Đề học sinh giỏi toán 12-số 25

1. Cho một số nguyên dương r và một tấm bảng hình chữ nhật được chia thành 20 x 12 ô
vuông đơn vị. Các di chuyển sau được cho phép trên bảng: có thể di chuyển từ một ô vuông
này đến ô vuông khác chỉ nếu khoảng cách tâm của hai ô vuông này là . Nhiệm vụ là tìm
ra một cách di chuyển từ một ô góc của bảng đến ô góc khác của bảng cùng nằm trên cạnh
dài của bảng.

(a) Hãy chỉ ra là không làm đượ
c điề
u đó n
ếu r chia hết cho 2 ho
ặc 3.

(b) Chứng minh r
ằng có thể làm
được nế
u r = 73.

(c) Có thể làm
được không nế
u r = 97?





2. Cho P là một điểm trong tam giác ABC sao cho . Gọi D, E lần
lượt là tâm đườ

ng tròn nội ti
ếp tam giác APB và APC. Hãy chỉ ra r
ằng AP, BD, CE cắt nhau
tại mộ
t đi
ểm.





3. Cho tập các số nguyên không âm S. Tìm tất cả các hàm f : S S sao cho:

f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) với mọi m, n.





4. Cho a, b là các số nguyên dương thoả mãn: 15a + 16b và 16a - 15b đều là bình phương của
các số nguyên d
ương. Số
nhỏ
hơn trong hai s
ố này sẽ
nhậ
n giá trị nh
ỏ nhấ
t là bao nhiêu.

5. Cho ABCDEF là một l
ục giác l
ồi sao cho AB//DE, BC//EF và CD//FA. Gọ
i R
A
, R
C
, R
E
là
bán kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác FAB, BCD, DEF. Và gọi p là chu vi của lục
giác.

Chứ
ng minh rằng:

R
A
+ R
C
+ R
E

6. Cho p, q, n là ba số nguyên dương với p + q < n.

G
ọ
i x
0
, x
1
, , x
n
là các s
ố
nguyên sao cho x
0
= x
n
=0 và v
ớ
i m
ỗi 1 i n có x
i
- x
i-1
= p ho
ặ
c
= -q. Hãy ch
ỉ
ra rằ

ng t
ồ
n tạ
i ch
ỉ
số
i < j v
ớ
i cặ
p (i, j) (0, n) sao cho x
i
= x
j
.