Đề học sinh giỏi toán 12-số 20

1. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ậ
p {1, 2, 3, , 1989} có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n
đượ
c thành h
ợ
p r
ờ
i nhau c
ủ
a các
tậ
p con A
1
, A
2
, , A
117
trong đó: mỗi tập con A

i
bao gồm 17 phần tử và tổng của tất cả các
phần t
ử trong mỗ
i tập A
i
là nh
ư
nhau.





2. Cho tam giác nhọn ABC. Đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt gặp đường
tròn ngoại tiếp tam giác tại A
1
, B
1
, C
1
. G
ọ
i A
0
là giao
đ
i
ể
m c

ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng AA
1
v
ớ
i
đườ
ng
phân giác ngoài c
ủ
a các góc B và C; B
0
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng BB
1
v
ớ

i
đườ
ng phân
giác ngoài c
ủ
a các góc A và C; C
0
là giao điểm của đường thẳng CC
1
với đường phân giác
ngoài của các góc A và B. Chứng minh rằng: Diện tích tam giác A
0
B
0
C
0
g
ấ
p 2 l
ầ
n di
ệ
n tích
l
ụ
c giác AC
1
BA
1
CB

1
và lớn hơn hoặc bằng 4 lần diện tích tam giác ABC.





3. Cho n, k là hai s
ố
nguyên d
ươ
ng. S là t
ậ
p h
ợ
p c
ủ
a n
đ
i
ể
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng sao cho không
có ba
đ
i
ể

m nào th
ẳ
ng hàng và v
ớ
i m
ọ
i P thu
ộ
c S t
ồ
n t
ạ
i ít nh
ấ
t k
đ
i
ể
m thu
ộ
c S cách
đề
u P.

Chứng minh rằng: .

4. Cho t
ứ
giác l
ồ
i ABCD sao cho AB = AD +BC. T
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m P trong t
ứ
giác có
khoảng cách h so với CD sao cho AP = h + AD và BP = h + BC. Hãy chỉ ra rằng:




5. Chứ
ng minh rằng v
ới mỗ
i số
nguyên dương n t
ồn tạ
i n số nguyên d
ương liên ti

ếp không
phả
i là số
nguyên tố ho
ặc không là luỹ
thừ
a của m
ột sô nguyên tố
.



6. Một hoán v
ị {x
1
, x
2
, , x
m
} của t
ập {1, 2, , 2n}, trong
đó n là mộ
t số nguyên d
ương,
được gọ
i là có tính chấ
t P nếu: |x
i
- x
i+1

| = n với ít nh
ất mộ
t i trong {1, 2, , 2n - 1}. Hãy chỉ

ra rằng v
ới m
ỗi n số
các hoán vị có tính ch
ất P nhiề
u hơ
n số các hoán v
ị không có tính chấ
t
này.