ĐÊ- ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8-13

TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU
****************
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (VÒNG 2)
MÔN : TOÁN - THỜI GIAN : 90 PHÚT
NĂM HỌC: 2007-2008
Bài 1: (2đ)
a/ Cho x + y = a , x
2
+ y
2
= b, x
3
+ y
3
= c.
Chứng minh a
3
+ 2c = 3ab
b/ Với giá trị nào của x thì phân thức sau bằng 0
P =
12
1
234
34
+−+−
+++
xxxx
xxx
Bài 2: (1,5đ)
Cho biểu thức: Q =
41292

4104
23
2
+++
++
aaa
aa
a/ Rút gọn Q.
b/ Tìm các giá trị của a để Q đạt giá trị nguyên.
Bài 3: (1,5đ)
Giải phương trình:
5
2012
4
2011
3
2010
2
2009
1
2008
=
+
+
+
+
+
+
+
+

xxxxx
Bài 4: (2đ)
Cho tam giác ABC , ba đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H.
Chứng minh:
1
'
'
''
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
Bài 5: (3đ)
Cho hình vuông ABCD . M là điểm tùy ý trên đường chéo BD .Kẻ ME vuông góc
với AB, MF vuông góc với AD.
a/ Chứng minh DE = CF, DE vuông góc với CF.
b/ Chứng minh DE, BF, CM đồng quy.
c/ Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
******************************
j
H
C'
B'
A'
C

B
A
ĐÁP ÁN TOÁN 8
Bài 1: (2đ)
a/ (0,75đ) a
3
+ 2c = (x + y)
3
+ 2(x
3
+ y
3
)
= 3x
3
+ 3y
3
+ 3x
2
y +3xy
2
(0,25)
3ab = 3(x + y)(x
2
+ y
2
)
= 3x
3
+ 3y

3
+ 3x
2
y +3xy
2
(0,25)
Vậy: a
3
+ 2c = 3ab (0,25)
b/ (1,25đ)
Biến đổi được P =
)1)(1(
)1()1(
)1()1(
)1)(1(
22
22
222
3
+−+
+−+
=
+−+
++
xxx
xxx
xxx
xx
(0,5)
Lý luận được mẫu thức > o với mọi x. (0,25)

P = 0
⇔
(x +1)
2
(x
2
- x + 1) = 0 (0,25)

⇔
(x +1) = 0

⇔
x = -1 (0,25)
Bài 2: (1,5đ)
a/ Biến đổi Q =
)12()2(
)12)(2(2
2
++
++
aa
aa
=
2
2
+a
(a
≠
-2; a
≠

-
2
1
) (1đ)
Thiếu điều kiện trừ 0,25đ
b/ Q nguyên
⇔
a + 2 là ước của 2

⇔
a+2
{ }
2;2;1;1 −−∈
(0,25)

⇔
a
{ }
4;0;3;1 −−−∈
(0,25)
Bài 3: (1,5đ)

5
2012
4
2011
3
2010
2
2009

1
2008
=
+
+
+
+
+
+
+
+
xxxxx
⇔
0)1
2012
4
()1
2011
3
()1
2010
2
()1
2009
1
()1
2008
( =−
+
+−

+
+−
+
+−
+
+−
xxxxx
(0,25)
⇔
(x-2008)
0)
2012
1
2011
1
2010
1
2009
1
2008
1
( =++++
(0,25)
Vì
0)
2012
1
2011
1
2010

1
2009
1
2008
1
( ≠++++
(0,25)
Nên x -2008 = 0
⇔
x = 2008 (0,5)
Vậy S =
{ }
2008
(0,25)
Bài 4: (2đ) Hình vẽ 0,25đ

ABCHABHACHBC
SSSS =++
(0,5)
⇔
1=++
ABC
HAB
ABC
HAC
ABC
HBC
S
S
S

S
S
S
(0,5)
M
F
E
D
C
B
A

⇔

1
'.
'.
'.
'.
'.
'.
=++
ABCC
ABHC
ACBB
ACHB
BCAA
BCHA
(0,5)

⇔

1
'
'
'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
(0,25)
Bài 5: (3đ) Hình vẽ 0,25đ
a/ (1đ)
C/m AEMF là hình chữ nhật suy ra MF = AE
C/m ∆MFO vuông cân tại F suy ra MF = FD
Suy ra AE = FD (0,25)
C/m ∆DAE = ∆CDF (c.g.c) suy ra DE = CF (0,25)
ADE = DCF
ADE+ EDC = 90
0
⇒
DCF+ EDC = 90
0
(0,25)

⇒
CF
⊥
DE (0,25)
b/ (0,75đ)
C/m tương tự ta có EC = FB và EC
⊥
FB
C/m ∆FEB = ∆CME (EC = FB, ADE = DCF, ME = EB)
⇒
MCE = EFB (0,25)
⇒
MCE+ FEC = EFB+ FEC = 90
0
⇒
CM
⊥
EF (0,25)
∆CEFcó CM,DE,BF là các đường cao nên chúng đồng qui. (0,25)
c/ (1đ)
ME+MF=AE+EB=AB không đổi (0,25)
⇒
ME.MF lớn nhất
⇔
ME=MF (0,25)

⇔
AEMF là hình vuông (0,25)

⇔

M
≡
O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình
vuông ABCD
PHÒNG GD-ĐT TP TAM KỲ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU MÔN : TOÁN - LỚP 8 (VÒNG 2)
**************** NĂM HỌC: 2008 - 2009
THỜI GIAN : 90 PHÚT
Bài 1: (2,5đ)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x
5
– 5x
3
+ 4x
b/ Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức: A = a
2
(2a - 3) + b
2
(-3 + 2b)
Bài 2: (2,5đ)
a/ Cho a;b;c
≠
0, a + b + c =1 và
cba
111
++
= 0
Chứng minh rằng: a
2
+ b

2
+ c
2
= 1
b/ Giải phương trình:

4
1994
15
1993
16
1992
17
1991
18
−=
+
+
+
+
+
+
+ xxxx
Bài 3: (2đ)
Cho biểu thức: M =
)1)(1()1)(()1)((
2222
yx
yx
xyx

y
yyx
x
−+
−
++
−
−+
a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức M.
b/ Rút gọn biểu thức M.
c/ Tìm các cặp số nguyên (x;y) để biểu thức M có giá trị bằng 3.
Bài 4: (3đ)
Cho hình thang ABCD (AB//CD) và O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD.
Chứng minh rằng:
a/ Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
b/ Tích của diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác COD bằng bình phương
diện tích tam giác BOC.
Hết
ĐÁP ÁN TOÁN 8:
Bài 1: (2,5đ)
a/ (1,5đ) x
5
– 5x
3
+ 4x = x(x
4
-5x
2
+ 4) (0,25)
= x[x

2
( x
2
-1)-4(x
2
-1)] (0,5)
= x( x
2
-1)(x
2
-4) (0,25)
= (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) (0,5)
b/ (1đ) A = a
2
(2a - 3) + b
2
(-3 + 2b)
= 2(a
3
+b
3
)-3(a
2
+b
2
) (0,25)
= 2(a+b)(a
2
–ab + b
2

) -3(a
2
+b
2
) (0,25)
= 2(a
2
–ab + b
2
) -3(a
2
+b
2
) (vì a+b=1) (0,25)
= -2ab-a
2
-b
2
= -(a+b)
2
= -1 (0,25)
Bài 2: (2,5đ)
a/ (1đ) (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2

+

2ab + 2ac + 2bc = 1 (0,25)

cba
111
++
= 0
abc
bcacab ++
⇒
= 0 (0,25)

⇒
ab + ac + bc = 0 (0,25)

⇒
2ab + 2ac + 2bc = 0

⇒
a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 (0,25)
b/(1,5đ)
4
1994

15
1993
16
1992
17
1991
18
−=
+
+
+
+
+
+
+ xxxx

0
1994
2009
1993
2009
1992
2009
1991
2009
=
+
+
+
+

+
+
+
⇔
xxxx
(0,5)

⇔
(x+2009)
0)
1994
1
1993
1
1992
1
1991
1
( =+++
(0,25)

⇔
(x+2009) = 0 (vì
)0
1994
1
1993
1
1992
1

1991
1
≠+++
(0,5)

⇔
x =-2009 (0,25)
Bài 3: (2đ)
a/ (0,5đ) x
≠
-1, y
≠
1, x
≠
y (Thiếu,sai 1ĐK trừ 0,25đ)
b/ (1đ) M =
)1)(1()1)(()1)((
2222
yx
yx
xyx
y
yyx
x
−+
−
++
−
−+
=

)1)(1)((
)()1()1(
2222
xyyx
yxyxyyxx
+−+
+−−−+
(0,25)
=
[
]
)1)(1)((
)1()1()1)(1(
22
xyyx
xyyxyx
+−+
−++−+
(0,25)
=
)1)(1)((
))()(1)(1(
xyyx
xyyxyxyx
+−+
+−+−+
(0,25)
= x – y + xy (0,25)
c/ (0,5đ) M = 3
⇔

x – y + xy = 3

⇔
(x –1) (y+1) = 2 (0,25)




=
=
⇔



=+
=−
⇒
1
2
21
11
y
x
y
x
(loại)
Hoặc





−=
=
⇔



−=+
−=−
3
0
21
11
y
x
y
x
(thỏa)
Vậy (x;y) = (0;-3) (0,25)
Bài 4: (3đ)
Hình vẽ phục vụ câu a (0,5), ( Hình vẽ chưa phục vụ chứng minh (0,25))
a/ (1,25đ) A B
M
O
N
D C
H K
Vẽ AH
⊥
DC, BK

⊥
DC (H,K
∈
DC)
)25,0(
)25,0(
)25,0)((
)25,0(.
2
1
)25,0(.
2
1
BOCAOD
DOCBOCDOCAOD
BDCADC
BDC
ADC
SS
SSSS
BKdoAHSS
DCBKS
DCAHS
=⇒
+=+⇒
==⇒
=
=

b/ (1,25đ)

Vẽ DM
⊥
AC (M
∈
AC), BN
⊥
AC (N
∈
AC)
Ta có:
OC
AO
OCBN
AOBN
S
S
BOC
AOB
==
.
2
1
.
2
1
(0,25)
OC
AO
OCDN
AODN

S
S
DOC
AOD
==
.
2
1
.
2
1
(0,25)
COD
AOD
BOC
AOB
S
S
S
S
=⇒
(0,25)
BOCAODCODAOB
SSSS =⇒
(0,25)
)()(
2
BOCAODBOCCODAOB
SdoSSSS ==⇒
(0,25)

TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU
****************
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (VÒNG 2)
MÔN : TOÁN - THỜI GIAN : 90 PHÚT
NĂM HỌC: 2009-2010
Bài 1: (2,5đ)
a) Xác định a để cho đa thức x
3
- 3x + a chia hết cho (x - 1)
2
b) Tìm x biết: x
2
(x -1) + 2x (1-x) = 0
Bài 2: (2,5đ)
a) Cho biểu thức: P =
223
1
234
34
++++
+−−
xxxx
xxx
Rút gọn rồi chứng minh P không âm với mọi giá trị cuả x.
b) Chứng minh rằng: Nếu a
2
+ b
2
+ c
2

= ab + ac + bc thì a = b = c
Bài 3: (2đ)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
- a
4
- b
4
- c
4
b) Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác thì A > 0
Bài 4: (3đ)
Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A,B,C,D của hình
bình hành lần lượt cắt nhau tại E,F,G,H.
a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh rằng EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề một đỉnh của
hình bình hành ABCD.
c) Hình bình hành ABCD cần có thêm điều kiện gì để EFGH là hình vuông?
*************************

HƯỚNG DẪN CHẤM:
Bài 1: (2,5đ)
a) (1,25đ) x
3
- 3x + a = (x
2
- 2x +1)(x +2) + a - 2(0,75)
(x
3
- 3x + a) chia hết cho (x - 1)
2

⇔
a-2 = 0
⇔
a = 2 (0,5)
b) (1,25đ) x
2
(x -1) + 2x (1-x) = 0

⇔
x(x-1)(x-2) = 0 (0,5)
Vậy x
∈
{0;1;2} (0,75)
Bài 2: (2,5đ)
a) (1,25đ) P =
223
1
234

34
++++
+−−
xxxx
xxx
=
2
)1(
2
2
+
−
x
x
(0,5)
Vì x
2

≥
0 với mọi x, nên x
2
+ 2 > 0
Và (x - 1)
2

≥
0 với mọi x. (0,5)
Suy ra
2
)1(

2
2
+
−
x
x
≥
0 với mọi x, hay P
≥
0 (0,25)
b) (1,25đ) a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + ac + bc

⇔
2a
2
+2b
2
+2c
2
-2ab -2ac-2bc = 0

⇔
(a-b)
2

+(a-c)
2
+(b-c)
2
= 0 (0,5)

⇔





=−
=−
=−
0
0
0
cb
ca
ba
(0,25)

⇔
a = b = c (0,5)
Bài 3: (2đ)
a) (1đ) A = 2a
2
b
2

+ 2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
- a
4
- b
4
- c
4
= 4a
2
b
2
- ( a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
) + (2b
2
c
2

+ 2a
2
c
2
) - c
4
(0,5)
= (2ab)
2
- [(a
2
+b
2
)
2
-2c
2
(a
2
+b
2
)+c
4
]
= (2ab)
2
-[(a
2
+b
2

) - c
2
]
2
(0,25)
= (2ab + a
2
+ b
2
- c
2
)(2ab - a
2
- b
2
+c
2
)
= (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) (0,25)
b) (1đ) Nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác thì a >0, b >0, c >0 (0,25)
và các nhân tử của biểu thức trên đều dương (theo bất đẳng thức tam giác) (0,5)
Nên A >0 (0,25)
Bài 4: (3đ) Hình vẽ 0.25đ
a) (1đ)
Tam giác AHD có: HAD + HDA = 1/2( A+ D) =90
0
.Nên AHD=90
0
(0,5)
Tương tự: BFC=90

0
, AEB=90
0
(0,25)
Do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật. (0,25)
N
M
H
G
F
E
D
C
B
A
b) (1đ) C/m tam giác ABM cân tại B, do đó E là trung điểm của AM. (0,25)
C/m tương tự G là trung điểm của CN .
Nên BG là đường trung bình của hình bình hành AMCN
nên EG = 1/2(MC+AN)=MC. (o,25)
Suy ra MC=CB-BM= CB-BA (o,25)
Vậy EG=FH=CB-AB (0,25)
c) (0,75đ)
C/m EG//AD , FH//AB (0,25)
Hình chữ nhật EFGH là hình vuông
⇔
EG
⊥
FH
⇔
AD

⊥
AB
⇔
A =90
0
⇔
ABCD là hình chữ nhật (0,5)
( Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
**********************