Dùng đúng kí hiệu toán trong giảng dạy toán cấp 2

Chuyên Đề : SỬ DỤNG ĐÚNG KÍ HIỆU TOÁN HỌC TRONG
CHƯƠNG TRÌNH GIẢNG DẠY TOÁN CẤP 2
GV: Mai Xuân Quy-Trường THCS Trưng Vương
Qua thực tế giảng dạy,thường xuyên gặp học sinh và giáo viên sử dụng
sai kí hiệu toán học.Việc sử dụng sai kí hiệu toán học có nhiều nguyên nhân
khác nhau:
- 1.Do lạm dụng kí hiệu toán học để thay cho ngôn ngữ thông
thường.Chẳng hạn dùng “∆ABC
A⊥
” thay lời ‘tam giác ABC vuông tại
A” ,“ AB
⊥
CD = M thay lời “ AB vuông góc CD tại M ” .vv……
- 2. Do hiểu sai bản chất của kí hiệu toán học đã được phổ cập và sử dụng
trong chương trình toán cấp hai hiện hành.Chẳng hạn dùng kí hiệu “AB
∩
CD = M ,dùng sai kí hiệu”
⇔
” trong khi giải phương trình và bất
phương trình v.v…
Chuyên đề này nhằm trao đổi với các thấy cô giáo,để tìm được tiếng nói chung
khi sử dụng kí hiệu toán trong giảng dạy,hạn chế việc dùng sai kí hiệu toán.
A.TIM HIỂU VỀ KÍ HIỆU TOÁN HỌC (Mathematical signs): Kí hiệu toán
học là ngôn ngữ toán học dùng để diễn đạt các mệnh đề toán học một cách
chuẩn mực,chính xác.Người ta dùng kí hiệu toán học để chỉ các số ,các các
hình ,các phép toán ,các quan hệ trong toán học cho gọn.Vì nó là một ngôn ngữ
mang tính chất lịch sử,phổ cập,quy ước và hợp lý.
- Nói đến tính chất lịch sử là nói đến nguồn gốc ,sự ra đời của kí hiệu toán học
đó.Chẳng hạn kí hiệu các chữ số La Mã có từ thời La Mã.Có rất nhiều kí hiệu
toán học có từ rất xa xưa hiện nay chúng ta vẫn còn đang sử dụng.
Kí hiệu Người đưa ra Thời điểm,năm

Phép cộng,phép trừ: + , - J .Widman 1489
Phép nhân:
×
W. Oughtret 1631
Lũy thừa2,3 :a
2
,a
3
R. Descartes 1637
Căn bậc hai:
Ch. Rudolfer 1525
Số pi :
π
W. Joues 1736
- Tính phổ cập là nói đến tính xã hội hóa của kí hiệu toán học,sự phổ biến rộng
rãi được nhiều người biết đến và sử dụng trong phạm vi quốc tế,quốc gia,các
vùng miền .Một kí hiệu toán học cũng có thể chỉ có ở tác phẩm toán học của
một nhà toán học nào đó sử dụng trong phạm vi hẹp ,nhưng cũng có những kí
hiệu toán học được nhiều nhà toán học sử dụng rộng rãi từ thời này sang thời
khác.
- Tính quy ước và hợp lý của kí hiệu toán học là nói đến hình ảnh của kí hiệu
toán học có “đẹp” và hợp lí khi dùng nó để mô tả một khái niệm toán học nào
đó.Những nhà toán học có thể sáng tạo ra các kí hiệu toán học sử dụng trong
tác phẩm của mình.Những kí hiệu toán học đó có trường tồn hay không là một
phần do hình tượng kí hiệu toán học đó có hợp lí ,phù hợp xu thế phát triễn
của toán học.Chẳng hạn dùng kí hiệu lũy thừa 3 của một số người ta dùng a
3

cũng có thể dùng kí hiệu a
∧

3 hay a*3 .Cách viết thứ nhất thuận lợi cho chữ
viết trên giấy,cách viết thứ hai thì thuận lợi trên máy tính nêu dùng rộng rãi
trong ngôn ngữ lập trình.
1
- Kí hiệu toán học gắn liền môn khoa học chính xác,chặc chẽ.Bản thân kí hiệu
toán học đã chứa đựng một khái niệm toán học rõ ràng ,chuẩn mực,đúng sai.
Chẳng hạn kí hiệu a
≤
b nghĩa là a < b hoặc a = b, so sánh nhỏ hơn hoặc bằng
thì mệnh đề 3
≤
3 là đúng .Trong ngôn ngữ thông thường ,một câu nói có thể
đúng có thể sai có thể vừa đúng lại vừa sai.Trong toán học ,không chấp nhận
điều này.Mệnh đề toán học chỉ có một giá trị đúng hoặc sai.Vì vậy kí hiệu toán
học mang đặc tính này.Khi đã thừa nhận khái niệm của kí hiệu toán này rồi ,thì
không thể lẫn lộn với khái niệm khác của kí hiệu đó.Tuy nhiên ,có những kí
hiệu toán học giống nhau nhưng chứa đựng các nội dung toán học khác
nhau.Chẳng hạn kí hiệu “ ” dùng biểu thị phép khai phương,và dùng biểu thị
một số vô tỉ .Kí hiệu “-“ biểu thị cho phép trừ , cũng dùng biểu thị cho số đối
vv….
- Một kí hiệu tốt phải thỏa mãn yêu cầu cơ bản là không được mơ hồ:Trong
cùng một vấn đề không bao giờ được dùng một kí hiệu để chỉ hai đối tượng
khác nhau.Nếu trong một bài toán ta dùng kí hiệu A để chỉ một điểm nào đó
thì không thể dùng kí hiệu khác để chỉ điểm đó.
B. MỘT SỐ KÍ HIỆU TOÁN HỌC ĐƯỢC DÙNG TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN CẤP 2 SÁCH GIÁO KHOA HIỆN HÀNH:
Dưới đây là một số kí hiệu toán được thống nhất dùng trong chương trình toán
cấp 2
1. Số và đại số:
1.1 Các toán tử: + , - , . , : , lũy thừa , khai phương ;

3
khai căn bậc 3; !
(giai thừa);
M
phép chia hết cho ; / phép chia hết ,không chia hết cho
1.2 Các quan hệ so sánh : =;
≤
;
≥
; > ; < ;
≈
1.3 Quan hệ tập hợp:
; ; ; ; ; ;∈ ∉ ⊂ ⊄ ⊆ ∪ ∩
, B ( a) tập bội , Ư( a) tập ước
;BC(a,b) ;ƯC(a,b), Tập số :N,N*,Z,Q,I,R.Tập số nguyên tố: P ; Tập nghiệm : S
1.4 Các mệnh đề :
⇔
,
⇒
;
A
B



A và B ;
A
B




A hoặc B (chỉ dùng trong giải
phương trình và hệ phương trình)
1.5 Quan hệ hàm số: f(x) ;
a
; (a;b) cặp số
1.6 Số 3chữ số :
abc
, giá trị tuyệt đối của a:| a| ;Bội chung nhỏ nhất khác 0 của a và
b:BCNN(a,b) ;Ước chung lớn nhất của a và b: ƯCLN(a,b)
2. Hình học:
1.1 Điểm A,B,C
1.2 Đường thẳng a ,AB, xy
1.3 Tia gốc A: Ax ; AB
1.4 Góc ,số đo góc :
·
Ox y
hay
xOy∠
1.5 Tam giác:
∆
, không có kí hiệu tam giác vuông,tam giác cân
1.6 Đường tròn,hình tròn tâm O bán kính R : ( O;R )
1.7 Hai tam giác bằng nhau:
' ' 'ABC A B C
∆ = ∆
theo thứ tự tương ứng đỉnh.
1.8 Hai tam giác đồng dạng:
ABC∆

MNP∆
theo thứ tự tương ứng đỉnh.
1.9 Trùng nhau:
≡
,song song // , khác nhau
≠
,vuông góc
⊥
1.10 Diện tích : S ; thể tích: V ; nửa chu vi : p
Kí hiệu toán trong chương trình cấp 2 còn rất nhiều ,chưa liệt kê hết.Trên đây là một
số kí hiệu toán dùng cho chương trình toán cấp 2 hiện hành .Những kí hiệu này được
coi như được thống nhất,sử dụng rộng rãi trong ngành giáo dục phổ thông.Ở đây có
2
vấn đề phát sinh:Số kí hiệu đó thừa hay thiếu?có cần thiết đưa thêm các kí hiệu khác
nữa không?hay bỏ bớt kí hiệu nào?
C.Sử dụng đúng kí hiệu
⇔
trong giải phương trình ,bất phương trình
trong chương trình toán cấp 2:
Trong chương trình toán cấp hai ,giải phương trình,bất phương trình trên hai
miền xác định là:
- Miền xác định là tập số nguyên: Phương trình,bất phương trình nghiệm
nguyên.Giải phương trình ,bất phương trình này trong tập số nguyên.
-Miền xác định là tập số thực hay tập con của tập số thực.Hầu hết các phương
trình ,bất phương trình chúng ta dạy cho học sinh là nó được giải trên tập số
thực.Khi cho một phương trình ,yêu cầu học sinh giải phương trình đó ,mặc
nhiên hiểu ngầm là giải nó trên tập số thực hay tâp con của tập số thực.
-Trong SGK dùng thuật ngữ ĐKXĐ ‘ Điều kiện xác định ’ là nói đến miền xác
định của phương trình ,bất phương trình đó.Tập nghiệm của phương trình ,bất
phương trình là tập con của miền xác định của phương trình ,bất phương trình

đó.
-Thuật ngữ : -“Phương trình vô nghĩa” : là phương trình có miền xác định là
tập rỗng trên tập hợp số nào đó. Ví dụ: Phương trình
2
1 1x x− − = +
vô nghĩa
với mọi giá trị của x thuộc R, nhưng có nghĩa trên tập số phức C.Dĩ nhiên
phương trình này vô nghiệm trên R,nhưng có thể có nghiệm trên tập C.
-Thuật ngữ: - “Phương trình vô nghiệm ”là phương trình có tập nghiệm là tập
rỗng .Ví dụ: Phương trình : x + 2 = x – 3 vô nghiệm trên R và cả trên C.
Sự khác nhau về hai thuật ngữ trên cần phải chú ý khi dùng .
I. Cấu trúc tương đương một số phương trình:
Để dùng đúng kí hiệu
⇔
trong khi giải các phương trình cần nắm vững :
- Kí hiệu
⇔
ta hiểu là tập nghiệm của phương trình này bằng tập nghiệm
của phương trình kia.
- Cấu trúc tương đương các phương trình ở chương trình toán cấp 2
thường gặp, với A(x) ,B(x) là các đa thức.
1. Dạng phương trình chứa ẩn số ở mẫu :
( ) 0
( )
0
( ) 0
( )
A x
A x
B x

B x
=

= ⇔

≠

Ví dụ: Giải phương trình:
2 4
0
1
x
x
+
=
+
cách trình bày ở SGK 8 như sau
ĐKXĐ : x
≠
-1
2x + 4 = 0
x = -2 ( thỏa điều kiện)
Vậy S = { - 2 }
Cách trình bày trên không dùng kí hiệu tương đương,lý do sư phạm.
2. Dạng phương trình tích:
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
A x
A x B x

B x
=

= ⇔

=

Ví dụ: Giải phương trình: (x +1)(2-x)(2x -3) = 0

1 0
2 0
2 3 0
x
x
x
+ =


⇔ − =


− =

3
3. Dạng phương trình vô tỉ
3.1
( ) 0 ( ) 0A x A x= ⇔ =
3.2 Dạng phương trình:
2 2
( ) và 0 ( )A x a a A x a= ≥ ⇔ =

3.3 Dạng phương trình:
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
A x B x
A x B x
B x

=
= ⇔

≥

Ví dụ: giải phương trình:
2 2
2
3
2 (2 )
2 2
2
2 0
2
x
x x
x x
x
x



=
− = −

− = − ⇔ ⇔
 
− ≥


≤

⇔

1,5x =
4. Dạng phương trình trị tuyệt đối:
Dạng 1: |A(x)| = a ,a > 0
⇔
( )
( )
A x a
A x a
=


= −

⇔
A
2
(x) = a
2

( ) và A( ) 0
( ) và ( ) 0
A x a x
A x a A x
= ≥

⇔

− = ≤

Dạng 1 có 3 cấu trúc tương đương tương ứng với 3 cách giải khác nhau
Dạng 2: |A(x)| = B(x)
( ) ( ) và ( ) 0
( ) ( ) và ( ) 0
A x B x B x
A x B x B x
= ≥

⇔

= − ≥

( ) ( ) và A( ) 0
( ) ( ) và A( ) 0
A x B x x
A x B x x
= ≥

⇔


− = ≤


2 2
( ) ( )
( ) 0
A x B x
B x

=
⇔

≥

Dạng phương trình này có 3 cấu trúc tương đương ứng với 3 cách giải
khác nhau của phương trình.
Dạng 3: |A(x)| = |B(x) |
( ) ( )
( ) ( )
A x B x
A x B x
=

⇔

= −

2 2
( ) ( )A x B x⇔ =
Dạng 3 có hai cấu trúc tương đương ứng với hai cách giải khác nhau của

phương trình.
5. Phương trình bậc nhất hai ẩn số: A(x,y) = B(x,y)
⇔
'( ) '( ) '( ) '( )A x B x A y B y
y R x R
= =
 
⇔
 
∈ ∈
 
Ví dụ: Giải phương trình : 2x + 3y = 3y – 6 (1)
⇔
2x = -6 (2) cách trình
bày trên là sai khi sử dụng kí hiệu tương đương.vì tập nghiệm của phương
trình (1) và (2) khác nhau.
II. Cấu trúc tương đương một số bất phương trình:
1.Dạng bất phương trình tích:
( ) 0
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
( ) 0
A x
B x
A x B x
A x
B x
 ≥




≤


≤ ⇔

≤



≥



2. Dạng bất phương trình thương:
( ) 0
( ) 0
( )
0
( )
( ) 0
( ) 0
A x
B x
A x
B x
A x
B x
 ≥




>


≥ ⇔

≤



<



4
3. Dạng bất phương trình vô tỉ: a)
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
A x B x
A x B x
B x

≤
≤ ⇔

≥


b)
2
( ) 0 và ( ) 0
( ) ( )
( ) ( ) và ( ) 0
B x A x
A x B x
A x B x B x
< ≥

≥ ⇔

≥ ≥

4. Dạng bất phương trình trị tuyệt đối:
Dạng 1: a)
( ) ; a> 0 ( ) A x a a A x a≤ ⇔ − ≤ ≤
b)
( )
( ) và 0
( )
A x a
A x a a
A x a
>

> > ⇔

< −


Dạng 2: a)
( ) 0 ( ) ( ) và ( ) 0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) và ( ) 0
B x A x B x A x
A x B x
B x A x B x A x B x A x
≥ ≤ ≥
 
≤ ⇔ ⇔


− ≤ ≤ ≤ − <
 
2 2
( ) ( ) và B(x) 0A x B x⇔ ≤ ≥
b)
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
B x
A x B x
A x B x
B x
A x B x
B x



<


>


> ⇔

≥



< −




≥


Dạng 3:
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A x B x A x B x B x A x B x≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
D. Hội thảo các tình huống sử dụng kí hiệu toán học trong giảng dạy.
TH1: (3x + 2)(3-x) (x+1) = 0
3 2 0
3 0
1 0

x
x
x
− + =


⇔ − − =


− + =

TH2: Cho
∆
vuông ABC
TH3: Cho ABCD
TH4:
2
2 (3 )
2 3
2 0
x x
x x
x

− = −
− = − ⇔

− ≥

TH5:

2
1
3
2 3
x
x
x x
+
=
−
⇔ + = −
ĐKXĐ :
3 0x
− ≠
TH6: Đường trung bình của tam giác: MN //=
2
BC
TH7: Hai
∆
ABC và
∆
A’B’C’ = nhau
TH8:
neu 0
neu 0
a a
a
a a
≥


=

− <


TH9:
a b c
≠ ≠
ba số phân biệt khác nhau
TH10: góc
·
Ox y
=30
0
nên viết
·
0
O 30x y =
TH 11:
AB CD I∩ =
TH 12: Giải thiết:
5

ABC
AB AC
AH BC
H BC
∆



=


⊥


∈

Kết luận:
H là trung điểm của BC
‘‘ ’’
Kí hiệu



trong chương trình toán cấp 2 chỉ được sử dụng khi giải phương
trình và hệ phương trình,không dùng cho mệnh đề tuyển trong hình học
E. Kết luận:
1. không nên tùy tiện sử dụng kí hiệu không có trong sách giáo khoa để
giảng dạy cho học sinh.
2. Những kí hiệu có trong sách giáo khoa ,cần phải nắm vững nội dung
của nó để sử dụng cho thích hợp.
3. Không lạm dụng kí hiệu toán học thay cho chữ viết thông thường.
Chuyên Đề
SỬ DỤNG ĐÚNG KÍ HIỆU TOÁN HỌC TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TOÁN CẤP 2 HIỆN HÀNH
Tài liệu tham khảo:
1.Tạp chí toán học và tuổi trẻ-Tuyển tập 30 năm.Chương 4 Tiểu sử các nhà
toán học.
2.Đại số sơ cấp Tập1&2 –Sách Đại học sư phạm,TG:Hoàng Kỳ,Nguyễn Văn

Bằng,Nguyễn Đức Thuần.
3.Cấu trúc đại số-TG: Nguyễn Quang Biên.
4.Các Phép biến hình trong chương trình HH cấp 2-TG:PTS Nguyễn Việt
Hải.
5.Số Học –Tài liệu BDTX chu kì 92-96
6.Số và Hàm số - TG: GS Phan Đức Chính ,GS Ngô Hữu Dũng
7.Sách giáo khoa toán 6,7,8,9
8.Sách giáo viên toán 6,7,8,9
9.Tự điển bách khoa VN
10.Một số vấn đề về giảng dạy ngôn ngữ và kí hiệu toán học
NỘI DUNG
A. Tìm hiểu kí hiệu toán học:
B. Một số kí hiệu toán học trong chương trình toán cấp 2 hiện hành.
6
C. Sử dụng đúng kí hiệu tương đương trong giải phương trình ,hệ phương
trình ,bất phương trình,hệ bất phương trình,
D. Hội thảo các tình huống sử dụng kí hiệu toán học trong giảng dạy.
E. Kết luận:
NHÓM TOÁN LÝ 1 TRƯỜNG THCS TRƯNG VƯƠNG THỰC HIỆN
Người báo cáo : GV Mai Xuân Quy
BẢN THẢO LUẬN
Họ và Tên GV:…………………………………………………
Nội Dung:
1. Theo thầy (cô) ,kí hiệu toán được sử dụng trong SGK toán cấp 2 hiện
hành đầy đủ chưa? Nếu thiếu thì thêm kí hiệu nào?Nếu thừa thì bỏ bớt
kí hiệu nào?lý do?
2. Trong thực tế giảng dạy,Thầy ( Cô) đã gặp các tình huống nào sử dụng sai
kí hiệu toán mà học sinh hay giáo viên trình bày.Hãy nêu các tình huống đó và
cho biết ý kiến của mình.
7