Phương trình mũ - GT 12

GV: NGUYỄN VĂN QUÝ

KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu 1: Hãy nêu các tính chất của luỹ thừa với số mũ thực ?
Câu 2: Tìm giá trị của x thoả mãn: a)

b)
3 27
x
=
Hướng dẫn
b)
g) Nếu a >1 thì
Nếu a<1 thì
,
α β
Câu 1: Các tính chất của luỹ thừa với số mũ thực là:
Cho a,b là các số thực dương và là các số thực tuỳ ý. Khi đó ta
có:
a)
c)
d)
.a a a
α β α β
+
=
( ) ( )
( )
a a a
β α

αβ
α β
= =
a
a
a
α
α β
β
−
=
( )
. .a b a b
α
α α
=
a a
b b
α
α
α
 
=
 ÷
 
0 1
1; aa a= =
a a
α β
α β

> ⇔ >
e)
f)
a a
α β
α β
> ⇔ <
1
8
2
x
 
=
 ÷
 
3
3 27 3 3 3
x x
x= ⇔ = ⇔ =
Câu 2: a)
b)
3
1
2 2 2 3
8
x x
x
−
= ⇔ = ⇔ = −
Hãy tìm cách giải tổng

quát của phương trình
a
x
= b ?

BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Phương trình mũ cơ bản
I. Phương trình mũ
Ví dụ 1: Tìm các phương trình mũ trong các phương trình sau:
Trả lời
Trả lời
2
) 2 3 d) e 1
) 3 2 e) 1
) 4 3 1 f) x 3
x x
x x
x x
a
b
c
π
= =
= − =
+ = =





log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
⇒
⇒
Là pt mũ cơ bản
Không là pt mũ cơ
bản
log
x
a
a b x b= ⇔ =
Định nghĩa:Là pt có dạng
( )
(1) 0; 1
x
a b a a= > ≠
Hãy nhắc lại
định nghĩa lôgarit ?
Thay trong biểu
thức trên bởi x
ta được gì ?
α
Định nghĩa phương trình mũ: là phương trình có chứa ẩn ở mũ
Ví dụ:
) 2 3 5
x x

c + =
) 9 2.3 3 0
x x
a + − =
3
) x 5d =
) 2 5
x
b =
2
) (2 ) 4e x+ =




⇒
Là pt mũ
⇒




không
là pt mũ

Từ minh hoạ bằng đồ thị trên ta có phương pháp sau giải phương trình (1):
log
x
a
a b x b= ⇔ =

0b ≤
log
a
x b=
0b >
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Tức là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
+ Nếu thì
+ Nếu thì phương trình vô nghiệm
( )
1 1
2 2 15 *
x x+ −
+ =
Hướng dẫn:
( )
1
* 2.2 .2 15
2
x x
⇔ + =
2) Cách giải một số phương trình mũ đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
( ) ( )
( ) ( )
A x B x
a a A x B x= ⇔ =
2
x=log 6⇔
5

.2 15
2
x
⇔ =
2 6
x
⇔ =
Tập xác định: R
Vậy phương trình có nghiệm
2
x=log 6
Tổng quát
( )
( ) log
f x
a
a b f x b= ⇔ =
( )
( )
f x
a a f x
α
α
= ⇔ =
Đặc biệt:

x
a a x
α
α

= ⇔ =

Phương pháp:
5 7 1x x⇔ − = − −
1x⇔ =
Hướng dẫn
Đưa về cùng cơ số 3/2 ta có:
Vậy pt có nghiệm duy nhất x =
1
Tập xác định:
R
5 7 1
3 3
2 2
x x− − −
   
=
 ÷  ÷
   
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Đưa về cùng cơ số
( ) ( )
A x B x=
Bước 3: Đưa về 2 số mũ bằng nhau:
sau đó giải tiếp pt
này và tìm x

Bước 4: Kết luận nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình
1 1

2 2 2 28
x x x+ −
+ + =
Hướng dẫn:
TXĐ: R
Đưa về cùng cơ số 2 ta có:
1
2.2 2 .2 28
2
x x x
+ + =
7
.2 28
2
x
⇔ =
3
2 2
x
⇔ =
3x⇔ =
Vậy pt có nghiệm x = 3
Ví dụ 3: Giải phương trình:
( )
1
5 7
2
1,5
3
x

x
+
−
 
=
 ÷
 
}
}

b) Đặt ẩn phụ:
Ví dụ 5: Giải phương trình sau:
9 4.3 45 0
x x
− − =
Hướng dẫn:
Tập xác định: R
Đặt
3
x
t =
Điều kiện:
0t >
2
4. 45 0t t− − =
9t⇔ =
9
5
t
t

=

⇔

= −

2x⇔ =
Ta có phương trình
(Thoả mãn)
(Loại)
3 9
x
⇒ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
Phương pháp:
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều
kiện của ẩn phụ nếu có. Từ đó
ta có phương trình đại số ẩn t
Bước 3: Giải phương trình với
ẩn phụ tìm giá trị t thoả mãn
điều kiện
Bước 4: Từ đó tìm x theo t
Bước 5: Kết luận nghiệm
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
}

}

Ví dụ 6: Giải phương trình
2
1
.2 2 4
2
x x
+ =
Hướng dẫn
Tập xác định: R
Đặt
2
x
t =
2
1
. 4
2
t t+ =
0t >
2
2 8 0t t⇔ + − =
ĐK:
Ta có phương trình
2
4
t
t
=


⇔

= −

2t⇔ =
2 2
x
⇒ =
(Thoả mãn)
(Loại)
1x⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
Bài toán sẽ giải như
thế nào nếu các biểu
thức mũ không thể đưa
về cùng cơ số ?

c) Lôgarit hoá:
Ví dụ 7: Giải pt:
2
3 .2 1
x x
=
Hướng dẫn:
Lấy lôgarit hai vế theo cơ số 3 hai vế ta có
( )
2
3 3
log 3 .2 log 1

x x
=
2
3 3
log 3 log 2 0
x x
⇔ + =
2
3
log 2 0x x⇔ + =
Tập xác định: R
3
(1 log 2) 0x x⇔ + =
3
0
1 log 2 0
x
x
=

⇔

+ =

3
0
1
log 2
x
x

=


⇔
−

=


2
0
log 3
x
x
=

⇔

= −

Vậy nghiệm của phương trình
là:
2
log 3x = −
0x =
và

Ví dụ 8: Giải phương trình
2
1 1

2 3
x x− +
=
2
1 1
2 2
log 2 log 3
x x− +
=
( ) ( ) ( )
2
1 1 1 log 3x x x⇔ + − = +
2
2
1 ( 1)log 3x x⇔ − = +
Hướng dẫn
Txđ: R
Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta có
( ) ( )
2
1 1 log 3 0x x⇔ + − − =
2
1
1 log 3
x
x
= −

⇔


= +

Vậy nghiệm của phương trình là
2
1; 1 log 3x x= − = +

Phương pháp lôgarit hoá:
Để giải phương trình dạng hoặc dạng ta lấy lôgarit
hai vế với cơ số bất kì. Nhưng thông thường ta nên lấy lôgarit với cơ số a hoặc b.
( ) ( )
f x x
g
a b=
( ) ( )
f
.
x x
g
a b c=
Cụ thể như sau:
( )
( )
f x
0 1a b a= < ≠
( )
log
a
f x b⇔ =
a)
b)

( ) ( )
f x

g x
a b=
( ) ( )
f x
log log
g x
a a
a b⇔ =
( ) ( )
log
a
f x g x b⇔ =

Tóm tắt bài học:
Học sinh cần nắm chắc các kiến thức cơ bản sau:
2) Các cách giải phương trình mũ đơn giản
1) Định nghĩa phương trình mũ và trình mũ cơ bản
a) Đưa về cùng cơ số
( ) ( )
)
A x B x
a a+ =
( ) ( )A x B x⇔ =
( )
) a
f x
b+ =

( ) log
a
f x b⇔ =
b) Đặt ẩn phụ:Đặt t = a
x
với điều kiện dẫn tới 1
phương trình đại số.Giải ra tìm t từ đó suy ra x
0t >
c) Lôgarit hoá: Lâý lôgarit hai vế với cơ số nào đó đưa pt mũ
về phương trình đại số

HOẠT ĐỘNG CỦNG CỐ
Bài 1:Giải các phương trình sau:
Bài 2: Tìm phương pháp giải phù hợp cho các phương trình
sau:
2
4 2
) 2 .3 1
x x
a
− −
=
) 9 4.3 3 0
x x
b − + =
2
) 2 3
x x
c =
Hướng dẫn:

2 1 2 1 0
) 5 1 5 5 2 1 0 1/ 2
x x
a x x
− −
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
) 9 4.3 3 0
x x
b − + =
Đặt t = 3
x
với ta có
0t >
2
1
4 3 0
3
t
t t
t
=

− + = ⇔

=

(Thoả mãn)
3 1 0
3 3 1
x

x
x
x
= =
 
⇒ ⇔
 
= =
 
( )
2
2 2
) 2 3 2 log 3 2 log 3 0 0
x x
c x x x x= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
) 3 3.3 4 0
x x
b
−
+ − =
2
2 5 1
) 2 16
x x
c
− −
=
2 1
) 5 1
x

a
−
=
⇒
⇒
⇒
PP lôgarit hoá
PP Đặt ẩn phụ
PP Đưa về cùng cơ số