SKKN Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS bằng máy tính cầm tay

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Ở BẬC THCS BẰNG
MTCT"
A. MỞ ĐẦU
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
“…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết hợp
hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử. Có những bài toán
khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư,
chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình
giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp. Nếu không dùng máy tính thì thời gian
làm bài sẽ rất lâu. Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng
toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện
tử”.
(Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học).
- Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử dụng rộng rãi
trong học tập, thi cử . Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc tính toán và những bài
tập không thể giải bằng tay.
- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải
là “các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên MTCT đều có .
- Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, của huyện sử dụng
MTCT để dạy về giải “Một số bài toán về đa thức” thì phần lớn các em nắm được kiến
thức nhưng sau đó việc vận dụng ,cũng như kĩ năng trình bày bài giải chưa hợp lý,
chính xác.
Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ năng sử dụng MTCT để giải các
bài toán nói chung và về đa thức nói riêng một cách thành thạo và chính xác là hết sức
cần thiết .
Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan đến đa thức
đặc biệt là các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra hầu hết các tỉnh thành
trong cả nước.
Do đó tôi chọn đề tài:“Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ”

II.NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
Nhiệm vụ chính:
Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán liên quan
đến đa thức.
Đối với giáo viên:
- Có được nội dung ôn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy với sự hỗ trợ
của MTCT và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu quả hơn.
- Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa
thức bằng MTCT.
Đối với học sinh:
- Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về đa thức
- Vận dụng linh hoạt, có kĩ năng thành thạo.
III.PHƯƠNG PHÁP – CƠ SỞ – THỜI GIAN TIẾN HÀNH NGHIÊN CỨU
Phương pháp:
• Đan xen việc giải toán trên MTCT trong các tiết dạy( đưa thêm một số bài tập có
số phức tạp,kết hợp nhiều phép tính,…)
• Sinh hoạt ngoại khoá thực hành giải toán trên MTCT tại trường THCS Bình
Nghi.( Theo kế hoạch đã được bộ phận chuyên môn nhà trường duyệt)
• Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường.
• Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện.
Cơ sở – Thời gian tiến hành nghiên cứu: Năm học: 2009 – 2010
 Học sinh trường THCS Bình Nghi.(160 học sinh được lựa chọn ở các khối 7,8,9
từ 5/10/2009 đến 1/11/2009).
 Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Bình Nghi( Từ
2/11/2009 đến 15/11/2009).
 Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện Tây Sơn( Từ 14/12/2009 đến
5/01/2010).
B.KẾT QUẢ
I. TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC:

- Học sinh không biết giải các bài tập về đa thức bằng MTCT như thế nào
- Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được hướng giải
chung cho dạng bài tập này.
Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Bình Nghi trong năm học 2009 – 2010 khi chưa thực hiện đề tài
BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ
GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN
QUAN ĐẾN ĐA THỨC
CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN
QUAN ĐẾN ĐA THỨC
LỚPSL SL TL SL TL
7 30 5 16,7% 25 83,3%
8 40 10 25% 30 75%
9 90 23 25,6% 67 74,4%
II. NỘI DUNG – GIẢI PHÁP:
A.KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC :
Định lý Bezout : “ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a)”
Hệ quả :
- Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a
- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f
- Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 ( n TM N) có n nghiệm x1 , x2
…,xn thì đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử :
P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn)
Sơ đồ Horner:
Để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong
trường hợp tổng quát. P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x –
c)
ta có sơ đồ:
an an- 1 an - 2 … a1 a0
c bn-1 =

an
bn -2 =
cbn-1+ an
-1
bn -3 =
cbn - 2+ an -2
… b0 = cb1 +a1 r = cb0 + a0
Vậy: P(x)=q(x)(x - c) + r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 và
r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0
B. GIỚI THIỆU CÁC PHÍM CHỨC NĂNG PHỤC VỤ VIỆC GIẢI TOÁN CỦA
CHỦNG LOẠI MTCT CASIO:
- Các loại máy được sử dụng hiện nay ở trường phổ thông hầu hết là dòng máy casio
fx: 500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES.
- Tuỳ theo cách sử dụng nhưng nhìn chung có hai cách cơ bản dành cho hai dòng
máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS nhưng đối với dòng máy
500ES;500VN-Plus;570ES thì việc nhập dữ liệu vào máy cũng như kết quả truy xuất
hiển thị giống như phép toán ở sách giáo khoa.
- Các phím chức năng , các hàm cơ bản được bố trí dưới dạng hiển thị menu rất thông
dụng
- Trong phạm vi của đề tài này chúng ta xem như học sinh đã biết cách sử dụng MTCT
C. CÁC DẠNG BÀI TẬPỨNG DỤNG :
Dạng 1:Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho
nhị thức (ax + b)
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức (ax + b) ta luôn được: P(x)=Q(x)(ax+b) + m
+ r.
Muốn P(x) chia hết cho x + thì m + r = 0 hay m = -r = - P( ).
Sử dụng hệ quả của định lý Bezout và chức năng giải phương trình và hệ phương
trình của MTCT để giải quyết.
Ví dụ 1:Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia hết cho x – 2
Giải :

Đặt g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta có f(x) = g(x) +m2x2 – mx
f(x) M (x – 2 ) <-> f(2) = 0 hay g(2) +4m2 – 2m = 0
Ta có g(2) = –56 Þ f(2) = 0 khi 4m2 – 2m = 56 <-> 4m2 – 2m – 56 = 0
Giải phương trình ẩn m , ta được m1 = 4 và m2 = –3,5
(*) vào EQN chọn phương trình bậc hai một ẩn :
nhập vào máy a =4 ; b=- 2 ; c= -56-> x1 = 4; x2 =- 3,5
Nghĩa là hai đa thức f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 4x – 80 và
f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 đều chia hết cho x – 2
Bài tập tương tự :
Bài 1:Cho đa thức f(x) = x5 – 3x4 +5 x3 – m2x2 + mx + 861 .
Tìm m để f(x) M (x + 3)
HD: Đặt g(x) = x5 – 3x4 +5 x3 + 861 ta có f(x) = g(x) - m2x2 + mx
Giải phương trình ẩn m , ta được : m1 = 5 và m2 =
Bài 2:
(Sở GD – ĐT TP. Hồ Chí Minh. 2003)
Tìm giá trị của m biết giá trị của đa thức f(x) = x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m -5
tại x = - 2,5 là 0,49.
HD: Đây là bài toán tìm m để đa thức f(x) chia cho x + 2,5 có số dư là 0,49
Ta có: f(x) – 0,49 M (x + 2,5)
- >Tìm giá trị của m biết đa thức x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m - 4,51 chia hết cho x
+ 2,5
Đáp số:209,105
Ví dụ 2 : Tìm a và b sao cho hai đa thức
f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b và
g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b cùng chia hết cho (x – 3)
Giải:
f(x) , và g(x) cùng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi f(3) = g(3) = 0
Đặt A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x và B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x
Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b
g(x)=B(x) –3a +2b

f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b Þ f(3) = 0 <-> 2a + 3b = –87
g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b Þ g(3) = 0 <-> –3a +2b = –318
Ta có hệ phương trình :
Vào MODE EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta được
nghiệm
( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 .
Bài tập tương tự :
Bài 1: (Bộ GD – ĐT, 2005)
Cho biết đa thức P(x) = x4 +mx3 -55x2 +nx –156 chia hết (x – 2) và chia hết cho (x –
3). Hãy tìm giá trị của m, n và các nghiệm của đa thức.
Giải:
P(x) chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) = 0
Đặt A(x) = x4 – 55x2 – 156
Ta có P(x) = A(x) + 8m + 2n
P(2) = A(2) + 8m + 2n = -360 + 8m + 2n Þ P(2) = 0 <-> 8m + 2n = 360
P(3) = A(3) +27m + 3n= -570 + 27m + 3nÞP(3) = 0 <-> 27m + 3n = 570
Ta có hệ phương trình :
( n = 172; m = 2; )
Bài 2:Tìm m và n để hai đa thức P(x) và Q (x) cùng chia hết cho (x +4 )
P(x) = 4x4– 3x3 + 2x2 – x + 2m – 3n
Q(x) = 5x5 – 7x4 + 9x3 – 11x2 + 13x – 3m + 2n
HD : Tương tự như ví dụ 2
Đáp số:m = –4128,8 ; n = –2335,2
Dạng 2 : Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong
đó (vì ax + b bậc 1). Thế ta được P( ) = r ( Bezout)
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P( )
Ví dụ 3: (Sở GD - ĐT TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:
Giải: Đặt P(x) =
thì số dư : r =P(1,624) = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723

Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:
Đáp số: r
= 85,92136979
Ví dụ 4: Tìm số dư trong phép chia:
Giải:
Đặt P(x) =
thì số dư : r =P( ) = 3. + 5. - 4. + 2. – 7
Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:
Đáp số: r
=
Bài tập tương tự :
Bài 1: (Sở GD - ĐT Đồng Nai, 1998)
Tìm số dư trong phép chia
Giải:
Số dư : r = (-2,318)5 – 6,723(-2,318)3 + 1,857(-2,318)2 - 6,458(-2,318) + 4,319
Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:
Đáp số: r
= 46,07910779
Bài 2: (Sở GD - ĐT Cần Thơ, 2003)
Cho .
Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x – 3.Tìm BCNN(r1,r2)?
Giải:
Số dư : r1 = 24 + 5.23 – 4.22 + 3.2 + 50
Số dư : r2 = 34 + 5.33 – 4.32 + 3.3 + 50
Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:
= Đáp số: r1 =

96 ;r2 =239 ;BCNN(r1,r2) = 22944
Dạng3 : Tìm đa thức thương và dư khi chia đa thức cho đa thức
Bài toán : Chia đa thức a3x3 + a2x2 + a1x + a0 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b2x2 +
b1x + b0 và số dư r.
Vậy a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b2x2 + b1x + b0)(x - c) + r
= b2x3 + (b2-b1c)x2 + (b1-b0c)x + (r + b0c).
Ta lại có công thức truy hồi Horner: b2 = a3; b1= b2c + a2; b0= b1c + a1; r = b0c + a0.
Vậy: r = a0 +ca1 + c2a2 + c3a3
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4
trở lên) cho (x - c) trong trường hợp tổng quát. P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c)
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q(x)(x - c)+r theo sơ đồ Horner để được q(x) và r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-
2 +…+ b1x + b0 ta được bảng sau:
an an- 1 an - 2 … a1 a0
c bn-1 = an bn -2 =
cbn-1 + an
-1
bn -3 =
cbn - 2+ an
-2
… b0 = cb1 +a1 r = cb0 + a0
Do đó: r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0
Ví dụ5: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
Giải
Ta có: c = 5; a7 =1; a6 = 0; a5 = -2; a4 = -3; a3 = a5 = 0; a1 = 1; a0 = -1; b6 = a7 = 1.
Qui trình ấn máy
Vậy :
x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 =
= (x - 5)(x6 + 5x5 + 23x4 + 112x3 + 560x2 + 2800x + 14001) + 7004.
( Ta cũng có thể sử dụng biến Ans để tìm các hệ số và số dư)
Ví dụ 6: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.

Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x - c)+r0 theo sơ đồ Horner để được
q1(x) và r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
Tổng quát: P(x) = rn(x-c)n + rn-1(x-c)n-1 +…+ r2(x-c)2 + r1(x-c) + r0
1 0 -3 1 -2 x4-3x2+x-2
3 1 3 6 19 55 q1(x)=x3+ 3x2 + 6x +19, r0 = 55
3 1 6 24 91 q2(x)=x2+ 6x + 24, r1 = 91
3 1 9 51 q3(x)=x + 9, r2 = 51
3 1 12 q4(x)=1 = a0, r3 = 12
Vậy :x4 – 3x3 + x – 2 = (x-3)4+ 12(x-3)3+ 51(x-3)2 + 91(x-3) + 55
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu không có sự hỗ trợ của MTCT thì việc phân tích đa thức thành nhân tử là một
bài toán khó.
Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng chức năng giải phương trình của MTCT để tìm
nghiệm, sau đó sử dụng hệ quả của định lý Bezout để giải quyết.
“Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 ( ) có n nghiệm
là x1;x2,…,xn thì P(x) = an(x - x1)(x - x2)…(x - xn)”
Ví dụ 7:Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x2 + 514x – 304
9 Giải:
Tìm chức năng giải phương trình bậc hai:
Nhập a = 105 , b = 514 , c = –304
Tìm được nghiệm của đa thức trên :
Vậy đa thức 105x2 + 514x – 304 được phân tích thành
Bài tập tương tự :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) 65x2 + 4122x +61093
HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc hai
Nhập a = 65 , b = 4122 , c = 61093
Tìm được nghiệm của đa thức trên :
Vậy đa thức 65x2 + 4122x + 61039 được phân tích thành
b) 299 x2 – 2004x + 3337

HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc hai
Nhập a = 299 , b =- 2004 , c = 3337
Tìm được nghiệm của đa thức trên :
Vậy đa thức 299 x2 – 2004x + 3337 được phân tích thành
c) 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265
HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc ba
Nhập a = 156 , b =- 413 , c = -504, d = 1265. Tìm được nghiệm của đa thức
trên : bn
Vậy đa thức 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265 được phân tích thành
Dạng 5: Tính giá trị của đa thức
Dạng 5.1: Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến(đa thức cho trước)
Bài toán:Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …
Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để
tính.
Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết dưới dạng
Vậy .
Đặt bn-1 = bnx0 + an; bn-2 = bn-1x0 + an-1; …; b1= b0x0 + a0; bo=a0. Suy ra:
P(x0) = bn
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
Giải trên máy: - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M.
Thực hiện dãy lặp: bk-1 + ak
Ví dụ 8: (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009)
Tính C = . Với
Quy trình:
à C = -101,0981355.
Ví dụ 9 : (Sở GD TP HCM, 1996) Tính khi x = 1,8165
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ
Aán phím: 1 8165
Đáp số : 1.498465582

Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ
Aán phím: 1 8165
Đáp số: 1.498465582
Phương pháp dùng sơ đồ Horner tương đối phức tạp ít hiệu quả ,đối với máy fx-500
MS;fx-500 ES chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa
biến nhớ, riêng fx-570 MS;fx-570 ES có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng
cách bấm , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là
xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến
nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
Ví dụ 10 : Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:
235678
Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím là
xong.
Bài tập tương tự :
Bài 1: (Bộ GD – ĐT ,2006)
Tính giá trị của biểu thức
với x = 1,257; y = 4,523
Đáp số : B = 7,955449483
với x = 0,36; y = 4,15
Đáp số : C = 0,788476899
Dạng 5.2 : Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến( đa thức chưa xác định)
Ví dụ 11 : (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009)
Đa thức P(x) = . có giá trị là 11;14;19;26;35 khi x nhận
các giá trị lần lượt là: 1;2;3;4;5.
• Tính P(11) và P(15).
• Tìm số dư r khi chia P(x) cho 10x – 3 .
Giải :
a) Rõ ràng nếu ta thế 1,2,3,4,5 chỉ xác định hệ số tự do , việc còn lại là giải hệ phương

trình bậc nhất 4 ẩn mà máy CASIO không thể giải quyết được . Giải bằng tay thì rất
vất vả . Bài toán này có thể giải quyết như sau :
9 Xét đa thức phụ k(x) = x2 + 10
Ta có : k(1) = 11 ; k(2) = 14 ; k(3) = 19 ; k(4) = 26; k(5) = 35
Đặt g(x) = P(x) – k(x)
Ta có : g(1) = P(1) – k(1) = 0
g(2) = P(2) – k(2) = 0
g(3) = P(3) – k(3) = 0
g(4) = P(4) – k(4) = 0
g(5) = P(5) – k(5) = 0
Từ đó suy ra 1,2,3,4,5 là nghiệm của g(x)
Mặt khác g(x) là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với P(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = P(x) –
k(x) ) và có hệ số cao nhất là 1
Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử :
g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)
mà g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) = g(x) + k(x)
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 + 10
ÞP(11) = 30371;P(15)=240475
9 Vấn đề ở đây là làm sao tìm được đa thức phụ k(x) = x2 + 10 ?
Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) = 11 k(2) = 14 ,
k(3) = 19
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = 0 , c = 10
Þ k(x) = x2 + 10 . Thử tiếp thấy k(4) = 26 và k(5) = 35
Vậy k(x) = x2 + 10 là đa thức phụ cần tìm . Tất nhiên khi thử k(4) 26 hoặc k(5) 35
thì buộc phải tìm cách giải khác .
Ở câu b) việc tìm số dư quá đơn giản đây là bài toán ở dạng 2 ở trên.
Quy trình: Dư trong phép chia P(x) cho 10x -3 là P( )
CALC…X? à à r = - 45,78407.

Bài tập tương tự :
Bài 1:(Thi khu vực 2002, lớp 9)
• Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e .
Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ;
P(5) = 25 . Tính các giá trị của P(6) ; P(7) , P(8) , P(9)
HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = 0 , c = 0
Þ k(x) = x2 . Thử tiếp thấy k(4) = 16 và k(5) = 25
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2
ÞP(6) = 36;P(7)=49;P(8) = 64;P(9)=81.
• Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 ,
Q(3) = 9, Q(4) =11
Tính các giá trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)
HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 0 , b = 2 , c = 3
Þ k(x) = 2x + 3 . Thử tiếp thấy k(4) = 11
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)+ 2x + 3
ÞP(10) = 23;P(11)=25;P(12) = 27;P(13)=29.
• Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Biết f(1) = 1, f(2) = 3,
f(3) = 7, f(4)= 13, f(5) = 21
Tính f(34,567).
HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = -1 , c = 1
Þ k(x) = x2 – x + 1. Thử tiếp thấy k(1) = 1 và k(2) = 3
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – x +1
ÞP(34,567) = (34,567)2 - 34,567 + 1 = 1161,310489

d) Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Biết f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11 . Hãy tính f(15) f(16), f(18,25)
HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = -1; k(2) = -1 , k(3) = 1
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = -3 , c = 1
Þ k(x) = x2 – 3x + 1. Thử tiếp thấy k(4) = 5 và k(5) = 11
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – 3x +1
ÞP(15) = (15)2 – 3.15 + 1 = 181;P(15) = (16)2 – 3.16 + 1 = 209;
P(18.25) = (18.25)2 – 3.18.25 + 1 = 278
Vận dụng linh hoạt các phương pháp , kết hợp với máy tính có thể giải được rất
nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được . Do đó
yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng các phép biến đổi một cách hợp
lí , logic.
Bài toán sau đây là một ví dụ mà nhiều học sinh dễ nhầm lẫn trong quá trình giải.
Ví dụ 12: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005
Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15)
Giải :
Xét đa thức phụ k(x) = 3x + 5
Ta có k(1) = 8 ; k(2) = 11 ; k(3) = 14 ; k(4) = 17
Đặt g(x) = P(x) – k(x)
Ta có g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = 0 hay g(x) có 4 nghiệm là 1 , 2 , 3 , 4 .
Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử :

g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)
mà g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) = g(x) + k(x)
= (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 3x + 5
àP(15) = 24074!
Chúng ta đã làm đúng theo qui trình của phương pháp vừa đưa ra nhưng kết quả
nhận được là một đáp án sai. Vậy chúng ta đã nhầm lẫn ở bước nào?
Ở bài toán trên khi chúng ta đặt đa thức g(x) = P(x) – k(x) thì kết quả nhận được là đa
thức bậc 5 (Cùng bậc với P(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = P(x) – k(x) ) và có hệ số cao
nhất là 1 . Nên kết quả của bài sai là do đa thức g(x) tìm được chỉ là một đa thức bậc
4.
Vậy ta cần giải quyết bài toán này như thế nào?
Đa thức g(x) phải có hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của P(x) nên g(x) được phân
tích thành nhân tử như sau g(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) .
Vấn đề còn lại là tìm số I như thế nào ?
Vì g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) =g(x) + k(x)
Hay P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
Þ Hệ số tự do của P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005
hay 24I = 132000
Þ I = 132000:24 = 5500
Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
Þ P(15) = 132492410
Ví dụ 13:(Bộ GD – ĐT,2005)
Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005. Biết rằng khi x lần lượt nhận
các giá trị 1,2,3,4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần lượt là 8,11,14,17.
Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15
HD: Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 0 , b = 3 , c = 5

Þ k(x) = 3x + 5. Thử tiếp thấy k(4) = 17
Vậy P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
Þ Hệ số tự do của P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005
hay 24I = 132000
Þ I = 132000:24 = 5500
Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
Đáp án: P(11) = 27775417; P(12)= 43655081; P(13) = 65494484
P(14) = 94620287; P(15) = 132492410.
Bài tập tương tự :
Bài 1:Cho đa thức f(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 115197
Biết f(1) = –1 , f(2) = 1, f(3) = 3 , f(4) = 5 . Tính f(12)
HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 0 , b = 2 , c = -3
Þ k(x) = 2x - 3. Thử tiếp thấy k(4) = 5
Vậy P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x - 3
Þ Hệ số tự do của P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) - 3 = 115197
hay 24I = 115200 Þ I = 115200:24 = 4800
Vậy P(x) = (x + 4800)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x - 3
Đáp số: 38111061
Bài tập tổng hợp:
Bài 1: (Sở GD – ĐT Bắc Ninh, 2005)
Cho đa thức bậc 4 :f(x) = x4 +bx3 +cx2 + dx + 43 có f(0) = f(-1); f(1)= f(-2);
f(2) = f(-3). Tìm b,c,d.
Với b,c,d vừa tìm được ,Hãy tìm tất cả các số nguyên n sao cho
f(n)= n4 +bn3 +cn2 + dn + 43 là một số chính phương.
HD: Ta có: f(0) = f(-1)
f(1)= f(-2)

f(2) = f(-3).
Giải hệ pt :
Đáp số: b = 2; c = 2; d = 1
Khi xác định b, c, d ta có đa thức f(x) = x4 +2x3 +2x2 + x + 43 để tìm n sao cho f(n) là
một số chính phương ta làm như sau :
Vì f(n)= n4 +2n3 + 2n2 + dn + 43=(n2 + n + 1)(n2 + n) +43 > 0,
Gán n vào biến nhớ thực hiện dãy tăng ,giảm của biến nhớ để tìm nếu kết
quả nhận được một số nguyên thì ta xác định được n để f(n) là một số chính phương.
Đáp số : n = -7; - 2; 1; 6.
Bài 2:
Cho f(2x – 3) = x3 + 3x2 – 4x + 5
a) Xác định f(x)
b) Tính f(2,33)
Giải:
a) Đặt t = 2x – 3 Þ
Þ f(t) =
Þf(x)
b)f(2,33)
Qui trình ấn phím :
Đáp số :34,57410463
Bài 3:
Cho đa thức P(x) =
a) Tính f(–4) , f(–3) , f(–2) , f(–1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4)
b) Chứng minh rằng với mọi xTM Z thì P(x) nhận giá trị nguyên .
Giải :
a) Tính được f(–4) = f(–3) = f(–2) = f(–1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0
b) Suy ra –4 ,–3 , –2 ,–1 , 0 , 1 , 2, 3 , 4 là 9 nghiệm của của P(x)
Þ P(x) được phân tích thành nhân tử như sau :
P(x) = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )
Với x TMZ thì (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) là 9 số

nguyên liên tiếp
Trong đó có ít nhất 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 5, 1 số chia hết cho 7 và 1 số