Bài giảng Sức bền vật liệu: Chương 6 - GVC.ThS. Lê Hoàng Tuấn

CHƯƠNG 6.
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC
GVC.Ths. Lê Hoàng Tuấn
NỘI DUNG
1. Khái niệm
2. Mô men tĩnh - Trọng tâm
3. Mômen quán tính
4. Mômen quán tính của các hình đơn giản
5. Công thức chuyển trục song song
6. Công thức xoay trục
1. KHÁI NIỆM
 Thanh để đứng (H.a) chịu
lực tốt hơn thanh để nằm
(H.b)
a)
x
y b)
P
P
x
y
z
z
 Có những đại lượng phụ
thuộc vào hình dáng, vị trí
mặt cắt ngang, ảnh hưởng
đến sự làm việc của thanh
 Đó là những Đặc trưng Hình Học của mặt cắt ngang.
2. MÔMEN TĨNH-
TRỌNG TÂM
A

dA
M
C
y
x
O
x
C
y
0
y
x
y
0
x
0
x
0
y
C
Xét một hình phẳng biểu diễn
mặt cắt ngang A (mặt cắt A).
Lập hệ tọa độ vuông góc
Oxy.
M(x,y) là một điểm bất kỳ
trên hình.
Lấy chung quanh M một diện
tích vi phân dA.
2. MƠMEN TĨNH-
TRỌNG TÂM

A
dA
M
C
y
x
O
x
C
y
0
y
x
y
0
x
0
x
0
y
C
Mơmen tĩnh của A
đối với trục x (hay y) là:
 Mơmen tĩnh :


F
y
F
x

xdFSydFS ,
vì x, y có thể âm hoặc dương
Thứ nguyên của mômen tónh là
[(chiều dài)
3
].
<
>
S
x
, S
y
0
nên
2. MÔMEN TĨNH-
TRỌNG TÂM
A
dA
M
C
y
x
O
x
C
y
0
y
x
y

0
x
0
x
0
y
C
 Trọng tâm :
 Trục Trung tâm là trục
mà mômen tĩnh của A đối
với nó bằng 0
 Trọng tâm là giao điểm
của 2 trục trung tâm.
 Mômen tĩnh đối với trục
đi qua trọng tâm bằng 0.
2. MÔMEN TĨNH-
TRỌNG TÂM
A
dA
M
C
y
x
O
x
C
y
0
y
x

y
0
x
0
x
0
y
C
 Cách xác định Trọng tâm C :
Xác định x
C
và y
C
Dựng hệ trục x
0
Cy
0
song
song hệ trục xy
oCoC
yyyxxx




;


A
xoCo

A
Co
A
Cx
SAydAydAydA)yy(S
Vì S
xo
= 0 nên:
A.yS
Cx

Tương tự:
A.xS
Cy

A
S
y

A
S
x
x
C
y
C


2. MÔMEN TĨNH-
TRỌNG TÂM

Tính chất 1: (quan trọng)
 Mặt cắt có hai trục đối xứng,
trọng tâm là giao điểm hai trục đối xứng.
 Mặt cắt có trục đối xứng,
trọng tâm nằm trên trục đối xứng .
x
x
y



C
C
C
y
2. MÔMEN TĨNH-
TRỌNG TÂM
Tính chất 2 :
Mômen tĩnh của hình
phức tạp bằng tổng mômen
tĩnh của các hình đơn giản.
;
AA
AxAx
A
S
x
21
2211
y

C



21
2211x
C
AA
AyAy
A
S
y



Thí dụ 6-1. Định trọng tâm
mặt cắt chữ L gồm 2 chữ nhật.
Tọa độ trọng tâm
C của hình trên là:
A
1
x
y
y
C
x
1
y
2
O




x
2
y
1
C
x
C
C
1
C
2
A
2
Kết quả:
3. MÔMEN QUÁN TÍNH-
HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
1- Mômen quán tính (MMQT)
A
dA
M
y
x
O
y
x

Mômen quán tính độc cực

(MMQT đối với điểm) của A
dA
p
I
A
2


đối với điểm O:
Mômen quán tính của A đối với


A
2
A
2
dAx
y
I;dAy
x
I
trục y và x :
 I
p
= I
x
+ I
y
 I
p

, I
x
, I
y
> 0
 Thứ nguyên - [chiều dài]
4
3. MÔMEN QUÁN TÍNH-
HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
A
dA
M
y
x
O
y
x

Mômen quán tính ly tâm
(MMQT đối với hệ trục xy)
dA.y.x
xy
I
A


Thứ nguyên - [chiều dài]
4
<
>

I
xy
0
Tính chất: MMQT của mộät hình phức tạp bằng
tổng mômen quán tính của các hình đơn giản.
3. MÔMEN QUÁN TÍNH-
HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
2- Hệ trục chính trung tâm
A
dA
M
y
x
O
y
x



A
2
A
2
dAx
y
I;dAy
x
I
 Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm
đối với hệ trục đó bằng không

được gọi là hệ trục quán tính chính
 Hệ trục quán tính chính trung tâm
có gốc ở trọng tâm
 MMQT đối với các trục quán tính chính trung tâm
gọi là MMQT chính trung tâm.
3. MÔMEN QUÁN TÍNH-
HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
2- Tính chất 3- quan trọng
Trục đối xứng của mặt cắt và trục
vuông góc với nó đi qua trọng tâm
hợp thành hệ trục chính trung tâm
dA
2
dA
1
A
1
A
2
x
O
y
Chứng minh:
  


A AA A
xy
dAyxxyyxdAyxdAI
21 1

0)(
1
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
1- Hình chữ nhật:
Hệ có hai trục đối xứng x, y
cũng là hệ trục QTCTT.



2
h
2
h
bdyydAy
x
I
2
A
2
12
bh
x
I
3

12
hb
y
I

3

y
x
b
O
h/2
dy
y
h/2
dA = b.dy
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
2- Hình tròn:
Hệ có hai trục đối xứng x, y
cũng là hệ trục QTCTT.


2
D
0
d.2.dA
p
I
2
A
2
x
dA = 2


.d

O
D

d

y
R
 Tính I
p
:
32
D
p
I
4


2
I
y
I
x
I
p

Tính I
x
, I

y
:
64
D
y
I
x
I
4


4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Hình vành khăn:
 Tính I
p
:
32
d
32
D
d
p
I
D
p
I
p
I
44





2
I
y
I
x
I
p

Tính I
x
, I
y
:
)1(
64
D
y
I
x
I
4
4



)1(

32
D
p
I
4
4



x
O
D
y
d
=
d
D
5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC
SONG SONG
1- Lập công thức:
A
dA
M
O
Y
X
O'
a
y
Y

X
y
x
x
b

dA)yb(dAY
X
I
A
2
A
2


Tính I
X
, I
Y
, I
XY
:
AbbS2I
X
I
2
xx

.dAbdA.yb2dAy
X

I
A A A
22
  

AaaS2I
Y
I
2
yy

abA
bSaSI
XY
I
yxxy




5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC
SONG SONG
2- Trường hợp thường dùng:
A
dA
M
O
Y
X
O'

a
y
Y
X
y
x
x
b
Khi trục cũ (xy) là
hệ trục chính trung tâm :
AbI
X
I
2
x

Cách nhớ: MMQT đối với trục
mới bằng MMQT đối với trục
cũ cộâng diện tích nhân khoảng
cách hai trục bình phương
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Thí dụ 3:
y
x
b
O
h/2
h/2
B

B'
2
x'BB
2
h
.AII







3
bh
bh
2
h
12
bh
I
3
2
3
'BB









4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Thí dụ
4:
Định MMQT
chính trung tâm
4
x
48 8
4
12
y
C
x
y
X
X
6
10
3
2
1
cm6
)12.4(2)4.24(
)10.12.4(22.4.24
A
S

C
y
x




Giải:
- Trọng tâm:
- MMQT:
3
X
I
2
X
I
1
X
I
X
I 
2
3
4).4.24(
12
4.24
1
X
I 
2

3
4).12.4(
12
12.4
3
X
I
2
X
I 
I
X
=4352cm
4
6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC
1- Lập công thức:
A
dA
M
V
U
O

y
x
y
x
u
v
Tính I

u
, I
v
, I
uv
:
Ta có:
u = y.sin+x.cos
v = y.cos-x.sin
I
u
= 
A
v
2
.dA; I
v
= 
A
u
2
.dA
I
uv
= 
A
uv.dA





 2sinI2cos
2
II
2
II
I
xy
yxyx
u


 2cosI2sin
2
II
I
xy
yx
uv
6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC
2- Hệ trục chính (HTC):
A
dA
M
V
U
O

y
x

y
x
u
v
 Hệ trục quán tính chính
là hệ trục có MMQT ly tâm
bằng không.
 Tìm HTC, cho I
uv
=0
yx
xy
0
II
I2
2tg


 có 2 góc 
0
sai biệt nhau 90
0
nghĩa là luôn có 2 trục chính vuông góc nhau.
6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC
A
dA
M
V
U
O


y
x
y
x
u
v
 MMQT cực trị
yx
xy
0
II
I2
2tg


MMQT cực trị cũng là
MMQT đối với trục chính.
Cho
dI
uv
d
=0
Cũng được
2
xy
2
yx
yx
minmax,

I4)II(
2
1
2
II
I 

