Bài tập sức bền vật liệu- chương 6 Uốn phẳng thanh thẳng

Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 1 05/2013

Chương 06

UỐN PHẲNG THANH THẲNG



I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.1 Thanh chòu uốn thuần túy

 Tồn tại duy nhất một thành phần nội lực trên mặt cắt ngang, mô men uốn
x
M
.
 Qui ước dấu của mômen uốn: mômen uốn được gọi là dương khi làm căng phần
bên dưới.

 Trong thanh chòu uốn tồn tại một lớp vật liệu không chòu kéo và không chòu nén
được gọi là lớp trung hòa. Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang được gọi là
đường trung hòa.
 Đường trung hòa chia mặt cắt làm hai phần, phần chòu kéo, phần chòu nén. Những
điểm nằm trên đường trung hòa không chòu kéo và không chòu nén nên có ứng suất
pháp bằng không.
 Đònh luật Hooke:
.
z z
E
 


 Độ cong của đường đàn hồi:
1
x
x
M
EJ

 (

là bán kính cong của đường trung hòa)
M
M
M
M
Phía vật liệu bò co lại
Phía vật liệu bò giãn ra
Lớp trung hòa
Phía vật liệu bò giãn ra
Phía vật liệu bò co lại
Lớp trung hòa
Đường trung hòa
Hình
6.2

z
x
y
x
M
1

P
2
P
N
P
Z

A
Hình
6.1

Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 2 05/2013


 Vò trí trục trung hòa:
. . . . . 0 0
z z z x x
F F F F
y E E
N dF E dF E dF y dF S S
 
  
        
   
Đường trung hòa
trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang.
 Phương trình đường đàn hồi:
''
x

x
M
y
EJ
 

 Quan hệ giữa mômen uốn và ứng suất pháp:
2
. . . . .
x z z x
F F F F
y E E
M ydF E ydF E ydF y dF J
 
  
    
   

 ng suất pháp dọc trục do mômen uốn
x
M
sinh ra:
x
z
x
M
y
J




x
M
: mômen uốn tại mặt cắt có điểm tính ứng suất.

x
J
: mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang có điểm tính ứng suất.

y
: khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến đường trung hòa.
 ng suất pháp phân bố đều theo bề rộng mặt cắt ngang và phân bố tuyến tính theo
chiều cao tiết diện: ứng suất bằng không ở những điểm nằm trên đường trung hòa và
lớn nhất tại những điểm nằm xa nhất so với trục trung hòa.
y
P
A
B
'
B
Hình
6.4

O

y
1
O
2
O

1
A
2
A
1
I
2
I
d



1 2 1 2
1 2
z
y d d
A A OO y
O O d
   

  
 

  
Hình
6.3

Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 3 05/2013

 ng suất kéo lớn nhất trên mặt cắt ngang:
max max
k
x
x
M
y
J


 ng suất nén lớn nhất trên mặt cắt ngang:
min max
n
x
x
M
y
J

 
 Nếu mặt cắt đối xứng:
max min
max
;
x x
x
x
M J
W

W y
 
  
 Nếu mặt cắt không đối xứng:
max min
 

 ng suất trên phân tố thuộc dầm chòu uốn thuần túy

z
z

z

z

z

M
M
Hình
6.6

max

min

max
k
y

max
n
y
max

min

max
k
y
max
n
y
x
x
y
y
C
Hình
6.5

Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 4 05/2013


 Thế năng biến dạng đàn hồi:
2
2 .
x
x

L
M
U dz
E J



 Điều kiện bền:
o Vật liệu dẻo:
 
 
max
max max max max
max ; max( , )
x
k n
z
x
M
y y y y
J
 
  
;
 
ch
n




o Vật liệu dòn:
   
   
max
max max
max
min max
;
;
k
x
k
b
k k
x
n
x
n
b
n n
x
M
y
J n
M
y
J n

  


  

  




  



1.2 Thanh chòu uốn ngang phẳng
u

uv

0
90

0
90
0
45
0
45


x

0,5

x

0,5
x


0
u

uv

x

x

2
x

2
x

2
x

2
x

2
x


2
x

0
45
x

x

2
x

2
x

2
x

2
x

2
x

2
x

0
45
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 5 05/2013


 Tồn tại hai thành phần nội lực khác không trên mặt cắt ngang, lực cắt
y
Q
và
mômen uốn
x
M
.
 ng suất pháp dọc trục do
x
M
sinh ra:
x
z
x
M
y
J

 (như thanh chòu uốn thuần tuý)
 ng suất tiếp trên mặt cắt ngang do
y
Q
sinh ra:
.
.
c

y x
zy
c
x
Q S
J b




y
Q
: lực cắt tại mặt cắt có điểm tính ứng suất.

c
x
S
: mômen tónh của diện tích bò cắt đối với trục trung hòa.

x
J
: mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.

c
b
: bề rộng mặt cắt tại điểm tính ứng suất.
 ng suất tiếp lớn nhất tại những điểm nằm trên đường trung hòa và được tính:
/ 2
/ 2
max

.
;
.
F
y x
F
x
c
x
Q S
S
J b


: mômen tónh của một nữa diện tích mặt cắt ngang so với
trục trung hòa.

 ng suất trên phân tố thuộc dầm chòu uốn ngang phẳng
max

min

max
k
y
max
n
y
x
y

max

Hình
6.8

z
x
y
x
M
1
P
2
P
N
P
Z

A
y
Q
zy

Hình
6.7

Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 6 05/2013

 Các phân tố thuộc biên dưới và biên trên của dầm (phân tố
,
A E
) chỉ tồn tại
ứng suất pháp,
z

, kéo hoặc nén nên phương ứng suất pháp cực đại song song với
trục dầm.
 Các phân tố nằm trên đường trung hòa (phân tố
C
) chỉ tồn tại ứng suất tiếp
zy


(ứng suất pháp bằng không) nên phương ứng suất pháp cực đại tạo với trục dầm
một góc
0
45
.
 Các phân tố còn lại (phân tố
,
B D
) tồn tại cả ứng suất pháp,
z

, (kéo hoặc nén)
và ứng suất tiếp
zy


cos 2 sin 2
2 2
sin 2 cos 2
2
z z
u yz
z
uv yz
 
   

   

  




 



ng suất pháp cực trị:
2
0 sin 2 2 cos 2 0 2
yz
u
z yz

z
d
tg
d


    
 
       

Tương ứng với các ứng suất pháp cực trò:
2
2
max
min
2 2
z z
yz
 
 
 
  
 
 

zy

u

uv


v
1

u
1

u
yz

zy

yz

z

z

yz

zy

z

B
B
z
z

zy


z

z

x
M
y
Q
z

z

z

zy

z

z

zy

A
B
C
D
E
3 max
N

 

E
0
max
90


1

D
3

0
max
45


1 max
 

C
0
max
45


3 max
 
 

3

1

0
max
45


B
3 max
k
 

A
0
max
0


Hình
6.9

Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 7 05/2013


Tại những góc ứng suất pháp đạt cực trò
max
min



 
 
 
ta thấy ứng suất tiếp bằng không.
ng suất tiếp đạt cực trò: 0 cos 2 2 sin 2 0 2
2
uv
z
z yz
yz
d
tg
d


    
 
     
Tương tự với phân tố tại
D
: ta thay
z z
 
 

u

uv


max

max

u

uv


min


max




min

max


max


max




Hình
6.11

Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 8 05/2013



 Điều kiện bền thanh chòu uốn ngang phẳng: khi một thanh chòu uốn ngang phẳng
trên mặt cắt ngang tồn tại cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp, các ứng suất này không
những phụ thuộc vào nội lực của mặt cắt mà còn phụ thuộc vào vò trí của điểm khảo sát
trên mặt cắt. Do đó, khi kiểm tra bền người ta thường kiểm tra tại những mặt cắt và các
điểm thuộc mặt cắt có ứng suất pháp lớn nhất, ứng suất tiếp lớn nhất và kiểm tra tại
những mặt cắt có mônmen uốn và lực cắt cùng lớn, trên các mặt cắt ấy phải kiểm tra
những điểm có ứng suất tiếp và ứng suất pháp cùng lớn. Do tính phức tạp của bài toán
uốn ngang phẳng, nên trong thực tế tính toán ta thường kiểm tra như bài toán uốn thuần
túy (bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt), sau đó tiến hành kiểm tra bền theo các thuyết bền
thứ ba và thuyết bền thứ tư:
 
 
2 2
3
2 2
4
4
3
td z yz
td z yz
   
   


  


  



q
Hình
6.13

u

uv

max

max

u

uv


min


max





min

max


max


max



H
ình 6.12

Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 9 05/2013

 Thế năng biến dạng đàn hồi trong thanh chòu uốn ngang phẳng:


2
2
2
2 2
;
2 . 2 . .

C
x
y
x
x x
L L F
S
Q
M
U dz k dz k F dz
E J G F J b
  
  

II. VÍ DỤ
 Ví dụ 1: Dầm
AC
có mặt cắt ngang không đổi , liên kết, chòu lực và kích thước như hình
V.6.1a. Dầm làm cùng một loại vật liệu có ứng suất cho phép



.
Biết


2
450 / ; 1,5 ; 21 /
q kN m a m kN cm


  
a) Xác đònh phản lực liên kết tại các gối
,
A C
theo
q
và
a
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm theo
q
và
a
.
c) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt, xác đònh kích thước mặt cắt ngang (
b
) của dầm theo
điều kiện bền.

a) Phản lực liên kết tại các gối
,
A C
: giải phóng liên kết và đặt các phản lực liên kết như
hình V.6.1b.
2
2
3 13
0 .3 . 2 .3 .4 0
2 6
3 11

0 .3 .3 . 2 . 0
2 6
A B B
B A A
a
m q a qa Y a qa a Y qa
a
m Y a q a qa qa a Y qa

        




        





b) Biểu đồ lực cắt
y
Q
, mômen uốn
x
M
phát sinh trong dầm như hình V.6.1b.
c) Xác đònh kích thước mặt cắt ngang:
HìnhV.6.1b

P qa

2
2
M qa

q
3
a
a
2
b
4
b
4
b
7
b
A
B
C
A
Y
B
Y
x
11
6
qa
qa

7
6
qa
2
qa
2
qa
2
121
72
qa


y
Q


x
M
y
















Hình
B.6.1a

P qa

2
2
M qa

q
3
a
a
2
b
4
b
4
b
7
b
A
B
C
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng

Bài tập sức bền vật liệu trang 10 05/2013

Theo điều kiện bền:
 
max
max
max
x
x
M
y
J
 
 

   
3 3
2 4
max
max
4 7 2 4
121
; 103,67 ; 3,5
72 12
x x
b b b b
M qa J b y b

   
 

 
2
2 2 2
3
3
4
121
121 .3,5 121.450.1,5 .3, 5.10
72
.3,5 6,49
103, 67 72.103,67 72.103,67.21
qa
qa
b b cm
b


     
Chọn
6,5
b cm


 Ví dụ 2: Dầm
AC
đồng chất, mặt cắt ngang không đổi , liên kết, chòu lực và kích thước
như hìnhV.6.2a. Dầm làm cùng một loại vật liệu có ứng suất cho phép




.
Biết:
8
b cm

;


2
18 /
kN cm

 ;
1, 2
a m

.
a) Xác đònh phản lực liên kết tại các gối
,
A C
theo
q
và
a
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn
phát sinh trong dầm theo
q
và
a

.
c) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt,
xác đònh tải trọng cho phép (
P
) theo
điều kiện bền.

a) Xác đònh phản lực: xét cân bằng dầm AC như hình V.6.2b

.2 3 .3 0 0
.2 3 . 0
A C C
B A A
m Pa Y a Pa P a Pa Y
m Y a Pa Pa P a Pa Y P
         


        


b) Biểu đồ lực cắt
y
Q
, mômen uốn
x
M
phát sinh trong dầm như hình V.6.2b.
c) Xác đònh tải trọng cho phép:
Theo điều kiện bền:

 
max
max
ax
.
J
x
m
x
M
y
 
 

Trong đó:
 
3
4 4
max
2 . 3
3
2 ; ; 0,05 4, 45
2 12
x x
b b
b
M Pa y J b b
    
 



3
3
4
4,45. .
2 3 4,45.8 .18
113, 92
4,45 2 3 3.120
b
Pa b
P kN
b a


     
a
M Pa

3
M
2
a
P
M
A
B
C
2
b
3

b
b
P
Pa
Pa
Pa
2
Pa
y
Q
x
M
A
Y
C
Y
x
y
Hình
V.6.2b

a
M Pa

3
M
2
a
P
M

A
B
C
2
b
3
b
b
Hình
V.6.2a

Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 11 05/2013

Chọn
113
P kN


 Ví dụ 3: Dầm
AC
đồng chất, mặt cắt ngang không đổi , liên kết, chòu lực và kích thước
như hình V.6.3a. Dầm làm cùng một loại vật liệu có ứng suất cho phép



.
Biết



2
780 / ; 1,8 ; 18 /
q kN m a m kN cm

  
a) Xác đònh phản lực liên kết tại các gối
,
A C
theo
q
và
a
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm theo
q
và
a
.
c) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt, xác đònh kích thước mặt cắt ngang (
b
) của dầm theo
điều kiện bền.


a) Phản lực liên kết tại các gối
,
A B
: giải phóng liên kết và đặt các phản lực liên kết và xét
cân bằng dầm
AC

như hình V.6.3b.
2
2
3 17
0 .3 . .2 .3 0
2 4
1
0 .2 .3 . . 0
2 4
A B B
B A A
a
m qa q a Y a qa a Y qa
a
m qa Y a q a qa a Y qa

        




         





b) Biểu đồ lực cắt
y
Q

, mômen uốn
x
M
phát sinh trong dầm như hình V.6.3c,d.
c) Xác đònh kích thước mặt cắt ngang:
Đặt hệ trục tọa độ
1
x y
vào mặt cắt như hình V.6.3e.
Trọng tâm của mặt cắt:
2
1
2
1
6 .8 .12 6,5 .6 .11
4,9
8 .12 6 .11
i
c i
i
c
i
i
y F
b b b b b b
y b
b b b b
F




  




Mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang:
Hình V.6.3

P qa

2
M qa

q
2
a
a
A
B
C
b
12
b
8
b
6
b
P qa


2
M qa

q
2
a
a
A
B
C
A
Y
B
Y
qa
2
qa
9 / 4
qa
/ 4
qa
2
1,5
qa
2
qa
b
12
b
8

b
6
b
x
y
1
x


y
Q


x
M
)
a
)
b
)
c
)
e
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 12 05/2013

 
 
 
 

3 3
2 2
4
8 . 12 6 . 11
6 4,9 .8 .12 6,5 4,9 .6 .11 433,7
12 12
x
b b b b
J b b b b b b b b b
 
      
 
 
 

Theo điều kiện bền:
 
max
max
max
x
x
M
y
J
 
 

2
max

max
1,5 ; 12 4,9 7,1
x
M qa y b b b
   
 
 
2 2 2 2
3
3
4
1,5 1,5 .7,1 1, 5.780.1,8 .10 .7,1
.7,1 7,012
433,7 433,7 433, 7.18
qa qa
b b cm
b


     
Chọn
71
b mm


 Ví dụ 4: Cho dầm thép hình chữ I số hiệu
24
có kích thước và chòu lực như hình V.6.4a.
Biết:
40 ; 20 / ; 4 ; 1

P kN q kN m l m a m
   
, vật liệu thép có ứng suất pháp cho phép


2
1600 /
daN cm

 , ứng suất tiếp cho phép


2
1000 /
daN cm

 . Bỏ qua trọng lượng bản
thân dầm. Thép chữ I số hiệu
24
có
4 3
24 ; 0,56 ; 3460 ; 289
x x
h cm d cm J cm W cm
    ;
mômen tónh của một nửa mặt cắt
3
163
x
S cm

 .
a) Vẽ biểu đồ lực cắt
y
Q
, mômen uốn
x
M
của dầm.
b) Kiểm tra độ bền của dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp.
c) Kiểm tra độ bền của dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp.
d) Kiểm tra bền cho điểm
K
(cách trục
x
một đoạn
/ 4
h
) trên mặt cắt ngang nguy hiểm
nhất theo thuyết bền thứ tư.

a) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn: giải phóng liên kết và đặt các phản lực liên kết và xét
cân bằng dầm
AC
như hình V.6.4b.
Hình V.6.4

P
q
l
a

A
B
C
40
kN
50
kN
30
kN
40 .
kN m
22,5 .
kN m


y
Q


x
M
)
a
)
b
)
c
/ 4
h
h

d
y
y
x
x
K
P
q
l
a
A
B
C
A
Y
B
Y
)
d
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 13 05/2013

 
0 . . . 0 90
2
0 . . . . 0 30
2
A B B
B A A
l

m q l Y l P l a Y kN
l
m Y l q l P a Y kN

       




       





Biểu đồ lực cắt
y
Q
, mômen uốn
x
M
phát sinh trong dầm như hình V.6.3c,d.
b) Kiểm tra độ bền của dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp:
 
2
2 2 2
max
max
40.10
13,84 / 1384 / 1600 /

289
x
x
M
kN cm daN cm daN cm
W
 
      
bền
c) Kiểm tra độ bền của dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp:
 
/ 2
2 2 2
max
max
.
50.163
4,2062 / 420,62 / 1000 /
. 3460.0,56
F
y x
C
x
Q S
kN cm daN cm daN cm
J b
 
      
bền
d) Kiểm tra bền cho điểm

K
(cách trục
x
một đoạn
/ 4
h
) trên mặt cắt ngang nguy hiểm
nhất theo lý thuyết bền thứ tư:
Mặt cắt nguy hiểm tại
B
:
ng suất pháp tại điểm
K
của mặt cắt tại
B
:


2
2
40.10 24 1200
. /
3460 4 173
B
x
z K
x
M
y kN cm
J


  

ng suất tiếp tại điểm
K
của mặt cắt tại
B
:


.
.
B
C
y x
yz
C
x
Q S
J b



Trong đó:
3
24 24
. . 163 .0,56. 152,92
8 4 8 4
C
x x

h h
S S d cm
    
2
50.152,92 19115
/
3460.0,56 4844
yz
kN cm

  

Theo thuyết bền 4:
 
2 2
2 2 2 2 2
1200 19115
3 3 9,738 / 973,8 / 1600 /
173 4844
z yz
kN cm daN cm daN cm
  
   
       
   
   
bền
 Ví dụ 5: Cho một đập ngăn nước được làm bằng các tấm gỗ
A
chồng theo đứng. Để đở

các tấm gỗ này người ta sử dụng các trụ gỗ thẳng đứng
B
, các trụ này được chôn xuống đất
và làm việc như các dầm côngxôn như hình V6.5a. Các trụ thẳng đứng
B
có mặt cắt ngang
hình vuông kích thước
bb

và có khoảng cách giữa các cột là
0,8
s m

. Mực nước trong đập
có chiều cao
mh 2

. Xác đònh kích thước mặt cắt ngang cột
B
nếu ứng suất uốn cho phép
của gỗ bằng


8
MPa

 .

Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 14 05/2013

Mô hình tải trọng tác dụng lên cột như hình V.6.5b. Tải trọng lớn nhất tác dụng tại chân cột:
0
q hs

 (

là trọng lượng riêng của nước,
3
9,81 /
kN m

 ). Vì vậy, mômen uốn lớn nhất tại
chân cột:
max
3
0
.
.
2 3 6
x
q h
h h s
M

 
Theo điều kiện bền ứng suất pháp:
 
3

max
max
3
1
6
1
6
x
z
x
h s
M
W
b

 
  

 
3 3
3
3
3
9,81.2 .0,8
0,1987
8.10
h s
b m



    , chọn
199
b mm


 Ví dụ 6: Cho một hệ sàn như hình V.6.6a mang tải thiết kế bao gồm cả trong lượng bản
thân sàn
2
9600 /
w N m
 . Dầm đở sàn có mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước
54 204
mm mm

với nhòp dầm
4000
l mm

, khoảng cách của các dầm (tính từ trục dầm) bằng
406
s mm

. Bỏ qua trọng lượng dầm, xác đònh ứng suất pháp lớn nhất pháp sinh trong dầm.
Sơ đồ tính của dầm như hình V.6.6b.
Tải trọng do sàn tác dụng lên dầm:
.
q w s


Mômen uốn lớn nhất tại mặt cắt giữa dầm có trò số:

max
2 2 2
. . 9,6.406.4
7795,2 .
8 8 8
x
ql w s l
M kN mm
   
HìnhV.6.5

s
b
b
B
B
A
b
A
B
h
)
a
hsq


0
)
b
0

1
.
2
R q h

1
3
h
h
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 15 05/2013

ng suất pháp lớn nhất phát sinh trong dầm:
max
2
2
max
7795, 2
0,022 /
51.204
6
x
z
x
M
kN mm
W

  

 Ví dụ 7: Dầm liên kết, chòu lực và có kích thước như hình V.6.5õ. Tính các ứng suất pháp
cực trò
max
min

 
 
 
, ứng suất tiếp cực trò (
max

) của phân tố tại
A
. Vẽ các thành phần ứng suất này
trên phân tố. Biết: 36 ; 100 ; 400 ; 0,5 ; 100
P kN b mm h mm a m d mm
    
.

Lực cắt và mômen uốn của mặt cắt ngang tại
A
:
0
0 .
y y
A x
F Q P
m M P a

  



  





ng suất pháp và ứng suất tiếp tại
A
:
3 2 2
3 3
3 2
3 3
36.500 400
100 3,375.10 / 3,375 /
100.400
2 2
12 12
400 100
. . . 36. .100.100
.
2 2 2 2
1,0125.10 / 1,0125 /
100.400
.
. 100
12 12
x

z A
x
C
y x
yz
C
x
M
Pa h
y d kN mm N mm
bh
J
h d
P b d
Q S
kN mm N mm
bh
J b
b




   
           
   
   
   
 
   

   
    
2












Các ứng suất pháp cực trò:
406
406
4000
q
2
9600 /
w N m

51 204
mm mm

51 204
mm mm


Dầm
Sàn
Hình V.6.6
)
a
)
b
s
s
a
A
P
x
M
y
Q
P
a
h
d
b
A
Hình
V.6.7

Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 16 05/2013

2 2
2 2 2

max
2 2
2 2 2
min
3,357 3,357
1,0125 0.2804N/mm
2 2 2 2
3, 357 3,357
1,0125 -3.6554N/mm
2 2 2 2
z z
yz
z z
yz
 
 
 
 

 
   

      
   

   


 
   

      

   
   



Phương của ứng suất pháp cực trò:
0
2 2
1 1 2.1, 0125
2 tan tan 15.4819
2 2 3,375
yz yz
z z
tg a a
 
 
 
 
 

 
    
 
 

 
 

ng suất tiếp cực trò:
2 2
2 2 2
max
3,357
1,0125 1.9679N/mm
2 2
z
yz

 

   
    
   
   

Phương của ứng suất tiếp cực trò:
0
1 1 3,375
2 tan tan -29.8303
2 2 2 2 2.1,0125
z z
yz yz
tg a a
 
 
 
 


 
    
 
 
 
 
 







zy

Hình
V.6.7b

zy

zy

zy

z

z

max


0
15
max

min

min

u

u

u

u

max

max

0
30
Các thành phần ứng
suất của phân tố tại A

Ứng suất pháp cực
trò và phương của nó
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 17 05/2013

III. BÀI TẬP
6.1. Một dầm gỗ mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước
hb

được cắt ra từ thanh tròn
đường kính
d
như hình B.6.1. Xác đònh kích thước hb, để dầm có độ bền chòu uốn lớn
nhất.
6.2. Dầm
AD
có mặt cắt ngang không đổi , liên kết, chòu lực và kích thước như hình B.6.2.
Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép


2
8 /
kN cm

 .
a) Xác đònh phản lực liên kết tại các gối
,
A D
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt, xác đònh kích thước mặt cắt ngang (
b
) theo điều kiện

bền.

6.3. Dầm
AD
có mặt cắt ngang không đổi , liên kết, chòu lực và kích thước như hình B.6.3.
Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép


2
/5,7 cmkN

. Cho mmtmmD 8,508



a) Xác đònh phản lực liên kết tại các gối DB, .
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp.

6.4. Dầm thép
AC
có mặt cắt ngang chữ
I
, liên kết, chòu lực và kích thước như hình B.6.4.
Ứng suất cho phép của thép


2
/20 cmkN


. Cho
2
a m

.
a) Xác đònh phản lực liên kết tại ngàm
A
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Xác đònh tải trọng cho phép


P theo điều kiện bền ứng suất pháp.
A
B
C
D
Hình B.6.3
D
t
m3
m2m1
kNP 55
1

kNP 150
2

2
m

1
m
A
B
C
2
80
P kN

4
m
b
b2
b2
b3
D
1
11 0
P kN

Hình B.6.
2

Hình B.6.1

b
h
d
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 18 05/2013

6.5. Dầm thép
AC
có mặt cắt ngang chữ
I
, liên kết, chòu lực và kích thước như hình B.6.5.
Ứng suất cho phép của thép


2
/21 cmkN

.
a) Xác đònh phản lực liên kết tại CA, .
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Xác đònh mômen chống uốn của mặt cắt


x
W theo điều kiện bền ứng suất pháp.

6.6. Dầm
AC
có mặt cắt ngang hình chữ
T
, liên kết, chòu lực và kích thước như hình B.6.6.
Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép của thép



2
8 /
kN cm

 . Cho
32 / ; 1, 2 .
q kN m a m
 

a) Xác đònh phản lực liên kết tại
,
A B
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Xác đònh kích thước của mặt cắt ngang


b
của dầm theo điều kiện bền ứng suất
pháp.

6.7. Dầm
AD
có mặt cắt ngang không đổi, liên kết, chòu lực và kích thước như hình B.6.7.
Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép của thép


2
7, 2 /
kN cm


 . Cho
3 ; 0,5 .
b cm a m
 

a) Xác đònh phản lực liên kết tại
,
A C
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Xác đònh tải trọng cho phép


q
theo điều kiện bền ứng suất pháp.
A
B
C
Hình B.6.
6

q
P qa

a
6
a
2
M qa


b
1,5
b
8
b
7
b
2
m
A
B
C
4
m
Hình B.6.
5

mkNq /39

kNP 250

A
B
C
Hình B.6.4
a
1,5
a
P

P3
450
160
9
14
)(mm
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 19 05/2013



6.8. Dầm thép
AD
được tổ hợp từ hai thép góc số hiệu
18
I
và hai tấm thép thép có kích thước
400 12

mm. Dầm có liên kết, chòu lực và kích thước như hình B.6.8. Ứng suất cho phép
của thép


2
/21 cmkN

. Cho
.1ma


a) Xác đònh phản lực liên kết tại CA, .
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Xác đònh tải trọng cho phép


q theo điều kiện bền ứng suất pháp.

6.9. Dầm thép
AD
được tổ hợp từ hai thép góc số hiệu
18
I
và thép góc số hiệu
22
I
. Dầm có
liên kết, chòu lực và kích thước như hình B.6.9. Ứng suất cho phép của thép


2
/22 cmkN

.
a) Xác đònh phản lực liên kết tại
A
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp.

6.10. Dầm thép

AD
có mặt cắt ngang là thép góc số hiệu
160
I
. Dầm có liên kết, chòu lực và
kích thước như hình B.6.10. Ứng suất cho phép của thép


2
19 /
kN cm

 .
a) Xác đònh phản lực liên kết tại
,
A D
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
c) Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp.
A
B
C
Hình B.6.
7

q
P qa

D
a

a4a2
2
M qa

b
9
b
8
b
6
b
A
B
C
Hình B.6.
9

mkNq /7

kNP 5

m1
m3
18
I
22
I
18
I
A

B
C
Hình B.6.
8

q
qaP 3

D
18
I
12
400
18
I
a
a4a2
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 20 05/2013

d) Để tăng mômen chống uốn của mặt cắt ngang người ta hàn thêm hai tấm thép kích
thước
30 3
mm mm

ở hai mặt trên và mặt dưới của dầm. Kiểm tra bền dầm theo điều kiện
bền ứng suất pháp.

6.11. Cho một đập ngăn nước được làm bằng các tấm gỗ
A

chồng lên nhau theo phương
đứng. Để đỡ các tấm gỗ này người ta sử dụng các trụ gỗ thẳng đứng
B
, các trụ này
được chôn xuống đất và làm việc như các dầm côngxôn như hình B6.11. Các trụ thẳng
đứng
B
có mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước
2
b b

và có khoảng cách giữa các
cột là
1, 2
s m

. Mực nước trong đập có chiều cao
1,8
h m

. Xác đònh kích thước mặt cắt
ngang cột
B
nếu ứng suất uốn cho phép của gỗ bằng


8
MPa

 . Với trọng lượng

riêng của nước
3
/81,9 mkN
w


.

6.12. Cho một tường chắn đất chiều cao
1,5
h m

được làm bằng các tấm thép chồng lên nhau
theo phương đứng được đỡ bởi các trụ gỗ thẳng đứng, các trụ này được chôn xuống đất
và làm việc như các dầm côngxôn. Các trụ thẳng đứng có mặt cắt ngang hình tròn
đường kích
305
d mm

và có khoảng cách giữa các cột là
s
như hình B.6.12. Áp lực
A
B
C
Hình B.6.
10

5 /
q kN m


15
P kN

D
1
m
4
m
2
m
5 .
M kN m

160 18
I

30
mm
3
mm
)
a
)
b
Hình B.6.11
s
b
2
b

B
B
A
b
A
B
h
Nước
s
h
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 21 05/2013

ngang do đất tác dụng lên tường có giá trò
2
1
4790 /
p N m
 và
2
2
19160 /
p N m
 . Nếu
ứng suất uốn cho phép của gỗ bằng


2
8268 /
kN m


 . Xác đònh kích thước
s
lớn nhất
giữa các cột tròn để cột đảm bảo bền.

6.13. Cho một dầm thép chữ
I
có chiều dài nhòp
7,5
l m

chòu tác dụng của hai lực như nhau
14
P kN

từ hai bánh xe với khoảng cách giữa hai bánh bằng
d
như hình B.6.13. Biết
rằng xe có thể ở bất kì vò trí nào trên dầm, xác đònh ứng suất uốn lớn nhất phát sinh
trong dầm do tải trọng của hai bánh xe tác dụng. Biết rằng dầm chữ
I
có mômen
chống uốn
3
411, 48
x
W mm

6.14. Cho một đường rây có mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước

hb

chòu tác dụng của
hai lực tập trung
224
P kN

như hình B.6.14. Phản lực
q
do nền tác dụng lên thanh rây
được xem là tải phân bố đều trên suốt chiều dài của thanh rây.
Cho: 304 ; 254 ; 1500 ; 496
b mm h mm L mm a mm
   
.
a) Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong thanh rây.
b) Tính ứng suất uốn lớn nhất phát sinh trong thanh rây.

6.15. Cho một hệ sàn như hình B.6.15 mang tải thiết kế bao gồm cả trọng lượng bản thân sàn
2
10 /
w kN m
 . Dầm đỡ sàn có mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước
50 250
mm mm


với nhòp dầm
4500
l mm


, khoảng cách của các dầm (tính từ trục dầm) bằng
s
. Bỏ qua
trọng lượng dầm, biết rằng dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép


2
4 /
kN cm

 .
Xác đònh khoảng cách giữa các dầm (
s
) để dầm đảo bảo bền. (Khi tính xem dầm đặt
trên hai gối, chòu tải phân bố đều trên suốt chiều dài dầm).
Hình B
.6.13
l
A
B
y
y
x
x
P
P
d
L
a

a
P
P
q
b
h
Hình B.6.14
Hình B
.6.
12

s
d
h
mkNq /5,2
2

mkNq /5,0
1

d
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 22 05/2013

6.16. Các dầm dùng để đở sàn có mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước
45 200
mm mm

với
nhòp dầm

4,5
l m

, khoảng cách của các dầm (tính từ trục dầm) bằng
s
như hình
B.6.16. Tải trọng do sàn tác dụng lên dầm có giá trò
2
9,8 /
w kN m
 . Biết rằng dầm làm
bằng thép có trọng lượng riêng
3
77 /
s
kN m

 và có ứng suất cho phép


2
20 /
kN cm

 . Xác đònh khoảng cách giữa các dầm (
s
) để dầm đảo bảo bền. (Khi
tính xem dầm đặt trên hai gối, chòu tải phân bố đều trên suốt chiều dài dầm).

6.17. Dầm thép
AC
mặt cắt ngang hình chữ
I
liên kết, chòu lực và có kích thước như hình
B.6.17. Biết rằng thép có ứng suất cho phép




2 2
21 / ; 11 /
kN cm kN cm
 
  .
a) Xác đònh phản lực liên kết tại các gối
,
A B
.
b) Vẽ biểu đồ lực cắt
y
Q
, mômen uốn
x
M
phát sinh trong dầm.
c) Tính ứng suất pháp lớn nhất phát sinh trong dầm.
d) Tính ứng suất tiếp lớn nhất phát sinh trong dầm.
e) Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp.

f) Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp.
2
10 /
w kN m

45 250
mm mm

Dầm
Sàn
Hình B.6.15
s
s
A
B
s
w
q
.

l
50
250
s
s
s
Hình B.6.16
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 23 05/2013

g) Kiểm tra bền cho điểm
K
(là điểm tiếp giáp giữa bụng dầm và cánh dầm) trên mặt
cắt ngang nguy hiểm nhất theo lý thuyết bền thứ tư.

6.18. Dầm thép
AB
mặt cắt ngang hình chữ
50
I
liên kết, chòu lực và có kích thước như hình
B.6.18. Trong đó tải trọng
q
là trọng lượng bản thân dầm. Biết rằng thép có ứng suất
cho phép




2 2
16,5 / ; 10 /
kN cm kN cm
 
  , thép chữ
50
I
có các đặc trưng: diện tích
2
100
F cm

 , mômen quán tính chính trung tâm
4
39727
x
J cm
 , mômen chống uốn
3
1589
x
W cm
 , mômen tónh của một nữa diện tích
3
919
x
S cm
 , khối lượng trên một mét
chiều dài bằng
78,5 /1
kg m
, bề rộng bụng 10
w
t mm
 .
a) Vẽ biểu đồ lực cắt
y
Q
, mômen uốn
x
M
phát sinh trong dầm.

b) Tính ứng suất pháp lớn nhất phát sinh trong dầm.
c) Tính ứng suất tiếp lớn nhất phát sinh trong dầm.
d) Kiểm tra bền cho dầm.

6.19. Dầm thép
AB
mặt cắt ngang hình chữ
45
I
liên kết, chòu lực và có kích thước như hình
B.6.19.
a) Xác đònh ứng suất pháp, ứng suất tiếp của các phân tố tại
, ,
A B C
và vẽ các thành
phần ứng suất nầy trên các phân tố.
b) Xác đònh trò số và phương của các ứng suất pháp cực trò, ứng suất tiếp cực trò của các
phân tố tại
, ,
A B C
và vẽ các thành phần ứng suất nầy trên các phân tố.
Hình B.6.1
8
8
m
A
B
y
y
x

x
50
P kN

2,5
m
2,5
m
50
P kN

q
50
I
w
t
Hình B.6.1
7
890
P N

350 /
q N m

2
m
1
m
A
B

C
1800
30
30
450
450
K
30
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 24 05/2013


6.20. Cho một đập ngăn nước như hình B6.20. Để đỡ các tấm gỗ này người ta sử dụng các trụ
gỗ thẳng đứng, các trụ này được chôn xuống đất và làm việc như các dầm côngxôn. Các
trụ thẳng đứng có mặt cắt ngang hình vuông cạnh
b
và có khoảng cách giữa các cột là
2,5
s m

. Mực nước trong đập có chiều cao
1,5
h m

. Xác đònh kích thước mặt cắt
ngang cột nếu ứng suất uốn cho phép của vật liệu làm cột bằng


8
MPa


 . Với trọng
lượng riêng của nước
3
9,8 /
w
kN m

 .

6.21. Cho một đập ngăn nước cao
2,4
h m

được làm từ dầm gỗ dựng đứng có chiều dày
150
t mm

như hình B6.21a. Xem dầm làm việc như dầm đơn giản đặt trên hai gối và
khi tính ta xét một đoạn dầm có bề rộng
1
s m

như hình B6.21b. Với trọng lượng riêng
của nước
3
9,8 /
w
kN m


 .
a) Xác đònh phản lực liên kết tại hai gối
A
và
B
.
b) Viết biểu thức của lực cắt và mômen uốn trong dầm.
c) Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn phát sinh trong dầm.
d) Xác đònh ứng suất uốn lớn nhất phát sinh trong dầm.
Hình B.6.
20
Nước
m5,2
m5,1
Hình B.6.1
9
7,5
m
A
B
750 /
q N m

y
y
x
x
12
mm
A

10,5
mm
B
C
10,5
mm
3
m
Uốn phẳng thanh thẳng Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng
Bài tập sức bền vật liệu trang 25 05/2013


6.22. Cho dầm thép góc số hiệu
36
I
đặt trên hai gối, một bức tường gạch hình tam giác được
xây trên dầm như hình B.6.22. Biết rằng tải trọng của bức tường tại vò trí cao nhất tác
dụng xuống dầm có trò số
950 /
q N m

.
a) Xác đònh vò trí trong dầm có mômen uốn lớn nhất và tính giá trò mômen uốn này.
b) Tính ứng suất uốn lớn nhất phát sinh trong dầm.

6.23. Cho dầm
AC
mặt cắt ngang không đổi đặt trên hai gối tại
,
A B

, hệ chòu lực và có kích
thước như hình B.6.23. Khi tính đặc trưng hình học của mặt cắt ngang bỏ qua các cung
lượn (xem tại vò trí các cung lượng là góc vuông). Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất
cho phép khi kéo


2
15 /
k
kN cm

 , ứng suất cho phép khi nén


2
8 /
k
kN cm

 .
a) Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm.
b) Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp.
Hình B.6.
22
A
B
l
950 /
q N m


y
y
x
x

h
hsq


0
t
B
A
A
B
t
t
1
m
Hình B.6.
21
)
a
)
b