
≥
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Công thức Walliss
2 2
0 0
( 1)!!
,
!!
sin cos
( 1)!!
. ,
2 !!
n n
n
n
n
xdx xdx

n
n
n
π π


−




= =

π −





∫ ∫
leû
chaün
.
Trong ó:
0!! = 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4;
5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!!
= 2.4.6.8;
…

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

MỘT SỐ MẶT BẬC HAI

TROG KHÔG GIA Oxyz
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI  Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI  Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI  Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
§2. TÍCH PHÂ BỘI BA
2.1. Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể)

• Gi s ta cn tính khi lưng ca vt th V không
ng cht, bit
mật độ (khi lưng riêng) ti P(x, y, z)
là
( ) ( , , )
P x y z
ρ = ρ = ρ
.
Ta chia V tùy ý thành n
phn không dm nhau, th tích
mi phn là ∆V
i
(i=1,2,…,n). Trong mi ∆V
i
ta ly
im
P
i
(

x
i
; y
i
; z
i
) và ưng kính ca
∆
V
i
là
d
i
.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Khi lưng V xp x:
1 1
( ) ( , , )
n n
i i i i i i
i i
m P V x y z V
= =
≈ ρ ∆ = ρ ∆
∑ ∑
.
N u tn ti
max 0
1

lim ( , , )
i
n
i i i i
d
i
x y z V
→
=
ρ ∆
∑
thì:
max 0
1
lim ( , , ) .
i
n
i i i i
d
i
m x y z V
→
=
= ρ ∆
∑

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
2.2. Định nghĩa

• Cho hàm s f(x, y, z) xác nh trong min o ưc V

ca không gian O
xyz
.

Chia min V (bài toán m u) và lp tng tích phân:
1
: ( , , )
n
n i i i i
i
I f x y z V
=
= ∆
∑
.
N u
max 0
1
lim ( , , )
i
n
i i i i
d
i
I f x y z V
→
=
= ∆
∑
tn ti hu hn,

không ph thuc vào cách chia V và cách chn im P
i

thì s thc I ưc gi là tích phân bội ba ca hàm s
f
(
x, y, z
) trên
V
.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Ký hiệu

( , , ) ( , , ) .
V V
I f x y z dV f x y z dxdydz
= =
∫∫∫ ∫∫∫

hận xét


1) N u
0
f
≥
trên V thì
( , , )
V

I f x y z dxdydz
=
∫∫∫
là
khi lưng vt th V, vi khi lưng riêng vt cht
chim th tích V là f(x, y, z).
c bit, nu f(x, y, z) = 1 thì I là th tích V.

2
) Tích phân bi ba có các tính cht như tích phân kép.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Khi ó:
2
1
2
1
( , )
( , )
( , )
( , )
( , , ) ( , , )
( , , ) .
z x y
V D z x y
z x y
D z x y
f x y z dxdydz f x y z dz dxdy
dxdy f x y z dz
 






=








 
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫ ∫

a) Gi s min V có gii hn trên bi mt z = z
2
(x, y),

gii hn dưi bi z = z
1
(x, y), gii hn xung quanh
bi mt tr có ưng sinh song song vi trc Oz.
Gi D là hình chiu ca V trên mpOxy.
2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba
2.3.1. Đưa về tích phân lặp

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
b) Gi D là hình chiu ca V trên mpOxz. Gi s min

V có gii hn (theo chiu ngưc vi tia Oy) bi hai
mt y = y
2
(x, z) và mt y = y
1
(x, z), gii hn xung
quanh bi mt tr có ưng sinh song song Oy.
Khi ó:
2
1
2
1
( , )
( , )
( , )
( , )
( , , ) ( , , )
( , , ) .
y x z
V D y x z
y x z
D y x z
f x y z dxdydz f x y z dy dxdz
dxdz f x y z dy
 






=








 
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫ ∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
c) Gi D là hình chiu ca V trên mpOyz. Gi s min

V có gii hn (theo chiu ngưc vi tia Ox) bi hai
mt x = x
2
(y, z) và mt x = x
1
(y, z), gii hn xung
quanh bi mt tr có ưng sinh song song Ox.
Khi ó:
2
1

2
1
( , )
( , )
( , )
( , )
( , , ) ( , , )
( , , ) .
x y z
V D x y z
x y z
D x y z
f x y z dxdydz f x y z dx dydz
dydz f x y z dx
 





=








 

=
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫ ∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Đặc biệt


• N u D là hình hp ch nht
{( , , ) : , c , e }
[ , ] [ , ] [ , ]
D x y z a x b y d z f
a b c d e f
= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
= × ×

thì:
( , , ) ( , , ) .
f
b d
V a c e
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫

VD 1. Tính tích phân
8
V
I xyzdxdydz
=

∫∫∫
vi
V =
[1, 2]
×
[
–
1, 3]
×
[0, 2].

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 2. Tính tích phân lp
2
1 1 2
1 0
(1 2 )
x
I dx dy z dz
−
= +
∫ ∫ ∫



và dng min ly tích phân
V
.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

VD 3. Tính tích phân
V
I ydxdydz
=
∫∫∫
vi V gii
hn bi x + y + z – 1 = 0 và 3 mt phng ta .
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
2.3.2. Đổi biến tổng quát
• t
( , , )
( , , )
( , , )
x x u v w
y y u v w
z z u v w


=



=



=




, ta có Jacobien:

/ / /
/ / /
/ / /
( , , )
( , , )
u v w
u v w
u v w
x x x
x y z
J y y y
u v w
z z z
∂
= =
∂
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Gi s các hàm x, y, z có o hàm riêng liên tc trong
min óng, gii ni o ưc V
uvw
trong không gian
Ouvw và
0
J
≠
thì:

( , , )
( ( , , ), ( , , ), ( , , )). . .
uvw
V
V
f x y z dxdydz
f x u v w y u v w z u v w J dudvdw
=
∫∫∫
∫∫∫

VD 4. Tính tích phân
( )
V
I x y z dxdydz
= + +
∫∫∫
vi
: 2
V x y z x y z x y z
− + + + − + + + − ≤
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 5. Tính th tích ca khi elipxoit
2 2 2
2
2 2 2
:
x y z
V R

a b c
+ + ≤
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
2.3.3. Đổi biến trong tọa độ trụ
t
cos
sin
x r
y r
z z


= ϕ



= ϕ



=



,
vi

0, 0 2
r

≥ ≤ ϕ ≤ π

hoc

0,
r
≥ −π ≤ ϕ ≤ π
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Jacobien:
/ / /
/ / /
/ / /
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
r z
r z
r z
x x x
r
J y y y r r
z z z
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ − ϕ
= = ϕ ϕ =
.
Khi ó ta có:

( , , )
( cos , sin , ). . .
r z
V
V
f x y z dxdydz
f r r z r drd dz
ϕ
= ϕ ϕ ϕ
∫∫∫
∫∫∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 6. Tính th tích khi V gii hn bi các mt
2 2
4
x y z
+ = −
,
2 2
2
x y
+ ≥
và z = 0.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 7. Tính tích phân
2 2
V
I z x y dxdydz
= +

∫∫∫

vi V là min hình tr gii hn bi:

2 2
2
x y y
+ =
, z = 0 và z = 1.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 8. Tính tích phân
2 2 2
( )
V
I x y z dxdydz
= + +
∫∫∫


vi V là min hình nón gii hn bi các mt:
2 2 2
x y z
+ =
và z = 1.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
2.3.3. Đổi biến trong tọa độ cầu
t
sin cos
sin sin
cos

x r
y r
z r


= θ ϕ



= θ ϕ



= θ



,
vi
0, 0 2 ,0
r
≥ ≤ ϕ ≤ π ≤ θ ≤ π

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Jacobien:
/ / /
/ / / 2
/ / /
( , , )
sin

( , , )
r
r
r
x x x
x y z
J y y y r
r
z z z
ϕ θ
ϕ θ
ϕ θ
∂
= = = θ
∂ ϕ θ
.
Khi ó ta có:

2
( , , ) . sin . .
r
V V
f x y z dxdydz f r drd d
ϕθ
= θ ϕ θ
∫∫∫ ∫∫∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 9.
Tính tích phân

2 2 2
1
V
I dxdydz
x y z
=
+ +
∫∫∫

vi V là min gii hn
bi các mt cu:

2 2 2
1
x y z
+ + =

và
2 2 2
4
x y z
+ + =
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 10. Tính tích phân
2 2
( )
V
I x y dxdydz
= +

∫∫∫
vi
V là min gii hn bi:
2 2 2
4
x y z
+ + ≤
và
0
z
≥
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
VD 11. Tính tích phân
2 2 2
V
I x y z dxdydz
= + +
∫∫∫

vi V là min gii hn bi:
2 2 2
0
x y z z
+ + − ≤
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
§3. ỨG DỤG CỦA TÍCH PHÂ BỘI
(tham khảo)
3.1. Diện tích, thể tích

(xem nhận xét tích phân bi hai, ba).
3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền đóng
• Giá tr trung bình ca hàm s f(x, y) trên min óng
D là:
1
( , ) .
( )
D
f f x y dxdy
S D
=
∫∫

• Giá tr trung bình ca hàm s f(x, y, z) trên min
óng
Ω
là:
1
( , , ) .
( )
f f x y z dxdydz
V
Ω
=
Ω
∫∫∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
3.3. Khối lượng
• Cho mt bn phng chim min D óng trong Oxy

có
khi lưng riêng (mt  khi lưng) ti im M(x, y)
thuc D là hàm
( , )
x y
ρ
liên tc trên D. Khi lưng ca
bn phng là:
( , )
D
m x y dxdy
= ρ
∫∫
.
• Cho mt vt th chim min V óng trong Oxyz có
khi lưng riêng ti im M(x, y, z) thuc V là hàm
( , , )
x y z
ρ
liên tc trên V. Khi lưng ca vt th là:
( , , )
V
m x y z dxdydz
= ρ
∫∫∫
.
 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
3.4. Momen tĩnh
Định nghĩa
• Momen tĩnh ca mt cht im có khi lưng m t

ti im M(x, y) trong Oxy i vi trc Ox, Oy
theo th
t là:
M
y=0
= my, M
x=0
= mx.
• Momen tĩnh ca mt cht im có khi lưng m t
ti im M(x, y, z) trong Oxyz i vi các mt phng
ta  Oxy, Oyz, Oxz theo th t là:
M
z=
0
= mz, M
x=
0
= mx, M
y=
0
= my.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Công thức tính
• Momen tĩnh ca bn phng chim din tích D trong
Oxy có khi lưng riêng ti im M(x, y) là hàm
( , )
x y
ρ
liên tc trên D là:

0 0
( , ) , ( , )
y x
D D
M y x y dxdy M x x y dxdy
= =
= ρ = ρ
∫∫ ∫∫
.

• Momen tĩnh ca vt th chim min V trong Oxyz có
khi lưng riêng ti im M(x, y, z) là hàm
( , , )
x y z
ρ

liên tc trên V là:

0
0
0
( , , ) ,
M ( , , ) ,
M ( , , ) .
z
V
x
V
y
V

M z x y z dxdydz
x x y z dxdydz
y x y z dxdydz
=
=
=
= ρ
= ρ
= ρ
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
3.5. Trọng tâm
• Cho bn phng chim din tích D trong Oxy có khi
lưng riêng ti im M(x, y) là hàm
( , )
x y
ρ
liên tc trên
D. Khi ó, ta  trng tâm G ca bn phng là:
( , )
1
( , ) ,
( , )
( , )
1
y ( , ) .
( , )

D
G
D
D
D
G
D
D
x x y dxdy
x x x y dxdy
m
x y dxdy
y x y dxdy
y x y dxdy
m
x y dxdy
ρ
= = ρ
ρ
ρ
= = ρ
ρ
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Khi bn phng ng cht thì
( , )
x y
ρ
là hng s nên:
1 1
, y
( ) ( )
G G
D D
x xdxdy ydxdy
S D S D
= =
∫∫ ∫∫
.
• Cho vt th chim th tích V trong Oxyz có khi
lưng riêng ti im M(x, y, z) là hàm
( , , )
x y z
ρ
liên tc
trên V. Khi ó, ta  trng tâm G ca vt th là:
1
( , , ) ,
1
y ( , , ) ,
1
( , , ) .
G
V

G
V
G
V
x x x y z dxdydz
m
y x y z dxdydz
m
z z x y z dxdydz
m
= ρ
= ρ
= ρ
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Khi vt th ng cht thì
( , , )
x y z
ρ
là hng s nên:
1
,
1
y ,
1
z .
G

V
G
V
G
V
x xdxdydz
V
ydxdydz
V
zdxdydz
V
=
=
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
3.6. Momen quán tính
Định nghĩa
• Momen quán tính ca mt cht im có khi lưng
m t ti im M(x, y) i vi trc Ox, Oy và gc ta
 O theo th t là:
I
x
= my
2
, I
y

= mx
2
và I
O
= I
x
+ I
y
= m(x
2
+ y
2
).
• Momen quán tính ca mt cht im có khi lưng
m t ti im M(x, y, z) i vi trc Ox, Oy, Oz và
gc ta  O theo th t là:
I
x
= m(y
2
+ z
2
), I
y
= m(x
2
+ z
2
), I
z

= m(x
2
+ y
2
)
và I
O
= I
x
+ I
y
+ I
z
= m(x
2
+ y
2
+ z
2
).
• Momen quán tính ca mt cht im có khi lưng
m t ti im M(x, y, z) i vi các mt phng ta 
Oxy, Oyz, Oxz th t là:
I
z=
0
= mz
2
, I
x=

0
= mx
2
, I
y=
0
= my
2
.

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Công thức tính

• Cho bn phng chim din tích D trong mpOxy có
khi lưng riêng ti im M(x, y) là hàm
( , )
x y
ρ
liên
tc trên D. Khi ó:
( )
2
2
2 2
( , ) ,
( , ) ,
( , ) .
x
D
y

D
O
D
I y x y dxdy
I x x y dxdy
I x y x y dxdy
= ρ
= ρ
= + ρ
∫∫
∫∫
∫∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
• Cho vt th chim min V trong Oxyz có khi lưng
riêng ti im M(x, y, z) là hàm
( , , )
x y z
ρ
liên tc trên
V. Khi ó:
(
)
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2

( , , ) ,
( , , ) ,
( , , ) ,
( , , )
x
V
y
V
z
V
O
V
I y z x y z dxdydz
I x z x y z dxdydz
I x y x y z dxdydz
I x y z x y z dxdydz
= + ρ
= + ρ
= + ρ
= + + ρ
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫

 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
và
2
0
2

0
2
0
( , , ) ,
( , , ) ,
( , , ) .
z
V
x
V
y
V
I z x y z dxdydz
I x x y z dxdydz
I y x y z dxdydz
=
=
=
= ρ
= ρ
= ρ
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫

 Chương 3. Tích phân đường
Tích phân mặt
§1. TÍCH PHÂ ĐƯỜG LOẠI I
1.1. Định nghĩa
1.2. Phương pháp tính

1.3. Ứng dụng

§2. TÍCH PHÂ ĐƯỜG LOẠI II
2.1. Bài toán mở đầu
2.2. Định nghĩa
2.3. Phương pháp tính
2.4. Công thức Green (liên hệ với tích phân kép)
2.5. Điều kiện tích phân đường không phụ thuộc
đường lấy tích phân
 Chương 3. Tích phân đường
Tích phân mặt
§3. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI I
3.1. Định nghĩa
3.2. Phương pháp tính
3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1

§4. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI II
4.1. Định nghĩa
4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1
4.3. Phương pháp tính
4.4. Công thức Stokes
4.5. Công thức Gauss – Ostrogradski
 Chương 3. Tích phân đường – mặt
§1. TÍCH PHÂ ĐƯỜG LOẠI I
1.1. Định nghĩa

• Gi s ưng cong L trong mt phng Oxy có
phương trình tham s:
( ),
x x t

=

( )
y y t
=
vi
a t b
≤ ≤



và
f
(
x, y
) là hàm s xác nh
trên
L
.

• Chia L thành n cung không dm lên nhau bi các
im chia ng vi
0 1

n
a t t t b
= < < < =
.
 Chương 3. Tích phân đường – mặt
Gi  dài cung th i là

i
s
∆
. Trên cung th i ly
im
( , )
i i i
M x y
. Tng
1
( , )
n
n i i i
i
I f x y s
=
= ∆
∑
ưc
gi là
tổng tích phân đường (loại 1) ca hàm f(x, y)

trên ưng cong
L
.

• Gii hn
0
1
lim ( , )

i
n
i i i
max s
i
f x y s
∆ →
=
∆
∑
tn ti ưc gi là

tích phân đường loại 1 ca f(x, y) trên ưng cong L.

Ký hiu là
( , ) .
L
f x y ds
∫

 Chương 3. Tích phân đường – mặt
hận xét


1) Tích phân ưng loi 1 có tt c các tính cht ca
tích phân xác nh.

2) Tích phân ưng loi 1 không ph thuc vào chiu

ca L:



( , ) ( , ) .
BA
AB
f x y ds f x y ds
=
∫ ∫

 Chương 3. Tích phân đường – mặt
1.2. Phương pháp tính

a) Đường cong L có phương trình tham số
• N u L có phương trình
( )
x x t
=
,
( )
y y t
=
vi
a t b
≤ ≤
thì:
(
)
(
)
2 2

/ /
( , ) ( ( ), ( )) .
b
t t
L a
f x y ds f x t y t x y dt
= +
∫ ∫

• N u L trong không gian có phương trình
( )
x x t
=
,
( )
y y t
=
,
( )
z z t
=
vi
a t b
≤ ≤
thì:
( ) ( ) ( )
2 2 2
/ / /
( , , ) . .
b

t t t
L a
f x y z ds f x y z dt
= + +
∫ ∫

 Chương 3. Tích phân đường – mặt
b) Đường cong L có phương trình tổng quát

• N u L có phương trình
( )
y y x
=
vi
a x b
≤ ≤
thì:
(
)
2
/
( , ) ( , ( )) 1 .
b
x
L a
f x y ds f x y x y dx
= +
∫ ∫

• N u L có phương trình

( )
x x y
=
vi
a y b
≤ ≤
thì:
( )
2
/
( , ) ( ( ), ) 1 .
b
y
L a
f x y ds f x y y x dy
= +
∫ ∫

 Chương 3. Tích phân đường – mặt
Đặc biệt


• N u L có phương trình
y
= α ∈
ℝ
vi
a x b
≤ ≤
thì:

( , ) ( , ) .
b
L a
f x y ds f x dx
= α
∫ ∫


• N u L có phương trình
x
= α ∈
ℝ
vi
a y b
≤ ≤
thì:

( , ) ( , ) .
b
L a
f x y ds f y dy
= α
∫ ∫

 Chương 3. Tích phân đường – mặt
• N u L ưc cho trong ta  cc
( )
r r
= ϕ

vi

α ≤ ϕ ≤ β
thì ta xem
ϕ
là tham s.
Khi ó, phương trình ca L là:
( )cos ,
x r
= ϕ ϕ

( )sin ,
y r
= ϕ ϕ

.
α ≤ ϕ ≤ β

Ta có:
(
)
2
2 /
( , ) ( ( )cos , ( )sin )
L
f x y ds f r r r r d
β
ϕ
α
= ϕ ϕ ϕ ϕ + ϕ

∫ ∫
 Chương 3. Tích phân đường – mặt
VD 1. Tính
L
zds
∫
vi L là ưng xon c tr tròn
xoay có phương trình:
cos
x a t
=
,
sin
y a t
=
,
z bt
=
,
0 2
t
≤ ≤ π
.
 Chương 3. Tích phân đường – mặt
VD 2. Tính
( )
L
x y ds
+
∫

vi L là tam giác có các nh:

O(0; 0),
A(1; 0), B(0; 1).

 Chương 3. Tích phân đường – mặt
VD 3. Tính
2 4
1 4 4
C
y
dl
x x
+ −
∫
vi C là phn giao
tuyn gia mt
2 2
2 2
z x y
= − −
và
2
z x
=
nm trong
góc phn
8
th nht t im
A

(0; 1; 0) n
B
(1; 0; 1).

 Chương 3. Tích phân đường – mặt
1.3. Ứng dụng
1)  dài cung L là
L
ds
∫
, vi
1
f
≡
.
2) N u dây vt dn có hình dng L và hàm mt  khi

lưng
( , )
x y
ρ
ph thuc vào im M(x, y) trên L thì
khi lưng ca dây vt dn là
( , ) .
L
m x y ds
= ρ
∫

• Trng tâm G ca L là:

1
( , )
G
L
x x x y ds
m
= ρ
∫
,
1
( , )
G
L
y y x y ds
m
= ρ
∫
.
 Chương 3. Tích phân đường – mặt
3) N u dây vt dn có hình dng L
và hàm mt  khi
lưng
( , , )
x y z
ρ
ph thuc vào im M(x, y, z) trên L

thì khi lưng ca dây dn là
( , , ) .
L

m x y z ds
= ρ
∫

• Trng tâm G ca L là:
1
( , , )
G
L
x x x y z ds
m
= ρ
∫
,
1
( , , )
G
L
y y x y z ds
m
= ρ
∫
,

1
( , , )
G
L
z z x y z ds
m

= ρ
∫
.
 Chương 3. Tích phân đường – mặt
VD 4. Tính  dài cung tròn
2 2
2 0
x y x
+ − =
nm
trong góc th nht t A(2; 0) n
1 3
;
2 2
B
 









 
.
 Chương 3. Tích phân đường – mặt
VD 5. Cho mt dây thép dng na ưng tròn trong
mpOyz vi phương trình

2 2
1
y z
+ =
,
0
z
≥
.
Bit mt  khi lưng
( , , ) 2
x y z z
ρ = −
.

Tìm khi lưng và trng tâm ca dây thép.

 Chương 3. Tích phân đường – mặt
§2. TÍCH PHÂ ĐƯỜG LOẠI II
2.1. Bài toán mở đầu
Tính công sinh ra do lc
( )
F F M
=
 
tác dng lên
cht im M(x, y) di chuyn dc theo ưng cong L.
• N u L là on thng AB thì công sinh ra là:
(
)

. cos ,
W F AB F AB F AB
= =
     
.
• N u L là ưng cong thì ta chia L thành n cung nh
bi các im chia A
0
, A
1
,…, A
n
.
Trên mi cung

1
i i
A A
−
ly im M
i
(x
i
, y
i
) tùy ý.
 Chương 3. Tích phân đường – mặt
Chiu
( )
i

F M

và
1
i i
A A
−

lên trc Ox, Oy ta ưc:
( ) ( , ). ( , ).
i i i i i
F M P i Q j
= ξ η + ξ η
  

và
1
. .
i i i i
A A x i y j
−
= ∆ + ∆
  
.
Khi ó, công W sinh ra:
1
1 1
1
( )
= ( , ) ( , ) .

n n
i i i i
i i
n
i i i i i i
i
W W F M A A
P x Q y
−
= =
=
≈ =
 
ξ η ∆ + ξ η ∆
 
 
∑ ∑
∑
 

Vy
1
0
1
lim ( , ) ( , )
i i
n
i i i i i i
max A A
i

W P x Q y
−
→
=
 
= ξ η ∆ + ξ η ∆
 
 
∑

.
 Chương 3. Tích phân đường – mặt
2.2. Định nghĩa
• Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác nh trên ưng
cong L. Chia L thành n cung nh bi các im chia
A
0
, A
1
,…, A
n
. Trên mi cung

1
i i
A A
−
ly im M
i
(x

i
, y
i
)
tùy ý. Gi
(
)
1
,
i i i i
A A x y
−
= ∆ ∆

.
Tng
1
( , ) ( , )
n
n i i i i i i
i
I P x Q y
=
 
= ξ η ∆ + ξ η ∆
 
 
∑
ưc gi
là

tổng tích phân đường loại 2 ca P(x, y) và Q(x, y)
trên ưng cong L.
 Chương 3. Tích phân đường – mặt
Gii hn
1
0
lim
i i
n
max A A
I
−
→

tn ti ưc gi là

tích phân đường loại 2 ca P(x, y) và Q(x, y) trên
ưng cong L.
Ký hiu là:
( , ) ( , ) .
L
P x y dx Q x y dy
+
∫

 Chương 3. Tích phân đường – mặt
hận xét


1) Tích phân ưng loi 2 có tt c các tính cht như

tích phân xác nh.
2) Tích phân ưng loi 2 phụ thuộc vào chiu ca L
vì khi thay i chiu thì
(
)
1
,
i i i i
A A x y
−
= ∆ ∆

i
du, do ó khi vit tích phân ta cn ghi rõ im u

và cui:


( , ) ( , ) .
BA
AB
P x y dx Q x y dy Pdx Qdy
+ = − +
∫ ∫

 Chương 3. Tích phân đường – mặt
3) T nh nghĩa tng tích phân, ta có th vit:
  
( , ) ( , ) .
AB AB AB

Pdx Qdy P x y dx Q x y dy
+ = +
∫ ∫ ∫

Chú ý

• N u L là ưng cong phng, kín ly theo chiu
dương (ngưc chiu kim ng h) thì ta dùng ký hiu:

( , ) ( , ) .
L
P x y dx Q x y dy
+
∫


• nh nghĩa tương t:
( , , ) ( , , ) ( , , )
L
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
+ +
∫
.