De thi HK I Toan 12 co dap an

Sở GD và ĐT Trà Vinh
Trường THPT Trà Cú
Đề Kiểm Tra HK I Năm 2010-2011
Môn : Toán
Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )
ĐỀ SỐ 1
Bài 1(3 điểm )
Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
- 4 (1 )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1 ).
2/ Dựa vào đồ thị (C ) hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
x
3
+ 3x
2
– 4 - m = 0 .
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 .
Bài 2 (0, 5 điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
[ ]
2
4 3 , x 1 ; 3y x x= − + − ∈

Bài 3 ( 1, 75 điểm )
1/ Giải các phương trình sau :
a/
x
x

25
25
1
1
=






+
b/
2
2 32
log 5log 2 0x x
− − =
2/ Giải bất phương trình :
2
3 3
log (2 4 ) log (9 3 )x x x
+ > −
Bài 4 ( 1 điểm )
1/ Tính vi phân của mỗi hàm số sau :
a/
3
2
(3 2)y x= −
b/ y = ln(3x + 1)
2/ Cho hàm số

2
3
x x
y e e x
= + −
. Tìm x để y ’ ≥ 0
Bài 5 ( 1 điểm )
Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
−
=
−
(2)
1/ Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho .
2/ Chứng minh rằng với mọi số thực k thì đường thẳng y =x –k cắt đồ thị hàm số (2 )
tại hai điểm phân biệt .
Bài 6 (2,75 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là một hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a ,
SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a .
1/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .
2/ Chứng minh rằng 5 điểm S , A , B , C , D cùng nằm trên một mặt cầu . Xác định
tâm và tính bán kính của mặt cầu này .
3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta được một hình nón .Hãy tính diện
tích xung quanh của hình nón này .
4/ Tính bán kính của mặt cầu có tâm là điểm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD) .

ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 12 CƠ BẢN
HỌC KỲ I

ĐỀ SỐ 1
Bài câu Hướng dẫn giải Điểm
1
3đ
1
2đ
Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
- 4 (1 )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1 ).
Giải :
1)TXĐ : R
2) Sự biến thiên :
a) Chiều biến thiên : y’ = 3x
2
+ 6x = 3x(x + 2)
y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x = - 2
b) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
(-∞ ; - 2 ), ( 0 ; + ∞) và nghịch biến trên khoảng ( -2 ; 0)
c) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = - 2 và y
CĐ
= 0 và đạt cực tiểu tại x
= 0 , y
CT

= -4
d ) Giới hạn :
+∞=
∞+→
y
x
lim
;
−∞=
∞−→
y
x
lim
Đồ thị hàm số không có tiệm cận
e) Bảng biến thiên
3) Đồ thị
x
y
-4
-2
O
1
Nhận xét đúng
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
2
0,5

2/ Dựa vào đồ thị (C ) hãy biện luận theo tham số m số
nghiệm của phương trình
x
3
+ 3x
2
– 4 - m = 0 .
Giải
x
3
+ 3x
2
– 4 - m = 0
<= > x
3
+ 3x
2
- 4 = m
Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của
đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 4
m số giao điểm số nghiệm
m > 0 1 1
m = 0 2 2
- 4 < m < 0 3 3
m = -4 2 2
m < - 4 1 1

0,25
0,25
3
0,5
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có
hoành độ bằng 1 .
Ta có : hoành độ tiếp điểm x = 1 ; tung độ tiếp điểm y = 0
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm ( 1; 0 ) là :
y’(1) = 9
Phương trình tiếp tuyến : y = 9(x – 1) + 0 = 9x - 9
0,25
0,25
2
0,5đ
Bài 2 (0, 5 điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
[ ]
2
4 3 , x 1 ; 3y x x= − + − ∈
Trên đoạn [1 ; 3 ] ta có
34
2
342
42
'
22
−+−
+−
=
−+−

+−
=
xx
x
xx
x
y

y’ = 0 <=> x = 2 thuộc đoạn [1 ; 3 ]
y(1) = 0 ; y(3) = 0
y(2) = 1
[ ]
1
;3 1
=yMax
;
[ ]
0
;3 1
=
yMin
0,25
0,25
3
1,75
đ
1
0,5đ
Giải các phương trình sau :

2
1
2225525
25
1
222x
1 x
−=⇔=−−⇔=⇔=








−−
+
xxx
xx

0,5
0,75
b/
2
2 32
log 5log 2 0x x
− − =
ĐK : x > 0
2

2 32
log 5log 2 0x x
− − =
02loglog02log5log
2
2
2
2
2
2
5
=−−⇔=−−⇔
xxxx
Đặt
xt
2
log
=
, phương trình đã cho trở thành phương
0,25
trình :
t
2
– t - 2 = 0 <=> t = - 1 hoặc t = 2
Với t = - 1 ta có
2
1
1log
2
=⇔−=

xx
Với t = 2 ta có
42log
2
=⇔=
xx
0,25
0,25
2
0,5
2/ Giải bất phương trình :
2
3 3
log (2 4 ) log (9 3 )x x x
+ > −
<=>
3) ; 1(
3
) ; 1();
2
9
- ; (
3
0972
039
3942
22
∈⇔






<
∞+∪−∞∈
⇔



<
>−+
⇔



>−
−>+
⇔
x
x
x
x
xx
x
xxx
0,25
0,25
4
1đ
1

Bài 4 ( 1 điểm )
1/ Tính vi phân của mỗi hàm số sau :
a/
3
2
(3 2)y x= −
.
TXĐ :
3
2
>x
dxxdxxxdy 23
2
9
))'23.()23(
2
3
(
1
2
3
−=−−=
−

0,25
b/ y = ln(3x + 1) TXĐ :
3
1
−>x

Ta có
dx
x
dy
13
3
+
=
0,25
2
2/ Cho hàm số
2
3
x x
y e e x
= + −
.
Tìm x để y ’ ≥ 0
Hàm số đã cho xác định với mọi số thực x
y’ = 2e
2x
+ e
x
- 3
y’ ≥ 0 <=> 2e
2x
+ e
x
- 3 ≥0 . Đặt t = e
x

, t > 0 ta có :
2t
2
+ t - 3 ≥ 0 <=> t ≤ -3/2 hoặc t ≥ 1
Kết hợp với điều kiện t > 0 ta có t ≥ 1
Do đó e
x
≥ 1 ,<=> x ≥ 0
0,25
0,25
5 1 Bài 5 ( 1 điểm )
Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
−
=
−
(2)
TXĐ : x ≠ 2
Đồ thị hàm số (2) có TCĐ là đường thẳng có phương trình
x = 2 và TCN là đường thẳng có phương trình y = 2 .
0,25
0,25
2
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng
y = x – k với đồ thị hàm số
2 1

2
x
y
x
−
=
−
là :



≠
=+++−
⇔



≠
−−=−
⇔−=
−
−
2
) * ( 012)4(
2
))(2(12
2
12
2
x

kxkx
x
kxxx
kx
x
x
Chứng minh được phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân
biệt khác 2 với mọi số thực k .
Kết luận : Đường thẳng y = x – k luôn cắt đồ thị hàm số đã
cho tại hai điểm phân biệt với mọi số thực k .
0,25
0,25
6
1
Bài 6 ( 3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là một hình chữ nhật ,
AB = a , AD = 2a ,
SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a .
a
2a
2a
I
O
D
A
B
C
S
H
1/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .

3
4
2.2
3
1

3
1
3
a
aaaSASV
ABCD
===
0,25
0,5
2 2/ Chứng minh rằng 5 điểm S , A , B , C , D cùng nằm trên
một mặt cầu .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu
này .
Gọi I là trung điểm của cạnh SC
Chứng minh được : IS = IA = IB = IC = ID
5 điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu tâm I , bán kính
2
SC
r =
=
aaaSAAC 345
2
1
2222

=+=+
0,5
0,25
3 3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta được một
hình nón .Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này .
Mặt nón tạo thành có độ dài đường sinh l = SB = a
5
và
bán kính đáy r’ = SA = 2a ; chiều cao h = AB = a
Suy ra : Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là :
Sxq

= πr’l = π.2a.a
5
= 2πa
2
.
5
(đvdt)
0,25
0,5
4 4/ Tính bán kính của mặt cầu có tâm là điểm A và tiếp xúc
với mặt phẳng (SCD) .
Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD) nên mặt cầu
này có bán kính bằng khoảng cách từ tâm A đến (SCD).
Trong mặt phẳng (SAD) , kẻ AH ⊥ SD tại H .
Khi đó
)(SCDSH
CDSH
SDSH

⊥⇒



⊥
⊥
H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (SCD).
AH = d(A , (SCD)) , AH =
2
2
a
SD
=
,
Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là R = a
2
0,25
0,25