Hệ Thức Viet và ứng dụng

BÀI TẬP ÔN
1. Cho phương trình: có một
trong các nghiệm bằng 3. Tìm hệ số k và nghiệm còn lại.
2
2 8 0x x k+ + =
2. Biện luận số nghiệm của phương trình:
2
2( 1) 2( 1) 0mx m x m
− − + − =

theo m.
3. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá
trị của a.

2
( 1) 2( 3) 2 0a x a x+ − + + =

HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG
1. HỆ THỨC VIET: Là một hệ thức liên quan
giữa nghiệm của phương trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 và các hệ số của phương trình
này.
2. CHỨNG MINH HỆ THỨC: Giả sử phương trình
bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0) (*) có biệt thức
Δ ≥ 0, tức là phương trình (*) có nghiệm, ta gọi hai
nghiệm đó là x

1
và x
2.
Ta có:

1
2
2
2
b
x
a
b
x
a

− + ∆
=



− − ∆

=


1 2
2 2 2
1 2
2 2 2

2
2 2
( )( ) ( 4 )
.
4 4 4
b b b b
x x
a a a
b b b b b ac c
x x
a a a a

− + ∆ − − ∆ − −
+ = = =


⇒

− ∆ + ∆ − ∆ − −

= = = =



Vậy:
đây là hệ thức Viét
1 2
1 2
.
b

x x
a
c
x x
a
−

+ =




=


•
Ví dụ áp dụng: (?2 ) và (?3 ) trong sách giáo khoa trang 51.
→Nếu pt ax
2
+ bx +c = 0 có một nghiệm x = 1 thì nghiệm còn lại
là và a +b +c = 0
c
x
a
=
→Nếu pt ax
2
+ bx +c = 0 có một nghiệm x = -1 thì nghiệm còn lại
là và a –b + c = 0
c

x
a
−
=

3. ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT:
* TÌM HAI SỐ KHI BiẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG:
Giả sử ta có hai số x
1
, x
2
có tổng là S và tích là P. Vậy:
1 2 1 2
2 2
2 2 2 2
1 2 2 2
0
. ( )
x x S x S x
Sx x P x Sx P
x x P S x x P
+ = = −
 
⇒ ⇒ − = ⇔ − + =
 
= − =
 
Từ đó ta thấy: nếu Δ = (-S)
2
- 4P = S

2
- 4P ≥ 0 thì pt trên có
nghiệm và các nghiệm này chính là hai số cần tìm. Và đây chính
là bất đẳng thức mà S và P phải thoã mãn để tìm hai số.
Nên x
2
là nghiệm của phương trình: x
2
– Sx + P =0.Tương tự ta
cũng có: .Vậy x
1
cũng là nghiệm của phương
trình: x
2
– Sx + P = 0
2
1 1
0x Sx P− + =
Ví dụ: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là 7 và tích của
chúng là 12.

•
XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM:
Cho phương trình ax
2
+bx + c =0 ( a ≠ 0 ). Ta có các trường hợp
sau:
+ Nếu ( Khi đó chắc chắn Δ > 0 vì a và c trái dấu ) thì
phương trình có hai nghiệm trái dấu. Vậy P < 0 thì x
1

x
2
< 0
0
c
P
a
= <
+ Nếu Δ > 0, P > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu
+ Nếu Δ > 0, P > 0, S > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng
dương
+ Nếu Δ > 0, P > 0, S < 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng
âm

Ví dụ áp dụng: Bài 1: Cho pt x
2
– 2(k-1)x + 2k - 5 = 0
a./ Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi k
b./ Tìm k để pt có hai nghiệm cùng dấu, khi đó hai nghiệm

mang dấu gì?
c./ Tìm k để pt có tổng hai nghiệm bằng 6. Tìm hai nghiệm đó.
Bài 2: Xác định k để pt x
2
+ 2x + k = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2

thoã mãn:

a./ b./ c./
1 2
3 2 1x x
+ =
2 2
1 2
12x x− =
2 2
1 2
1x x+ =