Đề học sinh giỏi toán 12-số 7

1. Cho E
n
= (a
1
- a
2
)(a
1
- a
3
) (a
1
- a
n
) + (a
2
- a
1
)(a
2
- a
3
) (a
2
- a
n
) + + (a
n
- a

1
)(a
n
- a
2
) (a
n
-
a
n-1
). S
n
là định đề mà E
n
0 với mọi số thực a
i
.

Chứng minh rằ
ng: S
n
đúng với n = 3 và n = 5, nh
ưng lạ
i sai với nhữ
ng giá trị khác c
ủa n (với
n>2).

2. Cho P
1
là một đa giác lồi với các đỉnh A
1
, A
2
, , A
9.
P
i
là đa giác

thu được từ P
1
bằng cách
tịnh ti
ến mà di chuyể
n A
1
tới A
i.
Chứng minh rằng: có ít nhất hai đa giác trong số các đa giác
P
1
, P
2
, , P
9
có chung m
ộ

t
đ
i
ể
m trong.



3. Chứng minh rằng ta có thể tìm được một tập vô hạn các số nguyên dương dạng 2
n
- 3
(trong đó n cũng là một số nguyên dương) mà với mọi cặp của nó nguyên tố cùng nhau.



4. Tất cả các mặt của tứ diện ABCD có các góc đều là nhọn. Lấy điểm X trong đoạn AB, Y
trong BC, Z trong CD, và T trong AD.

(a) Nếu , chứng minh rằng: không có đường đi đóng XYZTX có
độ dài ngắn nhất.

(b) Nếu thì có vô số các đường đi ngắn nhất XYZTX mà mỗi
đường có độ dài là 2AC sin k, trong đó: 2k = .



5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m ta có thể tìm được một tập S hữu hạn các
điểm trong mặt phẳng sao cho với bất kì điểm A thuộc S tồn tại đúng m điểm thuộc S có
khoảng cách từ A đến là 1 đơn vị.

6. Cho A = (a
ij
), i,j = 1, 2, , n là một ma trận vuông với a
ij
là các số nguyên không âm. Với
mỗ
i i, j mà có a
ij
= 0 thì tổng của các phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j sẽ không nhỏ hơn n.
Chứng minh rằng: tổng của tất cả các phần tử của ma trận không nhỏ hơn .