SKKN Hướng dẫn học sinh tiếp cận bài toán chứng minh họ các đường đi qua điểm cố định TOÁN THCS

Hớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán
" chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định"
Phần I: đặt vấn đề
1- lí do chọn đề tài
Hình học là môn học có tính tổng hợp cao, đòi hỏi học sinh không những phải
biết nắm chắc các kiến thức, mà cần phải biết suy luận và vận dụng kiến thức một
cách hợp lí.
Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào các trờng Trung học
phổ thông ở tỉnh ta, rất nhiều năm trong bài tập hình có yêu cầu "Chứng minh họ
các đờng đi qua điểm cố định" nh : Đề thi chọn học sinh giỏi toán 8 cấp tỉnh năm
học 2001-2002; Đề thi tuyển sinh vào THPT năm học 2000- 2001; Thi tuyển sinh
vào THPT Chuyên Thái Bình năm học 2003-2004; 2007-2008; Đề thi chọn học
sinh giỏi toán 7 cấp huyện năm học 2013-2014; ...
"Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định" trong hình học là một dạng
toán tơng đối khó, bởi dạng toán này rất phong phú, nhng không có kiến thức riêng
để giải, mà luyện tập kĩ năng này không đợc phân phối thành tiết riêng trong phân
phối chơng trình toán của bộ giáo dục đào tạo.
Thực trạng còn có một bộ phận không nhỏ học sinh học ngại học môn hình,
một lí do phổ biến là các em cha có phơng pháp t duy thích hợp, nên hiệu quả học
tập bộ môn nói chung và chuyên đề "Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố
định " nói riêng còn cha cao.
Vấn đề trên đặt ra cho giáo viên cần có giải pháp hợp lý cả về mặt thời gian và
phơng pháp truyền đạt nhằm nâng cao chất lợng giảng dạy nói riêng , chất lợng
giáo dục nói chung.
1i- mục đích nghiên cứu đề tài
ĐÃ có nhiều tác giả nghiên cứu về đề tài này, nhng phần lớn chỉ đa ra ví dụ và
lời giải bài toán, mà cha chỉ rõ định hớng chung để giải quyết đợc bài toán.
Để giúp các em dễ dàng tiếp cận với bài toán "chứng minh họ các đờng đi
qua điểm cố định" trong hình học, đồng thời phát huy các năng lực sáng tạo cho
học sinh, trong đề tài này tôi xin trao đổi với các đồng chí đồng nghiệp một giải
pháp hớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán trên mà tôi đà thử nghiệm, thấy có tính

khả thi và bớc đầu đà đạt những kết quả nhất định.
III- đối tợng nghiên cứu
Các bài toán " Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định " trong hình
học phẳng và cách tiếp cận để giải quyết đợc bài toán trong chơng trình Trung học
cơ sở
IV- phơng pháp nghiên cứu
- Phơng pháp phân tích, tổng hợp; đặc biệt hoá; tổng quát hoá
- Phơng pháp tích hợp
- Phơng pháp thực nghiệm
- Phơng pháp đánh giá
* Để tiếp tục hoàn thiện hơn nữa, tôi rất mong đợc sự giúp đỡ và các ý kiến đóng
góp chân thành của các đồng chí
Xin trân trọng cảm ơn các đồng chí!
Giải pháp :

Phần 2: Nội dung

A- Cơ sở đề tài
1. Cơ sở lí luận:
- Trong chơng trình giáo dục hiện nay đòi hỏi học học sinh cần phải biết tự học tự
nghiên cứu rất cao, tức là cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo
dục. Nh vậy mới phát huy đợc năng lực sáng tạo, t duy khoa học tự xử lí đợc các
tình huèng trong thùc tÕ. Trong thùc tÕ vµ khoa häc, việc dự đoán một sự việc - hiện
-1-


tợng nào đó đóng vai trò quan trọng hàng đầu, việc dự đoán chính xác là kim chỉ
nam cho những ngời nghiên cứu
Để giúp học sinh đạt đợc mục tiêu đó thì các môn học nói chung và môn toán nói
riêng cần phải khích lệ đợc học sinh tìm tòi, nghiên cứu sâu hơn, tự giải quyết đợc

vấn đề tơng tự, từ đó thúc đẩy các em phát hiện ra các tri thức và kĩ năng mói cho
bản thân, yêu thích môn học và say mê nghiên cứu khoa học
-"Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định " cũng tơng tự, các em cần biết
dự đoán đúng điểm cố định, từ đó mới có hớng giải quyết bài toán.
II. C s thực tiễn
- Trong bài toán hình, các yếu tố thờng liên quan chặt chẽ với nhau. Khi một yếu tố
trong bài toán di động thì kéo theo đờng d nào đó trên hình vẽ cũng di động. Đờng
d di động nhng luôn đi qua điểm S cố định thì ở mọi vị trí d cũng đi qua S, từ đó ta
nghĩ tới xác định S là giao điểm 2 vị trí của d và chứng minh S cố định
- Điểm S cố định thờng là giao điểm của 2 đờng cố định, từ đó cần xác nh xem
im S di ng trên những đờng cố định nào?
Đến đây ta thấy bài toán "Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định " có nét
tơng đồng với bài toán toán "tìm tập hợp điểm".
* Trên cơ sở đó, tôi đà xây dựng cho học sinh hớng tiếp cận bài toán "Chứng minh
họ các đờng đi qua điểm cố định " nh sau:
B/ Nội dung Đề TàI
I- giải pháp Hớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán
"Chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định"
Để giúp học sinh tiếp cận dễ dàng hơn với bài toán "Chứng minh họ các đờng đi
qua điểm cố định" trong học hình, tôi hớng dẫn học sinh suy nghĩ và làm theo quy
trình sau:
I-1. Nghĩ:
* Điểm cố định thờng nằm trên những đờng cố định, nh vậy nó phải quan hệ tới các
yếu tố cố định và yếu tố không đổi trong bài, nên ta cần
1/ Xác đinh yếu tố cố định: Học sinh tự suy nghĩ và trả lời: Trên hình vẽ có:
- Những điểm nào cố định?
- Những đờng nào cố định?
- Những hình nào khác cố định? (góc cố dịnh; cung tròn cố định; ...)
2/ Xác đinh yếu tố không đổi: Học sinh tự suy nghĩ và trả lời: Trên hình vẽ có
- Đoạn thẳng nào có số đo không đổi.

- Góc nào có số đo không đổi.
- Cung tròn nào có số đo không đổi.
- Chu vi, diện tích hình nào không đổi.
- Những đại lợng nào khác không đổi?
3/ Xác định điểm cần chứng minh cố định:
Cho yếu tố di động chạy đến vị trí thứ hai (thờng là vị trí đặc biệt), khi đó đờng
d chạy đến vị trí đặc biệt d1 và d1 sẽ cắt d ở vị trí lúc đầu ở điểm S, ta cần chứng
minh S là điểm cố định
-2-


4/ Xác định quan hệ của S với các yếu tố cố định
- Điểm cố định thờng là giao của 2 đờng cố định, nên ta cần xác định xem S có
quan hệ nh thế nào với các yếu tố cố định và yếu tố không đổi (gồm các quan hệ
song song, vuông góc, bằng nhau, đồng dạng, tạo thành hình đặc biệt, cách đều 1
điểm hay 1 đờng cố ®Þnh; ...), tõ ®ã chØ ra S thuéc ®êng d2 cố định.
- S là giao điểm của 2 đờng cố định d1 và d2 suy ra S cố định.
I-2. Làm
1/ Cấp độ 1: Chứng minh họ đờng d luôn đi qua điểm S cố định đà có sẵn trên
hình vẽ:
Cách lµm:
Bíc 1: ChØ ra S thc d
Bíc 2: LËp ln yếu tố cố định, yếu tố không đổi để suy rs S là điểm cố định
Bớc 3: Kết luận
* Chú ý: Nếu S cha thuộc d, để làm bớc 1 ta có thể làm theo một trong các phơng
án sau:
a/ Phơng án 1: Chứng minh trực tiếp điểm S thuộc đờng d
* Nếu d là đờng thẳng, ta có thể chøng minh b»ng 1 trong c¸c c¸ch sau:
- C¸ch 1: Chỉ ra S cùng với 2 điểm khác trên d là 3 điểm thẳng hàng
- Cách 2: Chỉ ra S cũng có tính chất của những điểm nằm trên d (thờng dùng khi d

là đờng đặc biệt nh: đờng trung trực của đoạn thẳng; tia phân giác của góc; ...)
* Nếu d là đờng tròn (O; R) ta có thể chøng minh b»ng 1 trong c¸c c¸ch sau:
- C¸ch 1: ChØ ra OS = R
- C¸ch 2: ChØ ra S cùng với 3 điểm phân biệt khác trên d tạo thành một tứ giác nội
tiếp
- Cách 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc
b/ Phơng án 2: Chỉ ra S đà nằm trên đờng d1 cố định, gọi giao điểm cđa d vµ d 1 lµ
S1 råi ta chøng minh cho S trùng với S1
c/ Phơng án 3: Chỉ ra S là giao điểm của hai đờng cố định d1 vµ d2, råi ta chøng
minh cho d; d1; d2 lµ ba ®êng ®ång quy
2/ CÊp ®é 2: :"Chøng minh hä đờng d luôn đi qua điểm S cố định " mà S cha
có trên hình vẽ
- Bớc 1: Vẽ đờng d1 (ở bớc nghĩ thứ 3 trên), đờng d1 cắt ®êng d t¹i S
- Bíc 2: ChØ ra quan hƯ của S với các yếu tố cố định và yếu tố không đổi ở
bớc nghĩ thứ 4 trên, từ đó suy ra S thc ®êng d2
- Bíc 3: LËp ln yếu tố cố định, yếu tố không đổi suy ra d 1; d2 cố định, từ
đó suy ra S cố định
- Bớc 4: Kết luận
* Ngoài ra ta có thể lấy S là điểm cố định trớc rồi chứng minh cho S thuộc đờng
thẳng d cần chứng minh đi qua ®iĨm cè ®Þnh
II- vÝ dơ minh häa
-3-


Bài 1: Cho ABC cân tại A; trên cạnh BC lÊy D (D ≠ b; D ≠ C), trªn tia ®èi cña tia
CB lÊy E sao cho CE = BD. Đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M, Đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ E cắt AC tại N. Chứng minh:
a/ DM = EN
b/ MN > BC
c/ Khi D thay đổi trên cạnh BC thì đờng trung trực của MN luôn đi qua một
điểm cố định

(Trích đề thi học sinh giỏi toán lớp 7 năm học 2013- 2014)
Giải: + Câu a và câu b tôi xin phép không trình bày ở đây
A
a/ Học sinh dễ dàng chứng minh đợc
MBD = NCE (g-c-g) DM = EN
b/ Lấy giao điểm của đoạn thẳng MN và cạnh BC
M
dựa vào quan hệ đờng vuông góc- đờng xiênhình chiếu vàđiểm nằm giữa 2 điểm ta
chứng minh đợc MN > BC.
c/ Hớng dẫn phân tích
E
C
1- Xác định yếu tố cố định:
D
B
I
+ Điểm cố định: A; B; C
+ Đờng cố định: đờng thẳng AB; BC; AC và
N
các đờng chủ yÕu trong ∆ABC (®êng cao;®êng trung trùc; ®êng trung tuyÕ; đờng
phân giác của ABC)
S
2- Xác định yếu tố không đổi
+ Độ dài các cạnh và độ lớn các góc của ABC
+ Các góc 900
3- Xác định điểm cố định mà đờng trung trực của đoạn thẳng MN đi qua
Vì D di động trên cạnh BC (D b; D C), ta có thể cho D đến vị trí đặc biệt là
trung điểm cạnh BC
* Nếu cho D trùng với trung điểm của cạnh BC thì M A MB = AB
Do BM = CN (v× ∆MBD = ∆NCE) )và ABC cân AB = AC nên ta suy ra đợc

AC = CN C là trung điểm của đoạn thẳng AN đờng trung trực d của đoạn
thẳng MN khi đó trùng với đờng thẳng Cx vuông góc với AC tại C
- Nếu đổi chỗ của B và C (Vì B; C có vai trò nh nhau) thì ta cũng thấy đờng thẳng
By vuông góc với AB tại B cũng là một vị trí của d
- Nếu gọi S là giao điểm của Cx và By thì ta dễ dàng chứng minh đợc
ABS = ACS SB = SC và từ đó chứng minh đợc MBS = NCS (c-g-c)
→ SM = SN→ S thuéc ®êng trung trùc d của đoạn thẳng MN
+ Vói sự phân tích trên ta có hớng giải quyết sau:
Cách 1: Kẻ Cx AC tại C; Kẻ By AB tại B;
A
gọi giao điểm cđa Cx vµ By lµ S → ∠ABS = ∠ACS = 90 0 (1)
Xét ABS và ACS có:
M
(theo cách vẽ)
ABS = ACS = 90 0

(Vì ABC cân tại A (gt))
C
AB = AC
E

C¹nh hun AS chung
D
B
I


→ ∆ABS = ∆ACS (c¹nh huyền-cạnh góc vuông)
SB = SC (2) (2 cạnh tơng ứng)
SB = SC (theo(2))

(theo cách vẽ)
0
Xét MBS và NCS có: ∠MBS = ∠SCN = 90
MB = NC ∆MBD = ∆NCE)
(v×


→ ∆MBS = ∆NCS (c-g-c) → SM = SN (3)(2 c¹nh tơng ứng)
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN → IM = IN (4)
-4-

S

N


SM = SN (theo(3))

XÐt ∆MIS vµ ∆NIS cã:  IM = IN (theo(4))
C¹nh SI chung



→ ∆MIS = ∆NIS (c-c-c) → MIS = NIS (5) (2 góc tơng ứng)
Mà MIS + ∠NIS = 180 0 (6) (Tỉng 2 gãc kỊ bï)
Tõ (5); (6) → ∠MIS = ∠NIS = 90 0 → SI MN tại trung điểm I của đoạn thẳng
MN SI là đờng trung trực của đoạn thẳng MN
Vì A; B; C cố định đờng thẳng AC và đờng thẳng BC cố định
By và Cx cố định (Vì Cx AC tại C; By AB tại B)

S cố định (Vì S là giao điểm của Cx và By).
Vậy khi D thay đổi trên cạnh BC thì đờng trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi
qua điểm S cố định

* Nếu đặc biệt hoá cho D B thì

M B

đờng trung trực d của đoạn
E N C

thẳng MN trùng với đờng trung trực d1 của đoạn thẳng BC, từ đó ta nghĩ tới vẽ thêm
đờng trung trực d1 của đoạn thẳng BC; d1 cắt đờng trung trực d của đoạn
SM = SN
thẳng MN tại S, dễ thấy đợc SB = SC

ABS = ∆ACS → ∠ABS = ∠ACS (*)


Tõ ®ã → ∆MBS = ∆NCS (c-c-c) → ∠MBS = ∠NCS
→ ∠ACS = ∠NCS = 90 0 (theo (*) vµ cã ∠ACS + ∠NCS = 180 0 )
CS AC, vì AC cố định S cố định. Ta có cách chứng minh thứ hai
Cách 2: Tôi xin phép đợc trình bày tóm tắt nh sau:
- Vẽ d1 là đờng trung trực của đoạn thẳng BC, d1 cắt đờng trung trực d của đoạn
thẳng MN tại S . Gọi I; K thứ tự là trung điểm các
đoạn thẳng MN và CB
- Chứng minh MIS = ∆NIS (c-g-c) → MS = NS
- Chøng minh ∆BKS = ∆CKS (c-g-c) → BS = CS
A
- Chøng minh ∆MBS = ∆NCS (c-c-c) → ∠MBS = ∠NCS (1)

- Chøng minh:∆ABS = ∆ACS (c-c-c)
→ ∠ABS = ∠ACS → ∠NCS = ∠ACS (theo (1))
M
Mµ ∠NCS + ∠ACS = 180 0 (Tỉng 2 gãc kÒ bï)
→ ∠NCS = ∠ACS = 90 0 → CS AC
- Vì A; B; C cố định đờng trung trực d1
C
E
của đoạn thẳng BC cố định và đờng thẳng
B
D
K I
CS vuông góc với AC tại C cố định
d1 d
S cố định (Vì S là giao điểm của d1 và CS).
Vậy khi D thay đổi trên cạnh BC thì đờng trung trực
N
của đoạn thẳng MN luôn đi qua điểm S cố định
S
Bài 2: Cho góc nhọn xOy. Hai điểm A; B lần lợt di chuyển trên tia Ox và tia Oy
1
1
1
x
sao cho
+
= . Chứng minh đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định
OA OB 3
A C
(TrÝch ®Ị thi HSG líp 8 cÊp tØnh 2001-2002)

E
* Híng dẫn phân tích
S
1- Xác định yếu tố cố định:
O
- Góc xOy cố định, tia phân giác của góc xOy
2- Yếu tố không đổi:
F
-5D
B
y


- Số đo góc xOy
- Đẳng thức giả thiết cho:

1
1
1
+
=
OA OB 3

3- Xác định điểm cần chứng minh cố định
Vì A; B có vai trò nh nhau, nên không mất tÝnh tỉng qu¸t ta
1
1
≥
> 0 (1)
OA OB

1
1
2

0 < OA < 3 ≤ OA
3 < OA ≤ 6(dvdd )
1
1
1

→
Tõ gi¶ thiÕt
+
= vµ (1) → 
OA OB 3
OB ≥ 6(dvdd )
0 < 2 ≤ 1

OB 3


gi¶ sư 0 < OA ≤ OB

(đvđd - đơn vị độ dài)
Trên tia Ox tứ tự lÊy E; C sao cho OE = 3 ®v®d; OC = 6 đvđd, theo nhận xét trên
thì A chỉ di ®éng tõ E ®Õn C trªn tia Ox
- NÕu cho A ≡ C → AB ≡ CD víi D thuéc tia Oy sao cho OD = 6 đvđd
CD cắt AB tại S, ta cần chứng minh S là điểm cố định
- Nếu cho A tiến đến E thì B tiến tới điểm xa vô cùng trên tia Oy, khi đó AB tiến tới
đờng thẳng qua E và song song với Oy, mà AB đi qua điểm cố định S

ES // Oy, mà E là trung điểm của đoạn thẳng OC S là trung điểm của đoạn
thẳng CD OS là đờng phân giác của DCO (vì DCO cân tại O)
(Chọn OS là đờng phân giác của DCO vì tia phân giác của xOy là tia cố định)
Từ sự phân tích trên ta nên lấy S là giao điểm tia phân giác của xOy cố định và đờng thẳng ES cố định S cố định. Ta có cách chøng minh sau
Chøng minh:
Gäi giao ®iĨm cđa AB vãi tia phân giác Ot của xOy là S
Từ S kẻ SE // Oy (E € tia Ox); kỴ SF // Ox (F € tia Oy)
OE // SF
OF // SE

Theo c¸ch vÏ ta có

Tứ giác OESF là hình bình hành
Mà có tia OS là tia phân giác của xOy
hình bình hành OESF là hình thoi
SE = SF = OE (1)
 E ∈ OA; S ∈ AB; F ∈ OB

XÐt AOB cã SE // OB
SF // OA


x
E

A
S

O

t

F

(theo c¸ch vÏ hình và A tia Ox; B tia Oy)

B
y

SE AS
OB = AB


(theo hệ quả của định lí Ta Lét)
SF = SB
 OA AB

SE SF AS BS AS + BS AB

+
=
+
=
=
= 1 (vì S nằm giữa A và B AS + BS = AB)
OB OA AB AB
AB
AB
1
1

1
1
1
1
→ OE (
+
) = 1 (theo(1)) → OE. = 1 (V× theo gt có
+
= )OE = 3 (đvđd)
OB OA
3
OA OB 3

Vì E tia Ox cố định và OE = 3 đvđd E cố định
Vì xOy cố định; E cố định và ES // Oy tia phân giác Ot của xOy cố định và đờng thẳng ES cố định S cố định (Vì S là giao điểm của Ot và ES)
-6-


Vậy đờng thẳng AB luôn đi qua điểm S cố định
Bài 3: Cho C là điểm chính giữa nửa đờng tròn tâm O đờng kính BA. Điểm M
thuộc cung AC, trên dây BM lấy N sao cho BN = AM. Kẻ đờng thẳng d vuông góc
với BM tại N, chứng minh rằng d luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên
cung AC
(Trích ý d bài thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Thái Bình năm học 2002 - 2003)
tích
S * Phântố cố bài toán:
1- Yếu
định:

C

M

N

A

B

O

+ Điểm cố định: A; B; C; O
+ Đờng cố định: AB; CB; AC; CO;
(O); tiếp tuyến của đờng tròn tại A;
B; C và các đờng chủ yếu của ABC
2- Yếu tố không đổi:
- Các góc 900; góc 450 (góc nội tiếp
chắn cung AC; cung BC)
- Số đo các đoạn thẳng AB; AC; CO;
AO; BO; CB
3- Xác định cố định mà d đi qua
M di động trên cung AC, ta có thể
cho M ®Õn A hc ®Õn C

* NÕu M ≡ A→ BM BA và N B
+ Vì d BM tại N d tia Bx- là tia tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O) tại B
+ Vẽ tia Bx là tia tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O) tại tiếp điểm B, tia Bx cắt d tại S
AMB = ∠ABS = 90 0
∠MAB = ∠SBN

, ta dƠ dµng thÊy 

Tõ ®ã → ∆ABM = ∆BSN (g-c-g) → SB = AB
Do A; B; (O) cố định tia Bx cố định và đoạn thẳng AB có độ dài không đổi
S cố định. Từ phân tích trên ta có cách chứng minh sau
Chứng minh:
S

C
M

A

N

B

O

Có M thuộc nửa đờng tròn (O)- ®êng kÝnh AB (gt)
→ ∠AMB = 90 0 (1) (theo hƯ qu¶ gãc néi tiÕp)
-7-


Vẽ tia tiếp tuyến Bx tại tiếp điểm B của nửa đờng tròn (O)- đờng kính AB, Bx cắt d
tại S → ∠MAB = ∠NBS (2) (theo hƯ qu¶ gãc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây xét trên (O))
AMB = ∠BNS = 90 0 (theo(1); BN ⊥ SN ( gt ))

XÐt ∆AMB vµ ∆BNS cã:  AM = BN ( gt )
∠MAB = ∠NBS (theo(2))


→ ∆AMB = ∆BNS (g-c-g) AB = BS
Vì A; B; (O) cố định tia tiếp tuyến Bx cố định và độ dài đoạn thẳng AB không
đổi, mà S thuộc tia Bx cố định và BS = AB không đổi S là điểm cố định
Vậy khi M di động trên cung AC thì đờng thẳng d luôn đi qua điểm S cố định
* NÕu cho M ≡ C → BM ≡ BC vµ N ≡ C → d ≡ AC
Gäi giao ®iĨm cđa d víi AC lµ S:
- ta dƠ dµng thÊy tø gi¸c BNCS néi tiÕp → ∠NSC = ∠NBC (1)
- ∆AMC = ∆BNC(c-g-c) → MC = NC vµ ∠MCA = ∠NCB → ∠MCB = ∠NCS (2)
→ ∆CMB = ∆CNS (g-c-g) → CS = BC
Do A; B; (O) cố định AC cố định và đoạn BC có độ dài không đổi S cố định
Từ đó ta có cách chứng minh thứ hai. Tôi xin phép không trình bày cách 2 ở đây
III- Các bài tập đề nghị
Bài 1: Từ A ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AB; AC với (O) (B; C là 2 tiếp điểm,
B C). Điểm M thuéc cung nhá BC (M ≠ C; M ≠ B). Gọi H; I; K thứ tự là hình
chiếu của M trên CB; BA; AC. Biết MB cắt IH tại E; MC cắt IK tại F
1/ C/minh: a/ MI2 = MH. MK
b/ EF MI
2/ Đờng tròn ngoại tiếp MFK cắt đờng tròn ngoại tiếp MEH tại điểm thứ hai là
N, chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung BC nhỏ thì đờng thẳng MN luôn đi
qua một điểm cố định
(Trích đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Thái Bình 2007-2008)
Bài 2: Hình vuông ABCD, điểm P nằm trong ABC
a/ Giả sö cho gãc BPC = 1350, chøng minh: 2PB2 + PC2 = PA2
b/ AP; CP thø tù c¾t BC; AB tại M; N. Gọi Q đối xứng với B qua trung ®iĨm cđa
MN. Chøng minh khi P thay ®ỉi trong ABC thì PQ luôn đi qua một điểm cố định.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên - Đại häc Quèc gia Hµ néi 2006)
Bµi 3: Tõ C n»m ngoài (O; R) vẽ cát tuyến CAB tới (O). Vẽ đờng kính MN vuông
góc với dây AB tại trung điểm D cđa d©y AB (M thc cung AB lín). MC cắt (O)
tại điểm thứ hai là I, AB cắt NI tại K.

a/ Chứng minh tứ giác MDIK nội tiếp
b/ Chứng minh CI. CM = CK. CD ; AI. BC = AC.BI
c/ Cho A; B; C cố định, đờng trong (O) thay đổi nhng vẫn qua A; B. Chứng minh NI
luôn đi qua một điểm cố định
(Trích đề thi cuối năm toán 9 của SGD Thái Bình 2003-2004)
Bài 4: Cho A; C; B thẳng hàng theo thứ tự đó, trên tia Cx vu«ng gãc víi AB lÊy D;
E sao cho

CE CA
=
= 3 . Đờng tròn ngoại tiếp ADC và đờng tròn ngoại tiếp
CB CD

BCE cắt nhau tại điểm thứ hai là H khác C.
a/ C/m: A; D; H và B; H; E thẳng hàng
b/ C thay đổi trên cạnh AB thì HC luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5: Cho ABC; trên cạnh AB lấy M, trên cạnh AC lấy N sao cho BM = CN.
Chứng minh: MN luôn đi qua một điểm cố định khi M; N di động
Bài 6: Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, cạnh BC cố định. Các
đường cao
của tam giác ABC là AD, BE, CF. Đường thẳng EF cắt BC tại P.
Đường thẳng đi
-8-


qua D song song EF cắt AC tại R và cắt AB ở Q. Chứng minh đường
tròn ngoại
tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định khi điểm A di động
Bài 7: Cho gúc vuụng xOy. Cỏc im A và B theo thứ tự di chuyển
trên các tia

Ox và Oy sao cho OA + OB = k (k khơng đổi). Vẽ các đường trịn
(A; OB), và (B;
OA). Gọi M, N là các giao điểm của (A) và (B). Chứng minh đường
thẳng MN
ln đi qua một điểm cố định
Bµi 8: Cho ABC. M trên BC, Đờng tròn qua M tiếp xúc với BA tại B và đờng
tròn qua M tiếp xúc với AC tại C cắt nhau tại P. Chứng minh PM đi qua một điểm
cố định khi M thay đổi trên BC
Bài 9: Cho ng trũn (O) v dây cung AB. Lấy điểm E trên dây
cung AB (E
khác A và B). Qua E vẽ dây cung CD của đường tròn (O). Trên hai
tia DA, DB lấy
hai điểm P, Q đối xứng qua E. Chứng minh rằng đường tròn (I) tiếp
xúc với PQ tại
E và đi qua C luôn đi qua một điểm cố định khi E di động trờn dõy
cung AB.

A- Kết quả thực hiện

Phần 3: kết luận

Trớc đây khi cha hớng dẫn học sinh theo quy trình trên việc dạy học chứng
minh "Họ các đờng luôn đi qua một điểm cố định" trong hình học tôi gặp rất nhiều
khó khăn, học sinh thờng tiếp thu một cách thụ động, gần nh bị áp đặt theo lời giải
có sẵn, nên đa số các em hay nản, dẫn đến kết quả học tập cha cao .
Sau khi tìm tòi học hỏi tôi đà xây dựng cho học sinh quy trình suy nghĩ nh
trên , qua quá trình thực nghiệm tôi đà thu đợc một số kết quả nh sau:
- Năm học 2011 2012 tôi đợc phân công bồi dỡng đội tuyển toán 9 của
trờng, có 4 học sinh giỏi cấp huyện, điểm bình quân xếp thứ Ba toàn huyện, có 2
em đạt học sinh giỏi toán cấp tỉnh.

- Năm học 2013 2014 tôi đợc phân công bồi dỡng đội tuyển toán 8 của
trờng, trong kì thi học sinh giỏi toán 8 cấp huyện vừa qua đà có 5 học sinh giỏi cấp
huyện, điểm bình quân xếp thứ Nhất toàn huyện, có 1 em đạt thủ khoa
- Lớp tôi phụ trách có trên 90% học sinh đà có kĩ năng phân tích tìm hớng
giải quyết bài toán, có khả năng tự học, tự kiểm tra và có thói quen xây dựng chơng
trình học toán với các chuyên dề khác, biết khai thác bài toán theo các cách khác
nhau, trong các giờ học giáo viên chỉ đóng vai trò là ngời tổ chức, cố vấn.
.- Cách tiếp cận trên có thể áp dụng đợc với học sinh toàn cấp học THCS
B- Bài học kinh nghiệm:
1- Dạy toán là dạy các hoạt động toán học, đó chính là các thao tác t duy,
các tri thức về phơng pháp học tập để học sinh có thể tự mình tìm tòi phát hiện vấn
đề, cao hơn nữa là phát triển vấn đề.
2- Ngời thầy cần xây dựng cho học sinh các thủ thuật t duy. Từ đó các em
có phơng pháp học tập bộ môn và áp dụng linh hoạt.

-9-


3- Cần tập dợt cho các em khả năng phân tích, suy luận bài toán. Các phân
tích suy luận hợp lí, các mối quan hệ giữa các yếu tố tạo nên bài toán là cơ sở tìm
ra lời giải bài toán.
4- Cần tập dợt cho học sinh khả năng sáng tạo và linh hoạt trong giải toán,
sáng tạo trong tiếp thu, sáng tạo trong vận dụng. Sau mỗi bài toán nên khuyến
khích học sinh suy nghĩ sâu hơn hay tìm thêm cách giải khác, ...
5- Đối với mỗi chuyên đề giáo viên cần có sự tổng hợp các kiến thức, phân
loại các dạng toán và xây dựng các kĩ năng giải toán, định hớng phơng pháp suy
nghĩ cho học sinh.
* Trên đây tôi đà trình bày giải pháp: Hớng dẫn học sinh tiếp cận bài toán
chứng minh họ các đờng đi qua điểm cố định trong hình học phẳng trong chơng trình THSC và các bài học rút ra trong quá trình dạy toán nói chung.
Do bản thân còn có những hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót,

Tôi rất mong đợc sự giúp đỡ và góp ý chân thành của đồng chí!
Một lần nữa xin trân trọng cảm ơn các đồng chí!
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa; sách bài tập và sách hớng dẫn giảng dạy toán lớp 7 - 8 - 9
(Nhà xuất bản Giáo dục - 2011)
2. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7- 8- 9
(Bùi Văn Tuyên- Nhà xuất bản Giáo dục - năm 2006)
3. Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 7- 8- 9
(Vũ Dơng Thuỵ- Nguyễn Ngọc Đạm- NXBGD- năm 2009)
4. Toán bỗi dỡng học sinh lớp 9
(Vũ Hữu Bình- NXBGD- năm 2004)
5. Nâng cao và phát triển Toán 7- 8- 9
(Vũ Hữu Bình- NXBGD- năm 2007)
6. Bỗi dỡng Toán lớp 7- 8- 9
(Đỗ Đức Thái- Đỗ thị Hồng Thuý- NXBGD- năm 2005)
7. Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Toán 7- 8- 9
(Đinh Vũ Nhân- Võ Thị ái Nơng- Hoàng Chúng- NXBGD)
8. Học tốt Toán 7- 8- 9
(Nguyễn Đức Tấn- Đặng Đức Trọng- Vũ Minh Nghĩa- Nguyễn Đức
Hoà- Nguyễn Minh Sơn - NXB đại học quốc gia TPHCM- 2005)
9. Ôn kiến thức luyện kĩ năng hình 7- 8- 9
(Tôn Thân- Vũ Hữu Bình- Vũ Quốc Lơng- Bùi Văn Tuyên NXBGD- 2008)
10. Bài tập cơ bản và nâng cao Toán THCS
(Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng Khanh- Lê Văn Trờng- NXB Đà
Nẵng- năm 2005)
11- Báo Toán học tuổi trẻ- Toán tuổi thơ 2
- 10 -


12- Các đề thi chọn HSG; đề thi tuyển sinh THPT; tuyển sinh THPT Chuyên

của tỉnh Thái Bình các năm
13. Các chuyên đề hình học bồi dỡng học sinh giỏi THCS
(Trần Văn Tấn - nhóm GV chuyên toán ĐHSPHN- NXBGD- 2008)
14. Tuyển chọn và phân loại những bài toán hình học hay
(Nguyễn Tiến Quang- NXBGD - năm 1997)
15. Những bài toán tổng hợp về đờng tròn
(Nguyễn Tiến Quang- NXBGD - năm 2005)

- 11 -