Đề học sinh giỏi toán 12-số 8

1. Cho bất kì một tập 10 số khác nhau trong đoạn [10, 99]. Chứng minh rằng: luôn tìm được
hai tập con rời nhau sao cho các tập đều có tổng như nhau.



2. Cho n > 4. Ch
ứng minh rằ
ng: mọi tứ
giác nội ti
ếp đường tròn
đều có thể chia thành n t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn.



3. Chứng minh rằng: (2m)!(2n)! là bội số của m!n!(m+n)! với mọi số nguyên không âm n và
m.

4. Tìm t
ấ
t c
ả
các nghi
ệ
m th
ự
c d
ươ
ng c
ủ
a h
ệ
b
ấ
t ph
ươ
ng trình:




5. Cho f và g là hai hàm nhận giá trị thực trên tập các số thực.

Với mọi x và y: f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y).

Hàm f không đồng nhất bằng 0 và |f(x)| 1 với mọi x.

Chứng minh rằng: |g(x)| 1 với mọi x.

6. Cho 4 mặ
t phẳng khác nhau và song song v
ới nhau.

Chứng minh r
ằng: tồ
n tại m
ột t
ứ diệ
n đều v
ới m
ỗi đỉ
nh nằm trên m
ỗi m
ặt phẳ
ng.