SKKN Một số bài Toán có liên quan đến đường thẳng và đường tròn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
VÀ ĐƯỜNG TRÒN"
MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và học sinh giỏi chúng ta thường bắt gặp các
dạng toán trong phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Đó là những dạng toán
khó đối với học sinh, có nhiều bài không thể giải được hoặc có thể giải được nhưng
gặp nhiều khó khăn, phức tạp. Hơn nữa kiến thức áp dụng rất rộng được xuyên suốt
từ THCS đến THPT. Khi gặp dạng toán này học sinh thường lúng túng về phương
pháp cũng như tính toán. Để giúp các em nhớ lại và hiểu sâu hon về một số dạng toán
có liên quan đến đường thẳng và đường tròn tôi xin lựa chọn đề tài "Phương pháp toạ
độ trong mặt phẳng"; Cụ thể là: "Một số bài toán có liên quan đến đường thẳng và
đường tròn".
II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu đối tượng là học sinh trường trung học phổ thông Tiên Lữ
- Kết quả nghiên cứu được khảo sát trong các tiết giảng ôn luyện thi Đại học, Cao
đẳng và học sinh giỏi môn Toán cho các em học sinh.
- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng.
III. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động
sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh,
điều kiện của từng lớp học; Bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp
tác; Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; Tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh. Quá trình dạy học với các
nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện các kỹ năng hoạt động nhận thức,
hình thành thái độ tích cực được xây dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa
thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm
thực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề ra.
IV. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, tôi nhận thấy giải các bài toán liên quan đến
đường thẳng và đường tròn học sinh thường không mạnh dạn, tự tin, thường lúng túng
về phương pháp cũng như tính toán. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng học sinh bắt
đầu được làm quen ở chương trình THCS, đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc
với rất nhiều bài toán về dạng này, nhưng học sinh không nhận diện được các dạng
toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán
trọn vẹn. Số lượng bài toán thuộc các dạng toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều
trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng và học sinh giỏi những năm gần đây
V. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh tôi đã giúp học sinh hệ thống dạng toán
và phương pháp giải theo các dạng
VI. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Giúp học sinh nhận dạng được các bài toán có một phương pháp mang lại hiệu
quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và
khả năng giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán.
VII. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Hệ thống các dạng toán có liên quan đến
đường thẳng và dường tròn và áp dụng vào giảng dạy thực tế các lớp 11A2, 11A3
trường THPT Tiên Lữ.
NỘI DUNG
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
1)
a
= (a
1
; a
2
) <=>

a
= a
1
i


+a
2
j
2) Cho
a
= (a
1
; a
2
),
b
= (b
1
; b
2
). Ta có:
a

±
b
= (a
1
±
b

1
; a
2
±
b
2
)
3) Cho
a
= (a
1
; a
2
),
b
= (b
1
; b
2
). Ta có:
a
.
b
= a
1
b
1
+ a
2
b

2
a
=
2
2
2
1
aa +
; cos(
a
,
b
) =
ba
ba
.
.
2. Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
1)
( ) ( )
; ;
M M M M
M x y OM x y⇔ =
uuuur
2) Cho A(x
A
; y
A
), B(x
B

; y
B
). Ta có:
AB
= (x
B
-x
A
; y
B
-y
A
)
và AB =
22
)()(
ABAB
yyxx −+−
3) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k
1≠
)
MA kMB⇔ =
uuur uuur
thì





−

−
=
−
−
=
k
kyy
y
k
kxx
x
BA
M
BA
M
1
1
Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì





+
=
+
=
2
2
BA

M
BA
M
yy
y
xx
x
Nếu G là trọng tâm
∆
ABC thì





++
=
++
=
3
3
CBA
G
CBA
G
yyy
y
xxx
x
3. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương

Cho
a
= (a
1
; a
2
),
b
= (b
1
; b
2
). Ta có:
1)
a

⊥
b

⇔

a
.
b
= 0
⇔
a
1
b
1

+ a
2
b
2
= 0
2)
a
cùng phương với
b

⇔
a
1
b
2
- a
2
b
1
= 0
1 2
1 2
1 2
0 0
a a
b b
b b
 
⇔ = ≠ ≠
 ÷

 
nÕu vµ
3) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
uuur uuur
AB v ACµ
cùng phương
Nhắc lại:
1. Trọng tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến. Khoảng cách từ
đỉnh tam giác đến trọng tâm bằng
2
3
độ dài trung tuyến.
2. Trực tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường cao.
H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC
. 0
. 0
AH BC
BH AC

=

⇔

=


uuur uuur
uuur uuur
3. Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực
của 3 cạnh tam giác đó.

I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC
IA IB
IA IC

=
⇔

=

Hoặc
1 2
I d d= ∩
với d
1
, d
2
là trung trực của hai cạnh của tam giác ABC
4. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam
giác đó
5. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và phân giác ngoài AE thì

= =
DB EB AB
DC EC AC
( )
,D E BC∈

Chú ý:
a) Nếu tam giác ABC đều thì tâm đường tròn nội, ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm
của tam giác trùng nhau.

b) Nếu tam giác ABC cân thì tại đỉnh cân, trung tuyến, đường cao, trung trực, phân
giác trong của tam giác trùng nhau
A. ĐƯỜNG THẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước

( )
( )
( ) ( )
∈
= + ≠
− + − =
g
r
g
g
0 0 0
2 2
0 0
;
; : 0
: 0
M x y d
VTPT n A B A B
PTTQ A x x B y y
®iÓm
2) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ chỉ phương cho trước
( )
( )
( )

∈
=

= +

∈

= +


g
r
g
g
0 0 0
1 2
0 1
0 2
; ( )
;
M x y d
VTCP u a a
x x a t
PTTS t R
y y a t
®iÓm
Và phương trình chính tắc là
0
1
x x

a
−
=
( )
µ
0
1 2
2
0 0
y y
a v a
a
−
≠ ≠
3) Phương trình đường thẳng d qua 2 điểm A và B với
( ) ( )
; , ;
A A B B
A x y B x y
là
A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
4) Đường thẳng d đi qua điểm
( )
0 0 0

;M x y
và vuông góc với đường thẳng
∆
:
Ax + By + C = 0
- d vuông góc với
∆
: Ax + By + C = 0 nên phương trình d có dạng:
– Bx + Ay + C’ = 0
-
( )
∈ ⇒ = −
0 0 0 0 0
; 'M x y d C Bx Ay

5) Đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) và song song với
∆
: Ax + By+ C = 0
- d song song với
∆
: Ax + By+ C = 0 nên phương trình d có dạng:
Ax + By + C’ = 0 (C’
C≠
)

-
( )
0 0 0 0 0
; 'M x y d C Ax By∈ ⇒ = − −
6) Phương trình đường thẳng d đi qua
( ) ( ) ( )
vµ; 0 , 0; 0 0A a B b a b≠ ≠
là
1
x y
a b
+ =

(phương trình đoạn chắn).
7) Phương trình đường phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau
(∆
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
( )
2 2
1 1
0A B+ ≠

(∆

2
): A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
( )
2 2
2 2
0A B+ ≠
Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (∆
1
) và (∆
2
) là:
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
+
++
= ±
2
2
2

2
222
BA
CyBxA
+
++
8) Đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) và tạo với đường thẳng
∆
: Ax + By+ C = 0 một góc
α
Gọi
( )
'; 'n A B=
r

( )
'2 '2
0A B+ ≠
là VTPT của đường thẳng d thì phương trình d có dạng
( ) ( )
0 0
' ' 0A x x B y y− + − =
d tạo với
∆

một góc
α
nên
os
2 2 2 2
' '
. ' '
AA BB
c
A B A B
α
+
=
+ +
9) Đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) và cách điểm N
( )
;
N N
x y
một khoảng k cho
trước
Gọi
( )
;n A B=

r

( )
2 2
0A B+ ≠
là VTPT của đường thẳng d thì phương trình d có dạng
( ) ( )
0 0
0A x x B y y− + − =


0 0
0Ax By A x By
⇔ + − − =
d cách điểm N một khoảng k nên
( )
+ − −
= ⇔ =
+
0 0
2 2
,
N N
Ax By A x By
d N d k k
A B
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho 2 đường thẳng:
(∆
1

): A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 (1)
( )
2 2
1 1
0A B+ ≠
(∆
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
= 0 (2)
( )
2 2
2 2
0A B+ ≠
Toạ độ giao điểm của ∆
1
và ∆
2
, nếu có là nghiệm của hệ 2 phương trình (1) và
(2)

Ta có kết quả sau:
- Nếu
2
1
A
A
≠
2
1
B
B
thì ∆
1
cắt ∆
2
- Nếu
2
1
A
A
=
2
1
B
B
≠
2
1
C
C

thì ∆
1
// ∆
2
- Nếu
2
1
A
A
=
2
1
B
B
=
2
1
C
C
thì ∆
1
≡ ∆
2
Lưu ý: ∆
1
⊥
∆
2
<=> A
1

A
2
+ B
1
B
2
= 0
III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM
ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng ∆
1
và ∆
2
cắt nhau, lần lượt có các vectơ pháp tuyến là
1
n
và
2
n
Gọi ϕ là góc hợp bởi ∆
1
và ∆
2
, ta có: cosϕ =
21
2
1
.
.

nn
nn
(0
≤
ϕ
≤
90
0
)
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Định lý: Khoảng cách từ 1 điểm M
0
(x
0
; y
0
) đến đường thẳng ∆:
Ax + By + C = 0 được cho bởi:
d(M
0
; ∆) =
22
00
BA
CByAx
+
++
Lưu ý:
1. Tìm một số x tương đương dạng toán lập phương trình ẩn số x và giải.
2. Tìm hai số x, y tương đương dạng toán lập phương trình 2 ẩn số x và y rồi

giải.
3. Tìm tọa độ điểm A(x; y) tương đương dạng toán lập hệ phương trình 2 ẩn số
x và y rồi giải.
Cho d: y = f(x); d’: y = g(x)
Nếu A = d
∩
d’ thì tọa độ cuả A là nghiệm của hệ
( )
( )y f x
y g x

=


=


4. Phương pháp loại bớt ẩn số khi lập phương trình
TH1:
( ) ( )
( )
∈∆ = ⇒ =: ;A y f x A x y f x
(đã loại bớt ẩn y của điểm A)
TH2: M là trung điểm của AB và nếu biết tọa độ của điểm A và điểm M thì có thể tính
được tọa độ của điểm B theo tọa độ của A và M. VD A(a; b); M(c; d) thì B(2c-a; 2d-
b)
TH3: G là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ điểm B có thể tính theo tọa độ các
điểm A, C và G.
5. Phương pháp khai thác giả thiết khi bài toán cho đường phân giác trong của
một góc của một tam giác: Cho tam giác ABC có phân giác trong góc A là At, nếu từ

B kẻ By vuông góc với At và cắt AC tại B’ thì tam giác ABB’ cân tại A. Từ đó nếu
biết được phương trình At và tọa độ điểm B thì tính được tọa độ điểm B’ thuộc đường
thẳng AC như sau:
B1: Viết phương trình đường thẳng By:
B By
By At
∈


⊥

B2: Tìm tọa độ
I At By= ∩
B3:
'ABB∆
cân tại A nên I là trung điểm của đoạn BB’. Biết tọa độ điểm B và
điểm I ta suy ra tọa độ điểm B’.
B. ĐƯỜNG TRÒN
I. Phương trình đường tròn
1. Định lý 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R trong hệ toạ
độ Oxy là:
(x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
2. Định lý 2: Phương trình x
2
+ y

2
+ 2Ax + 2By + C = 0 với A
2
+ B
2
– C > 0 là
phương trình đường tròn tâm I(-A;-B), bán kính R =
CBA
−+
22
* Lưu ý: Nếu điểm M cách điểm I cố định một khoảng không đổi R thì M nằm
trên đường tròn tâm I bán kính R (suy từ định nghĩa).
II. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
Cho đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có tâm I và bán kính R
Gọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆
• Nếu d > R thì ∆ và (C) không có điểm chung.
• Nếu d = R thì ∆ và (C) có một điểm chung duy nhất. Khi đó ∆ gọi là tiếp
tuyến của đường tròn (C) và điểm chung gọi là tiếp điểm.
• Nếu d < R thì ∆ và (C) có hai điểm chung.
III. Tính chất của tiếp tuyến của đường tròn:
- Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
- Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính.
• Lưu ý: Tiếp tuyến của một đường tròn cũng là một đường thẳng nên bài toán viết
phương trình tiếp tuyến chính là bài toán viết phương trình đường thẳng.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy cho A( 2;-1), B( -2;2)
a. Viết phương trình đường tròn đường kính AB
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại A
Giải:
a.Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I(0;1/2)
Bán kính R =

16 9 5
2 2 2
AB +
= =
Phương trình đường tròn là: x
2
+
2
1 25
( )
2 4
y − =

b. Tiếp tuyến tại A có vec tơ pháp tuyến là:
AB
uuur
= (-4;3).
Phương trình tiếp tuyến là: -4x +3y + 11 = 0
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(2 ; 3) và đường thẳng
∆
: x - 2y -1 = 0
a. Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng
∆
b. Tìm tọa độ tiếp điểm
Giải:
a. Ta có bán kính R = d(I;
∆
)=
5
Phương trình đường tròn: ( x -2)

2
+ ( y – 3)
2
= 5
b. Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:
( ) ( )
2 2
3
x 2 y – 3 5
1
x - 2y - 1 = 0
x
y

=
− + =


⇔
 
=



Vậy tiếp điểm H(3;1)
Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C): x
2
+y
2
-6x +2y = 0 vuông

góc với đường thẳng 3x – y +6 = 0
Giải: Ta có tâm của đường tròn I(3;-1), bán kính R =
10
Gọi
∆
là đường thẳng vuông góc với đường thẳng: 3x – y +6 = 0 nên phương trình
đường thẳng
∆
có dạng: x +3y +C = 0 .
Do
∆
tiếp xúc với (C) nên d(I;
∆
) = R
3 3
10 10
10
C
C
− +
⇔ = ⇔ =
Vậy có hai tiếp tuyến là: x +3y +10 = 0, x +3y -10 = 0
Ví dụ 4: Cho đường tròn ( C): x
2
+y
2
- 6x +2y +6 = 0 và A(1;3) .Viết phương trình tiếp
tuyến với đường tròn ( C) và qua A.
Giải: Gọi
∆

: Ax +By + C = 0
( )
2 2
0A B+ >

Ta có tâm của đường tròn I(3;-1), bán kính R = 2
Do
∆
qua A(1;3) nên: A +3B +C = 0
Và
∆
tiếp xúc với đường tròn ( C) nên: d(I;
∆
) = R
2 2
3
2
A B C
A B
− +
⇔ =
+
⇔
(3A – B +C)
2
= 4(A
2
+B
2
) mà C = -A – 3B nên:

(2A -4B)
2
= 4(A
2
+B
2
)
⇔
4B(4A - 3B) = 0
⇔
0
4
3
B
B A
=



=


Với B = 0, A tùy ý nên ta chọn A = 1 thì C = -1 ta có phương trình tiếp tuyến là:
x - 1 = 0
Với
4
3
B A=
chọn A = 3 thì B = 4 và C = - 15 ta có phương trình tiếp tuyến là:
3x +4y – 15 = 0

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết
các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các đường thẳng d:
x y 5 0+ − =
,
d1:
x 1 0
+ =
, d2:
y 2 0+ =
. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, biết BC =
5 2
.
Hướng dẫn
d
1
⊥ d
2
và ∆ABC vuông cân tại A nên A cách đều d
1
, d
2

⇒
A là giao điểm của d
và đường phân giác của góc tạo bởi d
1
, d
2
⇒ A(3; 2).

Giả sử B(–1; b) ∈ d
1
, C(c; –2) ∈ d
2
.
AB b AC c( 4; 2), ( 3; 4)= − − = − −
uuur uuur
.
Ta có:
AB AC
BC
2
. 0
50


=

=


uuur uuur
⇔
b c
b c
5, 0
1, 6

= =


= − =

⇒
A B C
A B C
(3;2), ( 1;5), (0; 2)
(3;2), ( 1; 1), (6; 2)

− −

− − −

.
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
,
A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của ∆ABC nằm trên đường thẳng d: 3x – y –8 = 0. Viết
phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
Hướng dẫn
( )
1
;
2
ABC
S d C AB AB= ×

Toạ độ điểm G
Tìm được
C (1; 1)

1
−
,
C
2
( 2; 10)− −
.
+ Với
C
1
(1; 1)−
⇒ (C):
2 2
x y x y
11 11 16
0
3 3 3
+ − + + =
+ Với
C
2
( 2; 10)− −
⇒ (C):
2 2
x y x y
91 91 416
0
3 3 3
+ − + + =
Bài 3

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua
A(2; 1)−
và
tiếp xúc với các trục toạ độ.
Hướng dẫn
Phương trình đường tròn có dạng:
x a y a a a
x a y a a b
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

− + + =

− + − =


a) Giải hệ tìm được
a
a
1
5

=

=

b) Vô nghiệm.
Kết luận:

x y
2 2
( 1) ( 1) 1
− + + =
và
x y
2 2
( 5) ( 5) 25
− + + =
Bài 4
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
,
A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng
d: 3x – y – 4 = 0.
Hướng dẫn
1) PTTS của d:
x t
y t4 3

=

= − +

. Giả sử C(t; –4 + 3t) ∈ d.
( )
S AB AC A AB AC AB AC
2
2 2

1 1
. .sin . .
2 2
= = −
uuur uuur
=
3
2
⇔
t t
2
4 4 1 3
+ + =
⇔
t
t
2
1

= −

=

⇒ C(–2; –10) hoặc C(1;–1).
Bài 5
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung
điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng
d
1
:

x y 2 0+ − =
và d
2
:
x y2 6 3 0+ + =
. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 0
2 6 3 0

+ − =

+ + =

⇒
A
15 7
;
4 4
 
−
 ÷
 
.
Giả sử:
B b b( ;2 )−
∈ d

1
,
c
C c
3 2
;
6
 
− −
 ÷
 
∈ d
2
.
M(–1; 1) là trung điểm của BC ⇔
b c
c
b
1
2
3 2
2
6
1
2

+
= −



− −

− +

=


⇔
b
c
1
4
9
4

=



= −


⇒
B
1 7
;
4 4
 
 ÷
 

,
C
9 1
;
4 4
 
−
 ÷
 
.
Bài 6
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; –2);
P(2;0); Q(1;2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh
của hình vuông.
Hướng dẫn
Giả sử đường thẳng AB qua M và có VTPT là
( ; )=
r
n a b
(a
2
+ b
2

≠
0)
=> VTPT của BC là:
1
( ; )
= −

r
n b a
.
Phương trình AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= 0
⇔
ax + by –2a –b =0
BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0
⇔
– bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
⇔
2 2 2 2
23 4
= −− +

= ⇔

= −
+ +

b ab b a
b a
a b a b
• b = –2a: AB: x – 2y = 0 ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0;
AD: 2x + y – 4 =0
• b = –a: AB: –x + y+ 1 =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0;
CD: –x + y+ 2 =0
Bài 7
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d:
x y 1 0− − =

và hai đường tròn
có phương trình: (C
1
):
x y
2 2
( 3) ( 4) 8− + + =
, (C
2
):
x y
2 2
( 5) ( 4) 32+ + − =
Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C
1
) và (C
2
).
Hướng dẫn
Gọi I, I
1
, I
2
, R, R
1
, R
2
lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C
1
), (C

2
).
Giả sử I(a; a – 1) ∈ d. (C) tiếp xúc ngoài với (C
1
), (C
2
) nên
II
1
= R + R
1
, II
2
= R + R
2
⇒ II
1
– R
1
= II
2
– R
2
⇔
a a a a
2 2 2 2
( 3) ( 3) 2 2 ( 5) ( 5) 4 2− + + − = − + + −
⇔ a = 0 ⇒ I(0; –1),
R =
2

⇒ Phương trình (C):
x y
2 2
( 1) 2+ + =
.
Bài 8
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 6x + 5 = 0. Tìm
điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai
tiếp tuyến đó bằng 60
0
.
Hướng dẫn
(C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) ∈ Oy
Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ⇒
·
·
0
0
60 (1)
120 (2)

=


=


AMB
AMB
Vì MI là phân giác của
·
AMB
nên:
(1) ⇔
·
AMI
= 30
0

0
sin 30
⇔ =
IA
MI
⇔ MI = 2R ⇔
2
9 4 7
+ = ⇔ = ±
m m
(2) ⇔
·
AMI
= 60
0

0
sin 60

⇔ =
IA
MI
⇔ MI =
2 3
3
R ⇔
2
4 3
9
3
+ =m

(Vô nghiệm)
Vậy có hai điểm M
1
(0;
7
) và M
2
(0;
7−
)
Bài 9
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y
2 2
( 1) ( 2) 9− + + =
và đường
thẳng d:

x y m 0+ + =
. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó
kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông (B, C
là hai tiếp điểm).
Hướng dẫn
(C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Vì các tiếp tuyến AB, AC vuông góc nên ABIC là
hình vuông có cạnh bằng 3 ⇒ IA =
3 2
. Giả sử A(x; –x – m) ∈ d.
IA
2
18=
⇔
x m x
2 2
( 1) ( 2) 18− + − − + =
⇔
x m x m m
2 2
2 2(3 ) 4 13 0− − + − − =
(1)
Để chỉ có duy nhất một điểm A thì (1) có 1 nghiệm duy nhất
⇔ ∆′ =
m m
2
2 35 0
− + + =
⇔
m
m

7
5

=

= −

.
Bài 10
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC có
diện tích bằng
3
2
; trọng tâm G của ∆ABC nằm trên đường thẳng
d: 3x – y – 8 = 0. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC.
Hướng dẫn
Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) =
ABC
a b
S
AB
5
2
2
∆
− −
=
⇒
a b
a b

a b
8 (1)
5 3
2 (2)

− =
− − = ⇔

− =

; Trọng tâm G
a b5 5
;
3 3
 
+ −
 ÷
 
∈ d
⇒ 3a –b =4 (3)
• (1), (3) ⇒ C(-2; -10) ⇒ r =
S
p
3
2 65 89
=
+ +
• (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒
S
r

p
3
2 2 5
= =
+
Bài 11
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương
trình d
1
:
1 0
+ + =
x y
. Phương trình đường cao vẽ từ B là
d
2
:
2 2 0− − =x y
. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh
bên của tam giác ABC.
Hướng dẫn
B(0; –1).
2 2BM ( ; )=
uuur
⇒ MB ⊥ BC.
Kẻ MN // BC cắt d
2
tại N thì BCNM là hình chữ nhật.
phương trình đường thẳng MN:
3 0x y

+ − =
. N = MN ∩ d
2
⇒
8 1
3 3
N ;
 
 ÷
 
.
NC ⊥ BC ⇒ phương trình đường thẳng NC:
7
0
3
x y− − =
.
C = NC ∩ d
1
⇒
2 5
;
3 3
 
−
 ÷
 
C
.
AB ⊥ CM ⇒ phương trình đường thẳng AB:

2 2 0
+ + =
x y
.
AC ⊥ BN ⇒ phương trình đường thẳng AC:
6 3 1 0+ + =x y
Bài 12
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)
2
+ (y + 1)
2
= 25 và
điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt sao
cho MA = 3MB.
Hướng dẫn
M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.
Mặt khác:
2
. 3 3MA MB MB MB
= ⇒ =
uuur uuur
. Gọi H là hình chiếu của I lên AB
3BH
⇒ =
( )
2 2
4 ,( )IH R BH d I d⇒ = − = =
Ta có: phương trình đường thẳng d: a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a
2
+ b

2
> 0).
( )
2 2
0
6 4
,( ) 4 4
12
5
a
a b
d I d
a b
a b
=

− −

= ⇔ = ⇔

= −
+


.
Vậy d: y – 3 = 0 hoặc d: 12x – 5y – 69 = 0.
Bài 13
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho
ABCD
có cạnh AC đi qua điểm M(0;– 1).

Biết AB = 2AM, phương trình đường phân giác trong AD: x – y = 0, phương trình
đường cao CH: 2x + y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của
ABCD
.
Hướng dẫn
Gọi d là đường thẳng qua M vuông góc với AD cắt AD, AB lần lượt tại I và N, ta có:
1 1
( ) : 1 0, ( ) ( ) ; ( 1; 0)
2 2
 
+ + = = ∩ ⇒ − − ⇒ −
 ÷
 
d x y I d AD I N
(I là trung điểm MN).
( ) : 2 1 0, ( ) ( ) (1; )
⊥ ⇒ − + = = ⇒
IAB CH pt AB x y A AB AD A 1
.
AB = 2AM
⇒
AB = 2AN
⇒
N là trung điểm AB
( )
3; 1
⇒ − −
B
.
1

( ) : 2 1 0, ( ) ( ) ; 2
2
 
− − = = ⇒ − −
 ÷
 
Ipt AM x y C AM CH C
Bài 14
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1:
7 17 0
− + =
x y
,
d2:
5 0
+ − =
x y
. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2
một tam giác cân tại giao điểm của d1, d2.
Hướng dẫn
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d
1
, d
2
là:
1
2 2 2 2
2
3 13 0
7 17 5

3 4 0
1 ( 7) 1 1
∆
∆
+ − =
− + + −

= ⇔

− − =
+ − +

x y ( )
x y x y
x y ( )
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với
1 2
,
∆ ∆
KL:
3 3 0+ − =x y
và
3 1 0
− + =
x y
Bài 15
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho
ABCD
cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ là
các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh

AB : y 3 7(x 1)= -
. Biết chu vi của
ABCD
bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn
(1;0)
= ⇒
IB AB Ox B
,
( )
;3 7( 1) 1
∈ ⇒ − ⇒ >
A AB A a a a
(do
0, 0
> >
A A
x y
).
Gọi AH là đường cao
ABC
∆
( ;0) (2 1;0) 2( 1), 8( 1)H a C a BC a AB AC a
⇒ ⇒ − ⇒ = − = = −
.
( )
18 2 (3;0), 2;3 7
∆
= ⇔ = ⇒
Chu vi ABC a C A

.
Bài 16
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng
d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Phương trình đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b):
1
+ =
x y
a b
(a,b > 0)
M(3; 1) ∈ d
3 1 3 1
1 2 . 12
−
= + ≥ ⇒ ≥
Cô si
ab
a b a b
.
Mà
3 3 2 3 12
+ = + ≥ =
OA OB a b ab
( 3 )OA OB⇒ +
nhỏ nhất bằng 12
3
6
3 1 1
2

2
a b
a
b
a b
=

=


⇔ ⇔
 
=
= =



Phương trình đường thẳng d là:
1 3 6 0
6 2
+ = ⇔ + − =
x y
x y
Bài 17
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), d(3;5). Tìm
toạ độ điểm M thuộc đường thẳng
( ) :3 5 0
∆
− − =
x y

sao cho hai tam giác MAB, MCD
có diện tích bằng nhau.
Hướng dẫn
Phương trình tham số của ∆:
3 5
=


= −

x t
y t
. M ∈ ∆ ⇒ M(t; 3t – 5)
( , ). ( , ).
= ⇔ =
MAB MCD
S S d M AB AB d M CD CD

⇔
7
9
3
= − ∨ =
t t
⇒
7
( 9; 32), ( ;2)
3
− −
M M

Bài 18
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4.
Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng
y = x. Tìm tọa độ các đỉnh C và d.
Hướng dẫn
Ta có:
( )
1;2 5AB AB= − ⇒ =
uuur
. Phương trình AB:
2 2 0x y
+ − =
.
( )
( ) : ;∈ = ⇒I d y x I t t
. I là trung điểm của AC và BD nên:
(2 1; 2 ), (2 ; 2 2)C t t D t t
− −
Mặt khác:
. 4
= =
ABCD
S AB CH
(CH: chiều cao)
4
5
⇒ =CH
.
Ngoài ra:
( )

( ) ( )
4 5 8 8 2
; , ;
| 6 4 | 4
3 3 3 3 3
;
5 5
0 1;0 , 0; 2

   
= ⇒
−
 ÷  ÷

= ⇔ = ⇔
   


= ⇒ − −

t C D
t
d C AB CH
t C D
Vậy
5 8 8 2
; , ;
3 3 3 3
   
 ÷  ÷

   
C D
hoặc
( ) ( )
1;0 , 0; 2− −C D
Bài 19
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là
5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó,
biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.
Hướng dẫn
Giả sử AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 ⇒ A(0;3)
Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0 ⇒ B(–4; –7)