Đề thi chọn đội tuyển HSG lớp 12

TRƯỜNG THPT NGA SƠN

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học: 2010-2011
Môn: toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề thi)

Bài 1: (4điểm)
Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − +
(C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Tìm hai điểm A,B thuộc (C) đối xứng với nhau qua O.
Bài 2:(6 điểm)
1.Giải phương trình:
( )
2
2
2 2x x− = −
.
2.Giải phương trình :
2
sin 2 2 tan tanx x x= +
.
3.Cho
,x y
thoả mãn
2 2
log ( ) 1
x y
x y

+
+ ≥
. tìm
( )
,x y
để
2A x y= +
đạt giá trị lớn
nhất.
Bài 3: (4điểm)
1. Tính tích phân:
1
3
3 4
0
1 1
x
I dx
x
=
+ +
∫
.
2. Tính tổng :
0 2011 1 2010 2 2009 2010 1 2011 0
2012 2012 2012 2011 2012 2010 2012 2 2012 1
. . . . . .C C C C C C C C C C= + + + + +S
Bài 4:(4 điểm)
1. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD

có cạnh bên bằng 2. Mặt bên hợp với
mặt đáy một góc
0
45
.Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
.
2. Cho hypebol (H) :
2
2
1.
4
y
x − =
Gọi
∆
là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O
và có hệ số góc k,
′
∆
là đường thẳng đi qua O và vuông góc với
∆
.Đường
thẳng
∆
cắt (H) tại A,C và đường thẳng
′
∆
cắt (H) tại B,D.Tính diện tích tứ
giác ABCD. Xác định k để diện tích ABCD có giá trị nhỏ nhất.

Bài 5: (2 điểm)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc=1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức :

2 2 2 2 2 2
bc ca ab
P
a b a c b c b a c a c b
= + +
+ + +
.