Tiểu luận một số phương pháp giải phương trình mũ và logarít
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.02 MB, 37 trang )
Trang 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ
TIỂU LUẬN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Giảng viên hướng dẫn:
Sinh viên thực tập:
Võ Hoàng Ân
Cần Thơ, tháng 04/2015
Trang 2
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 3
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 3
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: 3
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: 3
IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU: 3
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 3
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 4
A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ: 4
B. Tóm tắt về hàm số Logarit: 6
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ 12
II.1 PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 12
II.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA 13
II.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 14
II.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG 15
TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ 15
II.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 18
II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA
THAM SỐ 19
BÀI TẬP VẬN DỤNG 20
CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 23
III.1 PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 23
III.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA 24
III.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 26
III.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG 28
TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ 28
III.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 30
II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
CHỨA THAM SỐ 31
BÀI TẬP VẬN DỤNG 32
KẾT LUẬN 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO 37
Trang 3
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Có thể nói rằng, hàm số mũ và hàm số logarit cùng với các bài toán liên quan đến hai
hàm số này là phần kiến thức khá khó trong phân phối chương trình Toán phổ thông. Khi tìm
hiểu phần kiến thức này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng rất nhiều kiến thức có liên quan để giải
quyết các dạng toán. Nhiều dạng bài tập, thường gặp phải nhiều sai lầm khi giải toán nhưng
mũ và logarit vẫn có những nét đẹp riệng của chúng.
Là sinh viên nghành Toán, tôi nhận thức được cái khó của mũ và logarit và thông qua
tiểu luận này tôi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường THPT sau này.
Do đó, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình Mũ và Logarít”. Trong đề tài
này, tôi trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về hàm số mũ và logarit cũng như các dạng
toán điển hình của phần này qua đó tích lũy thêm kinh nghiệm cũng như kiến thức phục vụ
cho việc giảng dạy sau này.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Mục tiêu chính của đề tài mà tôi chọn là có thể tổng hợp tất cả các dạng toán có liên
quan về muc và logarit như tìm tập xác định, tính và rút gọn các biểu thức, chứng minh đẳng
thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình
cũng như các bài toán biện luận.
Tôi hy vọng trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, tôi có thể giới thiệu đầy đủ các dạng
toán trong phần kiến thức này.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Trong đề tài này, tôi xây dựng xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit mà trong đó
trọng tâm là phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và
logarit. Theo đó, các phương pháp giải các dạng toán trên cũng được tôi đề cập đến trong đề
tài của mình.
IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit đã nêu ở trên
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến
của cán bộ hướng dẫn.
Trang 4
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ
LOGARIT
A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ:
1. Các phép tính về lũy thừa với hàm số mũ thực:
Định lý: Gọi
,ab
l;à những số thực dương;
,xy
là những số thực tùy ý. Ta có:
.
x
x y x y x y
y
y
x
x xy x x
x
x
x
a
a a a a
a
a a ab a b
aa
bb
Chú ý rằng: 1)
0
1, 0xx
2) Nếu chỉ xác định với mọi
2. Hàm số mũ:
a. Định nghĩa: Hàm số mũ cơ số
0aa
là hàm số được xác định bởi công thức
x
ya
Ví dụ:
1
2 , ,
3
x
x
yy
b. Các tính chất:
+ Hàm số
x
ya
liên tục tại mọi điểm
xR
.
+
0
x
a
với mọi
xR
.
+ Nếu
1a
thì hàm số không đổi trên
R
:
1y
.
+ Nếu
1a
thì hàm số đồng biến trên
R
.
+ Nếu
01a
thì hàm số nghịch biến trên
R
.
c. Từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta suy ra với mọi
0a
thì:
*
1
,
1
MN
a
MN
aa
a
MN
*
1
01
MN
a
MN
aa
a
MN
*
1
0
1
01
0
x
a
x
a
a
x
*
1
0
01
01
0
x
a
x
a
a
x
Các tính chất trên thường dùng để giải các phương trình và bất phương trình mũ.
d. Công thức đổi cơ số:
Từ hàm số mũ cơ số
a
đổi sang hàm số cơ số
b
ta có công thức:
Trang 5
log
,1
b
xa
x
a b a b
Ví dụ:
3
log 2
ln
2 3 ;
x
x x x a
ae
,…
e. Đồ thị hàm số mũ:
x
ya
* Với
1a
:
Bảng biến thiên:
x
0
x
ya
1
0
Đồ thị:
* Với
01a
:
Bảng biến thiên:
x
0
x
ya
1
0
Đồ thị:
Trang 6
Nhận xét rằng:
+ Đồ thị hàm số
x
ya
luôn luôn đi qua điểm
0,1A
.
+ Đồ thị hàm số
x
ya
luôn luôn nằm phía trên trục hoành.
+ Các hàm số
x
ya
và
1
x
y
a
có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung.
B. Tóm tắt về hàm số Logarit:
1. Định nghĩa:
Cho số thực
0a
và
0a
, logarit cơ số
a
của một số dương
N
là một số
M
sao cho
M
Na
. Kí hiệu là
log
a
N
.
Ta có:
log
M
a
N M N a
.
Ví dụ:
2
log 32 5
vì
5
2 32
;
2
1
3
9
nên
3
1
log 2
9
.
2. Tính chất:
+ Cơ số
0a
và
1a
.
+
log
a
N
có nghĩa khi và chỉ khi
0N
.
+
log 1 0 ; log 1; log
n
a a a
a a n
.
+
log
log , ; , 0
a
N
M
a
a M M a N N R
Ví dụ:
2
2
log 4 x
xác định khi và chỉ khi
2
4 0 2 2xx
1
log 5
x
x
xác định khi và chỉ khi
1 0 1
15
1 1 2
2
5 0 5
xx
x
xx
x
xx
3
4
log 2
3
5 1 1
22
1
3 2 ; log 5 3 ; log 16 log 4
2
Trang 7
3. Các phép tính về logarit:
Giả sử
01a
;
, , 0A B N
, ta có các công thức sau:
*
log log log
a a a
AB A B
Mở rộng:
1 2 1 2
log . log log log
a n a a a n
A A A A A A
*
log log log
a a a
A
AB
B
Hệ quả:
1
log log
aa
N
N
*
log log
aa
NN
R
*
1
log log
n
aa
NN
n
4. Công thức đổi cơ số:
Giả sử
0 , 1ab
;
,0cx
ta có:
*
log log .log
a a b
c b c
Hệ quả:
1 2 2 1 1
2 3 1
log .log log .log log
nn
a a a n a n a n
a a a a a
*
log
log
log
b
a
b
x
x
a
*
log
log
a
b
a
b
a
*
1
log log
a
a
xx
*
log log
n
a
a
x n x
*
1
log log
a
a
xx
*
1
log 1
11
log log
ab
ab
xx
xx
5. Hàm số logarit:
a. Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số
a
0, 1aa
là hàm số xác định bởi công thức
log
a
yx
.
Ví dụ:
2
logyx
,
1
3
logyx
.
b. Các tính chất:
Trang 8
* Hàm số
log
a
yx
có tập xác định là
0;
* Hàm số
log
a
yx
liên tục tại mọi điểm
0x
* Nếu
1a
thì hàm số
log
a
yx
đồng biến trong khoảng
0;
* Nếu
01a
thì hàm số
log
a
yx
nghịch biến trong khoảng
0;
* Hàm số
log
a
yx
có tập giá trị là
R
.
c. Từ tính chất đơn điệu của hàm số logarit ta suy ra các đẳng thức và bất đẳng thức
sau:
*
log log 0
0, 1
aa
MN
M N N
aa
*
1
0
log log
01
0
aa
a
MN
MN
a
MN
*
1
1
log 0
01
01
a
a
M
M
a
M
*
1
01
log 0
01
1
a
a
M
M
a
M
Các tính chất nầy thường được dùng để giải các phương trình và bất phương trình
logarit.
6. Đồ thị của hàm số logarit:
* Với
1a
:
Bảng biến thiên:
x
0
1
a
log
a
yx
1
0
Đồ thị:
Trang 9
* Với
01a
Bảng biến thiên:
x
0
1
a
log
a
yx
0
1
Đồ thị:
Nhận xét:
* Đồ thị hàm số
log
a
yx
luôn luôn đi qua điểm
1,0A
.
* Đồ thị hàm số
log
a
yx
luôn luôn ở beeb phải trục tung.
Trang 10
* Các hàm số
log
a
yx
và
1
log
a
yx
đối xứng nhau qua trục hoành.
* Vì
log
y
a
y x x a
nên các hàm số
log
a
yx
và
x
ya
là những hàm số
ngược nên các đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường phân giác
yx
.
Trang 11
Trang 12
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
II.1 PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Thường áp dụng các phép tính về lũy thừa hay phép tính về logarit để biến đổi.
Để đồng hóa cơ số hoặc để khử biểu thức mũ chứa ẩn số, ta thường lấy mũ hai vế. Ta
áp dụng các công thức sau:
Với
01a
ta có:
+
MN
a a M N
+
log log 0
aa
M N M N
+
log
M
a
N M N a
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
5 625
x
Giải
Ta có:
2 2 4
5 625 5 5 2 4 2
xx
xx
Vậy nghiệm của phương trình là
2x
Ví dụ 2: Giải phương trình
21
16 8
x
x
Giải
Ta có:
2 1 6 1
4
3
16 8 2 2 4 6 1 10 6
5
xx
xx
x x x x
Vậy nghiệm của phương trình là
3
5
x
Ví dụ 3: Giải phương trình:
1 1 3
5 5 2 2
x x x x
Giải
Ta có:
1 1 3
1
5 5 2 2 5.5 5 2.2 8.2 4.5 10.2
55
1
22
x x x x x x x x x x
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là
1x
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
log
4 6 0
x
x
Giải
Điều kiện:
0x
Khi đó ta có:
22
2
log log
2
3
4 6 0 2 6 0 6 0
2
xx
x
x x x x
x
Nhận nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là
2x
Trang 13
Ví dụ 5: Giải phương trình:
2
2 2 20
xx
Giải
Đặt
20
x
t
.
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
2
4
20
5
t
tt
t
Do
0t
nên nhận
4t
.
Suy ra:
2 4 2
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là
2x
II.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA
Để giải phương trình bằng phương pháp mũ hóa chúng ta phải nắm vững các tính chất đã nêu
ở mục 1. Tuy nhiên trước khi mũ hóa chúng ta cần biến đổi để rút gọn cả hai vế của phương
trình về dạng gọn nhất.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1
1
3 .2 72
x
x
x
Giải
Điều kiện:
1x
.
Khi đó, lấy logarit thập phân hai vế ta dược:
2
2
1
lg3 lg2 72 lg3 lg108 2lg12 0
lg12
1
lg3
x
x
x x x
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là
lg12
2;
lg3
xx
Ví dụ 2: Giải phương trình:
4
1
lg
10
x
x
x
Giải
Điều kiện:
01x
.
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
4
44
1
lg lg10 1 1
lg
x
x x x x
x
So sánh với điều kiện ban đầu, suy ra không có giá trị
x
thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Trang 14
II.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Nếu một phương trình mũ sau khi rút gọn có dạng
0
x
fa
trong đó
x
là một hàm số
theo
x
ta sẽ đặt
0tx
. Khi đó ta sẽ được phương trình đại số
0ft
, giải phương trình
này nếu có nghiệm
t
ta sẽ tìm được nghiệm
x
. Phương pháp này được gọi là phương pháp đặt
ẩn phụ.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1 1 1
40 35 25
x x x
Giải
Điều kiện:
0x
Chia hai vế của phương trình cho
1
35
x
, ta được:
11
75
1
57
xx
Đặt
1
7
0
5
x
t
, ta được phương trình:
2
1 1 5
1 1 0
2
t t t t
t
Khi đó:
1
15
2
7 1 5 7
log
5 2 5
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là
15
2
7
log
5
x
Ví dụ 2: Giải phương trình:
22
11
10 10 99
xx
Giải
Biến đổi phương trình đã cho về dạng:
2
2
10
10.10 99
10
x
x
Đặt
2
10 0
x
t
. Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
2
10 99 10 0 10t t t
Suy ra
2
2
10 10 1 1
x
xx
Vậy nghiệm của phương trình là
1x
.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn
35
;
42
của phương trình
2
cos2 cos
4 4 3
xx
.
Giải
Trang 15
Áp dụng công thức
2
cos2 2cos 1x
Biến đổi phương trình về dạng:
2
2 2 2 2 2
2cos
2cos 1 cos cos 2cos cos
4
4 4 3 4 3 0 4 4.4 12 0
4
x
x x x x x
Đặt
2
cos
4 ; 1
x
tt
Khi đó phương trình tương đương với:
2
6
4 12 0
2
t
tt
t
So sánh với điều kiện ta nhận nghiệm
2t
Suy ra:
2
1
1
os 2
2
12
2
2
1
4
4 2 4 os ; ,
3
2
2
4
cx
xk
c x k k Z
xk
Hay
2;
4
x k k Z
Do
35
;
42
x
nên chỉ có
0; 1kk
thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
3
;
44
xx
II.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG
TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ
Có một số phương trình không thể dùng thuần túy các phương pháp trên, đôi khi cần
phải dùng các tính chất của bất đẳng thức để giải, hoặc phát hiện tập hợp chứa nghiệm rồi thử
nghiệm, hoặc phát hiện nghiệm rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất hoặc sử dụng tính chất
đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
2 sin
x
x
Giải
Ta có nhận xét sau:
0
2
22
0
2 2 1 2 1
2 sin
sin0 1
sin 1 sin 1
xx
x
x
x
xx
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 3 5
x x x
Trang 16
Giải
Chia hai vế của phương trình cho
5
x
ta được:
23
1
55
xx
(1)
Nhận thấy rằng
1x
là nghiệm của phương trình đã cho.
Ta sẽ chứng minh
1x
là nghiệm duy nhất của phương trình này.
Thật vậy:
Đặt
23
55
xx
fx
và
1gx
Dễ dàng thấy rằng
fx
là hàm nghịch biến và
gx
là hàm hằng. Do đó đồ thị của hai
hàm số này sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất và điểm đó có hoành độ là
1x
.
Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là
1x
.
Ví dụ 3: Cho
,,abc
là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng
c
. Giải các
phương trình:
a.
x x x
a b c
b.
2 2 2x x x
a b c
Giải
a. Do
,,abc
là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng
c
nên ta có:
2 2 2
a b c
Suy ra
2x
là một nghiệm của phương trình
x x x
a b c
Ta lại có:
Vì
1; 1
ab
cc
nên các hàm số
;
xx
ab
cc
nghịch biến.
Suy ra,
1
xx
ab
fx
cc
nghịch biến trên
R
.
Hay
2x
là ngiệm duy nhất của phương trình
x x x
a b c
.
b. Đặt
2tx
. Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
t t t
a b c
Theo câu a phương trình này có duy nhất một nghiệm là
2t
Suy ra
2 2 1xx
.
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm là
1x
.
Ví dụ 4: Tìm tất cả các cặp số thực
,xy
thỏa mãn
2
3
2 3 log 5
4
35
xx
x
(1) và
2
4 1 3 8y y y
(2)
Giải
Trang 17
Ta có:
2
3
3
2 3 log 5
4
log 5
1
5 3 3 5 3
xx
x
y
(*)
Với
3y y y
thay vào (2) ta được:
2
3 0 3 0y y y
(**)
Từ (*) và (**) ta có
3y
Thay vào (1) ta được
13
33
xx
yy
Vậy có hai cặp số thỏa mãn yêu cầu đề bài là
1; 3
và
3; 3
.
Ví dụ 5: Tìm số nguyên
x
thỏa mãn
3
1
x
x
Giải
Với
0x
: Đây không là nghiệm của phương trình đã cho.
Với
0x
: Lấy logarit thập phân hai vế ta có:
3 lg 0 1x x x
do
30x
Với
0x
: Nếu
x
là số nguyên chẵn thì
3x
là số lẻ, suy ra
3
0
x
x
hay phương trình
đã cho vô nghiệm. Do đó
x
phải là số nguyên lẻ.
Ta thấy
1; 3xx
là hai nghiệm của phương trình.
Xét
55xx
, lúc này:
32
3
2
2
11
5
x
x
x x x
x
không thỏa.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là
1; 1; 2x x x
.
*Những lưu ý:
Khi giải các bài toán trắc nghiệm trong phần này chúng ta cần lưu ý một số mẹo nhỏ
như sau để giải nhanh các bài toán trắc nghiệm:
+ Phép thử trực tiếp đối với các dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan tìm tập
nghiệm.
+ Nhận xét xem phương trình đã cho là phương trình cơ bản dạng nào từ đó phán
đoán dạng phương án nhiễu.
+ Việc sử dụng máy tính cầm tay cũng giúp cho chúng ta rất lớn trong dạng bài
tập này. Do đó việc rèn luyện kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay là vô cùng quan trọng
+ Nắm vững các điều kiện có nghiệm của từng dạng phương trình là điều vô
cùng cần thiết, giúp ích cho chúng ta trong quá trình loại bỏ phương án nhiễu.
+ Các ký năng biến đổi phương trình về dạng quen thuộc cúng vô cùng quan
trọng, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững lý thuyết.
+ Các phương pháp giải phương trình đã nêu trên chỉ để giúp chúng ta định
hướng nhanh hơn một số bài tập, từ đó có thể vận dụng vào bài tập trắc nghiệm nhanh hơn.
Trang 18
II.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG
MẪU MỰC
Một số phương trình không thể dung các phép tính về hàm số mũ hoặc dung tính đơn
điệu để giải trực tiếp ta thường chú ý vài cách như sau:
+ Dùng bất đẳng thức để giải: chẳng hạn như giải phương trình dạng
AB
. Nếu
AC
và
BC
thì phương trình đã cho tương đương với hệ
AC
BC
+ Phát hiện nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất hoặc chỉ có những nghiệm
đó.
+ Có thể sử dụng đồ thị để giải.
Ví dụ 1: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
35
x
x
Giải
Theo đề bài ta có:
3 5 3 5 0
xx
xx
Đặt
35
x
f x x
là hàm liên tục trên R.
Ta có:
0 4 0
2 2 0
1
50
243
f
f
f
Suy ra phương trình
0fx
có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng
5;0
và một
nghiệm nằm trong khoảng
0;2
.
Vẽ đồ thị của các hàm số
3 ; 5
x
y y x
:
Trang 19
Đồ thị cho thấy các đường cắt nhau tại hai giao điểm nên phương trình đã cho có hai
nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
1
2 4 1
xx
x
Giải
Theo đề bài ta có:
1
2 4 1 2 2 2 1
x x x x
xx
Thấy rằng
1x
thỏa mãn phương trình nên nó là một nghiệm.
Khi
1x
thì
2 2 2 2 0
1 0 1 0
xx
xx
vô lý hay phương trình vô nghiệm.
Khi
1x
thì
2 2 2 2 0
1 0 1 0
xx
xx
vô lý hay phương trình vô nghiệm.
Kết luận: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là
1x
.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
2
2cos 2 2
6
xx
xx
Giải
Ta có:
22
22
cos 1 2cos 2
66
x x x x
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương
2 ;2
xx
ta được:
2 2 2 2 2 2
x x x x
Suy ra
2
2
2
2
cos 1
2cos 2 2 0
6
6
2 2 1
xx
xx
xx
xx
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
0x
.
II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG
TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ
Ví dụ: Xác định
m
để bất phương trình sau có nghiệm
9 .3 3 0
xx
mm
Giải
Đặt
3 ; 0
x
uu
. Khi đó ta đặt
2
3f u u mu m
(1)
Bài toán trở thành tìm
m
để bất phương trình (1) có nghiệm
0u
. Điều này xảy ra khi
và chỉ khi:
Trang 20
2
4 12 0
0
6
30
00
3
0
2
0
2
30
00
mm
m
m
f
m
m
S
m
f
Vậy giá trị
m
thỏa mãn yêu cầu là
6
3
m
m
.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Giải phương trình:
a.
4 3.2 10 0
xx
b.
11
3 3 3 9477
x x x
c.
22
11
5 5 24
xx
d.
22
11
9 3 6 0
xx
e.
1
2 2 1
xx
f.
2lg 2
lg
lg 1 lg 1
x
x
xx
Bài 2: Giải phương trình:
a.
9 9 3
log log log 27
4 6.2 2 0
xx
b.
3 3 3
log log log 9
4 5.2 2 0
xx
c.
22
13
9 36.3 3 0
xx
d.
10
5 10
3 3 3 0
xx
e.
22
2 1 2
4 5.2 6
x x x x
f.
1 1 1
2.4 6 3.9
x x x
Bài 3: Giải phương trình:
a.
1
5 .8 500
x
x
x
b.
1 1 1
49 35 25
x x x
c.
8 18 2.27
x x x
d.
2
2
11
x
x
e.
2
ln 3 ln 1 ln 2 3x x x x
Bài 4: Giải phương trình:
a.
4 8.2 12 0
xx
b.
lg lg3
3 54
x
x
Bài 5: Giải phương trình:
a.
22
22
4 9.2 8 0
xx
b.
22
lg lg 3
11
xx
xx
c.
lg 1
1 100 1
x
xx
d.
2
2
11
x
xx
Trang 21
e.
2
log 1
9
x
x
x
f.
lg 5
5 lg
3
10
x
x
x
g.
22
log log 5
2
3
x
xx
h.
2 2 2
1 2 1 2 2
25 9 34.15
x x x x x x
i.
22
3 7 2 3
log 9 12 4 4 log 6 23 21
xx
x x x x
Bài 6: Giải phương trình:
a.
22
2
2 2 5
x x x x
b.
7 4 3 3 2 3 2 0
xx
c.
3 2 5 0
x
x
d.
22
1
9 3 4
xx
Bài 7: Giải phương trình:
a.
2
5
1
29
4
x
x
b.
4
3
3
47
2
x
x
c.
52
1
6 12
6
x
x
d.
23
1
2
5 15
5
x
x
Bài 8: Giải phương trình:
a.
1 1 1
9.4 5.6 4.9
x x x
b.
97
2 5 4
22
2 3 3 4
xx
xx
c.
1 1 1
5.25 3.10 2.4
x x x
d.
11
22
22
5 9 3 5
xx
xx
Bài 9: Giải phương trình:
a.
46
34
5 25
x
x
b.
34
22
39
x
x
c.
2 1 1
1
3.5 2.5
5
xx
d.
2 2 1
11
3.4 9 6.4 9
32
x x x x
Bài 10: Giải phương trình:
a.
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0
x x x
b.
2
2
9 10 4
24
x
x
c.
2
33
23
100 10
x
x
x
d.
11
5 5 26
xx
Bài 11: Giải phương trình:
a.
8 18 2.27
x x x
b.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
c.
22
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
d.
2 3 2 3 14
xx
Bài 12: Giải phương trình:
a.
cos cos
7 4 3 7 4 3 4
xx
b.
3
25
xx
c.
2
2
3
2 .3
2
x x x
d.
3
5 21 7 5 21 2
xx
x
Bài 13: Giải phương trình:
Trang 22
a.
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
b.
22
22
2 1 2 2
43
2 2 2 2 1
xx
xx
c.
3 2 3 4
2 1 2 1
.2 2 2 2
xx
xx
xx
d.
2
22
log 1 2log
2 48
xx
x
Bài 14: Giải phương trình:
a.
4 11 32 13
x
x x x
b.
44
1
8.3 9 9
x x x x
c.
2
log 3.2 1 2 1
x
x
d.
39
3log log 5xx
Bài 15: Giải các phương trình sau:
a.
3 4 5
x x x
b.
2 3 5
x x x
c.
5 12 13
x x x
d.
2 3 5 10
x x x x
Bài 16: Giải các phương trình sau:
a.
2 3 0
x
x
b.
3 4 12 13
x x x x
c.
1
21
3
x
x
d.
42
x
x
Bài 17: Tìm giá trị của
a
để phương trình
4 2 0
xx
a
có nghiệm.
Bài 18: Xác định của
m
để phương trình
2 1 2
3 2 3 0
x
mm
có nghiệm.
Trang 23
CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LOGARIT
III.1 PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Thường áp dụng các phép tính về lũy thừa hay phép tính về logarit để biến đổi.
Để đồng hóa cơ số hoặc để khử biểu thức logarit chứa ẩn số, ta thường lấy logarit hai
vế. Ta áp dụng các công thức sau:
Với
01a
ta có:
+
log log 0
aa
M N M N
+
log
M
a
N M N a
Ngoài ra ta cũng cần chú ý đến một số tính chất sau:
+
log
a
b
có nghĩa
0
0; 1
b
aa
+
log
log
log
c
a
c
b
b
a
+
log log
n
m
a
a
m
bb
n
+
2
log 2 log ;
k
aa
b k b kZ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1
2
2
log log 0
a
ax
x
a
Giải
Ta có:
2
1
2
21
log log
2
log log 0 ; 0 1
02
aa
a
ax
ax
x x a a
ax
a
xa
Vậy nghiệm của phương trình là
xa
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 4 8
log log log 11x x x
Giải
Phương trình đã cho tương đương với:
23
2 2 2 2
22
22
11
log log log 11 log log log 11
23
11
log 11 log 6 64
6
x x x x x x
x x x
Vậy nghiệm của phương trình là
64x
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
22
log 2log 3 4xx
Giải
Trang 24
Ta có:
2
2 2 2 2 2 2
log 2log 3 4 2log 2log 3 4 log log 3 4
2
34
1
1
3 4 0
4
3
x x x x x x
x
xx
x
x
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là
1x
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
66
11
1 log log 1
72
x
x
x
Giải
Điều kiện:
2
1
0
7
\ 1;7
10
x
x
xR
x
Khi đó ta có:
2
6 6 6 6
6
1 1 1
1 log log 1 1 log log 1
7 2 7
1 1 1
log 7 1 6 1
7 1 7 1 6
1
13
13
xx
xx
xx
xx
x x x
x x x x
x
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là
13x
Ví dụ 5: Giải phương trình:
2
log 2 3
x
x
Giải
Phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
3 3 2
2
2 2 2
2 1 3 3
6 12 8 0
4 2 2 0
22
4
x x x
x x x
x x x
x x x
xx
x
Vậy nghiệm của phương trình là
4x
III.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA
Để giải phương trình bằng phương pháp logarit hóa chúng ta phải nắm vững các tính chất đã
nêu ở mục 1. Tuy nhiên trước logarit hóa, chúng ta cần biến đổi để rút gọn cả hai vế của
phương trình về dạng gọn nhất. Phương pháp logarit hóa tỏ ra càng hiệu lực khi hai vế của
phương trình có dạng tích của các lũy thừa.
Trang 25
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
1
log 3 1 1
x
xx
Giải
Điều kiện:
2
1 0 1
35
1 1 0
2
3 1 0
3 5 3 5
22
xx
x x x
xx
xx
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
22
0
3 1 1 4 0
4
x
x x x x x
x
So sánh với điều kiện ban đầu nhận nghiệm
4x
Vậy nghiệm của phương trình là
4x
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
1 1 1
22
2
log 1 log 1 log 7 1x x x
Giải
Điều kiện:
10
1 0 1 7
70
x
xx
x
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
2
22
1 1 1 1
2 2 2 2
22
2
1
22
2
log 1 2log 7 1 log 1 log 7 1
11
3
1
log 1 14 51 0
17
2
77
x x x x
xx
x
xx
x
xx
So sánh với điều kiện ban đầu nhận nghiệm
3x
Vậy nghiệm của phương trình là
3x
.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log 2 3 log 4 log 6
2
x x x
Giải
Phương trình đã cho tương đương với:
1 1 1
4 4 4
1 1 1
4 4 4
3log 2 3 3log 4 3log 6
log 2 1 log 4 log 6
x x x
x x x
