Đề học sinh giỏi toán 12-số 5

1. Chứng minh rằng tồn tại vô số các số nguyên dương m để n
4
+ m không là số nguyên tố
với mọi n nguyên dương.



2. Cho f(x) = trong đó a
i
là các
hằng số thực, x là biến thực.

Chứ
ng minh rằng: Nế
u f(x
1
) = f(x
2
) = 0 thì (x
1
- x
2
) = k
π
, v
ới k là một s
ố nguyên.

3. V
ới mỗi k = 1, 2, 3, 4, 5 tìm
điề
u kiện cầ
n và đủ v
ới a > 0 sao cho tồn t
ại mộ
t tứ diệ
n có k
cạnh chi
ều dài a và các cạnh còn l
ại có chiề
u dài là 1.



4. C là một
điểm n
ằm trên nử
a đường tròn đườ
ng kính AB (ở giữ
a A và B). D là chân đường
vuông góc k
ẻ từ
C xuống AB. Đườ
ng tròn K
1
nội ti
ếp tam giác ABC, đường tròn K

2
tiếp xúc
với CD, DA và nửa đường tròn đường kính AB. Đường tròn K
3
tiếp xúc với CD, DB và nửa
đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng K
1
, K
2
, K
3
có chung một tiếp tuyến khác AB.



5. Cho n điểm nằm trong một mặt phẳng (n > 4), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.
Chứng minh rằng có nhiều nhất tứ diện lồi có các đỉnh trong số n điểm trên.



6. Cho các số th
ực x
1
, x
2
, y
1
, y
2
, z

1
, z
2
thoả mãn x
1
> 0, x
2
> 0, x
1
y
1
> z
1
2
và x
2
y
2
> z
2
2
.

Chứ
ng minh rằng:



Đi
ều ki

ện cầ
n và đủ
để dấ
u đẳ
ng thức x
ảy ra.