Đề học sinh giỏi toán 12-số 23

1. Cho f(x) = x
n
+ 5x
n-1
+ 3, trong đó n là một số nguyên > 1. Chứng minh rằng f(x) không
thể biểu diễn thành tích của hai đa thức (khác hằng số) với các hệ số nguyên.





2. Cho D là một đ
iểm bên trong tam giác nh
ọn ABC sao cho và AC.BD =
AD.BC.

(a) Tính t
ỉ số
:

(b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến kẻ từ C với đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và
BCD vuông góc với nhau.

3. Trò ch
ơi trên mộ
t bàn cờ ô vuông vô hạ
n theo quy luật sau:
Đầu tiên có n
2
quân c
ờ đượ
c
sắp xếp trong một khối hình vuông n x n của các ô vuông liên tiếp, mỗi quân trên một ô
vuông. Nước đi trong trò chơi này là một quân cờ có thể nhảy qua một quân ở ô liền kề đến
m
ộ
t ô tr
ố
ng ti
ế
p theo chi
ề
u ngang ho
ặ
c chi
ề
u d
ọ
c. Quân c
ờ
sau khi
đ
ã nh

ả
y thì b
ị
lo
ạ
i. Tìm
giá trị của n để trò chơi có thể kết thúc chỉ với một quân cờ còn lại trên bàn cờ.





4. Cho ba điểm P, Q, R trong một mặt phẳng, gọi m(PQR) là độ dài của đường cao nhỏ nhất
c
ủa tam giác PQR (ho
ặc là bằ
ng 0 nếu ba
điể
m P, Q, R thẳ
ng hàng). Chứng minh r
ằng: vớ
i
bấ
t kì các đi
ểm A, B, C, X ta luôn có:

m(ABC) m(ABX) + m(AXC) + m(XBC).

5. H
ỏi có t
ồn tạ
i hay không một hàm f t
ừ t
ập số
nguyên dương vào t
ập số
nguyên dươ
ng sao
cho: f(1) = 2, f(f(n)) = f(n) + n vớ
i mọi n và f(n) < f(n + 1) v
ới mọ
i n.




6. Có n > 1 cái đèn được kí hiệu là L
0
, L
1
, , L
n-1
trong m
ột đườ
ng tròn. Chúng ta có thể s
ử

dụng L
n+k
như là L
k
. Mỗi đèn tại một thời điểm hoặc là được bật hoặc là tắt. Bắt đầu tất cả
các
đ
èn đề
u b
ậ
t. Thự
c hi
ệ
n các bướ
c s
0
, s
1
, như sau: tại bước s
i
nếu đèn L
i-1
sáng thì ta
chuyển L
i
từ trạng thái bật thành tắt hoặc ngược lại chuyển từ tắt thành bật, các đèn khác ta
không làm gì cả. Hãy chỉ ra rằng:

(a) Tồn tại một số nguyên dương M(n) sao cho sau M(n) bước thực hiện tất cả các đèn đều
trở lại trạng thái ban đầu.

(b) Nếu n = 2
k
thì ta có thể lấy M(n) = n
2
- 1.

(c) Nếu n = 2
k
+ 1 thì ta có thể lấy M(n) = n
2
- n + 1.