Đề học sinh giỏi toán 12-số 6

1. M là một điểm trên cạnh AB của tam giác ABC. r, r
1
, r
2
lần lượt là bán kính của các đường
tròn nội ti
ếp các tam giác ABC, AMC, BMC. q là bán kính c
ủa đường tròn ti
ếp xúc vớ
i ba
cạnh AB, và CA, CB kéo dài. q
1
là bán kính c
ủa đường tròn ti
ếp xúc vớ
i BC và AB, AC kéo
dài. q
2
là bán kính của
đường tròn tiế
p xúc với CA và BA, BC kéo dài. Chứ
ng minh rằng:
r
1
r
2
q = rq

1
q
2



2. Cho 0 x
i
< b v
ớ
i i = 0, 1, , n và x
n
> 0, x
n-1
> 0.

N
ếu a > b, và: A = x
n
a
n
+ x
n-1
a
n-1
+ + x
0
a
0
; B = x

n
b
n
+ x
n-1
b
n-1
+ + x
0
b
0

A' = x
n-1
a
n-1
+ x
n-2
a
n-2
+ + x
0
a
0
; B' = x
n-1
b
n-1
+ x
n-2

b
n-2
+ + x
0
b
0
.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: A'B < AB'.



3. Cho các số
thực a
0
, a
1
, a
2
, thoả
mãn: 1 = a
0
a
1
a
2

các số thự
c b
1
, b
2,
b
3
, được đị
nh nghĩa b
ởi:



(a) Chứng minh rằng: 0 b
n
< 2.

(b) Cho c tho
ả
mãn 0 c < 2. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ta có th
ể
tìm
đượ
c a

n
sao cho b
n
> c v
ớ
i m
ọ
i
n đủ lớn.



4. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tập {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} có thể được
chia ra thành hai tập con mà tích của tất cả các số trong mỗi tập con là bằng nhau.



5. Cho tứ
diện ABCD có và chân
đường cao h
ạ từ
D xuống m
ặt ph
ẳng ABC là
trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

(AB + BC +CA)
2
6(AD
2

+ BD
2
+ CD
2
).

Trong tr
ường hợ
p nào thì dấ
u đẳng th
ức xả
y ra ?.



6. Cho 100 điểm đồng phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng
nhiề
u nh
ấ
t có 70% số
tam giác
đượ
c tạ
o thành t
ừ
các đ
i
ể
m trên có tấ
t c

ả
các góc đề
u nh
ọn.