Khoảng cách - GT & ĐS 11

THAO GIẢNG HUYỆN QUỲNH
PHỤ- THÁI BÌNH- XUÂN 2010
KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu 2: Hãy cho biết cách xác định
Câu 1:
+ Nêu khái niệm đường
thẳng và mặt phẳng song
song?
+ Nêu khái niệm hai mặt
phẳng song song?
. M
. A
P
a
a. Hình chiếu của một điểm M
lên đường thẳng a.
b. Hình chiếu của một điểm A lên
mặt phẳng (P)
H
H
* Đường thẳng a và mặt phẳng
(P) song song với nhau nếu
chúng không có điểm chung.
* Hai mặt phẳng được gọi là
song song với nhau nếu chúng
không có điểm chung.
Trả lời
.
.
I. Khoảng cách từ một điểm

đến một đường thẳng, đến
một mặt phẳng
1. Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng
. O
a
α
Gọi H là hình chiếu của O lên a
Đn: Ta gọi khoảng cách giữa
O và H là khoảng cách từ
điểm O đến đường thẳng a
Kí hiệu: d(O,a)
Nếu M là điểm bất kì trên a
hãy so sánh OM và OH ?
Nhận xét:
+ ∀ M ∈ a ta có OM ≥ OH
Cho trước điểm O nằm ngoài đường thẳng a.

BÀI 5: KHOẢNG CÁCH
H M
.
+ d(O,a)=0 ⇔O∈a
H
. O
M .
2. Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng
α
Kí hiệu: d (O,(α))
+ d(O,(α)) = 0 ⇔ O ∈ (α)

Đn: Ta gọi khoảng cách giữa O
và H là khoảng cách từ điểm O
đến mặt phẳng (α)
+ ∀ M ∈ (α) ta có OM ≥ OH
I.Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng, đến
một mặt phẳng
1. Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng
Gọi H là hình chiếu của O lên mặt
phẳng (α)
Cho điểm O nằm ngoài mặt phẳng (α)

Nhận xét
a
B
B’
A
A’
II. Khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song
song, giữa hai mặt phẳng song
song
1. Khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song
α
Định nghĩa: Cho a // (α), ta gọi
khoảng cách giữa đường thẳng
a và (α) là khoảng cách từ một
điểm bất kì thuộc a đến mặt

phẳng (α)
.
Kí hiệu: d(a,(α))
Vậy d(a,(α)) = d(A,(α)), ∀A ∈ a
a’
.
I.Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng, đến
một mặt phẳng
M
a
B
H
B’
A
N
A’
+ Nếu a cắt d thì d(a, (α)) = 0
II. Khoảng cách giữa đường

thẳng và mặt phẳng song
song, giữa hai mặt phẳng song
song
1. Khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song
I.Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng, đến
một mặt phẳng
a’
α

Nhận xét
+ ∀ M∈a, ∀N∈(α) ta có
MN ≥ d(a,(α))
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai
mp (α) // (β) là khoảng cách từ một
điểm bất kì thuộc mp này đến mp kia
Kí hiệu: d((α),(β))
Nhận xét:
M’
N
M
β
α
N’
Vậy d((α),(β)) = d(M, (β)) = d(N, (α))
Trong đó M ∈ (α), N ∈ (β)
.
.
II. Khoảng cách giữa đường thẳng
và mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song
1. Khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song
I.Khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng, đến một mặt phẳng
∀ A∈(α), ∀ B ∈(β) ta có AB ≥ d ((α),(β))
A
B

E H
F
C
D
G
O’
Ví dụ1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH
có cạnh bằng a. Hãy tính khoảng cách:
a) d(A,BD) b) d(A,GH)
c) d(E,(BDHF)) d) d(AC,(EFGH))
e) d((ABFE),(DCGH))
Hướng dẫn
a) d(A,BD) = AO =
2
2
a
b) d(A,GH) = AH =
2a
c) d(E,(BDHF)) = EO’ =
2
2
a
d) d(AC,(EFGH)) = AE = a
O
e) d((ABFE),(DCGH)) = AD = a
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh là a.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC
Tính d(M,BC)
Hướng dẫn
Ta có CM là trung tuyến, đường cao

của tam giác đều ACD, do đó ta có
Từ đó ta có MN ⊥ BC
Tương tự ta có suy ra tam giác BMC cân tại M.
A
D
C
N
B
M
3
2
a
MC =
3
2
a
BM =
Mà MN là trung tuyến do đó MN là đường cao của tam giác BMC
Do đó d(M,BC) = MN =
Tam giác MNC vuông tại N ta có
2
2
2
2 2 2
3 2
2 2 4
a a a
MN MC NC
 
 

= − = − =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2
2
a
Ví dụ 3: Cho tứ diện đều S.ABC cạnh a. Hãy
tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
A
S
B
C
H
M
.
.
Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC)
Hướng dẫn
Do tứ diện đều nên H là trực tâm, trọng tâm
tam giác đều ABC
Ta có AM =
Tam giác SAH vuông tại H nên ta có
Suy ra AH = AM = =
2 3
3 2
a
×

2
3
3
a
3
2
a
2
2
2 2 2 2
2
3
3
a a
SH SA AH a
 
= − = − =
 ÷
 
Từ đó d(S,(ABC)) = SH =
2 6
3
3
a a
=
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a. Hãy tính độ dài
đường cao của hình chóp?
A
S

B
C
H
M
.
.
Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC)
Hướng dẫn
Do hình chóp đều nên H là trực tâm, trọng
tâm tam giác đều ABC
Tam giác AMB vuông tại M nên ta có
Tam giác SAH vuông tại H nên ta có
Suy ra AH = AM = =
2 3 3
3 2
a
×
2
3
3a
( )
2
2
2
2 2 2
3 27
3
2 4
a a
AM AB MB a

 
= − = − =
 ÷
 
Từ đó h= d( S,(ABC)) = SH = a
( )
( )
2
2
2 2 2 2
2 3SH SA AH a a a= − = − =
BÀI TẬP CỦNG CỐ
D
A
B
C
H
S
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a. SA vuông góc với đáy. SA = a. AH là
đường cao tam giác SAB. Giả sử ta đã chứng
minh được AH ⊥ (SBC).
Hãy trả lời các câu hỏi trắc nghiệm sau:
a) d(A,SB) là:
A . a B. C. D. 0

2a
2
2
a

A . a B. C. D. 0

2
2
a
2a
A . a B. C. D.
2
2
a
2a
3a
b) d(A,(SBC)) là:
c) d(CD,(SAB)) là:
TÓM TẮT BÀI HỌC
Học sinh cần nắm được định nghĩa, cách tính khoảng cách,
phân biệt được các loại khoảng cách:
+ Từ một điểm đến một đường thẳng
+ Từ một điểm đến mặt phẳng
+ Từ một đường thẳng song song đến mặt phẳng
+ Giữa hai mặt phẳng song song.
Hãy nhớ
học bài