các dạng bài tập môn toán lớp 10 có đáp án

N
M
O
D
A
B
C
O
D
A
B
C
Nhận dạy kèm Toán,Lý,Hóa tại nhà các Quận 1,3,4,5,6,7,8,Bình Chánh
ĐT: 0947.716.516 (gặp thầy Minh)
CÁC DẠNG TOÁN ÔN TẬP CHƯƠNG 1
Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương, cùng hướng:
* Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ
+ K/n Véctơ
+ K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm
đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với
AB
uuur
;
b) Tìm các vectơ cùng hướng với
AB
uuur
;

c) Tìm các vectơ ngược hướng với
AB
uuur
;
d) Tìm các vectơ bằng với
MO
uuuur
, bằng với
OB
uuur
.
Bài 3: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác
0
r
và cùng phương
OA
uuur
;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ
AB
uuur
;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ
AB
uuur
và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O

a) bằng vectơ
AB
uuur
;
OB
uuur
b) Có độ dài bằng 
OB
uuur

HD:
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ
Bài 2:
Bài 3:
a.
, , , , , , , ,DA AD BC CB AO OD DO FE EF
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b.
, ,OC ED FO
uuur uuur uuur
c. Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB

A
D
C
B
o
E
F
D

B
A
C
Nhận dạy kèm Toán,Lý,Hóa tại nhà các Quận 1,3,4,5,6,7,8,Bình Chánh
ĐT: 0947.716.516 (gặp thầy Minh)
khi đó
'BB AB=
uuur uuur
*
FO
uuur
là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB
⇒
'CC AB=
uuuur uuur

+ tương tự
Bài 4:
a.
AB DC=
uuur uuur
,
OB DO=
uuur uuur
b.
| | | | | | | |OB BO DO OD= = =
uuur uuur uuur uuur

Dạng 2. Chứng minh hai vectơ bằng nhau:
* Phương pháp : Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa:
| | | |
, cuøng höôùng
a b
a b
a b

=
⇒ =


r r
r r
r uur
+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì
,AB DC BC AD= =
uuur uuur uuur uuur
,…(hoặc viết ngược lại)
+ Nếu
,a b b c a c= = ⇒ =
r r r r r r
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Chứng minh:
EF CD=
uuur uuur
Bài 2: Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

AB DC=
uuur uuur
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu
AB DC=
uuur uuur
thì
AD BC=
uuur uuur
Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh :
MQNPQPMN == ;
HD
Bài 1:
Cách 1: EF là đường trung bình của ∆ ABC nên EF//CD,
EF=
1
2
BC=CD⇒ EF=CD⇒
EF CD=
uuur uuur
(1)
EF
uuur
cùng hướng
CD
uuur
(2)
Từ (1),(2) ⇒
EF CD=
uuur uuur

Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF=
1
2
BC=CD và EF//CD⇒ EFDC là hình bình hành⇒
EF CD=
uuur uuur
Bài 2:
Chứng minh chiều
⇒
: * ABCD là hình bình hành



=
⇒
CDAB
CDAB //
*
DCAB
CDAB
CDAB
=⇒



=
//
Nhận dạy kèm Toán,Lý,Hóa tại nhà các Quận 1,3,4,5,6,7,8,Bình Chánh
ĐT: 0947.716.516 (gặp thầy Minh)

Chứng minh chiều
⇐
: *
AB
=
DC

⇔

AB
,
DC
cùng hướng và
DCAB =
*
AB
và
DC
cùng hướng
⇒
AB // CD (1)
*
CDAB =

⇒
AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 3 :
AB DC=
uuur uuur
⇒

AB=DC, AB//CD
⇒
ABCD là hình bình hành
⇒

AD BC=
uuur uuur
Bài 4 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng
1
2
AC
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
⇒ đpcm
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ:
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Cơ sở : sử dụng các quy tắc về véctơ
 Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có :
AB
uuur
+
BC
uuur
=
AC
uuur
 Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì
AB

uuur
+
AD
uuur
=
AC
uuur
 Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:

OB OA AB− =
uuur uuur uuur
(hoặc
OA OB BA− =
uuur uuur uuur
)hay
AB OB OA= −
uuur uuur uuur
 Tính chất trung điểm của đoạn thẳng :
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB
⇔
0IA IB+ =
uur uur r
 Tính chất trọng tâm của tam giác :
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC
⇔

0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
BÀI TẬP
Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :

→
AC
+
→
BD
=
→
AD
+
→
BC
Bài 2 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/
→
DO
+
→
AO
=
→
AB
b/
→
OD
+
→
OC
=
→
BC

c/
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
+
→
OD
=
0

d/
→
MA
+
→
MC
=
→
MB
+
→
MD
(với M là 1 điểm tùy ý)
Bài 3 Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR :

→
OD
+
→
OC
=
→
AD
+
→
BC
Bài 4 Cho ∆ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý
→
'AA
,
→
'BB
,
→
'CC
A
B C
D
Nhận dạy kèm Toán,Lý,Hóa tại nhà các Quận 1,3,4,5,6,7,8,Bình Chánh
ĐT: 0947.716.516 (gặp thầy Minh)
CMR :
→
'AA
+
→

'BB
+
→
'CC
=
→
'BA
+
→
'CB
+
→
'AC
.
Bài 5 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C
qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:
''' OCOBOAOCOBOA ++=++
Bài 6: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a)
OA
uuur
+
OB
uuur
+
OC
uuur
+
OD
uuur

+
OE
uuur
+
OF
uuur
=
0
r
b)
OA
uuur
+
OC
uuur
+
OE
uuur
=
0
r
c)
AB
uuur
+
AO
uuur
+
AF
uuur

=
AD
uuur
d)
MA
uuuur
+
MC
uuur
+
ME
uuur
=
MB
uuur
+
MD
uuuur
+
MF
uuur
( M tùy ý )
Dạng 4 .Tính độ dài của hệ thức véctơ :
Cơ sở:
 sử dụng các quy tắc về véctơ :
+ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có :
AB
uuur
+
BC

uuur
=
AC
uuur
AB BC AC⇒ + =
uuur uuur uuur
+ Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì
AB
uuur
+
AD
uuur
=
AC
uuur
AB AD AC⇒ + =
uuur uuur uuur
+ Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:

OB OA AB− =
uuur uuur uuur
(hoặc
OA OB BA− =
uuur uuur uuur
)hay
AB OB OA= −
uuur uuur uuur
AB OB OA⇒ = −
uuur uuur uuur
 Sử dụng tính chất hai véctơ :

+ Nếu hai véc tơ
a
r
,
b
r
cùng hướng thì |
a
r
+
b
r
| = |
a
r
|+|
b
r
|
+ Nếu hai véc tơ
a
r
↑↓
b
r
và |
b
r
| ≥ |
a

r
| thì |
a
r
+
b
r
|=|
b
r
|−|
a
r
|
BÀI TẬP
Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính 
→
AD
−
→
AB

b/ Dựng
u

=
→
CA
−

→
AB
. Tính 
u


Bài 2 Cho ∆ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính 
→→
−ACAB

b/ Tính 
→
BA
−
→
BI

Bài 3 Cho ∆ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính
→→
−ACAB

Bài 4 Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt
AO
uuur
=
a
r
;
BO

uuur
=
b
r
Tính
AB
uuur
;
BC
uuur
;
CD
uuur
;
DA
uuur
theo
a
r
và
b
r
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính 
→→
+ADAB
 theo a
A
B C
D
Nhận dạy kèm Toán,Lý,Hóa tại nhà các Quận 1,3,4,5,6,7,8,Bình Chánh

ĐT: 0947.716.516 (gặp thầy Minh)
Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính 
→→
+ADAB

b/ Dựng
u

=
→→
+ACAB
. Tính 
u


Dạng 5. Xác định vectơ k
a
r
:
*Phương pháp : Dựa vào định nghĩa vectơ k
a
r
và các tính chất
BÀI TẬP
Ví dụ 1. Cho
a AB=
r uuur
và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
3 ; 4OM a ON a= = −

uuuur r uuur r
Giải
Vẽ d đi qua O và // với giá của
a
r
(nếu O ∈ giá của
a
r
thì d là giá của
a
r
)
− Trên d lấy điểm M sao cho OM=3|
a
r
|,
OM
uuuur
và
a
r
cùng hướng khi đó
3OM a=
uuuur r
.
− Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|
a
r
|,
ON

uuur
và
a
r
ngược hướng nên
4ON a= −
uuur r
Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=
1
5
AB. Tìm k
trong các đẳng thức sau:
) ; ) ; )a AM k AB b MA kMB c MA k AB= = =
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
A
B
M
a)
| | 1
| |
5
| |
AM AM
AM k AB k
AB
AB
= ⇒ = = =
uuuur
uuuur uuur

uuur
, vì
AM AB↑↑
uuuur uuur
⇒ k=
1
5
b) k= −
1
4
c) k= −
1
5
Ví dụ 3.
a) Chứng minh:vectơ đối của 5
a
r
là (−5)
a
r
b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2
a
r
+3
b
r
,
a
r
−2

b
r
Giải
a) −5
a
r
=(−1)(5
a
r
)=((−1)5)
a
r
= −(−5)
a
r
b) −(2
a
r
+3
b
r
)= (−1)( 2
a
r
+3
b
r
)= (−1) 2
a
r

+(−1)3
b
r
=(−2)
a
r
+(−3)
b
r
=−2
a
r
−3
b
r
c) Tương tự
Dạng 6. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương :
Ví dụ 1.Cho ∆ ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt
;= =
r uuur r uuur
u AE v AF
. Hãy phân tích các vectơ
, , ,AI AG DE DC
uur uuur uuur uuur
theo hai vectơ
,u v
r r
.
O

a
r
MN
C
A
Nhận dạy kèm Toán,Lý,Hóa tại nhà các Quận 1,3,4,5,6,7,8,Bình Chánh
ĐT: 0947.716.516 (gặp thầy Minh)
Giải Ta có
1 1 1 1
( ) )
2 2 2 2
AI AD AE AF u v= = + = +
uur uuur uuur uuur r r
2 2 2
3 3 3
AG AD u v= = +
uuur uuur r r
0. ( 1)DE FA AF u v= = − = + −
uuur uuur uuur r r
DC FE AE AF u v= = − = −
uuur uuur uuur uuur r r
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích
vectơ
AM
uuuur
theo hai vectơ
,u AB v AC= =
r uuur r uuur
.
Giải

Ta có
2
3
AM AB BM AB BC= + = +
uuuur uuur uuuur uuur uuur

mà
BC AC AB= −
uuur uuur uuur
⇒

2 1 2
( )
3 3 3
AM AB AC AB u v= + − = +
uuuur uuur uuur uuur r r
Dạng 7. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
Cơ sở:
+ A, B, C thẳng hàng ⇔
AB
uuur
cùng phương
AC
uuur
⇔∃ 0≠k ∈
¡
:
AB k AC=
uuur uuur
+ Nếu

=
uuur uuur
AB kCD
và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm
AC sao AK=
1
3
AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
Ta có
1
2
2
4 2 (1)
BI BA BM BA BC
BI BA BC
= + = +
= +
uur uuur uuuur uuur uuur
uur uuur uuur
Ta có
1
3
1 2 1
( )
3 3 3
3 2 (2)
BK BA AK BA AC
BA BC BA BA BC

BK BA BC
= + = +
= + − = +
= +
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
Từ (1)&(2)
⇒

4
3 4
3
BK BI BK BI= ⇒ =
uuur uur uuur uur
⇒
B, I, K thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
0BC MA+ =
uuur uuur r
,
3 0AB NA AC− − =
uuur uuur uuur r
. Chứng minh MN//AC
Giải
3 0
3 0 2
+ + − − =
+ − = ⇔ =
uuur uuur uuur uuur uuur r

uuur uuuur uuur r uuuur uuur
BC MA AB NA AC
hay AC MN AC M N AC
K
I
A
B
C
D
Nhận dạy kèm Toán,Lý,Hóa tại nhà các Quận 1,3,4,5,6,7,8,Bình Chánh
ĐT: 0947.716.516 (gặp thầy Minh)
/ /MN AC
uuuur uuur
. Theo giả thiết
BC AM=
uuur uuuur
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
⇒
M không thuộc AC
⇒
MN//AC
BÀI TẬP
Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2
→
AB
+ 3
→
AC
= 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 2: Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho

→
MB
= 3
→
MC
;
→
NA
+3
→
NC
=
0

và
→
PA
+
→
PB
=
0

a/ Tính
→
PM
,
→
PN
theo

→
AB
và
→
AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua
C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng
tâm.
Dạng 8. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ :
Cơ sở:
+
0AB A B= ⇔ ≡
uuur r
+ Cho điểm A và
a
r
. Có duy nhất M sao cho :
AM a=
uuuur r
+
;AB AC B C AD BD A B= ⇔ ≡ = ⇔ ≡
uuur uuur uuur uuur
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết
2AG GD=
uuur uuur
.
Giải
2AG GD=
uuur uuur

⇒ A,G,D thẳng hàng.
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
Ví dụ 2. Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho:
2 0IA IB+ =
uur uur r
.
A
B
I
2 0 2 2IA IB IA IB IA IB+ = ⇔ = − ⇒ = −
uur uur r uur uur uur uur
hay IA=2IB ,
IA IB↑↓
uur uur
. Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=
1
3
AB
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho:
0GA GB GC GD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
Giải
Ta có
2GA GB GI+ =
uuur uuur uur
, trong đó I là trung điểm AB
Tương tự
2GC GD GK+ =
uuur uuur uuur

, K là trung điểm CD

2 2
0
GA GB GC GD GI GK
hayGI GK
+ + + = +
+ =
uuur uuur uuur uuur uur uuur
uur uuur r
⇒ G là trung điểm IK
G
I
C
B
A
Nhận dạy kèm Toán,Lý,Hóa tại nhà các Quận 1,3,4,5,6,7,8,Bình Chánh
ĐT: 0947.716.516 (gặp thầy Minh)
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của
EF.
a/ CMR :
→
AD
+
→
BC
= 2
→
EF

b/ CMR :
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
+
→
OD
=
0

c/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC
+
→
MD
= 4
→
MO

(với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho
→−
MA
+
→−
MB
+
→−
MC
+
→−
MD
 nhỏ nhất
Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1
điểm tùy ý.
a/ CMR :
→
AF
+
→
BG
+
→
CH
+
→
DE
=
0


b/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC
+
→
MD
=
→
ME
+
→
MF
+
→
MG
+
→
MH
c/ CMR :
→→
+ACAB
+
→

AD
= 4
→
AG
(với G là trung điểm FH)
Bài 3: Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
CMR :
→
AD
+
→
BE
+
→
CF
= 3
→
GH
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
+
→

OD
=
0

b/
→
EA
+
→
EB
+ 2
→
EC
= 3
→
AB
c/
→
EB
+ 2
→
EA
+ 4
→
ED
=
→
EC
Bài 5: Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao
cho

→
AN
=
2
1
→
NC
. Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR :
→
AK
=
4
1
→
AB
+
6
1
→
AC
b/ CMR :
→
KD
=
4
1
→
AB
+

3
1
→
AC
Bài 6: Cho ∆ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho
→
AD
= 2
→
DB
,
→
CE
= 3
→
EA
.
Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
a/
→
AM
=
3
1
→
AB
+
8
1
→

AC
b/
→
MI
=
6
1
→
AB
+
8
3
→
AC