Đề học sinh giỏi toán 12-số 4

1. Đề thi toán gồm có 3 bài toán A, B, C.

Có 25 thí sinh
đ
ã gi
ả
i ít nh
ấ
t m
ộ
t trong ba bài trên. Trong s
ố
nh
ữ
ng thí sinh không gi
ả
i
đượ
c
bài A, s
ố thí sinh giải bài B nhi
ều gấ
p đôi số
thí sinh giải bài C.

S
ố thí sinh chỉ

giải bài A nhiề
u hơn so v
ới thí sinh giải bài A và ít nh
ất một trong các bài còn
l
ạ
i là 1.

Số
thí sinh chỉ gi
ải bài A bằng s
ố thí sinh chỉ
giải bài B cộ
ng với thí sinh chỉ
giải bài C.

Hỏi có tất cả có bao nhiêu thí sinh chỉ giải được bài B?.



2. Chứng minh r
ằng nế
u :

BC + AC = (BC tgA + AC tgB)

thì tam giác ABC cân.

3. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm tới các đỉnh của một tứ diện đều là nhỏ
nhất nếu nó là tâm của tứ diện.



4. Chứng minh rằng:


với bất kì số tự nhiên n và số thực x (với sin2
n
x 0).



5. Giả
i hệ
phương trình:

|a
i
- a
1
|x
1
+ |a
i
- a
2
|x
2

+|a
i
- a
3
|x
3
+ |a
i
- a
4
|x
4
= 1 với i = 1,2, 3, 4.

Trong
đó: a
i
là các s
ố thự
c khác nhau.



6. Lấy b
ất kì các đ
iể
m K, L, M lần l
ượt trên các cạ
nh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Chứng minh rằng có ít nhất một trong số các tam giác AML, BKM, CLK có diện tích

diện tích tam giác ABC.