Tiểu luận tốt nghiệp giá trị tuyệt đối

Trang 1




BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ





TIỂU LUẬN

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI





Giảng viên hướng dẫn:

Sinh viên thực tập:
Nguyễn Thanh An

Cần Thơ, tháng 04/2015




Trang 2



MỤC LỤC
MỤC LỤC 2
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 4
1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu. 4
1.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu. 4
1.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn. 5
1.2 Mục tiêu nghiên cứu. 5
1.2.1 Mục tiêu chung. 5
1.1.2 Mục tiêu cụ thể. 5
1.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu. 6
1.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định. 6
1.3.2 Câu hỏi nghiên cứu. 6
1.4 Phạm vi nghiên cứu. 6
1.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu) 6
1.4.2 Thời gian 6
1.4.3 Đối tượng nghiên cứu 6
1.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu. 6

CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 8
2.1 Kiến thức cơ bản. 8
2.1.1 Định nghĩa. 8
2.1.2 Hệ quả. 8
2.1.3 Tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối. 9
2.2 Phương pháp biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối. 10
2.2.1 Cơ sở lý luận. 10
2.2.2 Phương pháp biến đổi. 10
2.2.3 Bài tập áp dụng. 10
2.2.4 Bài tập tự luyện. 12
CHƯƠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 14
DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
f(x) k
, VỚI K LÀ HẰNG SỐ KHÔNG ÂM 14
DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
f(x) g(x)
15
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
f(x) g(x)
16
DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH f(x) + g(x) = a 19
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI KHÔNG MẪU MỰC 21
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 22
CHƯƠNG 4: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 25
4.1 Tóm tắt lý thuyết 25
4.2 Ví dụ, bài tập mẫu 26
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 29
CHƯƠNG 5: PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ CHỨA 30
DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 30
DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

DẠNG y = |f(x)| 31



Trang 3



DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
DẠNG y = f(|x|) 40
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
DẠNG y = |f(|x|)| 42
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
DẠNG y= |u(x)|.v(x) 45
BÀI TẬP VẬN DỤNG 49
CHƯƠNG 6: TÌM GIÁTRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC BIỂU THỨC
CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 50
6.1 Kiến thức cần nhớ. 50
6.2 Các bài tập mẫu. 50
BÀI TẬP VẬN DỤNG 52
KẾT LUẬN 56

Trang 4



CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU
1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu.
1.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu.
Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có
một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng to lớn và quan trọng. Trong thời đại hiện nay,
công nghiệp hóa, hiện đại hóa nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí ngày càng được
nâng cao.

Trong giai đoạn hiện nay, theo quan điểm giáo dục mới của Đảng và nhà nước,
giáo dục đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên

mọi lĩnh vực khoa học. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng
của khoa học Toán học. Vây dạy Toán ở phổ thông ngoài việc cung cấp tri thức cho
con người, đặc biệt phải chú ý dạy cho con người biết phương pháp phân tích, nghiên
cứu, tìm tòi đào sâu khai phá, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến
thức và nâng cao tư duy về giải toán.

Chương trình Toán cấp THCS, kiến thức cơ bản của bộ môn Toán là các khái
niệm, các định nghĩa, các định lý, các hệ quả, các tiên đề, các công thức, các quy tắc
về phép tính vv Đó là một yêu cầu, nội dung Toán học mà học sinh cần phải nằm
được và hầu như là các em, đa số đã đạt được yêu cầu đó.

Song một yêu cầu cần đạt và vô cùng quan trọng nữa về môn Toán đối với
người học là “Kỹ năng giải bài tập Toán”. Đây là một nội dung khó. Để đạt được điều
này thì người thầy phải thật sự đầu tư, tìm tòi nội dung, phương pháp giảng dạy để
giúp học sinh có được năng lực tư duy sáng tạo từ đó có được kỹ năng giải Toán.

Trong chương trình toán cấp THCS có nhiều kiến thức, kỹ năng ở từng khối.
Các bài toán đại số có liên quan đến chứa dấu giá trị tuyệt đối là những bài toán khó
đối với học sinh, ở những bài toán này học sinh thường rất dễ nhầm trong quá trình bỏ
dấu giá trị tuyệt đối khi giải. Đặc biệt là những bất phương trình, phương trình có từ
hai dấu giá trị tuyệt đối trở lên, những bài toán giải và biện luận phương trìnhm bất
phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, khi làm những bài tập dạng này phần lớn các
học sinh rất lúng túng không có phương pháp giải. Chính vì vậy tôi thấy sự cần thiết
nghiên cứu đề tài “Trị tuyệt đối” để tìm ra những phương pháp giải đặc trưng nhằm
đạt được yêu cầu giúp học sinh có được “Kỹ năng giải bài tập Toán”




Trang 5

1.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn.
Chúng ta đã biết rằng hiện nay kiểu dạy học “đọc chép” tức là thầy đọc trò
chép vào vở, truyền thụ kiến thức theo kiểu “bình thông nhau”. Dạy nhồi nhét, học
thụ động là kiểu dạy học cổ điển không còn chấp nhận được. Đăc biệt là đối với môn
Toán, dạy như vậy thì học trò học đến đâu quên đến đó, làm bài tập nào thì biết bài
tập đó, giải hết bài này đến bài khác, tốn rất nhiều thời gian và công sức mà không
đọng lại trong đầu học sinh điều gì đáng kể. Ngay cả những học sinh khá giỏi cũng
vậy, mới chỉ đầu tư vào giải hết các bài toán khó này đến bài toán khó khác mà vẫn
chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo, chưa có một phương pháp làm bài. Trong
khi đó, từ một đơn vị kiến thức cơ bản nào đó của toán học lại có một hệ thống bài tập
rất đa dạng và phong phú, mỗi bài một kiểu, một dạng mà lời giải thì không theo một
khuôn mẫu nào cả. Do vậy mà học sinh rất lúng túng khi đứng trước một đề toán. Từ
đó mà chất lượng môn Toán vẫn thấp chưa đáp ứng được mong mỏi của chúng ta.

Vậy thì để nâng cao chất lượng học tập bộ môn Toán của học sinh, hơn ai hết
người thầy đóng vai trò quan trọng, phải thực sự đổi mới phương pháp giảng dạy,
phải tích cực hóa hoạt động của học sinh nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích
cực, tính độc lập sáng tạo, qua đó nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết các vấn
đề một cách nhanh chóng. Từ đó mà học sinh vừa lĩnh hội được đầy đủ những yêu cầu
của chương trình hiện hành, vừa thực hiện được nâng cao trí tuê, rèn luyện được tư
duy lô gíc và khả năng sáng tạo toán học.

Để làm được điều đó, trong khi giảng dạy bộ môn Toán, người thầy cần phải
cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản cần thiết, những kỹ năng, kĩ xảo, một
hệ thống làm bài, xem đó là những công cụ để giải quyết các bài tập, phương châm là
“Giải 1 bài toán bằng 10 phương pháp chứ không phải 10 bái toán bằng 1 phương
pháp”.

1.2 Mục tiêu nghiên cứu.
1.2.1 Mục tiêu chung.
Nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy
hiện nay.
Phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo điều
kiện cho các em hứng thú học tập bộ môn.

1.1.2 Mục tiêu cụ thể.
Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thực hành giải toán về phương trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối.



Trang 6



Các kỹ năng, kiến thức cơ sở về quy tắc tính toán, giá trị tuyệt đối của một biểu
thức và giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.
Nêu cao được một số kinh nghiệm của bản thân về: “Giá trị tuyệt đối”
Ngoài ra còn rèn cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo, chủ động trong
giải toán.

1.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu.
1.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định.
Giả thiết
H
01
: Nhu cầu thiết yếu của đề tài đối với học sinh là như nhau.

H
02
: Mức độ ảnh hưởng đến nhu cầu tại các trường học của các học sinh cũng là như
nhau.
1.3.2 Câu hỏi nghiên cứu.
1. Tình hình thực tiễn về đề tài này đã phổ biến trong chương trình giáo dục cấp
THCS chưa?
2. Những điểm mạnh điểm yếu trong phương pháp này?
3. Phải biết truyền đạt nội dung của đề tài này đến học sinh như thế nào? Có phù
hợp với tất cả các đối tượng học sinh?
4. Suốt quá trình giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ tại sao, làm thế nào?
Tại sao nghĩ thế?
1.4 Phạm vi nghiên cứu.
1.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu)
Đề tài được nghiên cứu tại Đại học Cần Thơ
Phạm vi thu thập số liệu: Trong Đại học Cần Thơ
1.4.2 Thời gian
Được thực hiện vào thánh 04/2015
1.4.3 Đối tượng nghiên cứu
Học sinh cấp THCS trường
1.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu.
Trong quá trình thực hiện đề tài, tác giả đã tham khảo một số bài nghiên cứu và chuyên
đề liên quan đến nội dung thực hiện cụ thể như sau:
[1] Sách giáo khoa Toán 7, Toán 8, Toán 9 – Tập 1, tập 2.
[2] Sách bài tập Toán 7, Toán 8, Toán 9 – Tập 1, tập 2.



Trang 7

[3] Sách giáo viên Toán 7, Toán 8, Toán 9.
[4] Sách bồi dưỡng xuyên trong hè.
[5] Luyện tập Toán 7, Toán 8, Toán 9 – Nguyễn Bá Hòa.
[6] Các dạng Toán và phương pháp giải Toán 7, Toán 8, Toán 9 – Tôn Thân.
[7] 500 bài toán cơ bản và nâng cao lớp 8 Toán 7, Toán 8, Toán 9 – Nguyễn Đức Tấn –
Tạ Toàn.
[8] Mộ số bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 – Bùi Văn Tuyên.
[9] 255 bài toán Đại số chọc lọc – Vũ Dương Thụy – Trương Công Thành – Nguyễn
Ngọc Đạm.
[10] 35 đề toán luyện thi vào lớp 10 chuyên chọn, luyện thi học sinh giỏi lớp 9.
[11] Tuyển tập 250 bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán cấp II (Phần Đại số) – Võ Đại
Mau.

Trang 8



CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

2.1 Kiến thức cơ bản.
2.1.1 Định nghĩa.
Giá trị tuyệt đối của số hữu tỷ x, ký hiệu
x
, là khoảng cách từ điểm x tới điểm 0 trên
trục số.
x nếu
0x

Ta có:
x
=
– x nếu x < 0

Giá trị tuyệt đối của một số thực x là một số thực không âm, ký hiệu
x
được xác định
như sau:
x nếu
0x

Ta có:
x
=
– x nếu x < 0
*Với A(x) là một biểu thức tùy ý ta cũng có:

()Ax
nếu
( ) 0Ax 


)(xA


()Ax
nếu
()Ax
< 0
*Với mọi
)(),(, xgxfRx
là một biểu thức tùy ý, ta có:

 

 
)()()()(
2
1
)();(min(
)()()()(
2
1
)();(max(
xgxfxgxfxgxf
xgxfxgxfxgxf



2.1.2 Hệ quả.

x
00;0  xxRx


xx 


0;  xxxxxx



 xx 0
hoặc


x



 xx )0(


yxyx 




Trang 9




y
x
y
x



2
2
xx 


xx 

2

2.1.3 Tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối.
2.1.3.1 Định lý 1: Nếu x, y là hai số thực thì
yxyx 

Dấu"=" xả ra
0.  yx

Chứng minh:
Ta có :
 
22222
222
)(2 2.2 yxyxyxyyxxyyxxyx 
.
Vậy
yxyx 
.
Dấu"=" xảy ra
0.  yx
.

2.1.3.2 Định lý 2: Nếu x, y là hai số thực thì
yxyxyx 

Chứng minh:
Ta có :
yyxyyxx  )(
(theo định lý 1).

.yxyx 

Vả lại :
xyxyyx 

Nên

)1(yxyx
yxyxyx
yxyx




Ta lại có :
 
)2(yxyxyxyx 

Tõ (1) và (2) ta có :
yxyxyx 
.
Chú ý : Nếu thay y bằng -y ta có :

yxyxyxyx 
.



Trang 10

2.2 Phương pháp biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối.
2.2.1 Cơ sở lý luận.
Biến đổi các biến đổi các biểu thức có chưa giá trị tuyệt đối nhằm thay đổi chúng
bằng những biểu thức tương đương không chứa các giá trị tuyệt đối, nói cách khác là
nhằm loại trừ các dấu giá trị biểu thức để có thể tiến hành các phép tính đại số quen
thuộc. Thông thường ta sẽ được các biểu thức đại số khác nhau (không chứa dấu giá trị
tuyệt đối) trong những khoảng khác nhau.
2.2.2 Phương pháp biến đổi.
Muốn biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối nhằm loại bỏ các dấu giá
trị tuyệt đối thì nhất thiết phải căn cứ vào:
 Định nghĩa của giá trị tuyệt đối và hệ quả đã nêu ở trên.
 Quy tắc về dấu của nhị thức bặc nhất và tam thức bậc hai như sau:
 Nhị thức ax + b (a

0) cùng dấu với a khi
a
b
x 
, trái dấu với a khi
a
b
x 
.
Thật vậy: Gọi x
0
là nghiệm của nhị thức ax + b thì

a
b
x 
0

Xét
0
xx
a
b
x
a
bax



 Nếu
0
xx 
thì
bax
a
bax
xx 

 00
0
cùng dấu với a.
 Nếu
0

xx 
thì×
bax
a
bax
xx 

 00
0
trái dấu với a.
 Tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c (a

0) trái dấu với a trong khoảng giữa hai
nghiệm (nếu có), cùng dấu với a trong mọi trường hợp khác.
2.2.3 Bài tập áp dụng.
Bài 1: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn xy
0
tính các giá trị của biểu thức:














 y
yx
xyx
yx
xyB
2222




Trang 11



Giải
Đặt
0
2222
1

yx
xy
yx
xyB

Tính B
1

2
ta được :
222
2
2222
2
1
)(2
2
22
442244
yxyxyx
yx
xy
yxxy
xyyxyxxy
xy
xyyxyx
yx
xyB










(Vì
xy
yx








2
2
nên
xy
yxyx
xy 2
2
2
2
22
22



















Suy ra : B
1
=
yx 

Vậy
 
yxyxB 

Mặt khác, do
0xy
nên x, y cùng dấu, suy ra
yxyx 

Do đó : B = 0

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:
32
441
2




x
xxx
A

Giải
TXĐ :
2
3
x

Ta có :
 
32
21
32
21
2






x
xx
x
xx

A

Nêu x<1 thì :
1
32
23
32
21







x
x
x
xx
A

Nếu
21  x
thì :

32
1
32
21






xx
xx
A

Nếu
2x
thì :



Trang 12




1
32
32
32
21








x
x
x
xx
A

Tóm lại :
-1 nếu
1x


A =
32
1
x
nếu
21  x


1 nếu
2x


Bài 3: Cho a, b, c > 0. Rút gọn biểu thức:
bcaccbabcaccbaC  22


Giải
Với a, b, c > 0 ta có:

       
   
cbacbaC
cbacbaC
ccbabaccbabaC



22
22

Vì
0 cba
nên
cbacbaC 

Nếu
bacbacbaCcba  2

Nếu
cbaccbaCcba 2

Tóm lại :

ba 2
nếu
cba 

C =

c2
nếu
cba 


2.2.4 Bài tập tự luyện.
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:



Trang 13



a)
11
5 3 5 3
A 


b)
4 2 3
62
B




c)
1 2 2

2 3 6 3 3
C   


ĐS: a)
3

b)
2
2

c)
3
1
3


Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
9
113
3
1
3
2
2









x
x
x
x
x
x
A
với
3x

ĐS:
3
3
x
x
.

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
























 x
x
x
xx
x
x
x
B
1
1
.
1
1
12
3

3
với
0x
và
1x
.
b)
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A






















với x > 0 , y > 0
ĐS:
a)
1x 

b)
xy
xy











Trang 14

CHƯƠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Tóm tắt lý thuyết
1). Dạng có bản



























BA
A
BA
A
BA
B
BA
BABA
0
0
0
2

2). Các dạng khác
- Ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối
trên mỗi khoảng. Giải phương trình trên mỗi khoảng đó.
- Có thể đặt ẩn phụ


DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
f(x) k
, VỚI K LÀ HẰNG SỐ KHÔNG ÂM
Phương pháp giải:
 Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần)
 Bước 2: Khi đó
f(x) k

f(x) k

f(x) k






nghiệm x
 Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận cho phương trình.

Ví dụ 1: Giải phương trình:
2x 3 1

Giải
Ta có:
2x 3 1 2x 4 x 2
2x 3 1
2x 3 1 2x 2 x 1
   
  
    
  
    
  

Vậy phương trình đa cho có hai nghiệm x = 1 hoặc x = 2

Ví dụ 2: Giải phương trình:
x1
x


- 2 = 0
Giải
- ĐK: x

0.



Trang 15



- Ta có:
x1
x1
2
x 1 2x x 1
x1
x
2
1
x
x 1 x 1 2x 3x 1
x
2
3
x







    



    




     








- Vậy phương trình đa cho có hai nghiệm


1
x
3
hoặc x = 1

Ví dụ tổng hợp: Giải phương trình
512 x

Thật vậy:
Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
512 x







)2(512
)1(512
x
x

Giải 1:







)'2(62
)'1(62
62512
x

x
xx

Giải 1':
8862  xxx
( là nghiệm)
Giải 2':
 462 xx
x không có giá trị
Giải 2:
42512  xx
( không có nghĩa)
Vậy phương trình có hai ngiệm: x = 8 hoặc x = -8

DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
f(x) g(x)

Phương pháp giải:
 Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần)
 Bước 2: Khi đó
f(x) g(x)

f(x) g(x)
f(x) g(x)







nghiệm x
 Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận cho phương trình.

Ví dụ 1: Giải phương trình:
2x 3 x 3  

Giải
Ta có:
2x 3 x 3 2x x 3 3 x 6
2x 3 x 3
2x 3 x 3 2x x 3 3 x 0
        
  
     
  
       
  

Vậy phương trình đa cho có hai nghiệm x = 0 hoặc x = -6




Trang 16



Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
x x 2

x0
x1




Giải
- ĐK: x

0.
- Ta có:
22
x x 2 x x 2
x 0 x
x 1 x 1
   
   


2
2
2
22
x x 2
x
2x 2
x x 2 x(x 1)
x1
x1
2x 2 v« nghiÖm

x x 2 x x 2 x(x 1)
x
x1






   



    



      







- Vậy phương trình đa cho có nghiệm x = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2x 3m
=
x6

với m là tham số
Giải
Biến đổi phương trình tương đương:
2x 3m x 6 2x x 3m 6 x 3m 6
2x 3m x 6
2x 3m x 6 2x x 3m 6 3x 3m 6
       
  
     
  
        
  


x 3m 6
x m 2






Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3m + 6 hoặc x = m – 2

Ví dụ 4: Giải phương trình::
956
2
 xxx

Giải

956
2
 xxx















3
1
956
956
2
2
x
x
xxx
xxx

Vậy: x= 1; x= 3

DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
f(x) g(x)

Phương pháp giải:
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách giải sau:



Trang 17



Cách 1: (Phá dấu trị tuyệt đối):
 TH1: Nếu f(x)

0 (1)
Phương trình có dạng: f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra đk (1)
 TH2: NÕu f(x) < 0 (2)
Phương trình có dạng: - f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra đk (2)
Cách 2: Thực hiện các bước:
 Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và g(x)

0.
 Bước 2: Khi đó
f(x) g(x)

f(x) g(x)
f(x) g(x)







nghiệm x
 Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận cho phương trình.

Ví dụ 1: Giải phương trình:
x 4 3x 5  

Giải
Cách 1: xét hai trường hợp:
-TH 1: Nếu x + 4

0

x

-4 (1)
Phương trình tương đương : x + 4 + 3x = 5

4x = 1

x =
1
4
thỏa mãn điều kiện
(1)

-TH 2: Nếu x + 4 < 0

x < - 4 (2)
Phương trình tương đương: -x - 4 + 3x = 5

2x = 9

x =
9
2
không thỏa mãn điều
kiện (2).
Vậy phương trình có nghiệm x =
1
4
.
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng
x 4 3x 5   

Với điều kiện - 3x + 5

0

- 3x

- 5

x


5
3

Khi đó phương trình:
x 4 3x 5   

 
1
x
x 4 3x 5
4
x 4 3x 5 9
x kh«ng tho¶ m·n *
2



   




  






Vậy phương trình có nghiệm x =

1
4
.
Lưu ý 1:



Trang 18



 Qua ví dụ trên các em học sinh thấy rằng cả 2 cách đều có độ phức tạp như nhau. Vậy
trong trường hợp nào cách 1 sẽ hiệu quả hơn cách 2 và ngược lại?
 Khi vế phải là một biểu thức không là đa thức có bậc một ta nên sử dụng cách 1 vì khi
sử dụng cách 2 thì việc tìm x thỏa mãn điều kiện g(x) không phức tạp hơn
 Khi biểu thức trong trị tuyệt đối ở dạng phức tạp thì không nên sử dụng các 1 vì sẽ gặp
khó khăn trong việc đi giải bất phương trình f(x)

0 vµ f(x) < 0.
 Tuy nhiên học sinh có thể khắc phục bằng cách không di giải điều kiện mà cứ thực hiện
các bước biến đổi phương trình sau đó thử lại điều kiện mà không đối chiếu.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
x 1 x x  

Giải
Xét hai trường hợp.
-TH 1:
Nếu x + 1


0

x

-1 (1)
Khi phương trình có dạng: x + 1 = x
2
+ x

x
2
= 1

x =

1 (thỏa mãn điều kiện 1)
-TH 2:
Nếu x + 1 < 0

x < -1 (2)
Khi phương trình có dạng: - x - 1 = x
2
+ x


x
2
+ 2x + 1 = 0



(x+1)
2
= 0


x = -1 ( không thỏa mãn điều kiện 2).
Vậy phương trình có nghiệm x =

1

Lưu ý 2: Đối với một số dạng phương trình đặc biệt khác ta cũng sẽ có những cách giải khác
phù hợp chẳng hạn như phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng bất đăng thức Cô-si.

Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
2 x 1 x 2x 2   

Giải
Khi phương trình có dạng

2
(x 1) 2 x 1 3 0     
(1)
Xét
x1
= t ( t

0)
Khi đó phương trình (1) có dạng
t

2
- 2t - 3 = 0

t
2
+ t - 3t - 3 = 0

t(t + 1) - 3(t + 1) = 0

(t + 1)(t - 3) = 0

t = - 1 (loại) vµ t = 3 (t/m)



Trang 19



Víi t = 3 ta được
x1
= 3


x 1 3 x 4
x 1 3 x 2
  




    


Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = -2 hoặc x = 4.
Ví dụ 3: Giải và biện luận pương trình: |x
2
– 2x +m|+x=0
Giải
|x
2
– 2x +m|+x=0

m
mcóTa
mxx
mxx
x
xmxx
x
xmxx
41
49
)2(0
)1(03
0
2
0
2
2
1

2
2
2
2























Biện luận
+
2

411
2
493
0
m
x
m
xm





+ m> 0: Vô nghiệm

DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH f(x) + g(x) = a
Phương pháp giải: Bỏ dấu trị tuyệt đối.
Ở dạng này ta phải lập bảng xét dấu để xét hết các trường hợp xảy ra( lưu ý học
sinh: số trường hợp xảy ra bằng số biểu thức chứa giá trị tuyệt đối cộng thêm 1)

Ví dụ 1: Giải phương trình:
x1
3
2
x 1 3




Giải

Điều kiện xác định của phương trình: x

-1
Ta có thể lựa chọn một trong 2 cách sau:
Cách 1: Đặt t =
x1
3

điều kiện t > 0
Khi đó (1)


2
1
t 2 t 2t 1 0 t 1
t
       

x 1 3 x 2
x1
1 x 1 3
3
x 1 3 x 4
  


      

    


Trang 20




Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = -4 hoặc x = 2.
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
VT =
x1
3
x 1 3





x1
3
2.
x 1 3


=2
Ta thấy dấu bằng xảy ra khi (Tức là
x1
3

2
x 1 3



)
khi
2
x 1 3 x 2
x1
3
9 (x 1)
x 1 3
x 1 3 x 4
  


     


    


Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = -4 hoặc x = 2.

Lưu ý: Đối với những phương trình có từ 2 giá trị tuyệt đối trở lên giải theo cách đặt điều
kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối. Mỗi trị tuyệt đối sẽ có một giá trị x làm mốc để xác định biểu
thức trong giá trị tuyệt đối âm hay không âm. Những giá trị x này sẽ chia trục số thành các
khoảng có số lớn hơn các số trị tuyệt đôi là 1. Khi đó ta xét giá trị x trong từng khoảng để bỏ
dấu giá trị tuyệt đối và giải phương trình vừa tìm được.

Ví dụ 2: Giải phương trình:
x1
+
x3
= 2
Giải
Ta thấy x - 1

0

x

1

x - 3

0

x

3
Khi đó để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trường hợp.

+Trường hợp 1: Nếu x < 1
Khi đó phương trình có dạng:
- x + 1 - x + 3 = 2

-2x = - 2


x = 1 (không thỏa mãn điều kiện)
+ Trường hợp 2: Nếu 1

x < 3.
Khi đó phương trình có dạng:
x - 1 - x + 3 = 2

0x = 0 luôn đúng => 1

x < 3 là nghiệm
+ Trường hợp 3: Nếu x

3
Khi đó phương trình có dạng:
x - 1 + x - 3 = 2

2x = 6

x = 3 (t/m đk)
Vậy nghiệm của phương trình là 1

x

3

Ví dụ 3: Giải phương trình:
 
2
2 4 3 1x x x   

Giải:
+ Lập bảng xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp:



Trang 21



 Trường hợp 1:
0
12
x
x





ta có:
22
35
(1) 3 4 3 3 1 0
2
x x x x x

         
.
Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm.
 Trường hợp 2:

01x
ta có
22
15
(1) 4 3 1 0
2
x x x x x

          
. Ta thấy
15
2
x


thỏa mãn.
 Trường hợp 3: x > 2 ta có
22
1 29
(1) 4 3 7 0
2
x x x x x

         
. Ta thấy
1 29
2
x



thỏa mãn.
Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm
15
2
1 29
2
x
x










.

DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI KHÔNG MẪU MỰC

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:
 
22
2 1 0 1x x m x m    
có nghiệm.
Giải

Đặt

10tx  
ta có t
2
-1=x
2
-2x nên pt (1) trở thành:t
2
-mt+m
2
-1=0 (2).
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất một nghiệm
0t 

 Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm t=0
2
0 1 0 1P m m       
.
 Trường hợp 2: phương trình (2) có nghiệm
2
12
0 0 1 0 1 1t t P m m         
.
 Trường hợp 3: phương trình (2) có nghiệm
2
2
12
2 3 2 3
33
3 4 0
0

1
23
, 0 0 1 0 1 .
1
3
00
0
m
m
m
t t P m m
m
Sm
m






  







         
  




  








Đáp số:
23
1
3
m  

Ví dụ 2: Cho phương trình :
2
21x x m x   

a) Giải phương trình với m=0.



Trang 22

b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Giải

Đặt t = x – 1, thì phương trình đã cho trở thành
2
1 (*)t m t  

a) Với m = 0 ta có
22
35
0
00
15
2
15
2
1 1 0
15
2
2
t
x
tt
t
t t t t
t
x












    
  


     









b) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 4 nghiệm
phân biệt.
22
00
(*)
1 1 0
tt
t m t t t m





       

.Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi
và chỉ khi mỗi phương trình t
2
– t + m – 1 = 0 và t
2
+ t + m – 1 = 0 có hai nghiệm không âm
phân biệt. Nhưng phương trình t
2
+ t + m – 1 = 0 không thể có hai nghiệm không âm (vì S= –
1<0).
Vậy phương trình đã cho không thể có 4 nghiệm phân biệt.



BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1). 2 1 2 1 4xx   
.
2). 2 3 4xx   
.
3). 2 2 2 1 5xx   
.
4).
243  xx

.
5).
11
2
 xx
.

Bài 2: Giải các phương trình sau:
1)
821
22
 xxx
.
2)
x
x
x



2
1
2
.
3)
5
232
23




xx
xx
.
4)
2
11
2
( 2)
xx
xx
  


.
5)
1223
2
 xxx
.



Trang 23



Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
1)
22

22x x x x   

2)
2 2 1x  
.
3)
2
4 3 3x x x   
.
4)
1
23x
x

.
5)
22
2 2 1x x x  
.
6)
2
3 2 2 1x x x   
.
7)
22
12 2x x x x    
.

HƯỚNG DẪN ĐÁP SÔ
Bài 1:

1)
( 1)x 

2)
19
( ; )
22
x 

3) (PTVN)
4)
1
( 3; )
2
x   

5) (x=0; – 1; 1)
Bài 2:
1)
9
()
2
x 

2)
13
()
2
x




3)
23 3
( ; )
9 23
x 

4) (x=5)
5)
( 5 21)x 

Bài 3:
1)
2 1 17
;
34
x


.
2)
1;3;5x 
.
3)
0; 5x 

4)
1 3 17
1; ;

24
x


.



Trang 24



5)
1
1; ; 1 2
3
x    

6)
5 21x 

7)
5; 7x

Trang 25

CHƯƠNG 4: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI


4.1 Tóm tắt lý thuyết

1). Cơ sở phương pháp
































































22
22
22
0
0
0
0
0
0
0
0))((
BA
B
B
BA
A
BA
A
BA
BA

BA
BA
B
BA
A
BA
A
BABBA
BABABABA

2). Các dạng khác
- Tương tự như đối với phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta khử dấu giá trị
tuyệt đối và giải bất phương trình trên từng khoảng.
- Dùng ẩn phụ

3). Các dạng cơ bản của bất phương trình
+Dạng 1:
axf )(


-a

f(x)

a a: số thực không âm
f(x): hàm số một đối số

+Dạng 2:
)(xf


a

f(x)

a hoặc f(x)

-a a: số thực không âm
f(x):hàm số một đối số
+Dạng 3:
)(xf


g(x)






)()(
)()(
xgxf
xgxf
f(x), g(x): hàm số một đối số

+Dạng 4:
)(xf



g(x)

-g(x)

f(x)

g(x)
f(x), g(x): hàm số một đối số

+Dạng 5:
)(xf



)(xg


[f(x)]
2
= [g(x)]
2

f(x), g(x): hàm số một đối số