PHUONG TRINH BAC HAI VA CAC DANG TOAN

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
I/ Khái niệm phương trình bậc hai một ẩn số:
Phương trình bậc hai một ẩn số (x) là phương trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0 (với a, b, c
∈
R và a
≠
0)
II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số:
1. Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax
2
+ bx = 0:
ax
2
+ bx = 0
⇔
x.(ax+b)=0
⇔
0
0
0
x
x
b
ax b
x
a
=


=


⇔


+ =
= −


2. Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax
2
+ c = 0:
* Trường hợp c>0: phương trình vô nghiệm (vì khi đó ax
2
+ c > 0
∀
x )
* Trường hợp c<0, ta có: ax
2
+ c = 0
⇔
2 2
ax
c
x
c
a
c x
a

c
x
a

= −


=− ⇔ = − ⇔

= − −


3. Dạng đầy đủ – Dạng ax
2
+ bx + c = 0 (với a, b, c
≠
0 :
- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c.
- Bước 2: Lập ∆ = b
2
- 4ac (hoặc ∆' = b'
2
– ac) rồi so sánh với 0
(Trong trường hợp ∆>0 (hoặc ∆'>0) ta tính
∆
(hoặc tính
'∆
)
- Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau:
C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän

∆ = b
2
- 4ac
-NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
ph©n biÖt:
a
b
x
2
1
∆+−
=
;
a
b
x
2
2
∆−−
=
- NÕu ∆ = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :

a
b
xx
2
21
−
==
- NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

∆' = b'
2
- ac (víi b’ =
2
b
2b')
- NÕu ∆' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
ph©n biÖt:
a
b
x
''
1
∆+−
=
;
a
b
x
''
2
∆−−
=
- NÕu ∆' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:

a
b
xx
'
21

−
==
- NÕu ∆' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
* Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt
(trái dấu)
III/ nh lớ Vi-ột:
1/ Vi-ột thun: Nếu x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0
(a0) thì:
1 2
1 2
.
b
S x x
a
c
P x x
a


= + =

= =


2/ Vi-ột o: Hai số u và v tha món u + v = S; u.v = P thỡ u,v l nghim ca ph-
ơng trình:
x
2
- Sx + P = 0
(Điều kiện: S
2
- 4P 0)
3/ Nhẩm nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a 0):
*/ Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x
1
= 1 ; x
2
=
c
a
*/ Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x
1
= -1 ; x
2
=
c
a

* Chỳ ý: Nếu x

1
, x
2
là nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a0)
thì:
ax
2
+ bx + c = a(x-x
1
)(x-x
2
)
IV/ Gii cỏc phng trỡnh quy c v phng trỡnh bc hai:
1/ Phng trỡnh tớch:
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
A x
A x B x
B x
=

=

=

2/ Phng trỡnh cha n mu:
- Bc 1: Tỡm KX ca phng trỡnh (l K ca n tt c cỏc mu u

khỏc 0)
- Bc 2: Qui ng v kh mu hai v
- Bc 3: Gii phng trỡnh nhn c trong bc 2
- Bc 4: i chiu giỏ tr n va tỡm c vi KX v kt lun nghim
3/ Phng trỡnh trựng phng: ax
4
+ bx
2
+ c = 0 ( a

0 )
+ t : x
2
= y

0 , ta cú PT ó cho tr thnh : ay
2
+ by + c = 0 (*)
+ Gii phng trỡnh (*)
+ Chn cỏc giỏ tr y tha món y

0 thay vo: x
2
= y

x=
y
+ Kt lun nghim ca phng trỡnh ban u
4/ Phng trỡnh sau khi t n ph quy v phng trỡnh bc hai:
+ t n ph, t iu kin ca n ph nu cú.

+ Gii phng trỡnh n ph.
+ Chn cỏc giỏ tr n ph tha món iu kin thay vo ch t suy ra giỏ tr n
ban u.
+ Kt lun nghim ca phng trỡnh ban u.
V/ Cỏch gii mt s dng toỏn v phng trỡnh bc hai:
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.
Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm:
1. Hoặc a = 0, b 0
2. Hoặc a 0, 0 hoặc ' 0
Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện
2.
Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c
= 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt.
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt



>

0
0a
hoặc

>

0
0
'
a
Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:




=
0
0
b
a
hoặc



=

0
0a

hoặc



=

0
0
'
a
Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.
Điều kiện có nghiệm kép:



=

0
0a
hoặc



=

0
0

'
a
Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:



<

0
0a
hoặc



<

0
0
'
a
Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:

=
0
0
b
a
hoặc



=

0
0a
hoặc



=

0
0
'
a
Bài toán 7 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx +
c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu.

Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:






>=

0
0
a
c
P
hoặc





>=

0
0
'
a
c
P
Bài toán 8 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2

+ bx + c
= 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dơng.
Điều kiện có hai nghiệm dơng:










>=
>=

0
0
0
a
b
S
a
c
P
hoặc

>=
>=

0
0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.
Điều kiện có hai nghiệm âm:

<=
>=

0
0
0
a
b
S
a
c
P
hoặc









<=
>=

0
0

0
'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx +
c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:
P < 0 hoặc a.c<0.
Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx +
c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x
1
.
Cách giải:
- Thay x = x
1
vào phơng trình (*) ta có: ax
1
2
+ bx
1
+ c = 0 m
- Thay giá trị của m vào (*) x

1
, x
2
- Hoặc tính x
2
= S - x
1
hoặc x
2
=
1
x
P
Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx +
c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn các điều kiện:
a.

=+
21
xx
b.
kxx =+
2
2

2
1
Điều kiện chung: 0 hoặc ' 0 (*)
Theo định lí Viet ta có:







==
=

=+
)2(.
)1(
21
21
P
a
c
xx
S
a
b
xx
a. Trờng hợp:

=+

21
xx
Giải hệ





=+

=+

21
21
xx
a
b
xx
Thay x
1
, x
2
vào (2) m
Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)
b. Trờng hợp:
kxxxxkxx =+=+
21
2
21
2

2
2
1
2)(

Thay x
1
+ x
2
= S =
a
b
và x
1
.x
2
= P =
a
c
vào ta có:
S
2
- 2P = k Tìm đợc giá trị của m thoả mãn (*)
B/ BI TP:
Dng 1: Gii phng trỡnh:
Bi 1: Gii phng trỡnh
x
1
, x
2

a) 2x
2
+ 5x = 0 b) x - 6x
2
= 0 c) 2x
2
+ 3 = 0 d)
4x
2
-1 = 0
e) 2x
2
+ 5x + 2 = 0 f) 6x
2
+ x + 5 = 0 g) 2x
2
+ 5x + 3 = 0 h)
2
25x 20x 4 0− + =
i)
2
3x 2 3x 2 0− − =
j)
( )
2
3x 3 2 x 2 0+ − − =
k)
( )
2
x 2 3 x 2 3 0− + + =

Bài 2: Giải phương trình
a) 3x
4
+ 2x
2
– 5 = 0 b) 2x
4
+ x
2
– 7 = 0 c)
4 2
3x 5x 2 0− − =
Bài 3: Giải phương trình
a) 16 x
3
– 5x
2
– x = 0 b)
( ) ( )
2 2
2 2
x 3x 5 2x 1 0+ − − − =
c)
−
+ = −
− +
3x 2 6x 5
x 5 x 5 4
d)
( ) ( )

2
x 3x 5 1
x 3
x 3 x 2
− +
=
−
− +
e)
7
16
2
1
2
1
=
−
−
+ xx
Bài 4: Giải phương trình
a) x – 7
x 1 0− =
b)
x 5 5 x 1 0+ − − =
c)
( ) ( )
2
2 2
2x x 13 2x x 12 0+ − + + =
d)

( ) ( )
2
2 2
8x 2x 11 2 8x 2x 11 3 0− + + − − + + − =
e) ( x – 6)
4
+ (x – 8)
4
= 16
f) (x
2
– 3x – 1 )
4
– 13x
2
(x
2
– 3x – 1)
2
+ 36x
4
= 0
Dạng 2: Không giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm còn lại khi
biết trước một nghiệm của PTBH:
Bài 1: Cho phương trình:
2
x 8x 15 0− + =
, không giải phương trình hãy tính:
a)
1 2

x x+
b)
1 2
.x x
c)
2 2
1 2
x x+
d)
( )
2
1 2
x x+
e)
1 2
1 1
x x
+
f)
1 2
2 1
x x
x x
+
Bài 2: Cho phương trình:
2
x 3x 15 0+ + =
, không giải phương trình hãy tính:
a)
1 2

x x+
b)
1 2
.x x
Bài 3: a) Cho phương trình:
2
x 2mx 5 0− + =
có một nghiệm bằng 2, hãy tìm m và tính
nghiệm còn lại.
b)Cho phương trình:
2
x 5x q 0+ + =
có một nghiệm bằng 5, hãy tìm q và tính
nghiệm còn lại.
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Lập phương trình bậc hai khi
biết hai nghiệm:
Bài 1: Tìm hai số u và v biết:
a) u+v=3 và u.v=2 b) u+v= -3 và u.v=6 c) u-v=5 và u.v=36 d) u
2
+v
2
=61
và u.v=30
Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
a)
1
8x =
và
2
3x =

b)
1
5x =
và
2
7x = −
c)
1
1 2x = +
và
2
1 2x = −
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phương trình
bậc hai:
Bài 1: Cho phương trình:
2
x 2x m 1 0− + − =
, tìm m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt.
b) Có nghiệm kép.
c) Vô nghiệm.
d) Có hai nghiệm trái dấu.
e) Có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
5x x+ =

Bài 2: Cho phương trình:
2
3x 2x m 1 0− − + =
, tìm m để phương trình:
a) Có nghiệm .
b) Có hai nghiệm trái dấu.
c) Có hai nghiệm dương.
Dạng 5: Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm
kép; vô nghiệm) với mọi tham số:
Bài 1: a) Chứng minh rằng phương trình:
2 2
x 2x m 4 0− − − =
luôn có hai nghiệm phân
biệt
∀
m.
b) Chứng minh rằng phương trình:
( )
2
x 2 m 1 x m 4 0− + + − =
luôn có hai nghiệm phân biệt
∀
m.
c) Chứng minh rằng phương trình:
( )
2
x 2 m 2 x 4m 12 0+ + − − =
luôn có nghiệm
∀
m.

d) Chứng minh rằng phương trình:
( )
2 2 2 2 2 2
c x a b c x b 0+ − − + =
vô nghiệm với a, b, c là độ
dài ba cạnh của một tam giác.
Dạng 6: Toán tổng hợp:
Bài 1: Cho phương trình:
( )
2
x 2 m 1 x 4m 0− + + =
.
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn: x
1
= 2x
2
.
e) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn:
2 2

1 2
5x x+ =
.
f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
sao cho A=
2 2
1 2 1 2
2 2 .x x x x+ −
đạt
giá trị nhỏ nhất.