bài giảng sức bền vật liệu, chương 6 pps

1
h
h
h/2

y
dy
h
y
dy
3
x
3
Chương 6:
MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ
HÌNH ĐƠN GIẢN
y
Ví dụ 2: 1) Hình chữ nhật b

h:
dF = bdy
dF
J


y
2
dF


h / 2


y
2
bdy 


bh
3
x
12
C
x
F
h / 2
J

bh
O
b
/
2
b
x
12
hb
3
J
y

1

2
(4-6)
Hình 4.12: Xác
đị
nh mô men
quá tính c
ủ
a
hình ch
ữ nh
ậ
t
2) Hình tam giác đáy b, cao h:
y
b(y)

h
 y
 b(y)


b
(h
 y)
b h h
dF
h
b
J



y
2
dF 

y
2
(h  y)dy
F
0
J

bh
(4-
7)
b(y)
x
12 x
O
Nếu trục x qua trọng tâm hình
tam giác
thì c
ũng thực hiện tương tự ta có:
bh
3
J
x

36
b

Hình 4.13: Xác
đị
nh mô men
quá tính c
ủ
a
hình tam giác
2
3) Hình tròn. Đối với hình tròn, hình vành khăn
do đối
xứng, ta có: J
x
= J
y
=> J
p
=
J
x
+ J
y
= 2J
x
= 2J
y
nên ta có th
ể tính J
p
trước rồi suy ra J
x

, J
y
Dùng t
ọa độ độc cực: dF = dd

2

R
J 


2
dF 


2
dd 


R
4
P
2
F 0
0
R là bán kính đường tròn.
d=
2
r
4

4
J
x
 J
y
 J
P


R
2
4
 J
x
 J
y


R
4
(4-8)
hay
J


D
P
32
 0,1D
4

J
x
=J
y

0,05D
4
y
y
d

dF
x

O
O
 x

+d





D=2R
D=2R
Hình 4.14:
Xác
đị
nh mô

men quá tính
c
ủa hình tròn
D- Đường kính đường
tròn
4) Hình vành khăn:
Tương tự, nhưng với r 

R
4
Hình 4.15: Xác
đị
nh mô men
quán tính c
ủ
a
hình vành kh
ă
n
J 

D
P
32
(1


4
)
 0,1D

4
(1 

4
)
4
J
x
Trong đó:  
d
D
 J
y


D
6
4
(1


4
)
 0,05D
4
(1 

4
)
4.4. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MÔ

MEN QUÁN TÍNH
Giả sử ta biết mô men quán tính của mặt cắt ngang có diện
tích F đối với trục x, y.Tính mô men quán tính của mặt cắt ngang
đó đối với các trục X, Y song song với các
tr
ục x, y.Ta có:
y
b
=
y
C
x
Theo định
ngh
ĩa:

x  X
 a



y  Y
 b
y
Y
A dF
J


y

2
dF


(Y 
b)
2
dF
F
F
= J
X
+ b
2
F +
2bS
X
T
ương tự: J
y
= J
Y
+
a
2
F + 2aS
Y
J
xy
= J

XY
+ abF +
aS
X
+ bS
Y
N
ếu X, Y là các trục
trung tâm:
S
X
= S
Y
= 0 ; a =
x
C
; b = y
C
X
C
x
O
a=x
C
X
x
7
5
Hình 4.16:
S

ơ
đồ
chuy
ể
n trục song
song
c
ủa mô men quán
tính
76
:
Xác
đ
ị
nh
m
ô
men
quá
c
c
x
X
c
J
X
c
2
8a
3a

0,43a
3a
C
y
Ta
được:
J
x

J
X
J
y

J
Y

y
2
F

x
2
F
(4-9)
J
xy

J
XY


x
c
y
c
F
Ví dụ 3 n tính đối với trục trung tâm X của mặt
cắt ngang
hình 4.17. Tr
ước hết ta phải xác đinh trọng tâm của mặt cắt ngang.
Chia m
ặt cắt ngang thành 2 hình đơn giản (1) là hình chữ nhật chưa
bị khoét và (2) là diện tích hình tam giác bị khoét. Chọn hệ trục ban
đầu (x
1
, y) đi qua trọng tâm của hình (1). Vì y trục đối xứng , nên
C
 trục y:
X
C
= 0
S
S
(
1)
 S
(
2)
0  3a  6a
2

Y

xl

x1
x1



0,43a
F F
1

F
2
48a
2
 6a
2
Như vậy trọng tâm C của hình sẽ nằm trên trục x, cách trục x
1
v
ề phía dưới một
đoạn
bằng Y
c
= 0,43a. Bây giờ ta tính mô men quán tính đối với
trục chính trung tâm x
v
ừa mới xác

dịnh.Ta có:
(1)
(
2)
J
X
mà
J

1

 J
X

J
(1)
1
 J
X

y
2
1
3

F
1
2a 2a

6a(8a)

12
 (0,43a)
2
 48a
2
2
C
2
x
2
 264,875a
4
(
2
)
X

J
(
2)
2

y
2
F
2
3
C
1
x

1
x
C
77
4a

4a(3a)
36

73,59a
4
 (3,43a)
2
6a
2
1
6a
78
Vậy J
X
= 264,875a
4
- 73,59a
4
=
191,285a
4